Chebyshev-toiminto - Chebyshev function

On matematiikka , Chebyshev toiminto on joko kahden liittyviä toimintoja. Ensimmäinen Chebyshev funktio θ ( x ) tai θ ( x ) saadaan

${\ displaystyle \ vartheta (x) = \ summa _ {p \ leq x} \ loki p}$

jossa tarkoittaa luonnollista logaritmia , jolloin summa ulottuu kaikkien alkulukujen p yli, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin x . ${\ displaystyle \ log}$

Toinen Chebyshev funktio ψ ( x ) on määritelty samalla, jossa summa, joka ulottuu kaikkien prime valtuudet enintään  x

${\ displaystyle \ psi (x) = \ summa _ {k \ sisään \ mathbb {N}} \ summa _ {p ^ {k} \ leq x} \ log p = \ summa _ {n \ leq x} \ lambda (n) = \ summa _ {p \ leq x} \ vasen \ lfloor \ log _ {p} x \ right \ rfloor \ log p,}$

missä Λ on von Mangoldt-funktio . Chebyshev toiminnot, erityisesti toinen ψ ( x ) , käytetään usein todisteita, jotka liittyvät alkulukuja , koska se on tyypillisesti helpompi työskennellä niiden kanssa kuin alkulukufunktio , π ( x ) (katso tarkka kaava , alla.) Molemmat Chebyshev-funktiot ovat asymptoottisia  x: lle , lauseke, joka vastaa alkulukulainetta .

Molemmat toiminnot on nimetty Pafnuty Chebyshevin kunniaksi .

Ihmissuhteet

Toinen Chebyshev-funktio voidaan nähdä liittyvän ensimmäiseen kirjoittamalla se nimellä

${\ displaystyle \ psi (x) = \ summa _ {p \ leq x} k \ log p}$

missä k on yksilöllinen kokonaisluku siten, että p ^k ≤ x ja x < p ^{k + 1} . Arvot k annetaan OEIS :  A206722 . Suoremman suhteen antaa

${\ displaystyle \ psi (x) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vartheta \ vasen (x ^ {\ frac {1} {n}} \ oikea).}$

Huomaa, että tällä viimeisellä summalla on vain rajallinen määrä ei-katoavia termejä, kuten

${\ displaystyle \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right) = 0 \ quad {\ text {for}} \ quad n> \ log _ {2} x \ = {\ frac {\ log x} {\ log 2}}.}$

Toinen Chebyshev-funktio on kokonaislukujen 1 -  n vähiten yhteisen kerrannaisen logaritmi .

${\ displaystyle \ operaattorin nimi {lcm} (1,2, \ pisteet, n) = e ^ {\ psi (n)}.}$

Arvot lcm (1,2, ..., n ) on kokonaisluku muuttuja n on annetaan OEIS :  A003418 .

Asymptootit ja rajat

Chebyshev-funktioille tunnetaan seuraavat rajat: (näissä kaavoissa p _k on k : n alkuluku p ₁ = 2 , p ₂ = 3 jne.)

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ vartheta (p_ {k}) & \ geq k \ left (\ log k + \ log \ log k-1 + {\ frac {\ log \ log k-2.050735} {\ log k}} \ oikea) && {\ teksti {for}} k \ geq 10 ^ {11}, \\ [8px] \ vartheta (p_ {k}) & \ leq k \ vasen (\ log k + \ log \ log k-1 + {\ frac {\ log \ log k-2} {\ log k}} \ oikea) && {\ text {for}} k \ geq 198, \\ [8px] | \ vartheta (x) - x | & \ leq 0.006788 {\ frac {x} {\ log x}} && {\ text {for}} x \ geq 10 \, 544 \, 111, \\ [8px] | \ psi (x) -x | & \ leq 0.006409 {\ frac {x} {\ log x}} && {\ text {for}} x \ geq e ^ {22}, \\ [8px] 0.9999 {\ sqrt {x}} & <\ psi (x) - \ vartheta (x) <1,00007 {\ sqrt {x}} + 1,78 {\ sqrt [{3}] {x}} && {{text {for}} x \ geq 121. \ end {tasattu }}}$

Lisäksi Riemannin hypoteesin mukaan

${\ displaystyle {\ begin {aligned} | \ vartheta (x) -x | & = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \\ | \ psi ( x) -x | & = O \ vasen (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ oikea) \ end {tasattu}}}$

mihin tahansa ε > 0 .

Sekä ϑ ( x ): lle että ψ ( x ): lle on olemassa ylärajat siten, että

${\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ vartheta (x) & <1.000028x \\\ psi (x) & <1.03883x \ end {tasattu}}}$

mihin tahansa arvoon x > 0 .

