Regularizarea funcției Zeta - Zeta function regularization

În matematică și fizică teoretică , regularizarea funcției zeta este un tip de metodă de regularizare sau sumabilitate care atribuie valori finite sumelor sau produselor divergente și, în special, poate fi utilizată pentru a defini determinanții și urmele unor operatori auto-adiacenți . Tehnica este acum aplicată în mod obișnuit problemelor din fizică , dar își are originea în încercările de a da semnificații precise sumelor prost condiționate care apar în teoria numerelor .

Definiție

Există mai multe metode de însumare diferite numite regularizarea funcției zeta pentru definirea sumei unei serii posibil divergente a ₁ + a ₂ + ....

O metodă este de a defini suma sa regularizată zeta să fie ζ _A (-1) dacă aceasta este definită, unde funcția zeta este definită pentru Re ( s ) mari de

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = {\ frac {1} {a_ {1} ^ {s}}} + {\ frac {1} {a_ {2} ^ {s}}} + \ cdots}

dacă această sumă converge și prin continuare analitică în altă parte.

În cazul în care a _n = n , funcția zeta este funcția obișnuită a Riemann zeta . Această metodă a fost utilizată de Euler pentru a „însuma” seria 1 + 2 + 3 + 4 + ... la ζ (−1) = −1/12.

Hawking (1977) a arătat că, în spațiul plat, în care sunt cunoscute valorile proprii ale laplacienilor, funcția zeta corespunzătoare funcției de partiție poate fi calculată în mod explicit. Luați în considerare un câmp scalar φ conținut într-o cutie mare de volum V în spațiu-timp plat la temperatura T = β ⁻¹ . Funcția de partiție este definită de o cale integrală peste toate câmpurile φ din spațiul euclidian obținut prin punerea τ = ea care sunt zero pe pereții casetei și care sunt periodice în τ cu perioada β . În această situație din funcția de partiție, el calculează energia, entropia și presiunea radiației câmpului φ . În cazul spațiilor plate, valorile proprii care apar în mărimile fizice sunt în general cunoscute, în timp ce în cazul spațiului curbat nu sunt cunoscute: în acest caz sunt necesare metode asimptotice.

O altă metodă definește produsul infinit posibil divergent a ₁a ₂ .... să fie exp (−ζ ′ _A (0)). Ray & Singer (1971) au folosit acest lucru pentru a defini determinantul unui operator autoadjunct pozitiv A ( Laplacianul unui distribuitor Riemannian în aplicația lor) cu valori proprii a ₁ , a ₂ , .... și, în acest caz, zeta funcția este formal urma lui A ^{- s} . Minakshisundaram și Pleijel (1949) au arătat că, dacă A este laplacianul unui distribuitor Riemannian compact, atunci funcția zeta Minakshisundaram – Pleijel converge și are o continuare analitică ca funcție meromorfă la toate numerele complexe, iar Seeley (1967) a extins acest lucru la pseudo eliptic -operatori diferențiali A pe varietăți Riemanniene compacte. Deci, pentru astfel de operatori se poate defini determinantul utilizând regularizarea funcției zeta. A se vedea „ torsiunea analitică ”.

Hawking (1977) a sugerat utilizarea acestei idei pentru a evalua integralele căii în spațiu curbat. El a studiat regularizarea funcției zeta pentru a calcula funcțiile de partiție pentru gravitonul termic și cuantele materiei în fundal curbat, cum ar fi la orizontul găurilor negre și pe fundalul de Sitter, folosind relația prin transformarea inversă a lui Mellin la urma nucleului de căldură. ecuații .

Exemplu

Primul exemplu în care este disponibilă regularizarea funcției zeta apare în efectul Casimir, care se află într-un spațiu plat cu contribuțiile masive ale câmpului cuantic în trei dimensiuni spațiale. În acest caz, trebuie să calculăm valoarea funcției zeta Riemann la -3 , care diferă în mod explicit. Cu toate acestea, poate fi continuat analitic până la s = -3 unde sperăm că nu există pol, dând astfel o valoare finită expresiei. Un exemplu detaliat al acestei regularizări la locul de muncă este dat în articolul despre exemplul detaliat al efectului Casimir , unde suma rezultată este foarte explicit funcția zeta Riemann (și unde continuarea analitică aparent legerdemain elimină un infinit aditiv, lăsând un punct fizic număr finit semnificativ).

