Zeta -toimintojen säätö - Zeta function regularization

In matematiikan ja teoreettisen fysiikan , Zeta funktio regularisointi on eräänlainen laillistamiseen tai summability menetelmä , joka määrittää rajallinen arvoja erilaisten summia tai tuotteita, ja erityisesti voidaan käyttää määrittelemään tekijöihin ja jälkiä joitakin itse-adjoint operaattoreille . Tekniikkaa sovelletaan nykyään yleisesti fysiikan ongelmiin , mutta sen juuret ovat pyrkimyksissä antaa täsmällisiä merkityksiä lukuteoriassa esiintyville huonosti ilmastoiduille summille .

Määritelmä

On olemassa useita eri summattu menetelmiä kutsutaan Zeta funktio regularization määrittelemiseksi summan mahdollisesti erilaisia sarja ₁ + ₂ + ....

Yksi menetelmä on määrittää sen zeta säädellään summa on ζ (-1) jos se on määritelty, jossa Zeta funktio on määritelty suuri Re ( t ), jonka

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = {\ frac {1} {a_ {1}^{s}}}+{\ frac {1} {a_ {2}^{s}}}+\ cdots}

jos tämä summa lähenee, ja analyyttinen jatko muualla.

Siinä tapauksessa, _n = n , Zeta funktio on tavallinen Riemannin Zeta funktio . Euler käytti tätä menetelmää " summaamaan " sarjat 1 + 2 + 3 + 4 + ... - ζ (−1) = −1/12.

Hawking (1977) osoitti, että tasaisessa avaruudessa, jossa Laplacialaisten ominaisarvot tunnetaan, osiofunktiota vastaava zeta -funktio voidaan laskea nimenomaisesti. Tarkastellaan skalaarikenttää φ , joka on suuressa laatikossa tilavuutta V tasaisella aika -alueella lämpötilassa T = β ⁻¹ . Osiointitoiminto määritellään polkuintegraalina kaikkien euklidisen avaruuden kenttien φ yli, joka saadaan asettamalla τ = it, jotka ovat nolla laatikon seinillä ja jotka ovat jaksollisia τ jaksolla β . Tämän tilanteen partitiofunktio hän laskee energia, entropia ja paine säteilyn kentän φ . Tasaisten tilojen tapauksessa fyysisissä määrissä esiintyvät ominaisarvot ovat yleisesti tunnettuja, kun taas kaarevat tilat eivät ole tiedossa: tässä tapauksessa tarvitaan asymptoottisia menetelmiä.

Toinen menetelmä määrittelee mahdollisesti poikkeavan äärettömän tuloksen a ₁a ₂ .... olla exp (−ζ ′ _A (0)). Ray & Singer (1971) käyttivät tätä määritellä determinanttia positiivinen itsestään adjoint operaattori (jäljempänä Laplacen on Riemannin jakoputken niiden soveltaminen) ja ominaisarvot ₁ , ₂ , ...., ja tässä tapauksessa zeta- toiminto on muodollisesti jälki ^-^s . Minakshisundaram & Pleijel (1949) osoittivat, että jos A on pienikokoisen Riemannin jakotukin laplacialainen, niin Minakshisundaram – Pleijel -zeta -funktio lähentyy ja sillä on analyyttinen jatko meromorfisena funktiona kaikkiin kompleksilukuihin, ja Seeley (1967) laajensi tämän elliptiseen pseudoon -erilaiset operaattorit A kompakteissa Riemannin jakotukissa. Joten tällaisille operaattoreille voidaan määritellä determinantti käyttämällä zeta -funktion säätöä. Katso " analyyttinen vääntö ".

Hawking (1977) ehdotti tämän ajatuksen käyttämistä polkuintegraalien arvioimiseksi kaarevilla avaruusajoilla. Hän opiskeli zeta -funktion säätelemistä laskeakseen lämpögravitonin ja aineen kvanttien osiofunktiot kaarevalla taustalla, kuten mustien aukkojen horisontissa ja de Sitter -taustalla käyttäen käänteisen Mellin -muunnoksen suhdetta lämmön ytimen jälkeen yhtälöt .

Esimerkki

Ensimmäinen esimerkki, jossa zeta -funktion säätö on käytettävissä, näkyy Casimir -tehosteessa, joka on tasaisessa tilassa kvanttikentän suurimpien panosten kanssa kolmessa avaruusulottuvuudessa. Tässä tapauksessa meidän on laskettava Riemannin zeta -funktion arvo -3 , joka poikkeaa selvästi. Sitä voidaan kuitenkin jatkaa analyyttisesti arvoon s = -3, jossa toivottavasti ei ole napaa, jolloin lausekkeelle saadaan rajallinen arvo. Yksityiskohtainen esimerkki tästä työssä tapahtuvasta laillistamisesta annetaan Casimir-tehosteen yksityiskohtaista esimerkkiä koskevassa artikkelissa , jossa tuloksena oleva summa on hyvin selvästi Riemannin zeta-funktio (ja jossa näennäisesti legerdemain-analyyttinen jatko poistaa additiivisen ääretön, jättäen fyysisesti merkittävä rajallinen luku).

