Liste over enkle løgngrupper - List of simple Lie groups

I matematik blev de enkle Lie-grupper først klassificeret af Wilhelm Killing og senere perfektioneret af Élie Cartan . Denne klassificering kaldes ofte Killing-Cartan klassificering.

Listen over enkle lie-grupper kan bruges til at aflæse listen over enkle Lie algebraer og Riemanniske symmetriske rum . Se også tabellen over Lie-grupper for en mindre liste over grupper, der ofte forekommer i teoretisk fysik , og Bianchi-klassificeringen for højst grupper med dimension 3.

Simple Lie grupper

Desværre er der ingen universelt accepteret definition af en simpel Lie-gruppe . Især defineres det ikke altid som en Lie-gruppe, der er enkel som en abstrakt gruppe. Forfattere er forskellige om, hvorvidt en enkel Lie-gruppe skal tilsluttes, eller om det er tilladt at have et ikke-trivielt center, eller om R er en simpel Lie-gruppe.

Den mest almindelige definition er, at en Lie-gruppe er enkel, hvis den er tilsluttet, ikke-abelisk, og hver lukket tilsluttet normal undergruppe er enten identiteten eller hele gruppen. Især har enkle grupper lov til at have et ikke-trivielt centrum, men R er ikke simpelt.

I denne artikel er de tilsluttede enkle Lie-grupper med trivielt centrum anført. Når disse er kendt, er det nemt at liste dem med ikke-trivielt centrum som følger. Enhver enkel Lie-gruppe med trivielt centrum har et universelt dækning , hvis centrum er den grundlæggende gruppe i den enkle Lie-gruppe. De tilsvarende enkle Lie-grupper med ikke-trivielt centrum kan fås som kvoter på denne universelle dækning af en undergruppe af centrum.

Simple Lie algebras

Løgalgebraen fra en simpel løggruppe er en simpel løgnalgebra. Dette er en en-til-en-korrespondance mellem tilsluttede enkle løgngrupper med trivielt centrum og enkle Lie-algebraer med dimension større end 1. (Forfattere adskiller sig fra, om den endimensionelle Lie-algebra skal regnes som enkel.)

Over de komplekse tal klassificeres den semisimple Lie algebras efter deres Dynkin-diagrammer af typerne "ABCDEFG". Hvis L er en rigtig simpel Lie algebra, dens complexification er en simpel kompleks Lie algebra, medmindre L er allerede complexification af en Lie algebra, i hvilket tilfælde complexification af L er et produkt af to kopier af L . Dette reducerer problemet med at klassificere de reelle enkle Lie-algebraer til at finde alle de reelle former for hver komplekse enkle Lie-algebra (dvs. ægte Lie-algebraer, hvis kompleksificering er den givne komplekse Lie-algebra). Der er altid mindst 2 sådanne former: en delt form og en kompakt form, og der er normalt et par andre. De forskellige virkelige former svarer til klasserne af automatiske ordener af orden højst 2 af det komplekse Lie algebra.

Symmetriske mellemrum

Symmetriske rum klassificeres som følger.

For det første er det universelle dæksel i et symmetrisk rum stadig symmetrisk, så vi kan reducere til tilfældet med simpelt tilsluttede symmetriske rum. (For eksempel er det universelle dækning af et ægte projektivt plan en sfære.)

For det andet er produktet af symmetriske rum symmetrisk, så vi kan lige så godt bare klassificere de ureducerbare simpelthen forbundne (hvor irreducible betyder, at de ikke kan skrives som et produkt af mindre symmetriske rum).

De ureducerbare simpelt forbundne symmetriske rum er den rigtige linje, og nøjagtigt to symmetriske rum svarende til hver ikke-kompakt enkel Lie-gruppe G , et kompakt og et ikke-kompakt. Den ikke-kompakte ene er et dække af kvotienten af G ved en maksimal kompakt undergruppe H , og den kompakte ene er et dække af kvotienten af den kompakte form af G af den samme undergruppe H . Denne dualitet mellem kompakte og ikke-kompakte symmetriske rum er en generalisering af den velkendte dualitet mellem sfærisk og hyperbolisk geometri.

