Funcția de cort, adesea utilizată în procesarea semnalului
O funcție triunghiulară (cunoscută și sub numele de funcție triunghi , funcție pălărie sau funcție cort ) este o funcție al cărei grafic ia forma unui triunghi. De multe ori acest lucru este un triunghi isoscel de înălțime 1 și 2 de bază , în cazul în care aceasta este menționată ca funcția triunghiulară. Funcțiile triunghiulare sunt utile în procesarea semnalelor și ingineria sistemelor de comunicații ca reprezentări ale semnalelor idealizate și funcția triunghiulară în mod specific ca o funcție integrală a nucleului de transformare din care pot fi derivate semnale mai realiste, de exemplu în estimarea densității nucleului . De asemenea, are aplicații în modularea codului impulsului ca formă de impuls pentru transmiterea semnalelor digitale și ca filtru potrivit pentru recepția semnalelor. Este, de asemenea, utilizat pentru a defini fereastra triunghiulară numită uneori fereastra Bartlett .
Definiții Cea mai comună definiție este ca o funcție în bucăți:
tri
(
X
)
=
Λ
(
X
)
=
def
max
(
1
-
|
X
|
,
0
)
=
{
1
-
|
X
|
,
|
X
|
<
1
;
0
in caz contrar
.
{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tri} (x) = \ Lambda (x) \ & {\ overset {\ underset {\ text {def}} {}} {=}} \ \ max {\ mare (} 1- | x |, 0 {\ big)} \\ & = {\ begin {cases} 1- | x |, & | x | <1; \\ 0 & {\ text {altfel}}. \ \\ end {cases}} \ end {align}}}
În mod echivalent, aceasta poate fi definită ca convoluția a două funcții dreptunghiulare identice :
tri
(
X
)
=
rect
(
X
)
∗
rect
(
X
)
=
∫
-
∞
∞
rect
(
X
-
τ
)
⋅
rect
(
τ
)
d
τ
.
{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tri} (x) & = \ operatorname {rect} (x) * \ operatorname {rect} (x) \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} \ operatorname {rect} (x- \ tau) \ cdot \ operatorname {rect} (\ tau) \, d \ tau. \\\ end {align}}}
Funcția triunghiulară poate fi reprezentată și ca produs al funcțiilor dreptunghiulare și ale valorii absolute :
tri
(
X
)
=
rect
(
X
/
2
)
(
1
-
|
X
|
)
.
{\ displaystyle \ operatorname {tri} (x) = \ operatorname {rect} (x / 2) {\ big (} 1- | x | {\ big)}.}
Funcția alternativă triunghi
Rețineți că unii autori definesc în schimb funcția triunghi pentru a avea o bază de lățime 1 în loc de lățime 2:
tri
(
2
X
)
=
Λ
(
2
X
)
=
def
max
(
1
-
2
|
X
|
,
0
)
=
{
1
-
2
|
X
|
,
|
X
|
<
1
2
;
0
in caz contrar
.
{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tri} (2x) = \ Lambda (2x) \ & {\ overset {\ underset {\ text {def}} {}} {=}} \ \ max {\ mare (} 1-2 | x |, 0 {\ big)} \\ & = {\ begin {cases} 1-2 | x |, & | x | <{\ tfrac {1} {2}}; \ \ 0 & {\ text {else}}. \\\ end {cases}} \ end {align}}}
În forma sa cea mai generală, o funcție triunghiulară este orice splină liniară B :
tri
j
(
X
)
=
{
(
X
-
X
j
-
1
)
/
(
X
j
-
X
j
-
1
)
,
X
j
-
1
≤
X
<
X
j
;
(
X
j
+
1
-
X
)
/
(
X
j
+
1
-
X
j
)
,
X
j
≤
X
<
X
j
+
1
;
0
in caz contrar
.
{\ displaystyle \ operatorname {tri} _ {j} (x) = {\ begin {cases} (x-x_ {j-1}) / (x_ {j} -x_ {j-1}) și x_ {j -1} \ leq x <x_ {j}; \\ (x_ {j + 1} -x) / (x_ {j + 1} -x_ {j}), & x_ {j} \ leq x <x_ {j +1}; \\ 0 & {\ text {altfel}}. \ End {cases}}}
În timp ce definiția din partea de sus este un caz special
Λ
(
X
)
=
tri
j
(
X
)
,
{\ displaystyle \ Lambda (x) = \ operatorname {tri} _ {j} (x),}
în cazul în care , și .
X
j
-
1
=
-
1
{\ displaystyle x_ {j-1} = - 1}
X
j
=
0
{\ displaystyle x_ {j} = 0}
X
j
+
1
=
1
{\ displaystyle x_ {j + 1} = 1}
O splină liniară B este aceeași cu o funcție liniară continuă în bucăți , iar această funcție triunghi generală este utilă pentru a defini formal ca
f
(
X
)
{\ displaystyle f (x)}
f
(
X
)
{\ displaystyle f (x)}
f
(
X
)
=
∑
j
y
j
⋅
tri
j
(
X
)
,
{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {j} y_ {j} \ cdot \ operatorname {tri} _ {j} (x),}
unde pentru tot întregul . Funcția liniară în bucăți trece prin fiecare punct exprimat ca coordonate cu perechea ordonată , adică
X
j
<
X
j
+
1
{\ displaystyle x_ {j} <x_ {j + 1}}
j
{\ displaystyle j}
(
X
j
,
y
j
)
{\ displaystyle (x_ {j}, y_ {j})}
f
(
X
j
)
=
y
j
{\ displaystyle f (x_ {j}) = y_ {j}}
Scalare Pentru orice parametru :
A
≠
0
{\ displaystyle a \ neq 0}
tri
(
t
A
)
=
∫
-
∞
∞
1
|
A
|
rect
(
τ
A
)
⋅
rect
(
t
-
τ
A
)
d
τ
=
{
1
-
|
t
/
A
|
,
|
t
|
<
|
A
|
;
0
in caz contrar
.
{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tri} \ left ({\ tfrac {t} {a}} \ right) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ tfrac {1 } {| a |}} \ operatorname {rect} \ left ({\ tfrac {\ tau} {a}} \ right) \ cdot \ operatorname {rect} \ left ({\ tfrac {t- \ tau} {a }} \ right) \, d \ tau \\ & = {\ begin {cases} 1- | t / a |, & | t | <| a |; \\ 0 & {\ text {altfel}}. \ end {cases}} \ end {align}}}
Transformată Fourier Transformarea este ușor de determinat folosind proprietatea de convoluție a transformatelor Fourier și transformata Fourier a funcției dreptunghiulare :
F
{
tri
(
t
)
}
=
F
{
rect
(
t
)
∗
rect
(
t
)
}
=
F
{
rect
(
t
)
}
⋅
F
{
rect
(
t
)
}
=
F
{
rect
(
t
)
}
2
=
s
eu
n
c
2
(
f
)
,
{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {tri} (t) \} & = {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {rect} (t) * \ operatorname {rect} (t) \} \\ & = {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {rect} (t) \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {rect} (t) \} \\ & = {\ mathcal {F}} \ {\ operatorname {rect} (t) \} ^ {2} \\ & = \ mathrm {sinc} ^ {2} (f), \ end {align }}}
unde este funcția sinc normalizată .
sinc
(
X
)
=
păcat
(
π
X
)
/
(
π
X
)
{\ displaystyle \ operatorname {sinc} (x) = \ sin (\ pi x) / (\ pi x)}
Vezi si Referințe
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