Eräs esimerkki zeta-toiminto laillistaminen on laskettaessa tyhjiö odotusarvo on energia hiukkasen kentän Kvanttikenttäteoria . Yleisemmin zeta-funktion lähestymistapaa voidaan käyttää koko energia-momentum-tensorin säätelemiseen kaarevassa avaruusajassa.

Energian säätelemätön arvo saadaan laskemalla yhteen kaikkien tyhjiön viritystilan nollapisteenergia :

{\ displaystyle \ langle 0 | T_ {00} | 0 \ rangle = \ summa _ {n} {\ frac {\ hbar | \ omega _ {n} |} {2}}}

Tässä on energia -impulssitensorin nollakomponentti ja summan (joka voi olla kiinteä osa) on tarkoitus ulottua kaikkiin (positiivisiin ja negatiivisiin) energiamuotoihin ; absoluuttinen arvo muistuttaa meitä siitä, että energiaa pidetään positiivisena. Tämä summa, kuten kirjoitettu, on yleensä ääretön ( on tyypillisesti lineaarinen n: ssä). Summa voidaan tasata kirjoittamalla se muodossa ${\ displaystyle T_ {00}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$

{\ displaystyle \ langle 0 | T_ {00} (s) | 0 \ rangle = \ summa _ {n} {\ frac {\ hbar | \ omega _ {n} |} {2}} | \ omega _ {n } |^{-s}}

jossa s on jokin parametri, joka on kompleksiluku . Suurten, todellisten s: n ollessa suurempi kuin 4 (kolmiulotteisen avaruuden osalta) summa on selvästi rajallinen, ja siksi sitä voidaan usein arvioida teoreettisesti.

Zetan säätely on hyödyllistä, koska sitä voidaan usein käyttää tavalla, joka säilyttää fyysisen järjestelmän erilaiset symmetriat. Zeta-funktion säätelyä käytetään konformikenttäteoriassa , renormalisoinnissa ja merkkijonoteorian kriittisen avaruusajan ulottuvuuden vahvistamisessa .

Suhde muihin laillistamisiin

Zeta -funktion säätö vastaa mittojen säätöä , katso. Zetan tasaamisen tärkein etu on kuitenkin se, että sitä voidaan käyttää aina, kun mittasäätö epäonnistuu, esimerkiksi jos laskelmien sisällä on matriiseja tai tentereitä ${\ displaystyle \ epsilon _ {i, j, k}}$

Suhde Dirichlet -sarjaan

Zeta-funktion laillistaminen antaa analyyttisen rakenteen mille tahansa summalle aritmeettisen funktion f ( n ) yli. Tällaiset summat tunnetaan nimellä Dirichlet -sarja . Säännöllinen lomake

{\ displaystyle {\ tilde {f}} (s) = \ summa _ {n = 1}^{\ infty} f (n) n^{-s}}

muuntaa summan poikkeamat yksinkertaisiksi navoiksi kompleksisessa s -tasossa. Numeerisissa laskelmissa zeta-funktion säännöstely on sopimatonta, koska se on erittäin hidas lähentymään. Numeerisia tarkoituksia varten nopeammin lähestyvä summa on eksponentiaalinen laillistaminen, jonka antaa

{\ displaystyle F (t) = \ summa _ {n = 1}^{\ infty} f (n) e^{-tn}.}

Tämä on joskus kutsutaan Z-muunnos on f , jossa z = exp (- t ). Eksponentiaalisen ja zeta-säännöllisyyden analyyttinen rakenne liittyvät toisiinsa. Laajentamalla eksponentiaalista summaa Laurent -sarjana

{\ displaystyle F (t) = {\ frac {a_ {N}} {t^{N}}}+{\ frac {a_ {N-1}} {t^{N-1}}}+\ cdots }

havaitaan, että zeta-sarjalla on rakenne

{\ displaystyle {\ tilde {f}} (s) = {\ frac {a_ {N}} {sN}}+\ cdots.}

Eksponentiaalisen ja zeta-säätimen rakenne liittyvät Mellin-muunnoksen avulla . Toinen voidaan muuntaa toiseksi käyttämällä Gamma -toiminnon kiinteää esitystä :

{\ displaystyle \ Gamma (s) = \ int _ {0}^{\ infty} t^{s-1} e^{-t} \, dt}

joka johtaa identiteettiin

{\ displaystyle \ Gamma (s) {\ tilde {f}} (s) = \ int _ {0}^{\ infty} t^{s-1} F (t) \, dt}

liittyvät eksponentiaalisiin ja zeta-säätimiin ja s-tason napojen muuntamiseen erilaisiin termeihin Laurent-sarjassa.

