Regularyzacja funkcji Zeta - Zeta function regularization

W matematyce i fizyce teoretycznej , zeta funkcja regularyzacji jest rodzajem regularyzacji albo metodą summability , która przypisuje wartości w skończonych sum rozbieżne lub produktów, a w szczególności można stosować do określenia determinanty i ślady niektórych operatorów samosprzężonego . Technika ta jest obecnie powszechnie stosowana w problemach fizyki , ale ma swoje początki w próbach nadawania precyzyjnego znaczenia źle uwarunkowanym sumom pojawiającym się w teorii liczb .

Definicja

Istnieje kilka różnych metod sumowania, zwanych regularyzacją funkcji zeta, służących do definiowania sumy możliwie rozbieżnych szeregów a ₁ + a ₂ + ....

Jedną z metod jest zdefiniowanie jej uregulowanej sumy zeta jako ζ _A (−1), jeśli jest to zdefiniowane, gdzie funkcja zeta jest zdefiniowana dla dużych Re ( s ) przez

{\ Displaystyle \ zeta _ {A} (s) = {\ Frac {1} {a_ {1} ^ {s}}} + {\ Frac {1} {a_ {2} ^ {s}}} + \ cdoty }

jeśli ta suma zbiega się, i przez analityczną kontynuację gdzie indziej.

W przypadku, gdy _n = n , funkcja zeta jest zwykła funkcja zeta Riemanna . Metoda ta została użyta przez Eulera do „zsumowania” szeregu 1 + 2 + 3 + 4 + ... do ζ(−1) = -1/12.

Hawking (1977) wykazał, że w płaskiej przestrzeni, w której znane są wartości własne Laplacian, funkcja zeta odpowiadająca funkcji podziału może być obliczona w sposób jawny. Rozważmy pole skalarne φ zawarte w dużym pudełku o objętości V w płaskiej czasoprzestrzeni w temperaturze T = β ⁻¹ . Funkcja podziału jest określona przez całkę po ścieżce po wszystkich polach φ w przestrzeni euklidesowej uzyskaną przez umieszczenie τ = it , które są zerami na ściankach pudełka i które są okresowe w τ z okresem β . W tej sytuacji z funkcji podziału wylicza energię, entropię i ciśnienie promieniowania pola φ . W przypadku przestrzeni płaskich wartości własne występujące w wielkościach fizycznych są ogólnie znane, natomiast w przypadku przestrzeni zakrzywionych nie są znane: w tym przypadku potrzebne są metody asymptotyczne.

Inna metoda definiuje możliwie rozbieżny iloczyn nieskończony a ₁a ₂ .... jako exp(−ζ′ _A (0)). Ray i Singer (1971), stosuje się to określenie determinantę pozytywnej operatora samosprzężonego A (stanowiącego Laplace'a z Riemanna kolektora ich stosowania) z wartości własnych ₁ , a ₂ , ...., i w tym przypadku zeta funkcja jest formalnie śladem A ⁻^s . Minakshisundaram i Pleijel (1949) wykazali, że jeśli A jest laplacianem zwartej rozmaitości riemannowskiej, to funkcja zeta Minakshisundarama-Pleijela jest zbieżna i ma analityczną kontynuację jako funkcja meromorficzna dla wszystkich liczb zespolonych, a Seeley (1967) rozszerzył ją na pseudoeliptyczne -operatory różniczkowe A na zwartych rozmaitościach riemannowskich. Tak więc dla takich operatorów można zdefiniować wyznacznik za pomocą regularyzacji funkcji zeta. Zobacz " skręcanie analityczne " .

Hawking (1977) zasugerował wykorzystanie tego pomysłu do oceny całek po trajektoriach w zakrzywionych czasoprzestrzeniach. Studiował regularyzację funkcji zeta w celu obliczenia funkcji podziału grawitonu termicznego i kwantów materii na zakrzywionym tle, np. na horyzoncie czarnych dziur i na tle de Sittera, wykorzystując zależność przez odwrotną transformację Mellina do śladu jądra ciepła równania .

Przykład

Pierwszy przykład, w którym dostępna jest regularyzacja funkcji zeta, pojawia się w efekcie Casimira, który występuje w płaskiej przestrzeni z masowymi udziałami pola kwantowego w trzech wymiarach przestrzennych. W tym przypadku musimy obliczyć wartość funkcji zeta Riemanna w punkcie -3 , która wyraźnie się różni. Można jednak analitycznie kontynuować do s=-3, gdzie miejmy nadzieję, że nie ma bieguna, co daje skończoną wartość wyrażenia. Szczegółowy przykład tej regularyzacji w działaniu podano w artykule o szczegółowym przykładzie efektu Casimira , gdzie wynikowa suma jest bardzo wyraźnie funkcją zeta Riemanna (i gdzie pozornie legerdemain kontynuacja analityczna usuwa nieskończoność addytywną, pozostawiając fizycznie znacząca liczba skończona).