Hermitiske symmetriske rum

Et symmetrisk rum med en kompatibel kompleks struktur kaldes Hermitian. De kompakte, enkelt forbundne irreducible Hermitian symmetriske rum falder i 4 uendelige familier med 2 ekstraordinære rester tilbage, og hver har en ikke-kompakt dual. Derudover er det komplekse plan også et hermitisk symmetrisk rum; dette giver den komplette liste over irreducible hermitiske symmetriske rum.

De fire familier er typerne A III, B I og D I for p = 2 , D III og C I, og de to usædvanlige er typer E III og E VII med komplekse dimensioner 16 og 27.

Notation

${\ displaystyle \ mathbb {R, C, H, O}}$ stå for de reelle tal, komplekse tal, kvaternioner og octonions .

I symbolerne som E ₆⁻²⁶ for de usædvanlige grupper er eksponenten −26 underskriften på en invariant symmetrisk bilinær form, der er negativ bestemt på den maksimale kompakte undergruppe. Det er lig med dimensionen af gruppen minus to gange dimensionen af en maksimal kompakt undergruppe.

Den grundlæggende gruppe, der er anført i nedenstående tabel, er den grundlæggende gruppe for den enkle gruppe med trivielt centrum. Andre enkle grupper med den samme Lie-algebra svarer til undergrupper i denne grundlæggende gruppe (modulo handlingen fra den ydre automorfismegruppe).

Liste

Abelian

	Dimension	Ydre automorfismegruppe	Dimension af det symmetriske rum	Symmetrisk plads	Bemærkninger
R (Abelian)	1	R ^∗	1	R

Kompakt

	Dimension	Grundlæggende gruppe	Ydre automorfi gruppe	Andre navne	Bemærkninger
En _n ( n ≥ 1 ) kompakt	n ( n + 2)	Cyklisk, rækkefølge n + 1	1 hvis n = 1 , 2 hvis n > 1 .	projektiv speciel enhedsgruppe PSU ( n + 1)	A ₁ er det samme som B ₁ og C ₁
B _n ( n ≥ 2 ) kompakt	n (2 n + 1)	2	1	særlig ortogonal gruppe SO_{2 n +1} ( R )	B ₁ er den samme som A ₁ og C ₁ . B ₂ er den samme som C ₂ .
C _n ( n ≥ 3 ) kompakt	n (2 n + 1)	2	1	projektiv kompakt symplektisk gruppe PSP ( n ), PSP (2 n ), PUSp ( n ), PUSp (2 n )	Hermitisk. Komplekse strukturer af H ⁿ . Kopier af komplekst projektivt rum i kvartær projektivt rum.
D _n ( n ≥ 4 ) kompakt	n (2 n - 1)	Ordre 4 (cyklisk når n er ulige).	2 hvis n > 4 , S ₃ hvis n = 4	projektiv speciel ortogonal gruppe PSO _{2 n} ( R )	D ₃ er den samme som A ₃ , D ₂ er den samme som A ₁² , og D ₁ er abelsk.
E ₆⁻⁷⁸ kompakt	78	3	2
E ₇⁻¹³³ kompakt	133	2	1
E ₈⁻²⁴⁸ kompakt	248	1	1
F ₄⁻⁵² kompakt	52	1	1
G ₂⁻¹⁴ kompakt	14	1	1		Dette er automorfismegruppen i Cayley algebra.

