Reduktiv gruppe - Reductive group

Algebraisk struktur → Gruppeteori Gruppeteori
Grunnleggende forestillinger Undergruppe Normal undergruppe Kvotientgruppe (Semi) direkte produkt Gruppehomomorfismer kjernen bilde direkte sum kransprodukt enkel avgrenset uendelig kontinuerlige multiplikativ tilsetningsstoff syklisk abelsk dihedral nilpotent løselige handling Ordliste over gruppeteori Liste over gruppeteoriske emner
Endelige grupper Klassifisering av begrensede enkle grupper syklisk alternerende Løgnetype sporadisk Cauchys teorem Lagranges teorem Sylow -setninger Halls teorem p-gruppe Elementær abelsk gruppe Frobenius -gruppen Schur -multiplikator Symmetrisk gruppe S n Klein fire-gruppe V Dihedral gruppe D n Kvarterniongruppe Q Dicyklisk gruppe Dic n
Diskrete grupper Gitter Heltall ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Gratis gruppe Modulære grupper PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Aritmetisk gruppe Gitter Hyperbolsk gruppe
Topologiske grupper og løgngrupper Solenoid Sirkel Generell lineær GL ( n ) Spesiell lineær SL ( n ) Ortogonal O ( n ) Euklidisk E ( n ) Spesiell ortogonal SO ( n ) Unitary U ( n ) Spesiell enhetlig SU ( n ) Symplectic Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konform Diffeomorfisme Løkke Uendelig dimensjonal Lie -gruppe O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraiske grupper Lineær algebraisk gruppe Reduktiv gruppe Abelsk variasjon Elliptisk kurve
v t e

I matematikk er en reduktiv gruppe en type lineær algebraisk gruppe over et felt . En definisjon er at en tilkoblet lineær algebraisk gruppe G over et perfekt felt er reduktiv hvis den har en representasjon med endelig kjerne som er en direkte sum av ureduserbare representasjoner . Reduktive grupper inkluderer noen av de viktigste gruppene i matematikk, for eksempel den generelle lineære gruppen GL ( n ) av inverterbare matriser , den spesielle ortogonale gruppen SO ( n ) og den symplektiske gruppen Sp (2 n ). Enkle algebraiske grupper og (mer generelt) semisimple algebraiske grupper er reduktive.

Claude Chevalley viste at klassifiseringen av reduktive grupper er den samme over ethvert algebraisk lukket felt . Spesielt er de enkle algebraiske gruppene klassifisert etter Dynkin -diagrammer , som i teorien om kompakte Lie -grupper eller komplekse semisimple Lie -algebraer . Reduktive grupper over et vilkårlig felt er vanskeligere å klassifisere, men for mange felt som de reelle tallene R eller et tallfelt er klassifiseringen godt forstått. Den klassifiseringen av endelige enkle grupper sier at de endelige enkle grupper som oppstår i gruppen G ( k ) av k - rasjonell punkter av en enkel algebraisk gruppe G over et avgrenset felt k , eller som mindre varianter av denne konstruksjon.

Reduktive grupper har en rik representasjonsteori i forskjellige sammenhenger. Først kan man studere representasjonene til en reduktiv gruppe G over et felt k som en algebraisk gruppe, som er handlinger av G på k -vektorrom. Men også, man kan studere de komplekse representasjonene til gruppen G ( k ) når k er et begrenset felt, eller de uendelig-dimensjonale enhetsrepresentasjonene til en ekte reduktiv gruppe, eller de automorfiske representasjonene til en adelisk algebraisk gruppe . Strukturteorien til reduktive grupper brukes på alle disse områdene.

Definisjoner

En lineær algebraisk gruppe over et felt k er definert som et jevnt lukket undergruppeskjema med GL ( n ) over k , for et positivt heltall n . Tilsvarende er en lineær algebraisk gruppe over k et jevnt affin gruppeoppsett over k .

Med den enmotige radikalen

En tilkoblet lineær algebraisk gruppe over et algebraisk lukket felt kalles semisimple hvis hver glatt tilkoblede, løselige normale undergruppe av er triviell. Mer generelt kalles en tilkoblet lineær algebraisk gruppe over et algebraisk lukket felt reduktivt hvis den største jevnt tilkoblede unipotente normale undergruppen av er triviell. Denne normale undergruppen kalles den unipotente radikalen og er betegnet . (Noen forfattere ikke krever reduserende grupper som skal tilkobles.) En gruppe i løpet av et vilkårlig felt k kalles semisimple eller reduktiv dersom baseendring er semisimple eller reduktiv, der er en algebraisk lukking av k . (Dette tilsvarer definisjonen av reduktive grupper i innledningen når k er perfekt.) Enhver torus over k , for eksempel multiplikasjonsgruppen G _m , er reduktiv. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle R_ {u} (G)}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Med representasjonsteori

En annen tilsvarende definisjon av en reduktiv gruppe er en tilkoblet gruppe som innrømmer en trofast halvenkel representasjon som forblir halvenkel over den algebraiske nedleggelsen ^{side 383} . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k^{al}}$

Enkle reduktive grupper

En lineær algebraisk gruppe G over et felt k kalles enkel (eller k - enkel ) hvis det er semisimple, triviell, og enhver glatt koblet normal undergruppe av G i løpet av k er trivielt eller lik G . (Noen forfattere kaller denne egenskapen "nesten enkel".) Dette skiller seg litt fra terminologien for abstrakte grupper, ved at en enkel algebraisk gruppe kan ha et ikke -lokalt senter (selv om senteret må være begrenset). For eksempel, for et heltall n minst 2 og et hvilket som helst felt k , er gruppen SL ( n ) over k enkel, og sentrum er gruppeskjemaet _n av n th enhetsrøtter.

En sentral isogeni av reduktive grupper er en surjektiv homomorfisme med kjerne en endelig sentral undergruppeskjema . Hver reduktiv gruppe over et felt innrømmer en sentral isogeni fra produktet av en torus og noen enkle grupper. For eksempel over et hvilket som helst felt k ,

${\ displaystyle GL (n) \ cong (G_ {m} \ times SL (n))/\ mu _ {n}.}$

Det er litt vanskelig at definisjonen av en reduktiv gruppe over et felt innebærer passering til den algebraiske nedleggelsen. For et perfekt felt k kan det unngås: en lineær algebraisk gruppe G over k er reduktiv hvis og bare hvis hver glatt tilkoblede unipotente normale k -undergruppe G er triviell. For et vilkårlig felt definerer sistnevnte eiendom en pseudoreduktiv gruppe , som er noe mer generell.