Przykładem funkcji zeta regularyzacji jest obliczenie wartość oczekiwaną próżniowej w energię pola cząstek w teorii pola kwantowej . Bardziej ogólnie, podejście funkcji zeta można wykorzystać do uregulowania całego tensora energii i pędu w zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Nieuregulowana wartość energii jest dana przez sumowanie energii punktu zerowego wszystkich trybów wzbudzenia próżni:

{\ Displaystyle \ langle 0 | T_ {00} | 0 \ rangle = \ suma _ {n} {\ Frac {\ hbar | \ omega _ {n} |} {2}}}

Tutaj jest zerowy składnik tensora energia-pęd, a suma (która może być całką) jest rozumiana jako rozciągająca się na wszystkie (dodatnie i ujemne) mody energii ; wartość bezwzględna przypominająca nam, że energia jest uważana za pozytywną. Ta suma, jak napisano, jest zwykle nieskończona ( jest zwykle liniowa w n). Sumę można uregulować , pisząc jako $T_{00}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {n}}$

{\ Displaystyle \ langle 0 | T_ {00} (s) | 0 \ rangle = \ suma _ {n} \ Frac {\ hbar | \ omega _ {n} |} {2}} | \ omega _ {n }|^{-s}}

gdzie s jest jakimś parametrem przyjmowanym za liczbę zespoloną . Dla dużych, rzeczywistych s większych niż 4 (dla przestrzeni trójwymiarowej), suma jest oczywiście skończona, a zatem często może być szacowana teoretycznie.

Regulacja zeta jest użyteczna, ponieważ często może być stosowana w taki sposób, aby zachować różne symetrie systemu fizycznego. Regularyzacja funkcji Zeta jest stosowana w konforemnej teorii pola , renormalizacji i ustalaniu krytycznego wymiaru czasoprzestrzeni teorii strun .

Stosunek do innych regularyzacji

Regularyzacja funkcji Zeta jest równoważna regularyzacji wymiarowej , zobacz. Jednak główną zaletą regularyzacji zeta jest to, że można jej używać zawsze, gdy regularyzacja wymiarowa nie powiedzie się, na przykład, jeśli w obliczeniach znajdują się macierze lub tensory $\epsilon_{i,j,k}$

Związek z serią Dirichleta

Regularyzacja funkcji zeta nadaje strukturę analityczną dowolnym sumom nad funkcją arytmetyczną f ( n ). Takie sumy są znane jako szeregi Dirichleta . Forma uregulowana

{\ Displaystyle {\ tylda {f}} (s) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) n ^ {-s}}

przekształca rozbieżności sumy na proste bieguny na płaszczyźnie zespolonej s . W obliczeniach numerycznych regularyzacja funkcji zeta jest niewłaściwa, ponieważ zbieżność jest bardzo powolna. Dla celów liczbowych, szybciej zbieżną sumą jest regularyzacja wykładnicza, podana przez

{\ Displaystyle F (t) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) e ^ {-tn}.}

Jest to czasami nazywane transformacja z z F , gdzie z = exp (- t ). Struktura analityczna regulacji wykładniczej i zeta jest ze sobą powiązana. Rozszerzając sumę wykładniczą jako szereg Laurenta

{\ Displaystyle F (t) = {\ Frac {a_ {N}} {t ^ {N}}} + {\ Frac {a_ {N-1}} {t ^ {N-1}}} + \ cdots }

okazuje się, że seria zeta ma strukturę

{\ Displaystyle {\ tylda {f}} (s) = {\ Frac {a_ {N}} {sN}} + \ cdots.}

Struktura regulatorów wykładniczych i zeta jest powiązana za pomocą transformaty Mellina . Jedno może zostać przekształcone w drugie, wykorzystując integralną reprezentację funkcji Gamma :

{\ Displaystyle \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {s-1} e ^ {-t} \ dt}

co prowadzi do tożsamości

{\ Displaystyle \ Gamma (s) {\ tylda {f}} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {s-1} F (t) \ dt}

powiązanie regulatorów wykładniczych i zeta oraz przekształcenie biegunów w płaszczyźnie s na rozbieżne terminy w szeregu Laurenta.

