Fint genereret modul - Finitely generated module

I matematik er et endeligt genereret modul et modul, der har et endeligt genereringssæt . Et endeligt genereret modul over en ring R kan også kaldes et endeligt R- modul , endeligt over R eller et modul af endelig type .

Relaterede begreber inkluderer finjusterede moduler , finit præsenterede moduler , finit relaterede moduler og sammenhængende moduler, som alle er defineret nedenfor. Over en Noetherian-ring falder begreberne med finit-genererede, finitely-præsenterede og sammenhængende moduler sammen.

Et endeligt genereret modul over et felt er simpelthen et endeligt dimensionelt vektorrum , og et endeligt genereret modul over heltalene er simpelthen en endeligt genereret abelsk gruppe .

Definition

Den venstre R- modul M genereres endeligt, hvis der findes en ₁ , en ₂ , ..., en _n i M, således at der for ethvert x i M findes r ₁ , r ₂ , ..., r _n i R med x = r ₁ a ₁ + r ₂ a ₂ + ... + r _n a _n .

Det sæt { a ₁ , a ₂ , ..., en _n } omtales som et genererende sæt af M i dette tilfælde. Et endeligt genererende sæt behøver ikke være et grundlag, da det ikke behøver at være lineært uafhængige løbet R . Hvad der er sandt er: M genereres endeligt, hvis og kun hvis der er et overvejende R- lineært kort :

${\ displaystyle R ^ {n} \ til M}$

for nogle n ( M er en kvotient for et gratis modul af endelig rang.)

Hvis et sæt S genererer et modul, der genereres endeligt, er der et begrænset genereringssæt, der er inkluderet i S , da kun endeligt mange elementer i S er nødvendige for at udtrykke ethvert endeligt genereringssæt, og disse endeligt mange elementer danner et genereringssæt . Det kan imidlertid forekomme, at S ikke indeholder noget begrænset genererende sæt af minimal kardinalitet . For eksempel {1} og sættet af de primtal genererer sæt set som -modul, men en genererer sæt dannet af primtal har mindst to elementer. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

I det tilfælde, hvor modulet M er et vektorrum over et felt R , og generatorsættet er lineært uafhængige , n er veldefineret og omtales som den dimension af M ( veldefineret måde, at enhver lineært uafhængige genererer sæt har n- elementer: dette er dimensionssætningen for vektorrum ).

Ethvert modul er foreningen af ​​det dirigerede sæt af dets finit genererede undermoduler.

Et modul M er endeligt genereres, hvis og kun hvis nogen stigende kæde M _i af undermoduler med union M stabiliserer: dvs. der er nogle jeg således, at M _i = M . Denne kendsgerning med Zorns lemma indebærer, at ethvert ikke-nul-endeligt genereret modul accepterer maksimale undermoduler . Hvis en stigende kæde af submoduler stabiliseres (dvs. ethvert submodul genereres endeligt), kaldes modulet M et Noetherian-modul .

Eksempler

• Hvis et modul genereres af et element, kaldes det et cyklisk modul .
• Lad R være et integreret domæne med K, hvis brøkfelt. Så hver endeligt genereret R -submodule jeg af K er en fraktioneret ideal : det vil sige, der er en vis ikke-nul r i R sådan at rI er indeholdt i R . Faktisk kan man tage r at være produktet af nævnere for generatorerne af jeg . Hvis R er Noetherian, opstår hvert brøkideal på denne måde.
• Endeligt genererede moduler over ringen af heltal Z falder sammen med de endeligt genererede abeliske grupper . Disse klassificeres fuldstændigt efter struktursætningen og tager Z som det primære ideelle domæne.
• Endeligt genererede moduler (f.eks. Venstre) over en delingsring er nøjagtigt endelige dimensionelle vektorrum (over delingsringen).

Nogle fakta

Hvert homomorfe billede af et finit-genereret modul genereres finitely. Generelt behøver undermoduler til finit-genererede moduler ikke at være genereret finit. Som et eksempel skal du overveje ringen R  =  Z [ X ₁ , X ₂ , ...] for alle polynomer i mange variabler. R i sig selv er et endeligt genereret R- modul (med {1} som genereringssæt). Overvej submodulen K bestående af alle de polynomer med nul konstant sigt. Da hvert polynom kun indeholder endeligt mange udtryk, hvis koefficienter er ikke-nul, genereres R- modul K ikke endeligt.