Un exemplu de regularizare a funcției zeta este calculul valorii așteptării de vid a energiei unui câmp de particule în teoria câmpului cuantic . Mai general, abordarea funcției zeta poate fi utilizată pentru a regulariza întregul tensor energie-impuls în spațiu-timp curbat.

Valoarea nereglementată a energiei este dată de o însumare a energiei în punct zero a tuturor modurilor de excitație ale vidului:

{\ displaystyle \ langle 0 | T_ {00} | 0 \ rangle = \ sum _ {n} {\ frac {\ hbar | \ omega _ {n} |} {2}}}

Aici este componenta zero a tensorului energie-impuls și suma (care poate fi o integrală) se înțelege că se extinde asupra tuturor modurilor de energie (pozitive și negative) ; valoarea absolută ne amintește că energia este considerată pozitivă. Această sumă, așa cum este scrisă, este de obicei infinită ( este de obicei liniară în n). Suma poate fi regularizată scriind-o ca ${\ displaystyle T_ {00}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$

{\ displaystyle \ langle 0 | T_ {00} (s) | 0 \ rangle = \ sum _ {n} {\ frac {\ hbar | \ omega _ {n} |} {2}} | \ omega _ {n } | ^ {- s}}

unde s este un parametru, considerat a fi un număr complex . Pentru mare, reală s mai mare de 4 (pentru spațiul tridimensional), suma este vădit finită, și , astfel , pot fi adesea evaluate teoretic.

Regularizarea zeta este utilă deoarece poate fi adesea utilizată într-un mod astfel încât diferitele simetrii ale sistemului fizic să fie păstrate. Regularizarea funcției Zeta este utilizată în teoria câmpului conform , renormalizarea și fixarea dimensiunii critice a spațiului-timp a teoriei șirurilor .

Relația cu alte regularizări

Regularizarea funcției Zeta este echivalentă cu regularizarea dimensională , vezi. Cu toate acestea, principalul avantaj al regularizării zeta este că poate fi utilizat ori de câte ori eșuează regularizarea dimensională, de exemplu dacă există matrice sau tensori în calcule ${\ displaystyle \ epsilon _ {i, j, k}}$

Relația cu seria Dirichlet

Regularizarea funcției Zeta oferă o structură analitică oricărei sume peste o funcție aritmetică f ( n ). Astfel de sume sunt cunoscute sub numele de seria Dirichlet . Forma regularizată

{\ displaystyle {\ tilde {f}} (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) n ^ {- s}}

convertește divergențele sumei în poli simpli pe complexul s- plan. În calculele numerice, regularizarea funcției zeta este inadecvată, deoarece converge este extrem de lentă. În scopuri numerice, o sumă convergentă mai rapidă este regularizarea exponențială, dată de

{\ displaystyle F (t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) e ^ {- tn}.}

Aceasta se numește uneori transformata Z a f , unde z = exp (- t ). Structura analitică a exponențialității și a regularizărilor zeta sunt legate. Prin extinderea sumei exponențiale ca o serie Laurent

{\ displaystyle F (t) = {\ frac {a_ {N}} {t ^ {N}}} + {\ frac {a_ {N-1}} {t ^ {N-1}}} + \ cdots }

se constată că seria zeta are structura

{\ displaystyle {\ tilde {f}} (s) = {\ frac {a_ {N}} {sN}} + \ cdots.}

Structura exponențială și a regulatorilor zeta sunt legate prin intermediul transformatei Mellin . Unul poate fi convertit în celălalt folosind reprezentarea integrală a funcției Gamma :

{\ displaystyle \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {s-1} e ^ {- t} \, dt}

ceea ce duce la identitate

{\ displaystyle \ Gamma (s) {\ tilde {f}} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {s-1} F (t) \, dt}

raportând exponențialul și regulatorii zeta și convertind polii din planul s în termeni divergenți din seria Laurent.

