Monitoimitoiminto - Multiplicative function

In numero teoria , joka on kerrottu funktio on aritmeettinen funktio f ( n ), joka on positiivinen kokonaisluku n kanssa ominaisuus, että f (1) = 1, ja

{\ displaystyle f (ab) = f (a) f (b)}

aina kun a ja b ovat tekijänoikeuksia .

Aritmeettisen funktion f ( n ) sanotaan olevan täysin multiplikatiivinen (tai täysin multiplikatiivinen ), jos f (1) = 1 ja f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) pätee kaikille positiivisille kokonaisluvuille a ja b , vaikka ne eivät ole tekijänoikeuksia.

Esimerkkejä

Joitakin kertoimia on määritelty kaavojen kirjoittamisen helpottamiseksi:

1 ( n ): vakiofunktio, jonka määrittelee 1 ( n ) = 1 (täysin kertolasku)
Id ( n ): identiteettitoiminto , määritelty Id ( n ) = n (täysin kertolasku)
Id _k ( n ): tehofunktiot, jotka määritellään Id _k ( n ) = n ^k mille tahansa kompleksiluvulle k (täysin kertolasku). Meillä on erityistapauksia
- Id ₀ ( n ) = 1 ( n ) ja
- Id ₁ ( n ) = Id ( n ).
ε ( n ): määritetty toiminto ε ( n ) = 1, jos n = 1 ja 0 muutoin, jota joskus kutsutaan kertolasku yksikkö dirichlet'n konvoluutio tai yksinkertaisesti yksikön toiminto (täysin multiplikatiivinen). Joskus kirjoitetaan u ( n ), mutta ei pidä sekoittaa μ ( n ).
1 _C ( n ), The osoitinmuuttujan joukon C ⊂ Z , tiettyjen asetetaan C . Indikaattoritoiminto 1 _C ( n ) on kertolasku juuri silloin, kun joukolla C on seuraava ominaisuus mille tahansa kopioluvulle a ja b : tuote ab on C: ssä vain ja vain, jos numerot a ja b ovat molemmat C: ssä . Tässä tapauksessa, jos C on joukko neliöitä, kuutiot, tai k : nnen valtuuksia, tai jos C- on joukko neliön vapaa numeroita.

Muita esimerkkejä kertofunktioista ovat monet lukuteoriassa tärkeät toiminnot, kuten:

syt ( n , k ): suurin yhteinen tekijä on n ja k , funktiona n , missä k on kiinteä kokonaisluku.
${\ displaystyle \ varphi (n)}$ : Eulerin totienttifunktio , laskemalla positiivisia kokonaislukuja jaottomia ja (mutta ei suurempi kuin) n ${\ displaystyle \ varphi}$
μ ( n ): Möbius-funktio , pariteetti (−1 parittomalle, +1 parilliselle) neliömäisten lukujen alkutekijöiden lukumäärälle; 0, jos n ei ole neliötön
σ _k ( n ): sigmafunktio , joka on summa k : nnen valtuudet kaikki positiiviset tekijät n (jossa k voi olla mikä tahansa kompleksiluku ). Meillä on erityistapauksia
- σ ₀ ( n ) = d ( n ) positiivisten jakajien lukumäärä n ,
- σ ₁ ( n ) = σ ( n ), n: n kaikkien positiivisten jakajien summa .
a ( n ): ei-isomorfisten abelilaisten ryhmien lukumäärä n .
λ ( n ): Liouville -funktio , λ ( n ) = (−1) ^{Ω ( n )} jossa Ω ( n ) on alkukertojen kokonaismäärä (laskettuna monikertaisesti) jakamalla n . (täysin moninkertainen).
γ ( n ), määritelty γ ( n ) = (−1) ^{ω (n)} , jossa additiivifunktio ω ( n ) on n: n jakavien alkulukujen lukumäärä .
τ ( n ): Ramanujan tau -funktio .
Kaikki Dirichlet -merkit ovat täysin kertojafunktioita. Esimerkiksi
- ( n / p ), Legendre -symboli , jota pidetään funktiona n, jossa p on kiinteä alkuluku .

Eräs esimerkki ei-kerrottu funktio on aritmeettinen funktio r ₂ ( n ) - useita esityksiä n kuin neliöiden summa kahden kokonaisluvun, positiivinen , negatiivinen tai nolla , missä laskemalla tavoin, käänteinen tilaus on sallittu. Esimerkiksi:

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

ja siksi r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Tämä osoittaa, että funktio ei ole kertolasku. Kuitenkin r ₂ ( n )/4 on kertolasku.