Generelt siges et modul at være Noetherian, hvis hver undermodul genereres endeligt. Et fint genereret modul over en Noetherian-ring er et Noetherian-modul (og denne egenskab karakteriserer faktisk Noetherian-ringe): Et modul over en Noetherian-ring genereres endeligt, hvis og kun hvis det er et Noetherian-modul. Dette ligner, men er ikke ligefrem Hilberts grundlæggende sætning , der siger, at polynomringen R [ X ] over en Noetherian-ring R er Noetherian. Begge kendsgerninger antyder, at en endeligt genereret kommutativ algebra over en Noetherian-ring igen er en Noetherian-ring.

Mere generelt er en algebra (fx ring), der er et endeligt genereret modul, en finit genereret algebra . Omvendt, hvis en finalt genereret algebra er integreret (over koefficientringen), er det finit genereret modul. (Se integreret element for mere.)

Lad 0 → M ′ → M → M ′ ′ → 0 være en nøjagtig række af moduler. Derefter genereres M endeligt, hvis M ′ , M ′ ′ genereres endeligt. Der er nogle delvise samtaler til dette. Hvis M genereres endeligt, og M '' præsenteres endeligt (hvilket er stærkere end endeligt genereret; se nedenfor), genereres M ' finitely. Også M er Noetherian (resp. Artinian), hvis og kun hvis M ′ , M ′ ′ er Noetherian (resp. Artinian).

Lad B være en ring, og A er dens underring, således at B er en trofast flad ret A- modul. Derefter genereres et venstre A- modul F endeligt (resp. Præsenteres endeligt), hvis og kun hvis B- modulet B ⊗ _A F genereres endeligt (resp. Endeligt præsenteret).

Fint genererede moduler over en kommutativ ring

For finit-genererede moduler over en kommutativ ring R er Nakayamas lemma grundlæggende. Nogle gange giver lemmaet en mulighed for at bevise begrænsede dimensionelle vektorrumsfænomener for endeligt genererede moduler. For eksempel, hvis f  : M → M er en Surjective R -endomorphism af et endeligt genereret modul M , derefter f er også injektiv , og dermed er en automorfi af M . Dette siger ganske enkelt, at M er et Hopfian-modul . Ligeledes en Artinian modul M er coHopfian : enhver injektiv endomorfien f er også en surjektiv endomorfien.

Ethvert R- modul er en induktiv grænse for endeligt genererede R- undermoduler. Dette er nyttigt til svækkelse af en antagelse til det endelige tilfælde (f.eks. Karakterisering af fladhed med Tor-funktionen ).

Et eksempel på en sammenhæng mellem endelig generation og integrerede elementer findes i kommutative algebraer. At sige, at en kommutativ algebra A er en endeligt genereret ring over R betyder, at der findes et sæt af elementer G = { x ₁ , ..., x _n } af A, således at den mindste subring af A, der indeholder G og R, er A sig selv. Da ringproduktet kan bruges til at kombinere elementer, genereres mere end bare R- lineære kombinationer af elementer af G. For eksempel genereres en polynomring R [ x ] endeligt af {1, x } som en ring, men ikke som et modul . Hvis A er en kommutativ algebra (med enhed) over R , er følgende to udsagn ækvivalente:

• A er et endeligt genereret R- modul.
• A er både en finitely genereret ring over R og en integreret forlængelse af R .

Generisk rang

Lad M være en finitely genereret modul over en integrerende domæne A med feltet af fraktioner K . Så dimensionen kaldes generisk rang af M løbet A . Dette antal er det samme som antallet af maksimal A -linearly uafhængige vektorer i M eller ækvivalent rang af en maksimal fri undermodul af M . (jf rang af en abelsk gruppe .) Da , er en vridning modul . Når A er Noetherian, ved generisk frihed , er der et element f (afhængigt af M ) sådan, at det er et frit- modul. Så rang af denne gratis modul er den generiske rang af M . ${\ displaystyle \ operatorname {dim} _ {K} (M \ otimes _ {A} K)}$${\ displaystyle (M / F) _ {(0)} = M _ {(0)} / F _ {(0)} = 0}$${\ displaystyle M / F}$${\ displaystyle M [f ^ {- 1}]}$${\ displaystyle A [f ^ {- 1}]}$