Regularizarea miezului de căldură

Suma

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n} a_ {n} e ^ {- s | \ omega _ {n} |}}

este uneori numit miez de căldură sau sumă regularizată de miez de căldură ; acest nume provine din ideea că uneori poate fi înțeles ca valori proprii ale nucleului de căldură . În matematică, o astfel de sumă este cunoscută ca o serie generalizată de Dirichlet ; utilizarea sa pentru mediere este cunoscută ca o medie Abeliană . Acesta este strâns legat de transformarea Laplace – Stieltjes , în acest sens ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$

{\ displaystyle f (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} \, d \ alpha (t)}

unde este o funcție de pas , cu pași de la . Există o serie de teoreme pentru convergența unei astfel de serii. De exemplu, prin teorema tauberiană Hardy-Littlewood, dacă ${\ displaystyle \ alpha (t)}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle t = | \ omega _ {n} |}$

{\ displaystyle L = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log \ vert \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ vert} {| \ omega _ {n} |}}}

apoi seria pentru converge în semiplan și este uniform convergentă pe fiecare subset compact al semiplanului . În aproape toate aplicațiile la fizică, unul are ${\ displaystyle f (s)}$ ${\ displaystyle \ Re (s)> L}$ ${\ displaystyle \ Re (s)> L}$ ${\ displaystyle L = 0}$

Istorie

O mare parte din lucrările timpurii de stabilire a convergenței și echivalenței seriilor regularizate cu nucleul de căldură și metodele de regularizare a funcției zeta au fost realizate de GH Hardy și JE Littlewood în 1916 și se bazează pe aplicarea integralei Cahen-Mellin . Efortul a fost făcut pentru a obține valori pentru diferite sume neconfigurate , convergente condiționate , care apar în teoria numerelor .

În ceea ce privește aplicarea ca regulator în problemele fizice, înainte de Hawking (1977) , J. Stuart Dowker și Raymond Critchley în 1976 au propus o metodă de regularizare a funcției zeta pentru problemele fizice cuantice. Emilio Elizalde și alții au propus, de asemenea, o metodă bazată pe regularizarea zeta pentru integrale , aici este un regulator și integralul divergent depinde de numerele din limită, a se vedea renormalizarea . De asemenea, spre deosebire de alte regularizări, cum ar fi regularizarea dimensională și regularizarea analitică, regularizarea zeta nu are contrare și dă doar rezultate finite. ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} x ^ {ms} dx}$ ${\ displaystyle x ^ {- s}}$ ${\ displaystyle \ zeta (sm)}$ ${\ displaystyle s \ to 0}$

Vezi si

Referințe

^ Tom M. Apostol, "Funcții modulare și seria Dirichlet în teoria numerelor", "Springer-Verlag New York. (Vezi capitolul 8.)"
^ A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti și S. Zerbini, "Aspecte analitice ale câmpurilor cuantice", World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-364-6
^ GH Hardy și JE Littlewood, „Contribuții la teoria funcției Zeta Riemann și teoria distribuției primelor”,Acta Mathematica,41(1916) pp. 119–196. (A se vedea, de exemplu, teorema 2.12)
Hawking, SW (1977), „Regularizarea funcției Zeta a integralelor căii în spațiu-timp curbat”, Communications in Mathematical Physics , 55 (2): 133–148, Bibcode : 1977CMaPh..55..133H , doi : 10.1007 / BF01626516 , ISSN 0010-3616 , MR 0524257
^ V. Moretti, „Abordarea directă a funcției z și renormalizarea tensorului de stres cu o buclă în spațiu curbat,Rev. Phys 56, 7797(1997).
Minakshisundaram, S .; Pleijel, Å. (1949), „Unele proprietăți ale funcțiilor proprii ale operatorului Laplace pe varietăți riemanniene” , Canadian Journal of Mathematics , 1 (3): 242–256, doi : 10.4153 / CJM-1949-021-5 , ISSN 0008-414X , MR 0031145
Ray, DB; Singer, IM (1971), „ R -torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds”, Advances in Mathematics , 7 (2): 145–210, doi : 10.1016 / 0001-8708 (71) 90045-4 , MR 0295381
"Metoda funcției Zeta pentru regularizare" , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
Seeley, RT (1967), „Puteri complexe ale unui operator eliptic”, în Calderón, Alberto P. (ed.), Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Proceedings of Symposia in Matematică pură, 10 , Providență, RI: Amer. Matematica. Soc., Pp. 288-307, ISBN 978-0-8218-1410-9, MR 0237943
^ JS Dowker și R. Critchley, Lagrangian eficient și tensor de energie-impuls în spațiul de Sitter,Phys. Rev. D 13, 3224(1976).

Languages

In other projects