Vuonna On-Line Encyclopedia Kokonaisluku- Jaksot , arvosekvenssien on kerrottu funktio on avainsana "mult".

Katso aritmeettinen funktio joitain muita esimerkkejä ei-kertoimellisista funktioista.

Ominaisuudet

Kerroinfunktio määräytyy täysin sen arvojen perusteella alkuluvuilla , mikä on seurausta aritmeettisesta peruslauseesta . Jos siis n on eri alkulähteiden tulojen tulo, sanotaan n = p ^a q ^b ..., niin f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Tämä kertofunktioiden ominaisuus vähentää merkittävästi laskennan tarvetta, kuten seuraavissa esimerkeissä n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² :

d (144) = σ ₀ (144) = σ ₀ (2 ⁴ ) σ ₀ (3 ² ) = (1 ⁰ + 2 ⁰ + 4 ⁰ + 8 ⁰ + 16 ⁰ ) (1 ⁰ + 3 ⁰ + 9 ⁰ ) = 5,3 = 15,

σ (144) = σ ₁ (144) = σ ₁ (2 ⁴ ) σ ₁ (3 ² ) = (1 ¹ + 2 ¹ + 4 ¹ + 8 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 3 ¹ + 9 ¹ ) = 31 · 13 = 403,

σ ^* (144) = σ ^* (2 ⁴ ) σ ^* (3 ² ) = (1 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 9 ¹ ) = 17 · 10 = 170.

Samoin meillä:

{\ displaystyle \ varphi (144) = \ varphi (2^{4}) \, \ varphi (3^{2}) = 8 \ cdot 6 = 48}

Yleensä, jos f ( n ) on kertofunktio ja a , b ovat mitä tahansa kahta positiivista kokonaislukua

f ( a ) · f ( b ) = f ( gcd ( a , b )) · f ( lcm ( a , b )).

Joka täysin kerrottu funktio on homomorfismi on monoids ja määrää täysin sen rajoitus alkulukuja.

Konvoluutio

Jos f ja g ovat kaksi multiplicative toimintoja, yksi määritellään uusi kerrottu funktio f * g , dirichlet'n konvoluutio sekä f ja g , jonka

{\ displaystyle (f \,*\, g) (n) = \ summa _ {d | n} f (d) \, g \ vasen ({\ frac {n} {d}} \ oikea)}

jossa summa ulottuu kaikki positiiviset tekijät d on n . Tällä toiminnolla kaikkien kertofunktioiden joukko muuttuu abelilaiseksi ryhmäksi ; neutraalialkio on ε . Konvoluutio on kommutoiva, assosiatiivinen ja jakautuva lisäyksen lisäksi.

Yllä mainittujen kertofunktioiden välisiä suhteita ovat:

μ * 1 = ε ( Möbiuksen käänteiskaava )
( μ Id _k ) * Id _k = ε (yleistetty Möbius -inversio)
${\ displaystyle \ varphi}$ * 1 = Id
d = 1 * 1
σ = Id * 1 = *

d

{\ displaystyle \ varphi}

σ _k = Id _k * 1

Id = * 1 = σ * μ

{\ displaystyle \ varphi}

Id _k = σ _k * μ

Dirichlet -konvoluutio voidaan määrittää yleisille aritmeettisille funktioille, ja se tuottaa rengasrakenteen, Dirichlet -renkaan .

Dirichlet'n konvoluutio kahden multiplicative toimintoja on jälleen multiplikatiivinen. Todisteen tästä tosiasiasta antaa seuraava laajennus suhteellisen hyväksi : ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z} ^{+}}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} (f \ ast g) (ab) & = \ summa _ {d | ab} f (d) g \ vasen ({\ frac {ab} {d}} \ oikea) \ \ & = \ summa _ {d_ {1} | a} \ summa _ {d_ {2} | b} f (d_ {1} d_ {2}) g \ vasen ({\ frac {ab} {d_ {1 } d_ {2}}} \ oikea) \\ & = \ summa _ {d_ {1} | a} f (d_ {1}) g \ vasen ({\ frac {a} {d_ {1}}} \ oikea) \ kertaa \ summa _ {d_ {2} | b} f (d_ {2}) g \ vasen ({\ frac {b} {d_ {2}}} \ oikea) \\ & = (f \ ast g) (a) \ cdot (f \ ast g) (b). \ end {kohdistettu}}}

Dirichlet -sarja joillekin kertoimille

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ mu (n)} {n^{s}}} = {\ frac {1} {\ zeta (s)}}}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ varphi (n)} {n^{s}}} = {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)} }}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {d (n)^{2}} {n^{s}}} = {\ frac {\ zeta (s)^{4}} {\ zeta (2s)}}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {2^{\ omega (n)}} {n^{s}}} = {\ frac {\ zeta (s)^{2}} { \ zeta (2s)}}}$

Lisää esimerkkejä on Dirichlet -sarjan artikkelissa .