Antag nu, at det integrerede domæne A genereres som algebra over et felt k af endeligt mange homogene elementer af grader . Antag M er klassificeret som godt og lad være Poincarés serie af M . Af Hilbert-Serre-sætningen er der et polynom F , der gør det . Så er den generiske rang af M . ${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle P_ {M} (t) = \ sum \ operatorname {dim} _ {k} (M_ {n}) t ^ {n}}$${\ displaystyle P_ {M} (t) = F (t) \ prod (1-t ^ {d_ {i}}) ^ {- 1}}$${\ displaystyle F (1)}$

Et fint genereret modul over et principielt ideelt domæne er torsionsfrit, hvis og kun hvis det er gratis. Dette er en konsekvens af struktursætningen for finit-genererede moduler over et principielt ideelt domæne , hvis grundform siger, at et finit-genereret modul over en PID er en direkte sum af et torsionsmodul og et gratis modul. Men det kan også vises direkte som følger: lad M være et torsionsfrit, endeligt genereret modul over et PID A og F et maksimalt frit submodul. Lad f være i A sådan, at . Derefter er det gratis, da det er en undermodul til et gratis modul, og A er en PID. Men nu er en isomorfisme, da M er torsionsfri. ${\ displaystyle fM \ delmængde F}$${\ displaystyle fM}$${\ displaystyle f: M \ til fM}$

Ved det samme argument som ovenfor er et endeligt genereret modul over et Dedekind-domæne A (eller mere generelt en semi-arvelig ring ) torsionsfri, hvis og kun hvis det er projektivt ; følgelig er et endeligt genereret modul over A en direkte sum af et torsionsmodul og et projektivt modul. Et finitgenereret projektivt modul over et Noetherian-integreret domæne har konstant rang, og den generiske rang af et finitely-genereret modul over A er rang for dets projicerende del.

Ækvivalente definitioner og finjusterede moduler

Følgende betingelser svarer til, at M genereres endeligt (fg):

• For enhver familie af undermoduler { N _i | Jeg ∈ I} i M , hvis , så for nogle finite delmængde F af jeg .${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} N_ {i} = M \,}$${\ displaystyle \ sum _ {i \ in F} N_ {i} = M \,}$
• For enhver kæde af undermoduler { N _i | Jeg ∈ I} i M , hvis , derefter N _jeg = M for nogle i i I .${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ i I} N_ {i} = M \,}$
• Hvis er en epimorphism , så begrænsningen er en epimorphism for nogle finite delmængde F af jeg .${\ displaystyle \ phi: \ bigoplus _ {i \ i I} R \ til M \,}$${\ displaystyle \ phi: \ bigoplus _ {i \ i F} R \ til M \,}$

Fra disse forhold er det let at se, at det at være endeligt genereret er en ejendom, der bevares af Morita-ækvivalens . Betingelserne er også praktisk at definere en dobbelt forestilling om en finitely kraftvarmeproduktion modul M . Følgende betingelser svarer til, at et modul er endeligt cogenereret (f.cog.):

• For enhver familie af undermoduler { N _i | Jeg ∈ I} i M , hvis , så for nogle finite delmængde F af jeg .${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ i I} N_ {i} = \ {0 \} \,}$${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in F} N_ {i} = \ {0 \} \,}$
• For enhver kæde af undermoduler { N _i | i ∈ I} i M , hvis , derefter N _i = {0} for nogle i i I .${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ i I} N_ {i} = \ {0 \} \,}$
• Hvis er en monomorphism , hvor hvert er en R -modul, så er en monomorphism for nogle finite delmængde F af jeg .${\ displaystyle \ phi: M \ to \ prod _ {i \ i I} N_ {i} \,}$${\ displaystyle N_ {i}}$${\ displaystyle \ phi: M \ to \ prod _ {i \ i F} N_ {i} \,}$

Både fg-moduler og f.cog. moduler har interessante relationer til Noetherian og Artinian moduler og Jacobson radikale J ( M ) og socle soc ( M ) i et modul. Følgende fakta illustrerer dualiteten mellem de to betingelser. For et modul M :

• M er Noetherian, hvis og kun hvis hver submodul N af M er fg
• M er kunstnerisk, hvis og kun hvis hvert kvotientmodul M / N er f.cog.
• M er fg, hvis og kun hvis J ( M ) er en overflødig submodul af M , og M / J ( M ) er fg
• M er f.cog. hvis og kun hvis soc ( M ) er en væsentlig submodul af M , og soc ( M ) er fg
• Hvis M er et semisimplemodul (såsom soc ( N ) for ethvert modul N ), er det fg hvis og kun hvis f.cog.
• Hvis M er fg og ikke nul, har M et maksimalt submodul, og ethvert kvotientmodul M / N er fg
• Hvis M er f.cog. og ikke-nul, så har M et minimalt submodul, og ethvert submodul N af M er f.cog.
• Hvis N og M / N er fg derefter så er M . Det samme gælder, hvis "fg" erstattes med "f.cog."