Dele

	Dimension	Rigtig rang	Maksimal kompakt undergruppe	Grundlæggende gruppe	Ydre automorfi gruppe	Andre navne	Dimension af det symmetriske rum	Kompakt symmetrisk plads	Ikke-kompakt symmetrisk rum	Bemærkninger
En _n I ( n ≥ 1) split	n ( n + 2)	n	D _{n / 2} eller B _{( n −1) / 2}	Uendelig cyklisk, hvis n = 1 2, hvis n ≥ 2	1 hvis n = 1 2 hvis n ≥ 2.	projektiv speciel lineær gruppe PSL _{n +1} (R)	n ( n + 3) / 2	Reelle strukturer på C ^{n +1} eller sæt RP ⁿ i CP ⁿ . Hermitisk hvis n = 1 , i hvilket tilfælde det er 2-kuglen.	Euklidiske strukturer på R ^{n +1} . Hermitisk hvis n = 1 , når det er det øverste halvplan eller enhedskompleksskive.
B _n I ( n ≥ 2) split	n (2 n + 1)	n	SO ( n ) SO ( n +1)	Ikke-cyklisk, ordre 4	1	identitetskomponent i særlig ortogonal gruppe SO ( n , n +1)	n ( n + 1)			B ₁ er den samme som A ₁ .
C _n I ( n ≥ 3) split	n (2 n + 1)	n	A _{n −1}S ¹	Uendelig cyklisk	1	projektiv symplektisk gruppe PSp _{2 n} ( R ), PSp (2 n , R ), PSp (2 n ), PSp ( n , R ), PSp ( n )	n ( n + 1)	Hermitisk. Komplekse strukturer af H ⁿ . Kopier af komplekst projektivt rum i kvartær projektivt rum.	Hermitisk. Komplekse strukturer på R ^{2 n, der er} kompatible med en symplektisk form. Sæt med komplekse hyperboliske rum i kvartært hyperbolisk rum. Siegel øverste halvdel plads.	C ₂ er det samme som B ₂ , og C ₁ er den samme som B ₁ og A ₁ .
D _n I ( n ≥ 4) split	n (2 n - 1)	n	SO ( n ) SO ( n )	For 4 hvis n ulige, 8, hvis n selv	2 hvis n > 4 , S ₃ hvis n = 4	identitetskomponent i den projektive særlige ortogonale gruppe PSO ( n , n )	n ²			D ₃ er den samme som A ₃ , D ₂ er den samme som A ₁² , og D ₁ er abelsk.
E ₆⁶ Jeg splittede	78	6	C ₄	Ordre 2	Ordre 2	EI	42
E ₇⁷ V split	133	7	A ₇	Cyklisk, ordre 4	Ordre 2		70
E ₈⁸ VIII split	248	8	D ₈	2	1	E VIII	128			@ E8
F ₄⁴ Jeg delte	52	4	C ₃ × A ₁	Ordre 2	1	FI	28	Kvaternioniske projektive planer i Cayley projektive plan.	Hyperboliske kvartære projektive planer i hyperboliske Cayley projektive plan.
G ₂² Jeg delte	14	2	A ₁ × A ₁	Ordre 2	1	GI	8	Kvaternioniske subalgebras af Cayley-algebraen. Kvaternion-Kähler.	Ikke-opdelte kvaternioniske subalgebras af den ikke-opdelte Cayley-algebra. Kvaternion-Kähler.