Lämpöydinsäätö

Summa

{\ displaystyle f (s) = \ summa _ {n} a_ {n} e^{-s | \ omega _ {n} |}}

kutsutaan joskus lämpöydinksi tai lämpöydinsäännölliseksi summaksi ; Tämä nimi johtuu siitä ajatuksesta, että voi joskus ymmärrettävä ominaisarvot lämmön ytimen . Matematiikassa tällainen summa tunnetaan yleistettynä Dirichlet -sarjana ; sen käyttö keskiarvoksi tunnetaan Abelin keskiarvona . Se liittyy läheisesti Laplace-Stieltjes muunnos , että ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$

{\ displaystyle f (s) = \ int _ {0}^{\ infty} e^{-st} \, d \ alpha (t)}

missä on askelfunktio , vaiheet at . Tällaisen sarjan lähentymiselle on olemassa useita lauseita. Esimerkiksi Hardy-Littlewood Tauberian lause, jos ${\ displaystyle \ alpha (t)}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle t = | \ omega _ {n} |}$

{\ displaystyle L = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log \ vert \ sum _ {k = 1}^{n} a_ {k} \ vert} {| \ omega _ {n} |}}}

sitten sarja suppenee puoli-tasossa ja on tasaisesti suppeneva joka kompakti osajoukko on puoli-tasossa . Lähes kaikissa fysiikan sovelluksissa yksi on ${\ displaystyle f (s)}$ ${\ displaystyle \ Re (s)> L}$ ${\ displaystyle \ Re (s)> L}$ ${\ displaystyle L = 0}$

Historia

GH Hardy ja JE Littlewood tekivät vuonna 1916 suuren osan varhaisesta työstä, joka vahvisti lämpöydin- ja zeta -funktion säännönmuodostusmenetelmillä säänneltyjen sarjojen lähentymisen ja vastaavuuden, ja se perustuu Cahen -Mellin -integraalin soveltamiseen . Pyrkimyksenä oli saada arvot erilaisille huonosti määritellyille, ehdollisesti lähentyville summille, jotka esiintyvät numeroteoriassa .

Mitä tulee soveltamiseen fyysisten ongelmien säätelijänä , J. Stuart Dowker ja Raymond Critchley ehdottivat ennen Hawkingia (1977) vuonna 1976 zeta-funktion laillistamismenetelmää kvanttifysikaalisiin ongelmiin. Emilio Elizalde ja muut ovat myös ehdottaneet menetelmää, joka perustuu integraalien zeta -laillistamiseen , tässä on säädin ja eri integraali riippuu rajan numeroista , katso renormalisointi . Toisin kuin muut säännöllistykset, kuten ulottuvuussäätö ja analyyttinen säätö, zetan säätelyllä ei ole vasta -ehtoja ja se antaa vain rajallisia tuloksia. ${\ displaystyle \ int _ {a}^{\ infty} x^{ms} dx}$ ${\ displaystyle x^{-s}}$ ${\ displaystyle \ zeta (sm)}$ ${\ displaystyle s \ to 0}$

Katso myös

Viitteet

^ Tom M. Apostol, "Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory", "Springer-Verlag New York. (Katso luku 8.)"
^ A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti ja S. Zerbini, "Analyyttiset näkökohdat kvanttikentille", World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-364-6
^ GH Hardy ja JE Littlewood, "PanosRiemannin Zeta-funktion teoriaan jaalkuteostenjakautumisen teoriaan",Acta Mathematica,41(1916), s. 119–196. (Katso esimerkiksi lause 2.12)
Hawking, SW (1977), "Zeta funktio säännölliseksi polku integraaleja kaareva aika-avaruuden", Communications in Mathematical Physics , 55 (2): 133-148, Bibcode : 1977CMaPh..55..133H , doi : 10.1007 / BF01626516 , ISSN 0010-3616 , MR 0524257
^ V. Moretti, "Suoran z-funktion lähestymistapa ja yhden silmukan jännitystensorin renormalisointi kaarevilla avaruusajoilla,Phys. Rev.D 56, 7797(1997).
Minakshisundaram, S .; Pleijel, Å. (1949), "Jotkut Laplace-operaattorin ominaisfunktioiden ominaisuudet Riemannin jakoputkissa" , Canadian Journal of Mathematics , 1 (3): 242–256, doi : 10.4153/CJM-1949-021-5 , ISSN 0008-414X , MR 0031145
Ray, DB; Singer, IM (1971), " R- rionti ja laplaani Riemannin jakoputkissa", Advances in Mathematics , 7 (2): 145–210, doi : 10.1016/0001-8708 (71) 90045-4 , MR 0295381
"Zeta-function method for legalization" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Seeley, RT (1967), "Complex powers of an elliptic operator", julkaisussa Calderón, Alberto P. (toim.), Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Proceedings of Symposia in Puhdas matematiikka, 10 , Providence, RI: Amer. Matematiikka. Soc., S. 288–307, ISBN 978-0-8218-1410-9, MR 0237943
^ JS Dowker ja R. Critchley, Tehokas Lagrangin ja energiamomentin tensori de Sitter -tilassa,Phys. Rev.D 13, 3224(1976).

Languages

In other projects