Fonction triangulaire - Triangular function

Fonction triangulaire exemplaire

Une fonction triangulaire (également connu en tant que fonction de triangle , la fonction de chapeau , ou fonction de la tente ) est une fonction dont le graphe prend la forme d'un triangle. Souvent , cela est un triangle isocèle de hauteur 1 et la base 2 dans ce cas , elle est appelée la fonction triangulaire. Les fonctions triangulaires sont utiles dans le traitement du signal et l' ingénierie des systèmes de communication en tant que représentations de signaux idéalisés, et la fonction triangulaire spécifiquement en tant que fonction de noyau de transformation intégrale à partir de laquelle des signaux plus réalistes peuvent être dérivés, par exemple dans l' estimation de la densité du noyau . Il a également des applications dans la modulation d'impulsion-code en tant que forme d'impulsion pour transmettre des signaux numériques et en tant que filtre adapté pour recevoir les signaux. Il est également utilisé pour définir la fenêtre triangulaire parfois appelée fenêtre de Bartlett .

Définitions

La définition la plus courante est celle d'une fonction par morceaux :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\ gros (}1-|x|,0{\grand )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{autrement}}.\ \\end{cas}}\end{aligné}}}$

De manière équivalente, elle peut être définie comme la convolution de deux fonctions rectangulaires unitaires identiques :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{ \infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}}$

La fonction triangulaire peut également être représentée comme le produit des fonctions de valeur rectangulaire et absolue :

${\displaystyle \operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.}$

Fonction triangulaire alternative

Notez que certains auteurs définissent plutôt la fonction triangle pour avoir une base de largeur 1 au lieu de largeur 2:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\ grand (}1-2|x|,0{\grand )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\ \0&{\text{autrement}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Dans sa forme la plus générale, une fonction triangulaire est n'importe quelle B-spline linéaire :

${\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j -1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j +1};\\0&{\text{autrement}}.\end{cases}}}$

Alors que la définition en haut est un cas particulier

${\displaystyle \Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),}$

où , , et . ${\style d'affichage x_{j-1}=-1}$${\style d'affichage x_{j}=0}$${\style d'affichage x_{j+1}=1}$

Une B-spline linéaire est identique à une fonction linéaire continue par morceaux , et cette fonction triangulaire générale est utile pour définir formellement comme ${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \operatorname {tri} _{j}(x),}$

où pour tout entier . La fonction linéaire par morceaux passe par chaque point exprimé en coordonnées avec une paire ordonnée , c'est-à-dire ${\style d'affichage x_{j}<x_{j+1}}$${\style d'affichage j}$ ${\style d'affichage (x_{j},y_{j})}$

${\style d'affichage f(x_{j})=y_{j}}$.

Mise à l'échelle

Pour tout paramètre : ${\style d'affichage a\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1 }{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a }}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{autrement}}.\end {cas}}\end{aligné}}}$

transformée de Fourier

La transformée est facilement déterminée en utilisant la propriété de convolution des transformées de Fourier et la transformée de Fourier de la fonction rectangulaire :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t) \}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned }}}$

où est la fonction sinus normalisée . ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}$

Voir également

• Fonction de Källén , également appelée fonction triangulaire
• Plan de la tente
• Distribution triangulaire
• Onde triangulaire , une fonction périodique linéaire par morceaux
• Fonctions trigonométriques

Les références