Delreduktive grupper

En reduktiv gruppe G over et felt k kalles delt hvis den inneholder en delt maksimal torus T over k (det vil si en delt torus i G hvis grunnendring til er en maksimal torus i ). Det er tilsvarende å si at T er en splittet torus i G som er maksimal blant alle k -tori i G . Denne typen grupper er nyttige fordi klassifiseringen deres kan beskrives gjennom kombinatoriske data som kalles rotdata. ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Eksempler

GL _n og SL _n

Et grunnleggende eksempel på en reduktiv gruppe er den generelle lineære gruppen av inverterbare n × n -matriser over et felt k , for et naturlig tall n . Spesielt er den multiplikative gruppen G _m gruppen GL (1), og derfor er gruppen G _m ( k ) av k -rasjonelle punkter gruppen k * av ikke -nullelementer av k under multiplikasjon. En annen reduktiv gruppe er den spesielle lineære gruppen SL ( n ) over et felt k , undergruppen av matriser med determinant 1. Faktisk er SL ( n ) en enkel algebraisk gruppe for n minst 2. ${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$

O ( n ), SO ( n ) og Sp ( n )

En viktig enkel gruppe er den symplektiske gruppen Sp (2 n ) over et felt k , undergruppen til GL (2 n ) som bevarer en ikke -generert alternerende bilinær form på vektorrommet k ^{2 n} . På samme måte er den ortogonale gruppen O ( q ) undergruppen til den generelle lineære gruppen som bevarer en ikke -generert kvadratisk form q på et vektorrom over et felt k . Den algebraiske gruppen O ( q ) har to tilkoblede komponenter , og dens identitetskomponent SO ( q ) er reduktiv, faktisk enkel for q av dimensjon n minst 3. (For k av karakteristikk 2 og n oddetall, gruppeskjemaet O ( q ) er faktisk tilkoblet, men ikke glatt over k . Den enkle gruppen SO ( q ) kan alltid defineres som den maksimalt jevne tilkoblede undergruppen til O ( q ) over k .) Når k er algebraisk lukket, kan to (ikke -genererte) kvadratiske former av samme dimensjon er isomorfe, og derfor er det rimelig å kalle denne gruppen SO ( n ). For et generelt felt k kan forskjellige kvadratiske former for dimensjon n gi ikke-isomorfe enkle grupper SO ( q ) over k , selv om de alle har samme grunnendring til den algebraiske lukkingen . ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Tori

Gruppen og produktene av den kalles algebraisk tori . De er eksempler på reduktive grupper siden de innebygde seg gjennom diagonalen, og fra denne fremstillingen er deres enmotige radikal trivial. For eksempel, innebygd i fra kartet${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m} \ times \ mathbb {G} _ {m}}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {2}}$

${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) \ mapsto {\ begin {bmatrix} a_ {1} & 0 \\ 0 & a_ {2} \ end {bmatrix}}}$

Ikke-eksempler

• Enhver unipotent gruppe er ikke reduktiv siden dens unipotente radikal er seg selv. Dette inkluderer additivgruppen .${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$
• Den Borel gruppe av har en ikke-triviell unipotent radikal av øvre trekantede matrikser med på diagonalen. Dette er et eksempel på en ikke-reduktiv gruppe som ikke er unipotent.${\ displaystyle B_ {n}}$${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle 1}$

Tilknyttet reduktiv gruppe

Legg merke til at normaliteten til den unipotente radikalen innebærer at kvotientgruppen er reduktiv. For eksempel,${\ displaystyle R_ {u} (G)}$${\ displaystyle G/R_ {u} (G)}$

${\ displaystyle B_ {n}/(R_ {u} (B_ {n})) \ cong \ prod _ {i = 1}^{n} \ mathbb {G} _ {m}}$

Andre karakteriseringer av reduktive grupper

Hver kompakt tilkoblede Lie -gruppe har en kompleksisering , som er en kompleks reduktiv algebraisk gruppe. Faktisk gir denne konstruksjonen en-til-en-korrespondanse mellom kompakte tilkoblede Lie-grupper og komplekse reduktive grupper, opp til isomorfisme. For en kompakt Lie -gruppe K med kompleksifisering G , er inkluderingen fra K i den komplekse reduktive gruppen G ( C ) en homotopekvivalens , med hensyn til den klassiske topologien på G ( C ). For eksempel er inkluderingen fra enhetsgruppen U ( n ) til GL ( n , C ) en homotopieekvivalens.

For en reduktiv gruppe G over et felt med karakteristisk null, er alle endelige dimensjonale representasjoner av G (som en algebraisk gruppe) fullstendig reduserbare , det vil si at de er direkte summer av ureduserbare representasjoner. Det er kilden til navnet "reduktiv". Vær imidlertid oppmerksom på at fullstendig reduserbarhet mislykkes for reduktive grupper i positiv karakteristikk (bortsett fra tori). Mer detaljert: et affin-gruppeskjema G av endelig type over et felt k kalles lineært reduktivt hvis dets endelige dimensjonale representasjoner er fullstendig reduserbare. For k med karakteristisk null er G lineært reduktiv hvis og bare hvis identitetskomponenten G ^o i G er reduktiv. For k med karakteristisk p > 0 viste Masayoshi Nagata imidlertid at G er lineært reduktiv hvis og bare hvis G ^o er av multiplikativ type og G / G ^o har orden prim til p .

Røtter

Klassifiseringen av reduktive algebraiske grupper er når det gjelder det tilhørende rotsystemet , som i teoriene om komplekse semisimple Lie -algebraer eller kompakte Lie -grupper. Her er måten røttene dukker opp for reduktive grupper.

La G være en delt reduktiv gruppe over et felt k , og la T være en delt maksimal torus i G ; slik at T er isomorf med ( G _m ) ⁿ eller annen n , med n kalt rang av G . Hver representasjon av T (som en algebraisk gruppe) er en direkte sum av 1-dimensjonale representasjoner. En vekt for G betyr en isomorfisme klasse av 1-dimensjonale representasjoner av T , eller tilsvarende en homomorfisme T → G _m . Vektene danner en gruppe X ( T ) under tensorprodukt av representasjoner, med X ( T ) isomorf til produktet av n kopier av heltallene , Z ⁿ .