Monitoiminto yli $F q [X]$

Olkoon $A = F q [X]$ , polynomirengas äärellisen kentän päällä q -elementteillä. A on tärkein ideaalialue, ja siksi A on ainutlaatuinen tekijäalue .

Monimutkainen-funktio on kutsutaan multiplikatiivinen jos , kun f ja g ovat suhteellisen prime . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda (fg) = \ lambda (f) \ lambda (g)}$

Zeta -toiminto ja Dirichlet -sarja $F q [X]$

Olkoon h polynomi -aritmeettinen funktio (eli funktio A: n yli olevien moni -polynomien joukossa ). Sen vastaava Dirichlet -sarja määritellään olevan

{\ displaystyle D_ {h} (s) = \ summa _ {f {\ text {monic}}} h (f) | f |^{-s},}

minne asettaa jos ja muuten. ${\ displaystyle g \ in A,}$ ${\ displaystyle | g | = q^{\ deg (g)}}$ ${\ displaystyle g \ neq 0,}$ ${\ displaystyle | g | = 0}$

Polynomi -zeta -funktio on silloin

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ summa _ {f {\ text {monic}}} | f |^{-s}.}

Samanlainen kuin $N:$ n tilanteessa , jokaisella kertojafunktion h Dirichlet -sarjalla on tuoteesitys (Euler -tuote):

{\ displaystyle D_ {h} (s) = \ prod _ {P} \ left (\ sum _ {n \ mathop {=} 0}^{\ infty} h (P^{n}) | P |^{ -sn} \ oikea),}

jossa tuote kulkee kaikkien moni -redusoitumattomien polynomien P yli . Esimerkiksi zeta -funktion tuotekuvaus on sama kuin kokonaisluvut:

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ prod _ {P} (1- | P |^{-s})^{-1}.}

Toisin kuin klassinen zeta -toiminto , se on yksinkertainen järkevä funktio: ${\ displaystyle \ zeta _ {A}}}$

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ summa _ {f} | f |^{-s} = \ summa _ {n} \ summa _ {\ deg (f) = n} q^{- sn} = \ summa _ {n} (q^{n-sn}) = (1-q^{1-s})^{-1}.}

Samalla tavalla, jos f ja g ovat kaksi polynomi laskutoimitustilaan, yksi määritellään f * g , dirichlet'n konvoluutio sekä f ja g , jonka

{\ displaystyle {\ begin {aligned} (f*g) (m) & = \ summa _ {d \ mid m} f (d) g \ vasen ({\ frac {m} {d}} \ oikea) \ \ & = \ summa _ {ab = m} f (a) g (b), \ loppu {tasattu}}}

jossa summa on kaikkien monic jakajia d ja m , tai vastaavasti kaikkien parien ( , b ) on monic polynomien, joiden tuote on m . Identiteetti pysyy edelleen. ${\ displaystyle D_ {h} D_ {g} = D_ {h*g}}$

Katso myös

Viitteet

Katso luku 2 Apostol Tom M. (1976), Introduction to analyyttinen lukuteoria , Yliopisto tekstit matematiikan, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0335.10001

Ulkoiset linkit

Planeetta Matematiikka

Languages

In other projects

Monitoimitoiminto - Multiplicative function

Sisällys

Esimerkkejä

Ominaisuudet

Konvoluutio

Dirichlet -sarja joillekin kertoimille

Monitoiminto yli $F q [X]$

Zeta -toiminto ja Dirichlet -sarja $F q [X]$

Katso myös

Viitteet

Ulkoiset linkit

Languages

In other projects

Monitoimitoiminto - Multiplicative function

Esimerkkejä

Ominaisuudet

Konvoluutio

Dirichlet -sarja joillekin kertoimille

Monitoiminto yli F q [ X ]

Zeta -toiminto ja Dirichlet -sarja F q [ X ]

Katso myös

Viitteet

Ulkoiset linkit

Monitoiminto yli $F q [X]$

Zeta -toiminto ja Dirichlet -sarja $F q [X]$