Ei missään jatkuvassa toiminnassa - Nowhere continuous function

Vuonna matematiikka , joka on missään jatkuva funktio , jota kutsutaan myös kaikkialla epäjatkuva toiminto , on toiminto , joka ei ole jatkuva missään vaiheessa sen verkkotunnuksen . Jos f on toiminto todellisia lukuja reaaliluvuiksi, niin f ei ole missään jatkuva jos jokaista pistettä x on olemassa ε > 0 siten, että kutakin δ > 0 voimme löytää pisteen y siten, että 0 <| x - y | < δ ja | f ( x ) - f ( y ) | ≥ ε . Siksi riippumatta siitä, kuinka lähellä olemme mitään kiinteää pistettä, on vielä lähempänä pisteitä, joissa funktio ottaa ei-lähellä olevat arvot.

Tämän tyyppiselle toiminnalle voidaan antaa yleisempiä määritelmiä korvaamalla absoluuttinen arvo etäisyysfunktiolla metrisessä tilassa tai käyttämällä jatkuvuuden määritelmää topologisessa tilassa .

Dirichlet-toiminto

Yksi esimerkki tällaisesta funktio on indikaattori funktio on järkevä määrä , joka tunnetaan myös nimellä Dirichlet'n toiminto . Tätä funktiota merkitään I _{Q: ksi} tai 1 _{Q: ksi,} ja sillä on sekä domeeni että koodiverkko yhtä suuret kuin reaaliluvut . I _Q ( x ) on yhtä suuri kuin 1, jos x on järkevä luku ja 0, jos x ei ole järkevä.

Yleisemmin, jos E on jokin osajoukko topologinen avaruus X siten, että sekä E ja täydentää E ovat tiheä X , niin reaaliarvoinen funktio, joka saa arvon 1 E ja 0 on komplementti E on minnekään jatkuva. Tämän tyyppisiä toimintoja tutki alun perin Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Hyperrealistinen luonnehdinta

Todellinen funktio f ei ole missään vaiheessa jatkuva, jos sen luonnollisella hyperrealistisella laajennuksella on ominaisuus, että jokainen x on äärettömän lähellä y: tä siten, että ero f ( x ) - f ( y ) on tuntuva (eli ei äärettömän pieni ).

Katso myös

• Blumberg Lause  - vaikka todellinen funktio f  : ℝ → ℝ ole missään jatkuva, on tiheä osajoukko D on ℝ siten, että rajoittaminen f ja D on jatkuvaa.
• Thomaen funktio (tunnetaan myös nimellä popcorn-toiminto) - toiminto, joka on jatkuva kaikilla irrationaalisilla numeroilla ja epäjatkuva kaikissa rationaalisissa luvuissa.
• Weierstrass-toiminto  - toiminto, joka on jatkuva kaikkialla (toimialueensa sisällä) ja erotettavissa missään.

Viitteet

Ulkoiset linkit

• "Dirichlet-function" , Matematiikan tietosanakirja , EMS Press , 2001 [1994]
• Dirichlet-toiminto - MathWorldilta
• George Beck, The Wolfram Demonstrations Project, muutettu Dirichlet-toiminto arkistoitiin 2019-05-02 Wayback Machine -palvelussa .