Den tilstøtende representasjonen er handlingen til G ved konjugasjon på dens Lie -algebra . En rot av G betyr en null vekt som oppstår ved virkningen av T ⊂ G på . Den underrom av korresponderer med hver rot er en-dimensjonal, og den underrom av faste ved T er nøyaktig den Lie algebra av T . Derfor dekomponerer Lie-algebraen til G sammen med 1-dimensjonale underrom indeksert av settet Φ av røtter: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {t}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}.}$

For eksempel, når G er gruppen GL ( n ), er Lie -algebra vektorrommet for alle n × n -matriser over k . La T være undergruppen av diagonale matriser i G . Deretter uttrykkes rot-rom-dekomponeringen som den direkte summen av de diagonale matrisene og de 1-dimensjonale underrommene som er indeksert av de off-diagonale posisjonene ( i , j ). Skriver L ₁ , ..., L _n for standardgrunnlaget for vektgitteret X ( T ) ≅ Z ⁿ , røttene er elementene L _i - L _j for alle i ≠ j fra 1 til n . ${\ displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$${\ displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$

Røttene til en halv enkel gruppe danner et rotsystem ; Dette er en kombinatorisk struktur som kan klassifiseres fullstendig. Mer generelt danner røttene til en reduktiv gruppe et rotdatum , en liten variasjon. Den Weyl gruppe av en reduserende gruppe G betyr kvotienten gruppe av normaliserings av en maksimal torus av torusen, W = N _G ( t ) / T . Weyl -gruppen er faktisk en begrenset gruppe generert av refleksjoner. For eksempel, for gruppen GL ( n ) (eller SL ( n )), er Weyl -gruppen den symmetriske gruppen S _n .

Det er uendelig mange Borel -undergrupper som inneholder en gitt maksimal torus, og de permuteres ganske enkelt transittivt av Weyl -gruppen (virker ved konjugering ). Et valg av Borel -undergruppe bestemmer et sett med positive røtter Φ ⁺ ⊂ Φ, med egenskapen som Φ er den usammenhengende foreningen av Φ ⁺ og −Φ ⁺ . Eksplisitt er Lie -algebraen til B den direkte summen av Lie -algebraen til T og de positive rotrommene:

${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {t}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi ^{+}} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}.}$

For eksempel, hvis B er Borel-undergruppen av øvre trekantede matriser i GL ( n ), så er dette den åpenbare dekomponeringen av underrommet til øvre trekantede matriser i . De positive røttene er L _i - L _j for 1 ≤ i < j ≤ n . ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$

En enkel rot betyr en positiv rot som ikke er en sum av to andre positive røtter. Skriv Δ for settet med enkle røtter. Tallet r av enkle røtter er lik rangen til kommutatorundergruppen til G , kalt semisimple rang av G (som ganske enkelt er rangen til G hvis G er halvenkel). For eksempel er de enkle røttene for GL ( n ) (eller SL ( n )) L _i - L _{i +1} for 1 ≤ i ≤ n - 1.

Rotsystemer er klassifisert etter det tilsvarende Dynkin -diagrammet , som er en endelig graf (med noen kanter rettet eller flere). Settet med hjørner i Dynkin -diagrammet er settet med enkle røtter. Kort sagt, Dynkin-diagrammet beskriver vinklene mellom de enkle røttene og deres relative lengder, med hensyn til et Weyl-gruppevariant indre produkt på vektgitteret. De tilkoblede Dynkin -diagrammene (tilsvarende enkle grupper) er avbildet nedenfor.

For en delt reduktiv gruppe G over et felt k , er et viktig poeng at en rot α ikke bare bestemmer et 1-dimensjonalt underrom av Lie-algebraen til G , men også en kopi av additivgruppen G _a i G med den gitt Lie algebra, kalt en rotundergruppe U _α . Rotundergruppen er den unike kopien av additivgruppen i G som er normalisert av T og som har den gitte Lie -algebraen. Hele gruppen G genereres (som en algebraisk gruppe) av T og rotundergruppene, mens Borel -undergruppen B genereres av T og de positive rotundergruppene. Faktisk genereres en delt halvenkel gruppe G av rotundergruppene alene.

Parabolske undergrupper

For en delt reduktiv gruppe G over et felt k , er de jevnt tilkoblede undergruppene til G som inneholder en gitt Borel-undergruppe B av G i en-til-en-korrespondanse med undersettene til settet Δ av enkle røtter (eller tilsvarende undergruppene) av settet med hjørner i Dynkin -diagrammet). La r være den rekkefølgen av Δ, den semisimple rang av G . Hver parabolsk undergruppe av G er konjugert til en undergruppe som inneholder B av et element av G ( k ). Som et resultat er det nøyaktig 2 ^r konjugasjonsklasser av parabolske undergrupper i G over k . Eksplisitt, den parabolske undergruppe som svarer til en gitt delmengde S av Δ er den gruppe som genereres av B sammen med de grunnlegg undergruppene U _-a for α i S . For eksempel er de parabolske undergruppene til GL ( n ) som inneholder Borel -undergruppen B ovenfor gruppene av inverterbare matriser med null oppføringer under et gitt sett med firkanter langs diagonalen, for eksempel:

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\ 0 & 0 &*&*\\ 0 & 0 & 0 &*\ end {bmatrix}} \ right \}}$

Per definisjon er en parabolsk undergruppe P i en reduktiv gruppe G over et felt k en jevn k -undergruppe slik at kvotientvarianten G / P er riktig over k , eller tilsvarende projektiv over k . Dermed utgjør klassifiseringen av parabolske undergrupper en klassifisering av de projektive homogene variantene for G (med jevn stabilisatorgruppe; det er ingen begrensning for k med karakteristisk null). For GL ( n ) er dette flaggsorter , parametrering av sekvenser av lineære underrom av gitte dimensjoner a ₁ , ..., a _i inneholdt i et fast vektorrom V av dimensjon n :

${\ displaystyle 0 \ delsett S_ {a_ {1}} \ delsett \ cdots \ delsett S_ {a_ {i}} \ delsett V.}$

For den ortogonale gruppen eller den symplektiske gruppen har de projektive homogene variantene en lignende beskrivelse som varianter av isotropiske flagg med hensyn til en gitt kvadratisk form eller symplektisk form. For en hvilken som helst reduserende gruppe G med en Borel undergruppe B , G / B kalles flagg variasjon eller flagg manifold av G .

