Coxeter element - Coxeter element

I matematik , det Coxeter nummer h er den rækkefølge af en Coxeter element af en irreducible Coxeter gruppe . Det er opkaldt efter HSM Coxeter .

Definitioner

Bemærk, at denne artikel antager en begrænset Coxeter -gruppe. For uendelige Coxeter -grupper er der flere konjugeringsklasser af Coxeter -elementer, og de har uendelig rækkefølge.

Der er mange forskellige måder at definere Coxeter nummer h på et ureducerbart rodsystem.

Et Coxeter -element er et produkt af alle enkle refleksioner. Produktet afhænger af den rækkefølge, de tages i, men forskellige bestillinger producerer konjugerede elementer, som har samme rækkefølge .

• Coxeter -nummeret er rækkefølgen for ethvert Coxeter -element; .
• Coxeter -tallet er 2 m / n , hvor n er rangen, og m er antallet af refleksioner. I det krystallografiske tilfælde er m det halve af antallet af rødder ; og 2m + n er dimensionen af ​​den tilsvarende semisimple Lie -algebra .
• Hvis den højeste rod er Σ m _i α _i for simple rødder α _i , så er Coxeter -tallet 1 + Σ m _i .
• Coxeter -tallet er den højeste grad af en fundamental invariant af Coxeter -gruppen, der virker på polynomier.

Coxeter -nummeret for hver Dynkin -type er angivet i følgende tabel:

Coxeter gruppe		Coxeter diagram	Dynkin -diagram	Refleksioner m = nh /2	Coxeter nummer h	Dual Coxeter nummer	Grader af fundamentale invarianter
A n	[3,3 ..., 3]	...	...	n ( n +1)/2	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B n	[4,3 ..., 3]	...	...	n 2	2 n	2 n - 1	2, 4, 6, ..., 2 n
C n			...			n + 1
D n	[3,3, .. 3 1,1 ]	...	...	n ( n -1)	2 n - 2	2 n - 2	n ; 2, 4, 6, ..., 2 n - 2
E 6	[3 2,2,1 ]			36	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7	[3 3,2,1 ]			63	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E 8	[3 4,2,1 ]			120	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F 4	[3,4,3]			24	12	9	2, 6, 8, 12
G 2	[6]			6	6	4	2, 6
H 3	[5,3]		-	15	10		2, 6, 10
H 4	[5,3,3]		-	60	30		2, 12, 20, 30
I 2 ( p )	[p]		-	s	s		2, s

Invarianterne i Coxeter -gruppen, der virker på polynomer, danner en polynomalgebra, hvis generatorer er de grundlæggende invarianter; deres grader er angivet i tabellen ovenfor. Bemærk, at hvis m er en grad af en fundamental invariant, så er h  + 2 -  m det også .

Egenværdierne for et Coxeter -element er tallene e ^{2π i ( m  - 1)/ h,} når m løber gennem graderne af de fundamentale invarianter. Da dette starter med m  = 2, inkluderer disse den primitive h roden af ​​enhed , ζ _h  =  e ^{2π i / h} , som er vigtig i Coxeter -planet , herunder.

Gruppebestilling

Der er relationer mellem rækkefølgen g i Coxeter -gruppen og Coxeter -tallet h :

• [p]: 2t/g _p = 1
• [p, q]: 8/g _{p, q} = 2/p + 2/q -1
• [p, q, r]: 64h/g _{p, q, r} = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r
• [p, q, r, s]: 16/g _{p, q, r, s} = 8/g _{p, q, r} + 8/g _{q, r, s} + 2/(ps) - 1/p - 1 /q - 1/r - 1/s +1
• ...

For eksempel har [3,3,5] h = 30, så 64*30/g = 12 - 3-6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, så g = 1920*15/2 = 960*15 = 14400.

Coxeter elementer

Særlige Coxeter -elementer svarer til orienteringerne i Coxeter -diagrammet (dvs. til Dynkin -koger ): de enkle refleksioner, der svarer til kildehoder, skrives først, nedstrøms hjørner senere og synker sidst. (Valg af rækkefølge blandt ikke-tilstødende hjørner er irrelevant, da de svarer til pendlingsreflektioner.) Et særligt valg er den skiftende orientering, hvor de enkle refleksioner er opdelt i to sæt ikke-tilstødende hjørner, og alle kanter er orienteret fra det første til det andet sæt. Den skiftende orientering frembringer et specielt Coxeter -element w tilfredsstillende , hvor w ₀ er det længste element , forudsat at Coxeter -tallet h er lige. ${\ displaystyle w^{h/2} = w_ {0}}$

For den symmetriske gruppe på n -elementer, Coxeter -elementer er visse n -cykler: produktet af simple refleksioner er Coxeter -elementet . For n jævn er den skiftende orientering Coxeter -element: ${\ displaystyle A_ {n-1} \ cong S_ {n}}$${\ displaystyle (1,2) (2,3) \ cdots (n {-} 1 \, n)}$${\ displaystyle (1,2,3, \ dots, n)}$

${\ displaystyle (1,2) (3,4) \ cdots (2,3) (4,5) \ cdots = (2,4,6, \ ldots, n {-} 2, n, n {-} 1, n {-} 3, \ ldots, 5,3,1).}$

Der er forskellige Coxeter -elementer blandt n -cyklerne. ${\ displaystyle 2^{n-2}}$${\ displaystyle (n {-} 1)!}$

Den dihedrale gruppe Dih _p genereres af to overvejelser, der danner en vinkel på , og dermed de to Coxeter elementer er deres produkt i vilkårlig rækkefølge, som er en drejning af . ${\ displaystyle 2 \ pi /2p}$${\ displaystyle \ pm 2 \ pi /p}$

Coxeter fly

Projektion af E ₈ rodsystem på Coxeter plan, der viser 30 gange symmetri.

