Regolarizzazione della funzione Zeta - Zeta function regularization

Rinormalizzazione e regolarizzazione
rinormalizzazione Gruppo di rinormalizzazione Schema in shell Schema di sottrazione minima
regolarizzazione Regolarizzazione dimensionale Regolarizzazione Pauli-Villars Regolarizzazione reticolare Regolarizzazione funzione zeta Teoria delle perturbazioni causali Regolarizzazione Hadamard Regolarizzazione punto-suddivisione
v T e

In matematica e fisica teorica , la regolarizzazione della funzione zeta è un tipo di regolarizzazione o metodo di sommabilità che assegna valori finiti a somme o prodotti divergenti , e in particolare può essere utilizzata per definire determinanti e tracce di alcuni operatori autoaggiunti . La tecnica è ora comunemente applicata a problemi in fisica , ma ha le sue origini nei tentativi di dare significati precisi alle somme mal condizionate che appaiono nella teoria dei numeri .

Definizione

Esistono diversi metodi di sommazione chiamati regolarizzazione della funzione zeta per definire la somma di una serie eventualmente divergente a ₁ + a ₂ + ....

Un metodo consiste nel definire la sua somma regolarizzata zeta come ζ _A (−1) se questa è definita, dove la funzione zeta è definita per grandi Re( s ) da

${\displaystyle \zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\ cdot }$

se questa somma converge, e per continuazione analitica altrove.

Nel caso in cui a _n = n , la funzione zeta è l'ordinaria funzione zeta di Riemann . Questo metodo è stato utilizzato da Eulero per "sommare" la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ... a (−1) = -1/12.

Hawking (1977) ha mostrato che nello spazio piatto, in cui sono noti gli autovalori dei Laplaciani, la funzione zeta corrispondente alla funzione di partizione può essere calcolata esplicitamente. Si consideri un campo scalare φ contenuto in una grande scatola volume V in spazio-tempo piatto alla temperatura T  =  β ^-1 . La funzione di partizione è definita da un integrale di percorso in tutti i campi Phi sullo spazio euclideo ottenuto mettendo τ  =  esso che sono pari a zero sulle pareti della scatola e che sono periodico in τ con periodo β . In questa situazione dalla funzione di partizione calcola energia, entropia e pressione della radiazione del campo  φ . Nel caso di spazi piani gli autovalori che compaiono nelle grandezze fisiche sono generalmente noti, mentre nel caso di spazio curvo non sono noti: in questo caso sono necessari metodi asintotici.

Un altro metodo definisce il prodotto infinito eventualmente divergente a ₁ a ₂ .... come exp(−ζ′ _A (0)). Ray & Singer (1971) lo usarono per definire il determinante di un operatore autoaggiunto positivo A (il Laplaciano di una varietà Riemanniana nella loro applicazione) con autovalori a ₁ , a ₂ , ...., e in questo caso la zeta la funzione è formalmente la traccia di A ^{− s} . Minakshisundaram & Pleijel (1949) hanno mostrato che se A è il Laplaciano di una varietà Riemanniana compatta, allora la funzione zeta Minakshisundaram-Pleijel converge e ha una continuazione analitica come funzione meromorfa a tutti i numeri complessi, e Seeley (1967) ha esteso questo a pseudo ellittico -operatori differenziali A su varietà Riemanniane compatte. Quindi per tali operatori si può definire il determinante usando la regolarizzazione della funzione zeta. Vedi " torsione analitica ".

Hawking (1977) suggerì di usare questa idea per valutare gli integrali di percorso negli spaziotempi curvi. Ha studiato la regolarizzazione della funzione zeta per calcolare le funzioni di partizione per il gravitone termico e i quanti di materia in fondo curvo come sull'orizzonte dei buchi neri e sul fondo di de Sitter usando la relazione della trasformazione inversa di Mellin alla traccia del nocciolo di calore equazioni .

Esempio

Il primo esempio in cui è disponibile la regolarizzazione della funzione zeta appare nell'effetto Casimir, che è in uno spazio piatto con i contributi di massa del campo quantistico in tre dimensioni spaziali. In questo caso dobbiamo calcolare il valore della funzione zeta di Riemann a -3 , che diverge esplicitamente. Tuttavia, si può continuare analiticamente a s=-3 dove si spera non ci sia polo, dando così un valore finito all'espressione. Un esempio dettagliato di questa regolarizzazione in atto è fornito nell'articolo sull'esempio di dettaglio dell'effetto Casimir , dove la somma risultante è molto esplicitamente la funzione zeta di Riemann (e dove la continuazione analitica apparentemente giocondaria rimuove un infinito additivo, lasciando un numero finito significativo).

