Indre form - Inner form

I matematik, en indre form, af en algebraisk gruppe over et felt er en anden algebraisk gruppe , således at der findes en isomorfi mellem og defineret i (det betyder, at er en -formen af ) og endvidere for hver Galois automorfi den automorfi er en indre automorfisme af (dvs. konjugering med et element af ). ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ overline {K}}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ sigma \ in \ mathrm {Gal} ({\ overline {K}}/K)}$${\ displaystyle \ phi ^{-1} \ circ \ phi ^{\ sigma}}$${\ displaystyle G ({\ overline {K}})}$${\ displaystyle G ({\ overline {K}})}$

Gennem korrespondancen mellem -former og Galois -kohomologien betyder dette, at det er forbundet med et element i delsættet, hvor er undergruppen af ​​indre automorfismer af . ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle H^{1} (\ mathrm {Gal} ({\ overline {K}}/K), \ mathrm {Inn} (G))}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H^{1} (\ mathrm {Gal} ({\ overline {K}}/K), \ mathrm {Inn} (G))}$${\ displaystyle \ mathrm {Inn} (G)}$${\ displaystyle G}$

At være indre former for hinanden er en ækvivalensrelation på sæt af -former for en given algebraisk gruppe. ${\ displaystyle K}$

En form, der ikke er indre, kaldes en ydre form . I praksis at kontrollere, om en gruppe er en indre eller ydre form, man ser på virkningen af Galoisgruppen på Dynkin diagram af (induceret af dets virkning på , som bevarer enhver torus og dermed virker på rødderne). To grupper er indre former for hinanden, hvis og kun hvis de handlinger, de definerer, er de samme. ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} ({\ overline {K}}/K)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G ({\ overline {K}})}$

For eksempel er -formerne for sig selv og de enhedsgrupper og . De to sidstnævnte er ydre former for , og de er indre former for hinanden. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {3} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2,1)}$${\ displaystyle \ mathrm {SU} (3)}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {3} (\ mathbb {R})}$

Referencer

• Tits, Jacques (1966), "Klassificering af algebraiske semisimple grupper", i Borel, Armand ; Mostow, George D. (red.), Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 33–62, ISBN 978-0-8218-1409-3, MR  0224710

Denne abstrakte algebra -relaterede artikel er en stubbe . Du kan hjælpe Wikipedia ved at udvide den .

• v
• t
• e