Klassifisering av delte reduktive grupper

Chevalley viste i 1958 at de reduktive gruppene over et algebraisk lukket felt er klassifisert opp til isomorfisme etter rotdata. Spesielt er semisimple -gruppene over et algebraisk lukket felt klassifisert opp til sentrale isogenier etter Dynkin -diagrammet, og de enkle gruppene tilsvarer de tilkoblede diagrammene. Dermed er det enkle grupper av typene A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ . Dette resultatet er i hovedsak identisk med klassifiseringene av kompakte Lie -grupper eller komplekse semisimple Lie -algebraer, av Wilhelm Killing og Élie Cartan på 1880- og 1890 -tallet. Spesielt kan dimensjoner, sentre og andre egenskaper til de enkle algebraiske gruppene leses fra listen over enkle Lie -grupper . Det er bemerkelsesverdig at klassifiseringen av reduktive grupper er uavhengig av karakteristikken. Til sammenligning er det mange flere enkle Lie -algebraer i positiv karakteristikk enn i karakteristisk null.

De eksepsjonelle gruppene G av type G ₂ og E ₆ hadde blitt konstruert tidligere, i hvert fall i form av den abstrakte gruppen G ( k ), av LE Dickson . For eksempel, gruppen G ₂ er det automorphism gruppe av en octonion algebra enn k . Derimot var Chevalley -gruppene av type F ₄ , E ₇ , E ₈ over et felt med positiv karakteristikk helt nye.

Mer generelt er klassifiseringen av splittede reduktive grupper den samme over alle felt. En halvgruppe G over et felt k kalles ganske enkelt koblet hvis hver sentral isogeni fra en halvenkel gruppe til G er en isomorfisme. (For G semisimple over de komplekse tallene, å være ganske enkelt koblet i denne forstand er ekvivalent med at G ( C ) bare er forbundet i den klassiske topologien.) Chevalleys klassifisering gir at det over ethvert felt k er en unik, enkelt koblet delt semi -enkel gruppe G med et gitt Dynkin -diagram, med enkle grupper som tilsvarer de tilkoblede diagrammer. I den andre ytterligheten er en semi -enkel gruppe av tilstøtende type hvis sentrum er trivielt. Splitt semisimple grupper over k med gitt Dynkin diagram er nøyaktig gruppene G / A , hvor G er en enkelt forbindes gruppe og A er en k -subgroup ordning for sentrum av G .

For eksempel er de enkelt tilkoblede delte enkle gruppene over et felt k som tilsvarer de "klassiske" Dynkin -diagrammene som følger:

• A _n : SL ( n +1) over k ;
• B _n : spinngruppen Spin (2 n +1) knyttet til en kvadratisk form av dimensjon 2 n +1 over k med Witt -indeks n , for eksempel skjemaet

${\ displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {2n+1}) = x_ {1} x_ {2}+x_ {3} x_ {4}+\ cdots+x_ {2n-1} x_ { 2n}+x_ {2n+1}^{2};}$

• C _n : den symplektiske gruppen Sp (2 n ) over k ;
• D _n : spinngruppen Spin (2 n ) knyttet til en kvadratisk form av dimensjon 2 n over k med Witt -indeks n , som kan skrives som:

${\ displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {2n}) = x_ {1} x_ {2}+x_ {3} x_ {4}+\ cdots+x_ {2n-1} x_ {2n} .}$

Den ytre automorphism gruppe av en splittet reduktiv gruppe G over et felt k er isomorf med den automorphism gruppe av roten av datum G . Videre deler automorfismegruppen til G seg som et semidirekte produkt :

${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (G) \ cong \ operatorname {Out} (G) \ ltimes (G/Z) (k),}$

hvor Z er sentrum av G . For en splitt semisimple enkelt forbindes gruppe G over et felt, den ytre automorphism gruppe G har et enklere beskrivelse: det er den automorphism gruppe med Dynkin diagram av G .

Reduktive gruppeordninger

Et gruppeskjema G over et skjema S kalles reduktivt hvis morfismen G → S er jevn og affin, og hver geometrisk fiber er reduktiv. (For et punkt p i S betyr den korresponderende geometriske fiber grunnendringen av G til en algebraisk lukking av restfeltet på s .) Utvidelse av Chevalleys arbeid, Michel Demazure og Grothendieck viste at splittede reduktive gruppeskjemaer over enhver ikke -fritatt ordning S er klassifisert etter rotdata. Denne uttalelsen omfatter eksistensen av Chevalley grupper som kollektive ordninger enn Z , og det sier at hver delt reduktiv gruppe over en ordning S er isomorf til bunnen endring av en Chevalley gruppe fra Z til S . ${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Ekte reduktive grupper

I sammenheng med Lie -grupper i stedet for algebraiske grupper, er en virkelig reduktiv gruppe en Lie -gruppe G slik at det er en lineær algebraisk gruppe L over R hvis identitetskomponent (i Zariski -topologien ) er reduktiv, og en homomorfisme G → L ( R ) hvis kjerne er endelig og hvis bilde er åpent i L ( R ) (i den klassiske topologien). Det er også standard å anta at bildet av den tilstøtende representasjonen Ad ( G ) er inneholdt i Int ( g _C ) = Ad ( L ⁰ ( C )) (som er automatisk for G tilkoblet).

Spesielt er hver tilkoblet semisimple Lie -gruppe (som betyr at Lie -algebraen er semi -enkel) reduktiv. Lie -gruppen R er også reduktiv i denne forstand, siden den kan sees på som identitetskomponenten til GL (1, R ) ≅ R *. Problemet med å klassifisere de virkelige reduktive gruppene reduserer i stor grad til å klassifisere de enkle Lie -gruppene. Disse er klassifisert etter deres Satake -diagram ; eller man kan bare referere til listen over enkle Lie -grupper (opptil endelige belegg).