Un esempio di zeta-funzione regolarizzazione è il calcolo del valore di attesa di vuoto della energia di un campo particella in teoria dei campi . Più in generale, l'approccio della funzione zeta può essere utilizzato per regolarizzare l'intero tensore energia-impulso nello spaziotempo curvo.

Il valore non regolato dell'energia è dato da una sommatoria sull'energia di punto zero di tutti i modi di eccitazione del vuoto:

${\displaystyle \langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}}$

Qui, è la componente zero del tensore energia-impulso e la somma (che può essere un integrale) è intesa estendersi a tutti i modi energetici (positivi e negativi) ; il valore assoluto che ci ricorda che l'energia è considerata positiva. Questa somma, come scritto, è solitamente infinita ( è tipicamente lineare in n). La somma può essere regolarizzata scrivendola come ${\displaystyle T_{00}}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _{n }|^{-s}}$

dove s è un parametro, considerato un numero complesso . Per grandi, reali s maggiori di 4 (per lo spazio tridimensionale), la somma è manifestamente finita, e quindi può essere spesso valutata teoricamente.

La zeta-regolarizzazione è utile in quanto può essere spesso utilizzata in modo tale da preservare le varie simmetrie del sistema fisico. La regolarizzazione della funzione zeta viene utilizzata nella teoria dei campi conforme , nella rinormalizzazione e nel fissare la dimensione critica dello spaziotempo della teoria delle stringhe .

Relazione con altre regolarizzazioni

La regolarizzazione della funzione zeta è equivalente alla regolarizzazione dimensionale , vedi. Tuttavia, il vantaggio principale della regolarizzazione zeta è che può essere utilizzata ogni volta che la regolarizzazione dimensionale fallisce, ad esempio se ci sono matrici o tensori all'interno dei calcoli${\displaystyle \epsilon _{i,j,k}}$

Relazione con la serie Dirichlet

La regolarizzazione della funzione zeta fornisce una struttura analitica a qualsiasi somma su una funzione aritmetica f ( n ). Tali somme sono note come serie di Dirichlet . La forma regolarizzata

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)=\sum _{n=1}^{\infty}f(n)n^{-s}}$

converte le divergenze della somma in poli semplici sul piano s complesso . Nei calcoli numerici, la regolarizzazione della funzione zeta è inappropriata, poiché è estremamente lenta a convergere. Ai fini numerici, una somma che converge più rapidamente è la regolarizzazione esponenziale, data da

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=1}^{\infty}f(n)e^{-tn}.}$

Questa è talvolta chiamata la trasformata Z di f , dove z  = exp(− t ). La struttura analitica delle regolazioni esponenziali e zeta sono correlate. Espandendo la somma esponenziale come una serie di Laurent

${\displaystyle F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots }$

si trova che la serie zeta ha la struttura

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{sN}}+\cdots .}$

La struttura dei regolatori esponenziali e zeta è correlata mediante la trasformata di Mellin . L'uno può essere convertito nell'altro utilizzando la rappresentazione integrale della funzione Gamma :

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\,dt}$

che porta all'identità

${\displaystyle \Gamma (s){\tilde {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}F(t)\,dt}$

mettendo in relazione i regolatori esponenziali e zeta e convertendo i poli nel piano s in termini divergenti nella serie di Laurent.

Regolarizzazione del kernel di calore

La somma

${\displaystyle f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s|\omega _{n}|}}$

è talvolta chiamato un nucleo di calore o una somma regolarizzata del kernel di calore ; questo nome deriva dall'idea che a volte i possono essere intesi come autovalori del chicco di calore . In matematica, tale somma è nota come serie di Dirichlet generalizzata ; il suo uso per la media è noto come media abeliana . È strettamente correlato alla trasformata di Laplace-Stieltjes , in quanto ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)}$

dove è una funzione passo , con passi di at . Esistono numerosi teoremi per la convergenza di tale serie. Ad esempio, dal teorema di Hardy-Littlewood Tauberian, se ${\displaystyle \alpha (t)}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle t=|\omega _{n}|}$