Kompleks

	Rigtig dimension	Rigtig rang	Maksimal kompakt undergruppe	Grundlæggende gruppe	Ydre automorfi gruppe	Andre navne	Dimension af det symmetriske rum	Kompakt symmetrisk plads	Ikke-kompakt symmetrisk rum
Et _n ( n ≥ 1) kompleks	2 n ( n + 2)	n	A _n	Cyklisk, rækkefølge n + 1	2 hvis n = 1 , 4 (ikke-cyclisk), hvis n ≥ 2 .	projektiv kompleks speciel lineær gruppe PSL _{n +1} ( C )	n ( n + 2)	Kompakt gruppe A _n	Hermitisk formularer på C ^{n +1} med fast lydstyrke.
B _n ( n ≥ 2) kompleks	2 n (2 n + 1)	n	B _n	2	Ordre 2 (kompleks konjugering)	kompleks speciel ortogonal gruppe SO _{2 n +1} ( C )	n (2 n + 1)	Kompakt gruppe B _n
C _n ( n ≥ 3) kompleks	2 n (2 n + 1)	n	C _n	2	Ordre 2 (kompleks konjugering)	projektiv kompleks symplektisk gruppe PSp _{2 n} ( C )	n (2 n + 1)	Kompakt gruppe C _n
D _n ( n ≥ 4) kompleks	2 n (2 n - 1)	n	D _n	Ordre 4 (cyklisk når n er ulige)	Ikke-cyklisk i rækkefølge 4 for n > 4 , eller produktet fra en gruppe i rækkefølge 2 og den symmetriske gruppe S _3, når n = 4 .	projektiv kompleks speciel ortogonal gruppe PSO _{2 n} ( C )	n (2 n - 1)	Kompakt gruppe D _n
E ₆ kompleks	156	6	E ₆	3	Ordre 4 (ikke-cyklisk)		78	Kompakt gruppe E ₆
E ₇ kompleks	266	7	E ₇	2	Ordre 2 (kompleks konjugering)		133	Kompakt gruppe E ₇
E ₈ kompleks	496	8	E ₈	1	Ordre 2 (kompleks konjugering)		248	Kompakt gruppe E ₈
F ₄ kompleks	104	4	F ₄	1	2		52	Kompakt gruppe F ₄
G ₂ kompleks	28	2	G ₂	1	Ordre 2 (kompleks konjugering)		14	Kompakt gruppe G ₂