Nyttige teorier om tillatte representasjoner og enhetsrepresentasjoner er utviklet for virkelige reduktive grupper i denne generaliteten. Hovedforskjellene mellom denne definisjonen og definisjonen av en reduktiv algebraisk gruppe har å gjøre med det faktum at en algebraisk gruppe G over R kan være forbundet som en algebraisk gruppe mens Lie -gruppen G ( R ) ikke er koblet til, og på samme måte for ganske enkelt tilkoblede grupper.

For eksempel er den projektive lineære gruppen PGL (2) koblet som en algebraisk gruppe over et hvilket som helst felt, men gruppen av virkelige punkter PGL (2, R ) har to tilkoblede komponenter. Identitetskomponenten til PGL (2, R ) (noen ganger kalt PSL (2, R )) er en virkelig reduktiv gruppe som ikke kan sees på som en algebraisk gruppe. På samme måte er SL (2) ganske enkelt koblet som en algebraisk gruppe over et hvilket som helst felt, men Lie -gruppen SL (2, R ) har en grunnleggende isomorf gruppe til heltallene Z , og derfor har SL (2, R ) ikke -private dekkende mellomrom . Per definisjon er alle endelige belegg for SL (2, R ) (for eksempel den metaplektiske gruppen ) reelle reduktive grupper. På den annen side er det universelle dekselet til SL (2, R ) ikke en ekte reduktiv gruppe, selv om Lie -algebra er reduktiv , det vil si produktet av en halv enkel Lie -algebra og en abelsk Lie -algebra.

For en tilkoblet virkelig reduktiv gruppe G er kvotmanifolden G / K av G av en maksimal kompakt undergruppe K et symmetrisk mellomrom av ikke-kompakt type. Faktisk oppstår hvert symmetrisk rom av ikke-kompakt type på denne måten. Dette er sentrale eksempler i Riemannian geometri av manifolder med ikke -positiv seksjonskurvatur . For eksempel er SL (2, R )/ SO (2) det hyperboliske planet , og SL (2, C )/ SU (2) er hyperbolsk 3-mellomrom.

For en reduktiv gruppe G over et felt k som er komplett med hensyn til en diskret verdivurdering (for eksempel p-adiske tall Q _p ), spiller den affine bygningen X til G rollen som det symmetriske rommet. X er nemlig et forenklet kompleks med en handling av G ( k ), og G ( k ) beholder en CAT (0) -måling på X , analogen til en metrik med ikke -positiv krumning. Dimensjonen av den affine bygningen er den k -rank av G . For eksempel er bygningen av SL (2, Q _p ) et tre .

Representasjoner av reduktive grupper

For en delt reduktiv gruppe G over et felt k , parametriseres de ureduserbare representasjonene av G (som en algebraisk gruppe) av de dominerende vektene , som er definert som skjæringspunktet mellom vektgitteret X ( T ) ≅ Z ⁿ med en konveks kjegle (et Weyl -kammer ) i R ⁿ . Spesielt er denne parametriseringen uavhengig av egenskapen til k . I mer detalj, fastsette en splittet torus maksimal og en Borel undergruppe, T ⊂ B ⊂ G . Da B er det semidirect produkt av T med en glatt tilkoblet unipotent undergruppe U . Definer en vekt med høyeste vekt i en representasjon V av G over k til å være en null -vektor v slik at B kartlegger linjen som spenner av v til seg selv. Deretter virker B på den linjen gjennom sin kvotiegruppe T , ved et element λ i vektgitteret X ( T ). Chevalley viste at hver irreduserbar representasjon av G har en unik vekt med høyeste vekt opp til skalarer; den tilsvarende "høyeste vekten" λ er dominerende; og hver dominerende vekt λ er den høyeste vekten av en unik ureduserbar representasjon L (λ) av G , opp til isomorfisme.

Det gjenstår problemet med å beskrive den ureduserbare representasjonen med den høyeste vekten. For k med karakteristisk null er det i hovedsak komplette svar. For en dominerende vekt λ, definer Schur -modulen ∇ (λ) som k -vektorrommet i seksjoner av G -ekvivalente linjebunten på flaggmanifolden G / B knyttet til λ; Dette er en representasjon av G . For k med karakteristisk null sier Borel – Weil -setningen at den ureduserbare representasjonen L (λ) er isomorf for Schur -modulen ∇ (λ). Videre Weyl tegnet formel gir karakter (og spesielt den dimensjon) i denne representasjonen.

For en delt reduktiv gruppe G over et felt k med positiv karakteristikk, er situasjonen langt mer subtil, fordi representasjoner av G vanligvis ikke er direkte summer av irreducible. For en dominerende vekt λ er den ureduserbare representasjonen L (λ) den unike enkle submodulen ( socle ) til Schur -modulen ∇ (λ), men den trenger ikke være lik Schur -modulen. Dimensjonen og karakteren til Schur -modulen er gitt av Weyl -tegnformelen (som i karakteristisk null), av George Kempf . Dimensjonene og karakterene til de ureduserbare representasjonene L (λ) er generelt ukjente, selv om en stor teori er utviklet for å analysere disse representasjonene. Et viktig resultat er at dimensjonen og karakteren av L (λ) er kjente når den karakteristiske p i k er mye større enn den Coxeter antall av G , ved Henning Andersen , Jens Jantzen , og Wolfgang Soergel (bevise Lusztig formodning i det sak). Karakterformelen deres for p large er basert på polynomene Kazhdan - Lusztig , som er kombinatorisk komplekse. For enhver prime p , antok Simon Riche og Geordie Williamson de ureduserbare karakterene til en reduktiv gruppe når det gjelder p -Kazhdan -Lusztig -polynomene, som er enda mer komplekse, men i det minste er beregningsbare.

