Borel undergruppe - Borel subgroup

Løgnegrupper
Klassiske grupper
Enkle løgnegrupper Klassisk A n B n C n D n Enestående G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Andre løgnegrupper Cirkel Lorentz Poincaré Konform gruppe Diffeomorfisme Sløjfe Euklidisk
Løg algebraer
Semisimple Lie algebra
Repræsentationsteori
Løgnegrupper i fysik
Forskere Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Ordliste Tabel over løgnegrupper
v t e

I teorien om algebraiske grupper er en Borel-undergruppe af en algebraisk gruppe G en maksimal Zariski-lukket og forbundet løsbar algebraisk undergruppe . For eksempel i den generelle lineære gruppe GL _n ( nxn invertibel matricer), undergruppen af invertible øvre trekantede matrixer er en Borel undergruppe.

For grupper realiseret over algebraisk lukkede felter er der en enkelt konjugatklasse af Borel-undergrupper.

Borel-undergrupper er en af ​​de to nøgleingredienser til forståelse af strukturen i enkle (mere generelt, reduktive ) algebraiske grupper i Jacques Tits 'teori om grupper med et (B, N) par . Her gruppen B er en Borel undergruppe og N er normalizer of a maksimale torus indeholdt i B .

Begrebet blev introduceret af Armand Borel , som spillede en førende rolle i udviklingen af ​​teorien om algebraiske grupper.

Parabolske undergrupper

Undergrupper mellem en Borel-undergruppe B og den omgivende gruppe G kaldes parabolske undergrupper . Parabolske undergrupper P er også karakteriseret blandt algebraiske undergrupper ved den betingelse, at G / P er en komplet sort . Arbejder over algebraisk lukkede felter, viser Borel-undergrupperne at være de minimale parabolske undergrupper i denne forstand. Således er B en Borel-undergruppe, når det homogene rum G / B er en komplet sort, der er "så stor som muligt".

For en simpel algebraisk gruppe G er sættet af bøjningsklasser af paraboliske undergrupper i sammenhæng med sættet af alle undergrupper af noder i det tilsvarende Dynkin-diagram ; Borel-undergruppen svarer til det tomme sæt, og G selv svarer til sættet med alle noder. (Generelt bestemmer hver node i Dynkin-diagrammet en simpel negativ rod og dermed en endimensionel 'rodgruppe' af G --- en delmængde af noderne giver således en parabolisk undergruppe, genereret af B og de tilsvarende negative rodgrupper. Desuden er enhver parabolisk undergruppe konjugeret til en sådan parabolisk undergruppe.)

Eksempel

Lad . En Borel-undergruppe af er sættet med øvre trekantede matricer ${\ displaystyle G = GL_ {4} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ left \ {A = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ 0 & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & 0 & a_ {33 } & a_ {34} \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}}: \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$

og de maksimale korrekte parabolske undergrupper for at indeholde er ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ 0 & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34} \\ 0 & a_ {42} & a_ {43} & a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}, {\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ { 11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ 0 & 0 & a_ {33} & a_ {34} \\ 0 & 0 & a_ {43} & a_ { 44} \ end {bmatrix}} \ right \}, {\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} \\ a_ {21 } & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34} \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}}$

En maksimal torus i er også ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_ {22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_ {33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_ {44} \ end {bmatrix}}: a_ {11} \ cdot a_ {22} \ cdot a_ {33} \ cdot a_ {44} \ neq 0 \ right \}}$

Dette er isomorf til den algebraiske torus . ${\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {4} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x ^ {\ pm 1}, y ^ {\ pm 1}, z ^ {\ pm 1}, w ^ {\ pm 1}])}$

Løg algebra

I det specielle tilfælde af en Lie-algebra med en Cartan-subalgebra , givet en rækkefølge af , er Borel-subalgebra den direkte sum af og vægtrummet med med positiv vægt. En Lie-subalgebra, der indeholder en Borel-subalgebra, kaldes en parabolisk Lie-algebra . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Se også

• Hyperbolsk gruppe
• Cartan-undergruppe

Referencer

• Gary Seitz (1991). "Algebraiske grupper". I B. Hartley; et al. (red.). Endelige og lokalt begrænsede grupper . s. 45-70.
• J. Humphreys (1972). Lineære algebraiske grupper . New York: Springer. ISBN   0-387-90108-6 .
• A. Borel (2001). Essays i historien om løgnegrupper og algebraiske grupper . Providence RI: AMS. ISBN   0-8218-0288-7 .

Bestemt

eksterne links

• Popov, VL (2001) [1994], "Parabolisk undergruppe" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Platonov, VP (2001) [1994], "Borel subgroup" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press