Andre

	Dimension	Rigtig rang	Maksimal kompakt undergruppe	Grundlæggende gruppe	Ydre automorfi gruppe	Andre navne	Dimension af det symmetriske rum	Kompakt symmetrisk plads	Ikke-kompakt symmetrisk rum	Bemærkninger
A _{2 n −1} II ( n ≥ 2)	(2 n - 1) (2 n + 1)	n - 1	C _n	Ordre 2		SL _n ( H ), SU ^∗ (2 n )	( n - 1) (2 n + 1)	Kvaternioniske strukturer på C ^{2 n er} kompatible med den hermitiske struktur	Kopier af kvartært hyperbolsk rum (af dimension n - 1 ) i komplekst hyperbolsk rum (af dimension 2 n - 1 ).
A _n III ( n ≥ 1) p + q = n + 1 (1 ≤ p ≤ q )	n ( n + 2)	p	A _{p −1}A _{q −1}S ¹			SU ( p , q ), A III	2 pq	Hermitisk . Græsmannsk af p- underrum af C ^{p + q} . Hvis p eller q er 2; quaternion-Kähler	Hermitisk. Grassmannian af maksimale positive bestemte underrum af C ^{p , q} . Hvis p eller q er 2, quaternion-Kähler	Hvis p = q = 1, skal du dele If \| p - q \| ≤ 1, kvasi-delt
B _n I ( n > 1) p + q = 2 n +1	n (2 n + 1)	min ( p , q )	SO ( p ) SO ( q )			SO ( p , q )	pq	Græsmann af R ^p s i R ^{p + q} . Hvis p eller q er 1, Projektivt rum Hvis p eller q er 2; Hermitisk Hvis p eller q er 4, kvartær-Kähler	Grassmannian af positiv konkret R ^p r i R ^{p , q} . Hvis p eller q er 1, Hyperbolisk rum Hvis p eller q er 2, Hermitian Hvis p eller q er 4, quaternion-Kähler	Hvis \| p - q \| ≤ 1, opdelt.
C _n II ( n > 2) n = p + q (1 ≤ p ≤ q )	n (2 n + 1)	min ( p , q )	C _p C _q	Ordre 2	1 hvis p ≠ q , 2 hvis p = q .	Sp _{2 p , 2 q} (R)	4 pq	Græsmann af H ^p s i H ^{p + q} . Hvis p eller q er 1, kvartært projektivt rum, i hvilket tilfælde det er kvartær-Kähler.	H ^p r i H ^{p , q} . Hvis p eller q er 1, er kvaternionisk hyperbolisk rum, i hvilket tilfælde det er kvartær-Kähler.
D _n I ( n ≥ 4) p + q = 2 n	n (2 n - 1)	min ( p , q )	SO ( p ) SO ( q )		Hvis p og q ≥ 3, skal du bestille 8.	SO ( p , q )	pq	Græsmann af R ^p s i R ^{p + q} . Hvis p eller q er 1, Projektivt rum Hvis p eller q er 2; Hermitisk Hvis p eller q er 4, kvartær-Kähler	Grassmannian af positiv konkret R ^p r i R ^{p , q} . Hvis p eller q er 1, Hyperbolic Space Hvis p eller q er 2, Hermitian Hvis p eller q er 4, quaternion-Kähler	Hvis p = q , skal du dele If \| p - q \| ≤ 2, kvasi-delt
D _n III ( n ≥ 4)	n (2 n - 1)	⌊ n / 2⌋	A _{n −1}R ¹	Uendelig cyklisk	Ordre 2	SO ^* (2n)	n ( n - 1)	Hermitisk. Komplekse strukturer på R ^{2 n} forenelig med euklidiske struktur.	Hermitisk. Kvaterniel kvadratiske former på R ^{2 n} .
E ₆² II (quasi-split)	78	4	A ₅A ₁	Cyklisk, ordre 6	Ordre 2	E II	40	Kvaternion-Kähler.	Kvaternion-Kähler.	Kvasi-delt, men ikke delt.
E ₆⁻¹⁴ III	78	2	D ₅S ¹	Uendelig cyklisk	Trivial	E III	32	Hermitisk. Rosenfeld elliptisk projektivt plan over de komplekse Cayley-numre.	Hermitisk. Rosenfeld hyperbolisk projektivt plan over det komplekse Cayley-tal.
E ₆⁻²⁶ IV	78	2	F ₄	Trivial	Ordre 2	E IV	26	Sæt Cayley-projektive planer i det projektive plan over de komplekse Cayley-numre.	Sæt Cayley hyperboliske plan i det hyperboliske plan over det komplekse Cayley tal.
E ₇⁻⁵ VI	133	4	D ₆A ₁	Ikke-cyklisk, ordre 4	Trivial	E VI	64	Kvaternion-Kähler.	Kvaternion-Kähler.
E ₇⁻²⁵ VII	133	3	E ₆S ¹	Uendelig cyklisk	Ordre 2	E VII	54	Hermitisk.	Hermitisk.
E ₈⁻²⁴ IX	248	4	E ₇ × A ₁	Ordre 2	1	E IX	112	Kvaternion-Kähler.	Kvaternion-Kähler.
F ₄⁻²⁰ II	52	1	B ₄ (spin ₉ ( R ))	Ordre 2	1	F II	16	Cayley projektive plan. Kvaternion-Kähler.	Hyperbolisk Cayley projektivt plan. Kvaternion-Kähler.

Simple Lie-grupper med lille dimension

Følgende tabel viser nogle Lie-grupper med enkle Lie algebras med lille dimension. Grupperne på en given linje har alle den samme Lie-algebra. I tilfælde af dimension 1 er grupperne abeliske og ikke enkle.