Regulacja jądra ciepła

Suma

{\ Displaystyle f (s) = \ suma _ {n} a_ {n} e ^ {-s | \ omega _ {n} |}}

jest czasami nazywany jądrem ciepła lub regularyzowaną sumą jądra ciepła ; nazwa ta wywodzi się z idei, że czasami można rozumieć jako wartości własne jądra ciepła . W matematyce taka suma jest znana jako uogólniony szereg Dirichleta ; jego użycie do uśredniania jest znane jako średnia abelowa . Jest to ściśle związane z transformacją Laplace'a-Stieltjes'a , w tym ${\ Displaystyle \ omega _ {n}}$

{\ Displaystyle f (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} \ d \ alfa (t)}

gdzie jest funkcją kroku , z krokami w . Istnieje szereg twierdzeń dotyczących zbieżności takiego szeregu. Na przykład przez twierdzenie Hardy'ego-Littlewooda Taubera, jeśli ${\ Displaystyle \ alfa (t)}$ $a_{n}$ ${\ Displaystyle t = | \ omega _ {n} |}$

{\ Displaystyle L = \ Limsup _ {n \ do \ infty} {\ Frac {\ log \ vert \ suma _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ vert} {| \ omega _ {n} |}}}

następnie szereg dla zbieżny w półpłaszczyźnie i jednostajnie zbieżny na każdym zwartym podzbiorze półpłaszczyzny . W prawie wszystkich zastosowaniach w fizyce trzeba $f(s)$ ${\ Displaystyle \ Re (s)> L}$ ${\ Displaystyle \ Re (s)> L}$ ${\ Displaystyle L = 0}$

Historia

Wiele wczesnych prac ustalających zbieżność i równoważność szeregów uregulowanych metodami regularyzacji jądra ciepła i funkcji zeta zostało wykonanych przez GH Hardy'ego i JE Littlewooda w 1916 roku i opiera się na zastosowaniu całki Cahena-Mellina . Podjęto wysiłek uzyskania wartości dla różnych niezdefiniowanych, warunkowo zbieżnych sum występujących w teorii liczb .

Jeśli chodzi o zastosowanie jako regulator w problemach fizycznych, przed Hawkingiem (1977) , J. Stuart Dowker i Raymond Critchley w 1976 zaproponowali metodę regularyzacji funkcji zeta dla kwantowych problemów fizycznych. Emilio Elizalde i inni również zaproponowali metodę opartą na regularyzacji zeta dla całek , tutaj jest regulator, a całka rozbieżna zależy od wartości granicznych, patrz renormalizacja . Również w przeciwieństwie do innych regularyzacji, takich jak regularyzacja wymiarowa i regularyzacja analityczna, regularyzacja zeta nie ma przeciwwskazań i daje tylko skończone wyniki. ${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} x ^ {ms} dx}$ $x^{-s}$ ${\ Displaystyle \ zeta (sm)}$ $s\do 0$

Zobacz też

Bibliografia

^ Tom M. Apostol, „Funkcje modułowe i seria Dirichleta w teorii liczb”, „Springer-Verlag New York. (Patrz rozdział 8.)”
^ A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti i S. Zerbini, "Analityczne aspekty pól kwantowych", World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-364-6
^ GH Hardy i JE Littlewood, „Wkłady do teorii funkcji Riemanna Zeta i teorii rozkładu liczb pierwszych”,Acta Mathematica,41(1916) s. 119-196. (Patrz na przykład twierdzenie 2.12)
Hawking, SW (1977), „Regularyzacja funkcji Zeta całek po ścieżce w zakrzywionej czasoprzestrzeni”, Communications in Mathematical Physics , 55 (2): 133-148, Bibcode : 1977CMaPh..55..133H , doi : 10.1007/BF01626516 , ISSN 0010-3616 , MR 0524257
^ V. Moretti, „Bezpośrednie podejście do funkcji Z i renormalizacja tensora naprężeń w jednej pętli w zakrzywionych czasoprzestrzeniach,Phys. Rev.D 56, 7797(1997).
Minakshisundaram, S.; Pleijel, Å. (1949), „Niektóre właściwości funkcji własnych operatora Laplace'a na rozmaitościach riemannowskich” , Canadian Journal of Mathematics , 1 (3): 242-256, doi : 10.4153 / CJM-1949-021-5 , ISSN 0008-414X , numer MR 0031145
Ray, DB; Singer, IM (1971), " R- skręcanie i Laplacian na rozmaitościach riemannowskich", Postępy w matematyce , 7 (2): 145-210, doi : 10.1016/0001-8708(71) 90045-4 , MR 0295381
„Metoda funkcji Zeta dla regularyzacji” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Seeley, RT (1967), „Złożone potęgi operatora eliptycznego”, w Calderón, Alberto P. (red.), Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Proceedings of Symposia w Czysta Matematyka, 10 , Providence, RI: Amer. Matematyka. Soc., s. 288-307, ISBN 978-0-8218-1410-9, numer MR 0237943
^ JS Dowker i R. Critchley, Efektywny Lagranżian i tensor energii-pędu w przestrzeni de Sittera,Phys. Rev.D 13, 3224(1976).

Languages

In other projects