Hopfian objekt - Hopfian object

I den matematikgren, der kaldes kategoriteori , er et hopfisk objekt et objekt A, så enhver epimorfisme af A til A nødvendigvis er en automorfisme . Den dobbelte opfattelse er den af ​​et cohopfisk objekt , som er et objekt B sådan, at enhver monomorfisme fra B til B nødvendigvis er en automorfisme. De to forhold er blevet undersøgt i kategorierne grupper , ringe , moduler og topologiske rum .

Udtrykkene "hopfian" og "cohopfian" er opstået siden 1960'erne og siges at være til ære for Heinz Hopf og hans brug af begrebet hopfian-gruppen i hans arbejde på fundamentale grupper af overflader. ( Hazewinkel 2001 , s. 63)

Ejendomme

Begge tilstande kan ses som typer af endelighedsbetingelser i deres kategori. For eksempel, forudsat Zermelo - Fraenkel sætteori med aksiomet valg og arbejde i kategorien sæt , er hopfian og cohopfian objekter netop de endelige sæt . Fra dette er det let at se, at alle begrænsede grupper, begrænsede moduler og begrænsede ringe er hopfian og cohopfian i deres kategorier.

Hopfiske objekter og cohopfiske objekter har en elementær interaktion med projektive objekter og injicerbare objekter . De to resultater er:

  • Et injektivt hopfisk objekt er cohopfian.
  • Et projektivt cohopfian -objekt er hopfian.

Beviset for det første udsagn er kort: Lad A være en injektiv hopfian objekt, og lad f være en injektiv morphism fra A til A . Ved injektivitet, f faktorer gennem identiteten kort I A på A , hvilket gav et morphism g , således at gf = I A . Som et resultat er g en surjektiv morfisme og dermed en automorfisme, og så er f nødvendigvis den inverse automorfisme til g . Dette bevis kan dualiseres for at bevise det andet udsagn.

Hopfian og cohopfian grupper

Hovedartikel: hopfian -gruppen

Hopfian og cohopfian moduler

Her er flere grundlæggende resultater i kategorien moduler. Det er især vigtigt at huske, at R R er hopfian eller cohopfian som modul er forskellig fra R er hopfian eller cohopfian som ring.

  • Et noeterisk modul er hopfisk, og et artinsk modul er cohopfian.
  • Modulet R R er hopfian, hvis og kun hvis R er en direkte begrænset ring . Symmetrisk svarer disse to også til, at modulet R R er hopfian.
  • I modsætning til ovenstående kan modulerne R R eller R R være cohopfian eller ikke i nogen kombination. Et eksempel på en ringkoopfian på den ene side, men ikke den anden side, blev givet i ( Varadarajan 1992 ). Men hvis et af disse to moduler er cohopfian, er R hopfian på begge sider (da R er projektivt som et venstre eller højre modul) og direkte begrænset.

Hopfian og cohopfian ringe

Situationen i kategorien ringe er ganske anderledes end kategorien moduler. Morfismerne i kategorien ringe med enhed er nødvendige for at bevare identiteten, det vil sige at sende 1 til 1.

  • Hvis R opfylder den stigende kædetilstand på idealer, så er R hopfian. Dette kan bevises analogt med det faktum for noeteriske moduler. Modstykket idé til "cohopfian" findes ikke men da hvis f er en ring homomorfi fra R ind R bevare identitet, og billedet af f er ikke R , så billedet er bestemt ikke et ideal om R . Under alle omstændigheder viser dette, at en ensidig noeterisk eller artinsk ring altid er hopfisk.
  • Enhver simpel ring er hopfian, da kernen i enhver endomorfisme er et ideal, som nødvendigvis er nul i en simpel ring. Derimod blev der i ( Varadarajan 1992 ) givet et eksempel på et ikke-cohopfisk felt .
  • Den fuldstændige lineære ringende D (V) af et tælleligt dimensionelt vektorrum er en hopfianring, der ikke er hopfian som et modul, da den kun har tre idealer, men den er ikke direkte endelig. Papiret ( Varadarajan 1992 ) giver også et eksempel på en cohopfian ring, der ikke er cohopfian som et modul.
  • Også i ( Varadarajan 1992 ) er det vist, at for en boolesk ring R med tilhørende Stone rum X , ringen R er hopfian i kategorien af ringe, hvis og kun hvis X er cohopfian i kategorien af topologiske rum, og R er cohopfian som en ring, hvis og kun hvis X er hopfian som et topologisk rum.

Hopfiske og cohopfiske topologiske rum

  • I ( Varadarajan 1992 ) er en række resultater om kompakte manifolder inkluderet. For det første er de eneste kompakte manifolder, der er hopfiske, endelige diskrete rum . For det andet er kompakte manifolder uden grænser altid cohopfian. Endelig er kompakte manifolder med ikke -afgrænset grænse ikke cohopfian.

Referencer

  • Baumslag, Gilbert (1963), "Hopficity and abelian groups", Topics in Abelian Groups (Proc. Sympos., New Mexico State Univ., 1962) , Chicago, Ill .: Scott, Foresman and Co., s. 331–335 , MR  0169896
  • Hazewinkel, M., red. (2001), Encyclopaedia of matematik. Supplement. Vol. III , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. Viii+557, ISBN 1-4020-0198-3, MR  1935796
  • Varadarajan, K. (1992), "Hopfian og co-Hopfian-objekter" , Publicacions Matemàtiques , 36 (1): 293–317, doi : 10.5565/PUBLMAT_36192_21 , ISSN  0214-1493 , MR  1179618
  • Varadarajan, K. (2001), "Nogle nylige resultater om Hopficity, co-Hopficity og relaterede egenskaber", International Symposium on Ring Theory , Trends Math., Birkhäuser Boston, s. 371–392, MR  1851216

eksterne links