Svag	grupper		Symmetrisk plads	Kompakt dobbelt	Rang	Svag
1	R , S ¹ = U (1) = SO ₂ ( R ) = Centrifugering (2)	Abelian	Rigtig linje		0	1
3	S ³ = Sp (1) = SU (2) = Spin (3), SO ₃ ( R ) = PSU (2)	Kompakt
3	SL ₂ ( R ) = Sp ₂ ( R ), SO _2,1 ( R )	Split, hermitisk, hyperbolisk	Hyperbolisk plan H ²	Kugle S ²	1	2
6	SL ₂ ( C ) = Sp ₂ ( C ), SO _3,1 ( R ), SO ₃ ( C )	Kompleks	Hyperbolisk rum H ³	Kugle S ³	1	3
8	SL ₃ ( R )	Dele	Euklidiske strukturer på R ³	Rigtige strukturer på C ³	2	5
8	SU (3)	Kompakt
8	SU (1,2)	Hermitisk, kvasi-delt, kvartær	Kompleks hyperbolisk plan	Kompleks projektivt plan	1	4
10	Sp (2) = Spin (5), SO ₅ ( R )	Kompakt
10	SO _4,1 ( R ), Sp _2,2 ( R )	Hyperbolisk, kvartær	Hyperbolisk rum H ⁴	Kugle S ⁴	1	4
10	SO _3,2 ( R ), Sp ₄ ( R )	Split, Hermitian	Siegel øverste halvdel plads	Komplekse strukturer på H ²	2	6
14	G ₂	Kompakt
14	G ₂	Opdelt, kvartær	Ikke-divisions kvaternioniske subalgebras af ikke-divisionsoktioner	Kvaternioniske subalgebras af octonions	2	8
15	SU (4) = Spin (6), SO ₆ ( R )	Kompakt
15	SL ₄ ( R ), SO _3,3 ( R )	Dele	R ³ i R ^3,3	Græsmann G (3,3)	3	9
15	SU (3,1)	hermitisk	Kompleks hyperbolsk plads	Kompleks projektivt rum	1	6
15	SU (2,2), SO _4,2 ( R )	Hermitisk, kvasi-delt, kvartær	R ² i R ^2,4	Græsmannsk G (2,4)	2	8
15	SL ₂ (H), SO _5,1 ( R )	hyperbolsk	Hyperbolisk rum H ⁵	Kugle S ⁵	1	5
16	SL ₃ ( C )	Kompleks		SU (3)	2	8
20	SO ₅ ( C ), Sp ₄ ( C )	Kompleks		Spin ₅ ( R )	2	10
21	SO ₇ ( R )	Kompakt
21	SO _6,1 ( R )	hyperbolsk	Hyperbolisk rum H ⁶	Kugle S ⁶
21	SO _5,2 ( R )	hermitisk
21	SO _4,3 ( R )	Opdelt, kvartær
21	Sp (3)	Kompakt
21	Sp ₆ ( R )	Splittet, hermitisk
21	Sp _4,2 ( R )	kvaterniel
24	SU (5)	Kompakt
24	SL ₅ ( R )	Dele
24	SU _4,1	hermitisk
24	SU _3,2	Hermitisk, kvartær
28	SO ₈ ( R )	Kompakt
28	SO _7,1 ( R )	hyperbolsk	Hyperbolisk rum H ⁷	Kugle S ⁷
28	SO _6,2 ( R )	hermitisk
28	SO _5,3 ( R )	Kvasi-split
28	SO _4,4 ( R )	Opdelt, kvartær
28	SO ^∗₈ ( R )	hermitisk
28	G ₂ ( C )	Kompleks
30	SL ₄ ( C )	Kompleks

Noter

^ † GruppenRer ikke simpel som en abstrakt gruppe, og ifølge de fleste (men ikke alle) definitioner er dette ikke en simpel løgngruppe. De fleste forfattere regner ikke dens Lie algebra som en simpel Lie algebra. Det er anført her, så listen over ureducerbare simpelthen tilsluttede symmetriske rum er komplet. Bemærk, atRer det eneste sådanne ikke-kompakte symmetriske rum uden en kompakt dual (selvom det har en kompakt kvotientS¹).

Yderligere læsning

Besse, Einstein manifolder ISBN 0-387-15279-2
Helgason, Differentialgeometri, Liegrupper og symmetriske rum . ISBN 0-8218-2848-7
Fuchs og Schweigert, Symmetries, Lie algebras og repræsentationer: et kandidatkursus for fysikere. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-54119-0

Languages

In other projects