Endeligt kraftvarmemoduler skal have en endelig ensartet dimension . Dette kan let ses ved at anvende karakteriseringen ved hjælp af den finiteret genererede essentielle socle. Noget asymmetrisk har endeligt genererede moduler ikke nødvendigvis en endelig ensartet dimension. For eksempel er et uendeligt direkte produkt af ikke-nul ringe et endeligt genereret (cyklisk!) Modul over sig selv, men det indeholder klart en uendelig direkte sum af ikke-nul-undermoduler. Endeligt genererede moduler har heller ikke nødvendigvis en begrænset co-ensartet dimension : enhver ring R med enhed, således at R / J ( R ) ikke er en semisimple ring, er et modeksempel.

Fint præsenteret, endeligt relaterede og sammenhængende moduler

En anden formulering er dette: et endeligt genereret modul M er et, for hvilket der er en epimorfisme

f: R ^k → M .

Antag, at der nu er en epimorfisme,

φ: F → M .

for et modul M og fri modul F .

• Hvis kernen af φ genereres endeligt, kaldes M et finitrelateret modul . Da M er isomorf for F / ker (φ), udtrykker dette grundlæggende, at M opnås ved at tage et gratis modul og indføre endeligt mange relationer inden for F (generatorerne til ker (φ)).
• Hvis kernen af ​​φ genereres endeligt, og F har en endelig rang (dvs. F = R ^k ), siges M at være et endeligt præsenteret modul . Her specificeres M ved at bruge endeligt mange generatorer (billederne af k- generatorerne af F = R ^k ) og endeligt mange relationer (generatorerne til ker (φ)). Se også: gratis præsentation . Fint præsenterede moduler kan karakteriseres ved en abstrakt egenskab inden for kategorien R- moduler : de er netop de kompakte objekter i denne kategori.
• Et kohærent modul M er et finit-genereret modul, hvis finit-genererede submoduler præsenteres endeligt.

Over enhver ring R præsenteres sammenhængende moduler finit, og finit præsenterede moduler genereres både finitely og finit relaterede. For en Noetherian-ring R er finit genereret, finit præsenteret og sammenhængende ækvivalente betingelser på et modul.

Noget delefilter forekommer for projicerende eller flade moduler. Et finitgenereret projektivt modul præsenteres finit, og et finitrelateret fladt modul er projektivt.

Det er også rigtigt, at følgende betingelser er ækvivalente for en ring R :

1. R er en rigtig sammenhængende ring .
2. Modulet R _R er et sammenhængende modul.
3. Hvert endeligt præsenteret rigtige R- modul er sammenhængende.

Selvom kohærens virker som en mere besværlig tilstand end endeligt genereret eller præsenteret finit, er det pænere end dem, da kategorien af sammenhængende moduler er en abelsk kategori , mens der generelt hverken finit-genererede eller endeligt præsenterede moduler udgør en abelsk kategori.

Se også

• Integreret element
• Artin – Rees lemma
• Tællbart genereret modul
• Endelig algebra

Referencer

Lærebøger

• Atiyah, MF; Macdonald, IG (1969), Introduktion til kommutativ algebra , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., S. Ix + 128, MR  0242802
• Bourbaki, Nicolas , kommutativ algebra. Kapitel 1-7 . Oversat fra fransk. Genoptryk af den engelske oversættelse fra 1989. Elementer af matematik (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv + 625 s. ISBN  3-540-64239-0
• Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings , Boston, Mass .: Allyn and Bacon Inc., s. X + 180, MR  0254021
• Lam, TY (1999), Forelæsninger om moduler og ringe , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
• Lang, Serge (1997), Algebra (3. udgave), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-55540-0
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative ring theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8 , oversat fra japansk af M. Reid (2 udg.), Cambridge: Cambridge University Press, s. Xiv + 320, ISBN 0-521-36764-6, MR  1011461
• Springer, Tonny A. (1977), Invariant theory , Lecture Notes in Mathematics, 585 , Springer, doi : 10.1007 / BFb0095644 , ISBN 978-3-540-08242-2.