${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \vert \sum _{k=1}^{n}a_{k}\vert }{|\omega _{n} |}}}$

allora la serie per converge nel semipiano ed è uniformemente convergente su ogni sottoinsieme compatto del semipiano . In quasi tutte le applicazioni alla fisica, si ha${\displaystyle f(s)}$${\displaystyle \Re(s)>L}$${\displaystyle \Re(s)>L}$${\displaystyle L=0}$

Storia

Gran parte dei primi lavori che stabiliscono la convergenza e l'equivalenza delle serie regolarizzate con i metodi di regolarizzazione del kernel di calore e della funzione zeta è stato svolto da GH Hardy e JE Littlewood nel 1916 e si basa sull'applicazione dell'integrale di Cahen-Mellin . Lo sforzo è stato fatto per ottenere valori per varie somme mal definite e condizionatamente convergenti che appaiono nella teoria dei numeri .

In termini di applicazione come regolatore nei problemi fisici, prima di Hawking (1977) , J. Stuart Dowker e Raymond Critchley nel 1976 proposero un metodo di regolarizzazione della funzione zeta per problemi fisici quantistici. Emilio Elizalde e altri hanno proposto anche un metodo basato sulla regolarizzazione zeta per gli integrali , qui c'è un regolatore e l'integrale divergente dipende dai numeri nel limite vedi rinormalizzazione . Inoltre, a differenza di altre regolarizzazioni come la regolarizzazione dimensionale e la regolarizzazione analitica, la regolarizzazione zeta non ha controtermini e dà solo risultati finiti. ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }x^{ms}dx}$${\displaystyle x^{-s}}$${\displaystyle \zeta (sm)}$${\displaystyle s\to 0}$

Guarda anche

• Funzione generatrice
• La formula di Perron
• rinormalizzazione
• 1 + 1 + 1 + 1 +
• 1 + 2 + 3 + 4 +
• Torsione analitica
• sommatoria Ramanujan
• Minakshisundaram-Pleijel funzione zeta
• Funzione Zeta (operatore)

Riferimenti

• ^ Tom M. Apostol, "Funzioni modulari e serie di Dirichlet in teoria dei numeri", "Springer-Verlag New York. (Vedi capitolo 8)."
• ^ A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti e S. Zerbini, "Analytic Aspects of Quantum Fields", World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-364-6
• ^ GH Hardy e JE Littlewood, "Contributi alla teoria della funzione zeta di Riemann e alla teoria della distribuzione dei numeri primi",Acta Mathematica,41(1916) pp. 119–196. (Vedi, ad esempio, il teorema 2.12)
• Hawking, SW (1977), "Regolarizzazione della funzione Zeta di integrali di percorso nello spaziotempo curvo", Communications in Mathematical Physics , 55 (2): 133-148, Bibcode : 1977CMaPh..55..133H , doi : 10.1007/BF01626516 , ISSN  0010-3616 , MR  0524257
• ^ V. Moretti, "Approccio diretto alla funzione z e rinormalizzazione del tensore di stress a un anello inspazitempocurvi",Phys. Rev.D 56, 7797(1997).
• Minakshisundaram, S.; Pleijel, Å. (1949), "Alcune proprietà delle autofunzioni dell'operatore di Laplace su varietà Riemanniane" , Canadian Journal of Mathematics , 1 (3): 242–256, doi : 10.4153/CJM-1949-021-5 , ISSN  0008-414X , MR  0031145
• raggio, DB; Singer, IM (1971), " R- torsione e il Laplaciano su varietà Riemanniane", Advances in Mathematics , 7 (2): 145–210, doi : 10.1016/0001-8708(71)90045-4 , MR  0295381
• "Metodo della funzione zeta per la regolarizzazione" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Seeley, RT (1967), "Complessi poteri di un operatore ellittico", in Calderón, Alberto P. (a cura di), Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Atti di Simposi in Matematica pura, 10 , Providence, RI: Amer. Matematica. Soc., pp. 288-307, ISBN 978-0-8218-1410-9, MR  0237943
• ^ JS Dowker e R. Critchley, Lagrangiana efficace e tensore energia-impulso nello spazio di de Sitter,Phys. Rev.D 13, 3224(1976).