Selitys vakiosta 1,03883 annetaan osoitteessa OEIS :  A206431 .

Tarkka kaava

Vuonna 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt osoittautui nimenomaisen lauseke varten ψ ( x ) summana yli nontrivial nollat Riemannin Zeta funktio :

${\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = x- \ summa _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} - {\ frac {\ zeta '(0)} {\ zeta (0)}} - {\ tfrac {1} {2}} \ loki (1-x ^ {- 2}).}$

(Numeerinen arvo ζ ′ (0)/ζ (0)on log (2π) .) Täällä ρ kulkee zeta-funktion ei-triviaalisten nollien yli, ja ψ ₀ on sama kuin ψ , paitsi että hypyn epäjatkuvuuksissa (päävoimissa) se vie arvon puoliväliin arvojen vasemmalle puolelle ja oikea:

${\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ vasen (\ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) + \ summa _ {n <x} \ Lambda (n) \ oikea) = {\ aloita {tapaukset} \ psi (x) - {\ tfrac {1} {2}} \ Lambda (x) & x = 2,3,4,5,7,8,9 , 11,13,16, \ pistettä \\ [5px] \ psi (x) ja {\ mbox {muuten.}} \ End {tapauksissa}}}$

Alkaen Taylorin sarja varten logaritmi , viimeinen termi nimenomaisen kaavan voidaan ymmärtää summattux ^ω/ωzeta-funktion triviaalien nollien yli, ω = −2, −4, −6, ... , ts.

${\ displaystyle \ summa _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {- 2k}} {- 2k}} = {\ tfrac {1} {2}} \ loki \ vasen (1- x ^ {- 2} \ oikea).}$

Samoin ensimmäinen termi, x =x ¹/1, vastaa zeta-funktion yksinkertaista napaa kohdassa 1. Se on napa eikä nolla, mikä tarkoittaa termin päinvastaista merkkiä.

Ominaisuudet

Erhard Schmidtistä johtuvassa lauseessa todetaan, että joillekin nimenomaiselle positiiviselle vakiolle K on äärettömän monta luonnollista lukua x , jotka

${\ displaystyle \ psi (x) -x <-K {\ sqrt {x}}}$

ja äärettömän monta luonnollista lukua x sellaista

${\ displaystyle \ psi (x) -x> K {\ sqrt {x}}.}$

In little- o notaatio , voidaan kirjoittaa edellä

${\ displaystyle \ psi (x) -x \ neq o \ vasen ({\ sqrt {x}} \ oikea).}$

Hardy ja Littlewood osoittavat vahvemman tuloksen

${\ displaystyle \ psi (x) -x \ neq o \ left ({\ sqrt {x}} \ log \ log \ log x \ right).}$

Suhde primaareihin

Ensimmäinen Chebyshev-toiminto on logaritmi primorial on x , merkitään x # :

${\ displaystyle \ vartheta (x) = \ summa _ {p \ leq x} \ log p = \ log \ prod _ {p \ leq x} p = \ log \ vasen (x \ # \ oikea).}$

Tämä osoittaa, että primaari x # on asymptoottisesti yhtä suuri kuin e ^{(1 + o (1)) x} , missä " o " on pieni o- merkintä (katso iso O- notaatio ) ja määrittää yhdessä alkuluvulauseen asymptoottisen käyttäytymisen p _n # .

Suhde alkulaskentatoimintoon

Chebyshev-funktio voidaan liittää alkulaskentatoimintoon seuraavasti. Määritellä

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ summa _ {n \ leq x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.}$

Sitten

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ summa _ {n \ leq x} \ Lambda (n) \ int _ {n} ^ {x} {\ frac {dt} {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {1} {\ log x}} \ summa _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ psi (t) \, dt } {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {\ psi (x)} {\ log x}}.}$

Siirtyminen Π on alkulukufunktio , π , läpi tehdään yhtälö

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ pi (x) + {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ vasen ({\ sqrt {x}} \ oikea) + {\ tfrac {1} {3} } \ pi \ vasen ({\ sqrt [{3}] {x}} \ oikea) + \ cdots}$

Varmasti π ( x ) ≤ x , joten lähentämisen vuoksi tämä viimeinen suhde voidaan muotoilla uudelleen muodossa

${\ displaystyle \ pi (x) = \ Pi (x) + O \ vasen ({\ sqrt {x}} \ oikea).}$

Riemannin hypoteesi

Riemannin hypoteesi todetaan, että kaikki triviaali nollia Zeta funktio on todellinen osa1/2. Tässä tapauksessa | x ^ρ | = √ x , ja voidaan osoittaa, että

${\ displaystyle \ summa _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} = O \ vasen ({\ sqrt {x}} \ log ^ {2} x \ oikea).}$

