Driehoekige functie - Triangular function

Voorbeeldige driehoeksfunctie

Een driehoeksfunctie (ook bekend als een driehoeksfunctie , hoedfunctie of tentfunctie ) is een functie waarvan de grafiek de vorm aanneemt van een driehoek. Vaak is dit een gelijkbenige driehoek met hoogte 1 en basis 2, in welk geval dit de driehoeksfunctie wordt genoemd. Driehoekige functies zijn nuttig in signaalverwerking en communicatiesysteemtechniek als representaties van geïdealiseerde signalen, en de driehoeksfunctie specifiek als een integrale transformatiekernelfunctie waaruit meer realistische signalen kunnen worden afgeleid, bijvoorbeeld bij schatting van de kerndichtheid . Het heeft ook toepassingen in pulscodemodulatie als een pulsvorm voor het verzenden van digitale signalen en als een aangepast filter voor het ontvangen van de signalen. Het wordt ook gebruikt om het driehoekige venster te definiëren dat soms het Bartlett-venster wordt genoemd .

definities

De meest voorkomende definitie is als een stukgewijze functie:

${\displaystyle {\begin{uitgelijnd}\operatornaam {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\ groot (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{anders}}.\ \\end{cases}}\end{uitgelijnd}}}$

Op equivalente wijze kan het worden gedefinieerd als de convolutie van twee identieke eenheid rechthoekige functies :

${\displaystyle {\begin{uitgelijnd}\operatornaam {tri} (x)&=\operatornaam {rect} (x)*\operatornaam {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{ \infty }\operatornaam {recht} (x-\tau )\cdot \operatornaam {recht} (\tau )\,d\tau .\\\end{uitgelijnd}}}$

De driehoeksfunctie kan ook worden weergegeven als het product van de rechthoekige en absolute waardefuncties:

${\displaystyle \operatornaam {tri} (x)=\operatornaam {rect} (x/2) {\big (}1-|x|{\big)}.}$

Alternatieve driehoeksfunctie

Merk op dat sommige auteurs in plaats daarvan de driehoekfunctie definiëren om een ​​basis van breedte 1 te hebben in plaats van breedte 2:

${\displaystyle {\begin{uitgelijnd}\operatornaam {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\ groot (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\ \0&{\text{anders}}.\\\end{cases}}\end{uitgelijnd}}}$

In zijn meest algemene vorm is een driehoeksfunctie elke lineaire B-spline :

${\displaystyle \operatornaam {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j -1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j +1};\\0&{\text{anders}}.\end{cases}}}$

Terwijl de definitie bovenaan een speciaal geval is

${\displaystyle \Lambda (x)=\operatornaam {tri} _{j}(x),}$

waar , , en . ${\displaystyle x_{j-1}=-1}$${\displaystyle x_{j}=0}$${\displaystyle x_{j+1}=1}$

Een lineaire B-spline is hetzelfde als een continue stuksgewijs lineaire functie en deze algemene driehoeksfunctie is handig om formeel te definiëren als ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \operatornaam {tri} _{j}(x),}$

waar voor alle integer . De stuksgewijs lineaire functie gaat door elk punt uitgedrukt als coördinaten met geordend paar , dat wil zeggen, ${\displaystyle x_{j}<x_{j+1}}$${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$

${\displaystyle f(x_{j})=y_{j}}$.

Schalen

Voor elke parameter : ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{uitgelijnd}\operatornaam {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1 }{|a|}}\operatornaam {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatornaam {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a }}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{anders}}.\end {cases}}\end{uitgelijnd}}}$

Fourier-transformatie

De transformatie is eenvoudig te bepalen met behulp van de convolutie-eigenschap van Fourier-transformaties en de Fourier-transformatie van de rechthoekige functie :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatornaam {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatornaam {rect} (t)*\operatornaam {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatornaam {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatornaam {rect} (t) \}\\&={\mathcal {F}}\{\operatornaam {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{uitgelijnd }}}$

waar is de genormaliseerde sinc-functie . ${\displaystyle \operatornaam {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}$

Zie ook

• Källén-functie , ook bekend als driehoeksfunctie
• Tentenkaart
• Driehoekige verdeling
• Driehoeksgolf , een stuksgewijs lineaire periodieke functie
• Goniometrische functies

Referenties