For et givet Coxeter -element w er der et unikt plan P, på hvilket w virker ved rotation med 2π/ h. Dette kaldes Coxeter -planet og er det plan, hvorpå P har egenværdier e ^{2π i / h} og e ^{−2π i / h}  =  e ^{2π i ( h −1) / h} . Dette fly blev først systematisk undersøgt i ( Coxeter 1948 ), og efterfølgende brugt i ( Steinberg 1959 ) til at levere ensartede beviser for egenskaber ved Coxeter -elementer.

Coxeter -planet bruges ofte til at tegne diagrammer over højere dimensionelle polytoper og rodsystemer -polytopens hjørner og kanter eller rødder (og nogle kanter, der forbinder disse) projekteres ortogonalt på Coxeter -planet, hvilket giver en Petrie -polygon med h - fold rotationssymmetri. For rodsystemer er der ingen rodkort til nul, svarende til at Coxeter -elementet ikke fikserer nogen rod eller rettere akse (uden egenværdi 1 eller −1), så projektionerne af baner under w danner h -foldige cirkulære arrangementer, og der er en tom midten, som i E ₈ -diagrammet øverst til højre. For polytoper kan et toppunkt kortlægge til nul, som vist nedenfor. Fremskrivninger på Coxeter -planet er vist nedenfor for de platoniske faste stoffer .

I tre dimensioner har symmetrien af ​​en almindelig polyeder , {p, q}, med en rettet Petrie -polygon markeret, defineret som en sammensætning af 3 refleksioner, rotoinversionssymmetri S _h , [2 ⁺ , h ⁺ ], rækkefølge h . Tilføjelse af et spejl, symmetrien kan fordobles til antiprismatisk symmetri, D _hd , [2 ⁺ , h], rækkefølge 2 h . I ortogonal 2D -projektion bliver dette til dihedral symmetri , Dih _h , [h], rækkefølge 2 h .

Coxeter gruppe	A 3 T d	B 3 O h		H 3 I h
Regelmæssigt polyeder	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Symmetri	S 4 , [2 + , 4 + ], (2 ×) D 2d , [2 + , 4], (2*2)	S 6 , [2 + , 6 + ], (3 ×) D 3d , [2 + , 6], (2*3)		S 10 , [2 + , 10 + ], (5 ×) D 5d , [2 + , 10], (2*5)
Coxeter plan symmetri	Di 4 , [4], (*4 •)	Di 6 , [6], (*6 •)		Dih 10 , [10], (*10 •)
Petrie-polygoner af de platoniske faste stoffer, der viser 4, 6, og 10 gange symmetri.

I fire dimensioner er symmetrien af ​​en almindelig polychoron , {p, q, r}, med en rettet Petrie -polygon markeret en dobbelt rotation , defineret som en sammensat af 4 reflekser, med symmetri + ¹ / _h [C _h × C _h ] ( John H. Conway ), (C _2h /C ₁ ; C _2h /C ₁ ) (#1 ', Patrick du Val (1964)), rækkefølge h .

Coxeter gruppe	A 4	B 4		F 4	H 4
Almindelig polychoron	{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Symmetri	+ 1 / 5 [C 5 × C 5 ]	+ 1 / 8 [C 8 × C 8 ]		+ 1 / 12 [C 12 × C 12 ]	+ 1 / 30 [C 30 × C 30 ]
Coxeter plan symmetri	Di 5 , [5], (*5 •)	Di 8 , [8], (*8 •)		Dih 12 , [12], (*12 •)	Dih 30 , [30], (*30 •)
Petrie-polygoner af de almindelige 4D-faste stoffer, der viser 5-fold, 8-fold, 12-fold og 30-fold symmetri.

I fem dimensioner er symmetrien for en almindelig 5-polytop , {p, q, r, s}, med en rettet Petrie-polygon markeret, repræsenteret af sammensætningen af ​​5 refleksioner.

Coxeter gruppe	A 5	B 5		D 5
Almindelig polyteron	{3,3,3,3}	{3,3,3,4}	{4,3,3,3}	h {4,3,3,3}
Coxeter plan symmetri	Di 6 , [6], (*6 •)	Dih 10 , [10], (*10 •)		Di 8 , [8], (*8 •)

I dimensionerne 6 til 8 er der 3 usædvanlige Coxeter -grupper; en ensartet polytop fra hver dimension repræsenterer rødderne i de usædvanlige Lie -grupper E _n . Coxeter -elementerne er henholdsvis 12, 18 og 30.

E _n grupper

Coxeter gruppe	E6	E7	E8
Kurve	1 22	2 31	4 21
Coxeter plan symmetri	Dih 12 , [12], (*12 •)	Dih 18 , [18], (*18 •)	Dih 30 , [30], (*30 •)

Se også

• Længste element i en Coxeter -gruppe

Noter

Referencer