Matrice diagonale

In algebra lineare, una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale sono zero. Le matrici diagonali sono quindi determinate unicamente specificando le loro diagonali principali.

Per le matrici diagonali, la moltiplicazione della matrice e la formazione dell'inverso possono essere calcolate più facilmente che con una matrice completamente popolata. Se una mappatura lineare è rappresentata su uno spazio vettoriale a dimensione finita con l'ausilio di una matrice diagonale, gli autovalori della mappatura possono essere letti direttamente sulla base del teorema spettrale .

Una matrice quadrata è detta diagonalizzabile se esiste una matrice diagonale a cui è simile , cioè se esiste una matrice regolare tale che o vale. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D_ {A}}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle D_ {A} = S ^ {- 1} AS}$${\ displaystyle SD_ {A} = AS}$

definizione

Una matrice quadrata su un corpo (ad esempio i numeri reali ) ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle D = {\ begin {pmatrix} d_ {11} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & d_ {22} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\ 0 & \ cdots & 0 & d_ {nn} \ end {pmatrix}}}$,

gli elementi con tutti uguali a zero, cioè matrice diagonale. Spesso scrivi per questo ${\ displaystyle d_ {ij} \ in K}$${\ displaystyle i \ neq j}$

${\ displaystyle D = \ operatorname {diag} (d_ {1}, d_ {2}, \ dotsc, d_ {n}): = {\ begin {pmatrix} d_ {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & d_ {2} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\ 0 & \ cdots & 0 & d_ {n} \ end {pmatrix}}}$.

Esempi

Esempio numerico

La matrice ${\ displaystyle 3 \ times 3}$

${\ displaystyle \ operatorname {diag} \ left (1,3,5 \ right) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \ end {pmatrix} }}$

è una matrice diagonale.

Matrici diagonali speciali

• La matrice identità è un caso speciale di matrice diagonale in cui tutti gli elementi della diagonale principale hanno il valore .${\ displaystyle 1}$
• La matrice quadrata zero è un caso speciale di matrice diagonale in cui tutti gli elementi della diagonale principale hanno il valore .${\ displaystyle 0}$
• Se tutti i numeri sulla diagonale principale corrispondono in una matrice diagonale, si parla anche di matrici scalari . Quindi le matrici scalari sono multipli scalari della matrice identità . Il gruppo delle matrici scalari diversi dalla matrice zero è il centro del gruppo lineare generale .${\ displaystyle I_ {n} = \ operatorname {diag} (1,1, \ dotsc, 1)}$ ${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}$

Proprietà delle matrici diagonali

• Le rispettive matrici diagonali formano un commutativa sub-ring della anello di quadrati matrici.${\ displaystyle n \ times n}$
• Il determinante di una matrice diagonale è il prodotto delle voci sulla diagonale principale:

  ${\ Displaystyle \ det \ left (\ operatorname {diag} \ left (d_ {1}, d_ {2}, \ dotsc, d_ {n} \ right) \ right) = d_ {1} \ cdot d_ {2} \ dotsm d_ {n} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} d_ {i}}$

• L' aggiunto di una matrice diagonale è anche di nuovo una matrice diagonale.
• Le matrici diagonali sono simmetriche e normali . Se hanno voci reali, sono anche autoaggiunte .

Operazioni aritmetiche

Addizione di matrici, moltiplicazione scalare e moltiplicazione di matrici, trasposizione

L' addizione di matrici , la moltiplicazione scalare e la moltiplicazione di matrici sono molto semplici con matrici diagonali:

${\ Displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n}) \ cdot \ operatorname {diag} (b_ {1}, b_ {2}, \ dots, b_ { n}) = \ operatorname {diag} (a_ {1} \ cdot b_ {1}, a_ {2} \ cdot b_ {2}, \ dots, a_ {n} \ cdot b_ {n})}$

La moltiplicazione di una matrice da sinistra per una matrice diagonale corrisponde alla moltiplicazione delle righe da con le voci diagonali. La moltiplicazione corrispondente da destra corrisponde alla moltiplicazione delle colonne di con le voci diagonali. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Per ogni matrice diagonale , vale a simmetricamente è, quindi applica: .${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D = D ^ {T}}$

Calcolo dell'inverso

Una matrice diagonale può essere invertita se e solo se nessuna delle voci si trova sulla diagonale principale . La matrice inversa viene quindi calcolata come segue: ${\ displaystyle 0}$

${\ Displaystyle \ operatorname {diag} \ left (d_ {1}, d_ {2}, \ dots, d_ {n} \ right) ^ {- 1} = \ operatorname {diag} \ left (d_ {1} ^ {-1}, d_ {2} ^ {- 1}, \ dots, d_ {n} ^ {- 1} \ right)}$

Quanto segue si applica alla pseudo inversa di qualsiasi matrice diagonale:

${\ Displaystyle \ operatorname {diag} \ left (d_ {1}, d_ {2}, \ dots, d_ {n} \ right) ^ {+} = \ operatorname {diag} \ left (d_ {1} ^ { +}, d_ {2} ^ {+}, \ dots, d_ {n} ^ {+} \ right)}$

con per e per , . Così, per esempio, in un esistente decomposizione in valori singolari , la pseudo-inversa può essere calcolata in modo molto efficiente: .${\ displaystyle d_ {i} ^ {+} = d_ {i} ^ {- 1}}$${\ displaystyle d_ {i} \ neq 0}$${\ displaystyle d_ {i} ^ {+} = 0}$${\ displaystyle d_ {i} = 0}$${\ displaystyle i = 1, \ dotsc, n}$${\ displaystyle A ^ {+}}$${\ displaystyle A ^ {+} = V \ Sigma ^ {+} U ^ {T}}$

Matrici diagonali invertibili

Nella teoria del gruppo algebrico un gruppo è un prodotto finito di copie del gruppo moltiplicativo di un corpo isomorfo è come toro algebrico singolarmente o come toro , rispettivamente.

Come si può facilmente vedere, il prodotto delle copie del gruppo moltiplicativo del corpo è isomorfo al gruppo delle matrici diagonali invertibili sul corpo . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle K}$

Guarda anche

• Matrice antidiagonale
• Matrice diagonale a blocchi
• Matrice delle bande
• Trigonalizzazione

link internet

Wikizionario: matrice diagonale  - spiegazioni di significati, origini delle parole, sinonimi, traduzioni

• Diagonalizzare una matrice (esempio)

Prove individuali

1. ↑ Uwe Storch , Hartmut Wiebe: Textbook of Mathematics, Volume 2: Linear Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim et al.1990 , ISBN 3-411-14101-8 .
2. ↑ Horst Stöcker (a cura di): libro tascabile di formule matematiche e metodi moderni. 4a, edizione corretta, ristampa. Tedesco, Francoforte sul Meno 2008, ISBN 978-3-8171-1812-0 , p. 363 .
3. ^ Modellazione matematica di sistemi continui , p. 31 f.