Ikke-delt reduktive grupper

Som diskutert ovenfor er klassifiseringen av splittede reduktive grupper den samme over alle felt. Derimot kan klassifiseringen av vilkårlige reduktive grupper være vanskelig, avhengig av basisfeltet. Noen eksempler blant de klassiske gruppene er:

• Hver ikke -genererte kvadratiske form q over et felt k bestemmer en reduktiv gruppe G = SO ( q ). Her er G enkelt hvis q har dimensjon n minst 3, siden den er isomorf til SO ( n ) over en algebraisk lukning . Den k -rank av G er lik Witt indeks av q (den maksimale dimensjon av en isotrop underrom i løpet k ). Så den enkle gruppen G er delt over k hvis og bare hvis q har den maksimalt mulige Witt indeks .${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle \ lfloor n/2 \ rfloor}$
• Hver sentral enkel algebra A over k bestemmer en reduktiv gruppe G = SL (1, A ), kjernen til den reduserte normen på gruppen av enheter A * (som en algebraisk gruppe over k ). Den grad av A betyr kvadratroten av den dimensjonen av A som et k -vector plass. Her er G enkel hvis A har grad n minst 2, siden den er isomorf til SL ( n ) over . Hvis A har indeks r (som betyr at A er isomorf til matrisealgebraen M _{n / r} ( D ) for en divisjonsalgebra D av grad r over k ), så er k -raden til G ( n / r ) -1 . Så den enkle gruppen G er delt over k hvis og bare hvis A er en matrisealgebra over k .${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Som et resultat inkluderer problemet med å klassifisere reduktive grupper over k i hovedsak problemet med å klassifisere alle kvadratiske former over k eller alle sentrale enkle algebraer over k . Disse problemene er enkle for k algebraisk lukket, og de er forstått for noen andre felt, for eksempel tallfelt, men for vilkårlige felt er det mange åpne spørsmål.

En reduktiv gruppe over et felt k kalles isotrop hvis den har k -rang større enn 0 (det vil si hvis den inneholder en ikke -privat splittet torus), og ellers anisotrop . For en semi -enkel gruppe G over et felt k , er følgende betingelser ekvivalente:

• G er isotrop (det vil si at G inneholder en kopi av den multiplikative gruppen G _m over k );
• G inneholder en parabolsk undergruppe over k som ikke er lik G ;
• G inneholder en kopi av tilsetningsgruppen G _a over k .

For k perfekt er det også ekvivalent å si at G ( k ) inneholder et unipotent element annet enn 1.

For en tilkoblet lineær algebraisk gruppe G over et lokalt felt k med karakteristisk null (for eksempel de reelle tallene), er gruppen G ( k ) kompakt i den klassiske topologien (basert på topologien til k ) hvis og bare hvis G er reduktiv og anisotrop. Eksempel: den ortogonale gruppen SO ( p , q ) over R har reell rang min ( p , q ), og så er den anisotrop hvis og bare hvis p eller q er null.

En reduktiv gruppe G over et felt k kalles kvasi-delt hvis den inneholder en Borel-undergruppe over k . En delt reduktiv gruppe er kvasi-delt. Hvis G er quasi-delt over k , konjugeres alle to Borel-undergrupper av G av et element av G ( k ). Eksempel: den ortogonale gruppen SO ( p , q ) over R er delt hvis og bare hvis | p - q | ≤ 1, og det er kvasi-delt hvis og bare hvis | p - q | ≤ 2.

Struktur av semi -enkle grupper som abstrakte grupper

For en enkelt tilkoblet delt halvdel enkel gruppe G over et felt k , ga Robert Steinberg en eksplisitt presentasjon av den abstrakte gruppen G ( k ). Det er generert av kopier av den additive gruppen av k indeksert ved røttene av G (de bakenfor undergrupper), med forholdet bestemt av Dynkin diagram over G .

For en enkelt tilkoblet delt halvdel enkel gruppe G over et perfekt felt k , bestemte Steinberg også automorfismegruppen til den abstrakte gruppen G ( k ). Hver automorfisme er et produkt av en indre automorfisme , en diagonal automorfisme (som betyr konjugering med et passende punkt for en maksimal torus), en grafautomorfisme (tilsvarende en automorfisme av Dynkin -diagrammet) og en feltautorfisme (som kommer fra en automorfisme) av feltet k ). ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

For en k -enkel algebraisk gruppe G , sier Tits enkelhetsteorem at den abstrakte gruppen G ( k ) er nær å være enkel, under milde forutsetninger. Anta at G er isotropisk over k , og anta at feltet k har minst 4 elementer. La G ( k ) ⁺ være undergruppen av den abstrakte gruppen G ( k ) som er generert ved k poeng av eksemplarer av additivet gruppe G _en i løpet av k som inneholdes i G . (Ved antagelsen om at G er isotropisk over k , er gruppen G ( k ) ⁺ ikke -triviell, og til og med Zariski tett i G hvis k er uendelig.) Da er kvotientgruppen til G ( k ) ⁺ i sentrum enkel (som en abstrakt gruppe). Beviset bruker Jacques Tits maskineri av BN-par .

Unntakene for felt i rekkefølge 2 eller 3 er godt forstått. For k = F ₂ forblir Tits enkelhetssetning gyldig bortsett fra når G er delt av type A ₁ , B ₂ eller G ₂ , eller ikke-delt (det vil si enhetlig) av type A ₂ . For k = F ₃ gjelder teoremet bortsett fra G av type A ₁ .

For en k -enkel gruppe G , for å forstå hele gruppen G ( k ), kan man vurdere Whitehead -gruppen W ( k , G ) = G ( k )/ G ( k ) ⁺ . For G ganske enkelt tilkoblet og kvasi-delt, er Whitehead-gruppen triviell, og derfor er hele gruppen G ( k ) enkel modulo sitt sentrum. Mer generelt spør Kneser -Tits -problemet om hvilke isotrope k -enkle grupper Whitehead -gruppen er triviell. I alle kjente eksempler er W ( k , G ) abelsk.

For en anisotrop k -enkel gruppe G , kan den abstrakte gruppen G ( k ) langt fra være enkel. La for eksempel D være en divisjonsalgebra med sentrum et p -adisk felt k . Anta at dimensjonen til D over k er begrenset og større enn 1. Da er G = SL (1, D ) en anisotrop k -enkel gruppe. Som nevnt ovenfor er G ( k ) kompakt i den klassiske topologien. Siden den også er totalt frakoblet , er G ( k ) en uendelig gruppe (men ikke endelig). Som et resultat inneholder G ( k ) uendelig mange normale undergrupper med begrenset indeks .

Gitter og aritmetiske grupper

La G være en lineær algebraisk gruppe over rasjonelle tall Q . Deretter kan G utvides til et affinert gruppeskjema G over Z , og dette bestemmer en abstrakt gruppe G ( Z ). En aritmetisk gruppe betyr en hvilken som helst undergruppe av G ( Q ) som står i forhold til G ( Z ). (Aritmetisitet til en undergruppe av G ( Q ) er uavhengig av valget av Z -struktur.) For eksempel er SL ( n , Z ) en aritmetisk undergruppe av SL ( n , Q ).

