Треугольная функция - Triangular function

Примерная треугольная функция

Треугольная функция (также известная как функции треугольника , функция шлема или функции палаточных ) представляет собой функцию, график которой имеет форму треугольника. Часто это равнобедренный треугольник высоты 1 и основание 2 , в этом случае он упоминается как в треугольной функции. Треугольные функции полезны при обработке сигналов и проектировании систем связи как представления идеализированных сигналов, а треугольная функция, в частности, как функция ядра интегрального преобразования, из которой могут быть получены более реалистичные сигналы, например, при оценке плотности ядра . Он также может применяться в импульсно-кодовой модуляции в качестве формы импульса для передачи цифровых сигналов и в качестве согласованного фильтра для приема сигналов. Он также используется для определения треугольного окна, которое иногда называют окном Бартлетта .

Определения

Наиболее распространенное определение - это кусочная функция:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tri} (x) = \ Lambda (x) \ & {\ overset {\ underset {\ text {def}} {}} {=}} \ \ max {\ big (} 1- | x |, 0 {\ big)} \\ & = {\ begin {cases} 1- | x |, & | x | <1; \\ 0 & {\ text {else}}. \ \\ конец {случаи}} \ конец {выровнены}}}$

Эквивалентно, это может быть определено как свертка двух идентичных единичных прямоугольных функций :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tri} (x) & = \ operatorname {rect} (x) * \ operatorname {rect} (x) \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} \ operatorname {rect} (x- \ tau) \ cdot \ operatorname {rect} (\ tau) \, d \ tau. \\\ конец {выровнено}}}$

Треугольная функция также может быть представлена ​​как произведение прямоугольной функции и функции абсолютного значения :

${\ displaystyle \ operatorname {tri} (x) = \ operatorname {rect} (x / 2) {\ big (} 1- | x | {\ big)}.}$

Альтернативная функция треугольника

Обратите внимание, что некоторые авторы вместо этого определяют функцию треугольника, чтобы иметь основание шириной 1 вместо ширины 2:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tri} (2x) = \ Lambda (2x) \ & {\ overset {\ underset {\ text {def}} {}} {=}} \ \ max {\ big (} 1-2 | x |, 0 {\ big)} \\ & = {\ begin {cases} 1-2 | x |, & | x | <{\ tfrac {1} {2}}; \ \ 0 & {\ text {иначе}}. \\\ end {case}} \ end {align}}}$

В самом общем виде треугольная функция - это любой линейный B-сплайн :

${\ displaystyle \ operatorname {tri} _ {j} (x) = {\ begin {case} (x-x_ {j-1}) / (x_ {j} -x_ {j-1}), & x_ {j -1} \ leq x <x_ {j}; \\ (x_ {j + 1} -x) / (x_ {j + 1} -x_ {j}), & x_ {j} \ leq x <x_ {j +1}; \\ 0 & {\ text {иначе}}. \ End {case}}}$

В то время как определение вверху - это особый случай

${\ displaystyle \ Lambda (x) = \ operatorname {tri} _ {j} (x),}$

где , , и . ${\ displaystyle x_ {j-1} = - 1}$${\ displaystyle x_ {j} = 0}$${\ displaystyle x_ {j + 1} = 1}$

Линейный B-сплайн - это то же самое, что и непрерывная кусочно-линейная функция , и эту общую функцию треугольника полезно формально определить как ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {j} y_ {j} \ cdot \ operatorname {tri} _ {j} (x),}$

где для всех целых . Кусочно-линейная функция проходит через каждую точку, выраженную в виде координат с упорядоченной парой , т. Е. ${\ displaystyle x_ {j} <x_ {j + 1}}$${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle (x_ {j}, y_ {j})}$

${\ displaystyle f (x_ {j}) = y_ {j}}$.

Масштабирование

Для любого параметра : ${\ Displaystyle а \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tri} \ left ({\ tfrac {t} {a}} \ right) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ tfrac {1 } {| a |}} \ operatorname {rect} \ left ({\ tfrac {\ tau} {a}} \ right) \ cdot \ operatorname {rect} \ left ({\ tfrac {t- \ tau} {a }} \ right) \, d \ tau \\ & = {\ begin {cases} 1- | t / a |, & | t | <| a |; \\ 0 & {\ text {else}}. \ end {case}} \ end {align}}}$

преобразование Фурье

Преобразования легко определяется с помощью свертки свойства преобразований Фурье и преобразование Фурье прямоугольной функции :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {tri} (t) \} & = {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {rect} (t) * \ operatorname {rect} (t) \} \\ & = {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {rect} (t) \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {rect} (t) \} \\ & = {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {rect} (t) \} ^ {2} \\ & = \ mathrm {sinc} ^ {2} (f), \ end {выровнено }}}$

где - нормализованная функция sinc . ${\ Displaystyle \ OperatorName {sinc} (х) = \ грех (\ пи х) / (\ пи х)}$

Смотрите также

• Функция Келлена , также известная как функция треугольника
• Карта палатки
• Треугольное распределение
• Треугольная волна , кусочно-линейная периодическая функция
• Тригонометрические функции

использованная литература