Vaihefunktio - Step function

Matematiikan, joka on funktio on todellisia lukuja kutsutaan vaiheen funktio (tai portaat toiminto ), jos se voidaan kirjoittaa niin rajallinen lineaarinen yhdistelmä on -indikaattori on välein . Epävirallisesti puhuttaessa askelfunktio on paloittain vakiofunktio, jolla on vain äärimmäisen monta kappaletta.

Esimerkki vaihefunktiosta (punainen kaavio). Tämä tietty vaihefunktio on oikea-jatkuva .

Määritelmä ja ensimmäiset seuraukset

Funktiota kutsutaan vaihefunktioksi, jos se voidaan kirjoittaa ${\ displaystyle f \ kaksoispiste \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (x) = \ summa \ rajoittaa _ {i = 0} ^ {n} \ alfa _ {i} \ chi _ {A_ {i}} (x)}$, kaikille reaaliluvuille ${\ displaystyle x}$

missä , ovat todellisia lukuja, ovat välein, ja on indikaattori toiminto on : ${\ displaystyle n \ geq 0}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle \ chi _ {A}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ chi _ {A} (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x \ A \\ 0 & {\ text {if}} x \ notin A \\\ end { tapaukset}}}$

Tässä määritelmässä intervallien voidaan olettaa olevan seuraavat kaksi ominaisuutta: ${\ displaystyle A_ {i}}$

1. Välit ovat pareittain disjoint : for${\ displaystyle A_ {i} \ cap A_ {j} = \ emptyyset}$${\ displaystyle i \ neq j}$
2. Liitto väleistä on koko reaaliakselilla:${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 0} ^ {n} A_ {i} = \ mathbb {R}.}$

Itse asiassa, jos näin ei ole aluksi, voidaan valita eri joukko välejä, joille nämä oletukset pätevät. Esimerkiksi vaihefunktio

${\ displaystyle f = 4 \ chi _ {[- 5,1)} + 3 \ chi _ {(0,6)}}$

voidaan kirjoittaa muodossa

${\ displaystyle f = 0 \ chi _ {(- \ infty, -5)} + 4 \ chi _ {[- 5,0]} + 7 \ chi _ {(0,1)} + 3 \ chi _ { [1,6)} + 0 \ chi _ {[6, \ infty)}.}$

Määritelmän vaihtelut

Joskus vaaditaan, että aikavälien on oltava auki tai niiden on oltava yksittäisiä. Ehto, jonka mukaan intervallien keräämisen on oltava rajallista, hylätään usein, erityisesti koulumatematiikassa, vaikka sen on silti oltava paikallisesti rajallinen, mikä johtaa paloittain vakiofunktioiden määrittelyyn.

Esimerkkejä

Heavisiden funktio on usein käytetty vaihe-toiminto.

• Vakio funktio on triviaali esimerkki vaiheen funktio. Sitten on vain yksi väli,${\ displaystyle A_ {0} = \ mathbb {R}.}$
• Etumerkkifunktioon sgn ( x ) , joka on -1 negatiivisten lukujen ja +1 positiiviset luvut, ja on yksinkertaisin ei-vakio vaihe-toiminto.
• Heaviside funktio H ( x ) , joka on 0 negatiivisten lukujen ja 1 positiivisia lukuja, vastaa etumerkkifunktioon, jopa siirtymistä ja asteikolla alue ( ). Se on matemaattinen konsepti joitakin testi signaaleja , kuten ne, joita käytetään määrittämään askelvaste on dynaaminen systeemi .${\ displaystyle H = (\ operaattorin nimi {sgn} +1) / 2}$

Suorakulmainen funktio , seuraava yksinkertaisin askelfunktio.

• Suorakulmainen toiminto , Normalisoiduissa palikalle toiminto , mallintamiseen käytetään yksikön pulssi.

Ei-esimerkkejä

• Kokonaisluku osa toiminto ei ole askelfunktio määritelmän mukaisesti tämän artikkelin, koska se on ääretön määrä välein. Jotkut kirjoittajat määrittelevät kuitenkin myös vaihefunktiot loputtomalla aikavälillä.

Ominaisuudet

• Kahden vaiheen funktioiden summa ja tulo on jälleen vaihefunktio. Vaihefunktion tulo numerolla on myös vaihefunktio. Sellaisina vaihefunktiot muodostavat algebran reaalilukuihin nähden.
• Vaihefunktio vie vain rajallisen määrän arvoja. Jos väliajoin varten edellä määritelmän vaiheen toiminta ovat erillisiä ja niiden liitto on todellinen linja, sitten kaikille${\ displaystyle A_ {i},}$${\ displaystyle i = 0,1, \ pistettä, n}$${\ displaystyle f (x) = \ alfa _ {i}}$${\ displaystyle x \ sisään A_ {i}.}$
• Määrätyn integraalin on vaiheen funktio on paloittain lineaarinen funktio .
• Lebesgue kiinteä askelman toiminto on jossa on aikavälin pituus , ja tässä oletetaan, että kaikki välein on rajallinen pituus. Itse asiassa tämä tasa-arvo (määritelmänä tarkasteltuna) voi olla ensimmäinen askel Lebesgue-integraalin rakentamisessa.${\ displaystyle \ textstyle f = \ summa _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ chi _ {A_ {i}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ int f \, dx = \ summa _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ ell (A_ {i}),}$${\ displaystyle \ ell (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A_ {i}}$
• Diskreetti satunnaismuuttuja on joskus määritelty satunnaismuuttuja , jonka kertymäfunktio on paloittain vakio. Tässä tapauksessa se on paikallisesti vaihefunktio (globaalisti sillä voi olla loputon määrä vaiheita). Yleensä mitä tahansa satunnaismuuttujaa, jolla on vain lukemattomasti mahdollisia arvoja, kutsutaan erilliseksi satunnaismuuttujaksi, tässä tapauksessa niiden kumulatiivinen jakautumistoiminto ei välttämättä ole paikallisesti askelfunktio, koska äärettömälle alueelle voi kerääntyä äärettömän monta aikaväliä.

Katso myös

• Crenel-toiminto
• Kappaleittain määritelty toiminto
• Sigmoiditoiminto
• Yksinkertainen toiminto
• Vaiheen tunnistus
• Unit step -toiminto

Viitteet