For en Lie -gruppe G betyr et gitter i G en diskret undergruppe Γ av G slik at manifolden G /Γ har begrenset volum (med hensyn til et G -variabelt mål). For eksempel er en diskret undergruppe Γ et gitter hvis G /Γ er kompakt. Den Margulis arithmeticity teorem sier, spesielt: for en enkel Lie gruppe G av fast rang minst 2, hver gitteret i G er en aritmetisk gruppe.

Galois -handlingen på Dynkin -diagrammet

I forsøket på å klassifisere reduktive grupper som ikke trenger å deles, er et trinn Tits -indeksen , som reduserer problemet til anisotrope grupper. Denne reduksjonen generaliserer flere grunnleggende teorier i algebra. For eksempel sier Witts dekomponeringsteorem at en ikke -generert kvadratisk form over et felt bestemmes opp til isomorfisme av Witt -indeksen sammen med den anisotrope kjernen. På samme måte reduserer Artin - Wedderburn -teoremet klassifiseringen av enkle sentrale algebraer over et felt til tilfellet med divisjonsalgebrer. Ved å generalisere disse resultatene viste Tits at en reduktiv gruppe over et felt k bestemmes opp til isomorfisme av Tits -indeksen sammen med den anisotrope kjernen, en assosiert anisotropisk semisimple k -gruppe.

For en reduktiv gruppe G over et felt k , virker den absolutte Galois -gruppen Gal ( k _s / k ) (kontinuerlig) på det "absolutte" Dynkin -diagrammet til G , det vil si Dynkin -diagrammet over G over en separerbar lukking k _s ( som også er Dynkin -diagrammet over G over en algebraisk lukning ). Den pupper Indeksen for G består av roten datum av G _{k s} , Galois virkning på dens Dynkin diagram, og et Galois-invariant delsett av toppunktene til Dynkin diagrammet. Tradisjonelt tegnes Tits -indeksen ved å sirkle rundt Galois -banene i den gitte delmengden. ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$

Det er en fullstendig klassifisering av kvasidelte grupper i disse begrepene. For hver handling av den absolutte Galois-gruppen i et felt k på et Dynkin-diagram, er det en unik ganske enkelt forbundet semisimple quasi-delt gruppe H over k med den gitte handlingen. (For en kvasi-delt gruppe er hver Galois-bane i Dynkin-diagrammet sirklet inn.) Videre er en hvilken som helst annen enkelt forbundet halvgruppe G over k med den gitte handlingen en indre form av den kvasi-delte gruppen H , noe som betyr at G er gruppen forbundet til et element i Galois cohomology sett H ¹ ( k , H / Z ), hvor Z er sentrum av H . Med andre ord, G er vridningen av H assosiert med noen H / Z -leger over k , som diskutert i neste avsnitt.

Eksempel: La q være en ikke -generert kvadratisk form med jevn dimensjon 2 n over et felt k med karakteristikken ikke 2, med n ≥ 5. (Disse begrensningene kan unngås.) La G være den enkle gruppen SO ( q ) over k . Det absolutte Dynkin -diagrammet til G er av type D _n , og derfor er dets automorfistegruppe av rekkefølge 2, og bytter de to "benene" til D _n -diagrammet. Handlingen til den absolutte Galois -gruppen av k på Dynkin -diagrammet er triviell hvis og bare hvis den signerte diskriminanten d av q i k */( k *) ² er triviell. Hvis d er utrivelig, er den kodet i Galois-handlingen på Dynkin-diagrammet: indeks-2-undergruppen til Galois-gruppen som fungerer som identiteten er . Gruppen G er delt hvis og bare hvis q har Witt-indeks n , maksimum mulig, og G er kvasidelt hvis og bare hvis q har Witt-indeks minst n -1. ${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (k_ {s}/k ({\ sqrt {d}})) \ undersett \ operatorname {Gal} (k_ {s}/k)}$

Torsorer og Hasse -prinsippet

En torsor for et affinegruppeopplegg G over et felt k betyr et affinskjema X over k med en handling av G slik som er isomorf med virkningen av på seg selv ved venstre oversettelse. En torsor kan også sees på som en hoved G-bunt over k med hensyn til fppf-topologien på k , eller den endelige topologien hvis G er jevn over k . Det spisse settet med isomorfisme -klasser av G -leger over k kalles H ¹ ( k , G ), på språket i Galois -kohomologi. ${\ displaystyle X _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Torsorer oppstår når en søker å klassifisere former for et gitt algebraisk objekt Y over et felt k , noe som betyr objekter X over k som blir isomorfe til Y over algebraisk lukning av k . Slike former (opp til isomorfisme) er nemlig i en-til-en-korrespondanse med settet H ¹ ( k , Aut ( Y )). For eksempel er (ikke -genererte) kvadratiske former for dimensjon n over k klassifisert etter H ¹ ( k , O ( n )), og sentrale enkle algebraer av grad n over k er klassifisert etter H ¹ ( k , PGL ( n )). Også k formene av en gitt algebraiske gruppe G (noen ganger kalt "vridninger" av G ) blir klassifisert av H ¹ ( k , Aut ( G )). Disse problemene motivere systematisk studie av G -torsors, spesielt for reduktive grupper G .

Når det er mulig, håper man å klassifisere G -leger ved hjelp av kohomologiske invarianter , som er invarianter som tar verdier i Galois -kohomologi med abelske koeffisientgrupper M , H ^a ( k , M ). I denne retningen beviste Steinberg Serres "Conjecture I": for en tilkoblet lineær algebraisk gruppe G over et perfekt felt med kohomologisk dimensjon på det meste 1, H ¹ ( k , G ) = 1. (Saken om et endelig felt var tidligere kjent som Langs teorem .) Det følger for eksempel at hver reduktiv gruppe over et begrenset felt er quasi-delt.