Edellä esitetyllä tavalla tämä tarkoittaa

${\ displaystyle \ pi (x) = \ operaattorin nimi {li} (x) + O \ vasen ({\ sqrt {x}} \ log x \ oikea).}$

Hyvä todiste siitä, että hypoteesi voi olla totta, tulee Alain Connesin ja muiden ehdottamasta tosiasiasta , että jos erotamme von Mangoldtin kaavan x : n suhteen, saadaan x = e ^u . Manipuloimalla meillä on "Trace-kaava" Hamiltonin operaattorin tyydyttävän eksponentin suhteen

${\ displaystyle \ left. \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + i {\ hat {H}} \ right) \ right | n \ geq \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE_ {n} \ oikea) = 0,}$

ja

${\ displaystyle \ summa _ {n} e ^ {iuE_ {n}} = Z (u) = e ^ {\ frac {u} {2}} - e ^ {- {\ frac {u} {2}} } {\ frac {d \ psi _ {0}} {du}} - {\ frac {e ^ {\ frac {u} {2}}} {e ^ {3u} -e ^ {u}}} = \ operaattorin nimi {Tr} \ vasen (e ^ {iu {\ hat {H}}} \ oikea),}$

missä "trigonometrisen summan" voidaan katsoa olevan operaattorin ( tilastomekaniikan ) e ^{iuĤ jälki} , mikä on totta vain, jos ρ =1/2+ iE ( n ) .

Puoliklassista lähestymistapaa käyttämällä H = T + V -potentiaali tyydyttää:

${\ displaystyle {\ frac {Z (u) u ^ {\ frac {1} {2}}} {\ sqrt {\ pi}}} \ sim \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i \ vasen (uV (x) + {\ frac {\ pi} {4}} \ oikea)} \, dx}$

jossa Z ( u ) → 0 on  u → ∞ .

ratkaisu tälle epälineaariselle integraaliselle yhtälölle voidaan saada (mm.)

${\ displaystyle V ^ {- 1} (x) \ approx {\ sqrt {4 \ pi}} \ cdot {\ frac {d ^ {\ frac {1} {2}}} {dx ^ {\ frac {1 } {2}}}} N (x)}$

potentiaalin käänteisen arvon saamiseksi:

${\ displaystyle \ pi N (E) = \ operaattorin nimi {Arg} \ xi \ vasen ({\ tfrac {1} {2}} + iE \ oikea).}$

Tasoitustoiminto

Tasoitusfunktio määritellään

${\ displaystyle \ psi _ {1} (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ psi (t) \, dt.}$

Voidaan osoittaa, että

${\ displaystyle \ psi _ {1} (x) \ sim {\ frac {x ^ {2}} {2}}.}$

Variaatioformulaatio

Chebyshev-funktio, joka on arvioitu arvolla x = e ^t, minimoi toiminnallisen

${\ displaystyle J [f] = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (s) \ zeta '(s + c)} {\ zeta (s + c) (s + c)} } \, ds- \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! \! \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (s) f (t) \, ds \, dt,}$

niin

${\ displaystyle f (t) = \ psi \ vasen (e ^ {t} \ oikea) e ^ {- ct} \ quad {\ text {for}} c> 0.}$

Huomautuksia

• ^ Pierre Dusart, "Arviot joistakin toiminnoista primaareihin ilman RH: ta". arXiv:1002,0442
• ^ Pierre Dusart, "Terävämmät rajatψ,θ,π, p _{k: lle} ", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. Lyhennetty versio ilmestyi nimellä " K : n alkuarvo on suurempi kuin k (log k + log log k - 1),kun k ≥ 2",Mathematics of Computation, Voi. 68, nro 225 (1999), s. 411–415.
• ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze",Mathematische Annalen,57(1903), s. 195–204.
• ^ G .H. Hardy ja JE Littlewood, "Contributions to theory of the Riemann Zeta-Function and Theory of the Distribution Primes",Acta Mathematica,41(1916), s. 119–196.
• ^ Davenport, Harold(2000). Vuonna Multiplikatiivinen Lukuteoria . Springer. s. 104.ISBN 0-387-95097-4. Google-teoshaku.

Viitteet

• Apostol, Tom M. (1976), Johdatus analyyttiseen lukuteoriaan , Matematiikan perustutkintotekstit, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929 , Zbl  0335.10001

Ulkoiset linkit

• Weisstein, Eric W. "Chebyshev toimii" . MathWorld .
• "Mangoldtin summatoiminto" . PlaneettaMath .
• "Tšebyshevin toiminnot" . PlaneettaMath .
• Riemannin nimenomainen kaava , kuvia ja elokuvia