Serre's Conjecture II forutsier at for en ganske enkelt forbundet halvgruppe G over et felt med kohomologisk dimensjon høyst 2, H ¹ ( k , G ) = 1. Formodningen er kjent for et totalt imaginært tallfelt (som har kohomologisk dimensjon 2). Mer generelt, for et hvilket som helst tallfelt k , beviste Martin Kneser , Günter Harder og Vladimir Chernousov (1989) Hasse -prinsippet : for en enkelt tilkoblet semisimple gruppe G over k , kartet

${\ displaystyle H^{1} (k, G) \ to \ prod _ {v} H^{1} (k_ {v}, G)}$

er bijektiv. Her går v over alle steder av k , og k _v er det tilsvarende lokale feltet (muligens R eller C ). Videre er det spisse settet H ¹ ( k _v , G ) trivielt for hvert ikke -arkimidisk lokale felt k _v , og så er det bare de virkelige stedene for k som betyr noe. Det analoge resultatet for et globalt felt k med positiv karakteristikk ble tidligere bevist av Harder (1975): for hver enkelt tilkoblet semisimple gruppe G over k , er H ¹ ( k , G ) trivial (siden k ikke har noen reelle steder).

I det litt annerledes tilfellet av en tilstøtende gruppe G over et tallfelt k , holder Hasse -prinsippet i en svakere form: det naturlige kartet

${\ displaystyle H^{1} (k, G) \ to \ prod _ {v} H^{1} (k_ {v}, G)}$

er injektiv. For G = PGL ( n ) utgjør dette teoremet Albert – Brauer – Hasse – Noether og sier at en sentral enkel algebra over et tallfelt bestemmes av dens lokale invarianter.

Med utgangspunkt i Hasse -prinsippet er klassifiseringen av semisimple grupper over tallfelt godt forstått. For eksempel er det nøyaktig tre Q -former fra den eksepsjonelle gruppen E ₈ , som tilsvarer de tre virkelige formene for E ₈ .

Se også

• De grupper av Lie typen er de endelige enkle grupper bygget opp av enkle algebraiske grupper over begrensede felt.
• Generalisert flaggsort , Bruhat -nedbrytning , Schubert -sort , Schubert -beregning
• Schur -algebra , Deligne - Lusztig -teorien
• Virkelig form (løgnsteori)
• Weils formodning om Tamagawa -tall
• Langlands klassifisering , Langlands dobbel gruppe , Langlands program , geometrisk Langlands program
• Spesiell gruppe , vesentlig dimensjon
• Geometrisk invariant teori , Lunas delteorem , Haboushs teorem
• Radikal for en algebraisk gruppe

Merknader

Referanser

• Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups , Graduate Texts in Mathematics, 126 (2. utg.), New York: Springer Nature , doi : 10.1007/978-1-4612-0941-6 , ISBN 0-387-97370-2, MR  1102012
• Borel, Armand ; Tits, Jacques (1971), "Éléments unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes réductifs. I.", Inventiones Mathematicae , 12 : 95–104, Bibcode : 1971InMat..12 ... 95B , doi : 10.1007/BF01404653 , MR  0294349
• Chevalley, Claude (2005) [1958], Cartier, P. (red.), Classification des groupes algébriques semi-simples , Collected Works, Vol. 3, Springer Nature , ISBN 3-540-23031-9, MR  2124841
• Conrad, Brian (2014), "Reduktive group schemes" (PDF) , Autour des schémas en groupes , 1 , Paris: Société Mathématique de France , s. 93–444, ISBN 978-2-85629-794-0, MR  3309122
• Demazure, Michel ; Gabriel, Pierre (1970), Groupes algébriques. Tome I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs , Paris: Masson, ISBN 978-2225616662, MR  0302656
• Demazure, M .; Grothendieck, A. (2011) [1970]. Gille, P .; Polo, P. (red.). Schémas en groupes (SGA 3), I: Propriétés générales des schémas en groupes . Société Mathématique de France . ISBN 978-2-85629-323-2. MR  2867621 . Revidert og kommentert utgave av originalen fra 1970.
• Demazure, M .; Grothendieck, A. (1970). Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux . Forelesningsnotater i matematikk. 152 . Berlin; New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0059005 . ISBN 978-3540051800. MR  0274459 .
• Demazure, M .; Grothendieck, A. (2011) [1970]. Gille, P .; Polo, P. (red.). Schémas en groupes (SGA 3), III: Structure des schémas en groupes réductifs . Société Mathématique de France . ISBN 978-2-85629-324-9. MR  2867622 . Revidert og kommentert utgave av originalen fra 1970.
• Gille, Philippe (2009), "Le problème de Kneser – Tits" (PDF) , Séminaire Bourbaki. Vol. 2007/2008 , Astérisque, 326 , Société Mathématique de France , s. 39–81, ISBN 978-285629-269-3, MR  2605318
• Jantzen, Jens Carsten (2003) [1987], Representasjoner av algebraiske grupper (2. utg.), American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3527-2, MR  2015057
• Milne, JS (2017), Algebraic Groups: The Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736 , ISBN 978-1107167483, MR  3729270
• Platonov, Vladimir ; Rapinchuk, Andrei (1994), Algebraic Groups and Number Theory , Academic Press , ISBN 0-12-558180-7, MR  1278263
• VL Popov (2001) [1994], "Reductive group" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Riche, Simon; Williamson, Geordie (2018), Tilting Modules and the p -Canonical Basis , Astérisque, 397 , Société Mathématique de France , arXiv : 1512.08296 , Bibcode : 2015arXiv151208296R , ISBN 978-2-85629-880-0
• Springer, Tonny A. (1979), "Reduktive grupper" , Automorfe former, representasjoner og L -funksjoner , 1 , American Mathematical Society , s. 3–27, ISBN 0-8218-3347-2, MR  0546587
• Springer, Tonny A. (1998), Linear Algebraic Groups , Progress in Mathematics, 9 (2. utg.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4840-4 , ISBN 978-0-8176-4021-7, MR  1642713
• Steinberg, Robert (1965), "Regular elements of semisimple algebraic groups" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 25 : 49–80, doi : 10.1007/bf02684397 , MR  0180554
• Steinberg, Robert (2016) [1968], Forelesninger om Chevalley Groups , University Lecture Series, 66 , American Mathematical Society , doi : 10.1090/ulect/066 , ISBN 978-1-4704-3105-1, MR  3616493
• Tits, Jacques (1964), "Algebraiske og abstrakte enkle grupper", Annals of Mathematics , 80 (2): 313–329, doi : 10.2307/1970394 , JSTOR  1970394 , MR  0164968

Eksterne linker

• Demazure, M .; Grothendieck, A. , Gille, P .; Polo, P. (red.), Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux Revidert og kommentert utgave av originalen fra 1970.