Ensartet modul - Uniform module

I abstrakt algebra kaldes et modul et ensartet modul, hvis skæringspunktet mellem to ikke -nul -submoduler er nul. Dette svarer til at sige, at hver ikke -nul submodul af M er en væsentlig submodul . En ring kan kaldes en højre (venstre) ensartet ring, hvis den er ensartet som et højre (venstre) modul over sig selv.

Alfred Goldie brugte begrebet ensartede moduler til at konstruere et mål for dimensioner for moduler, nu kendt som den ensartede dimension (eller Goldie -dimension ) af et modul. Ensartet dimension generaliserer nogle, men ikke alle, aspekter af forestillingen om dimensionen af et vektorrum . Endelig ensartet dimension var en vigtig antagelse for flere sætninger af Goldie, herunder Goldies sætning , der kendetegner hvilke ringe der er rigtige ordrer i en halvenkel ring . Moduler med en endelig ensartet dimension generaliserer både artinske moduler og noeteriske moduler .

I litteraturen omtales ensartet dimension også som ganske enkelt dimensionen af et modul eller rangen af et modul . Ensartet dimension bør ikke forveksles med den tilhørende opfattelse, også på grund af Goldie, om den reducerede rang af et modul.

Egenskaber og eksempler på ensartede moduler

At være et ensartet modul bevares normalt ikke ved direkte produkter eller kvotientmoduler. Den direkte sum af to ikke -nul ensartede moduler indeholder altid to submoduler med skæringspunkt nul, nemlig de to originale summand -moduler. Hvis N ₁ og N ₂ er rigtige submoduler i et ensartet modul M, og ingen af modulerne indeholder det andet, undlader det at være ensartet, som ${\ displaystyle M/(N_ {1} \ cap N_ {2})}$

{\ displaystyle N_ {1}/(N_ {1} \ cap N_ {2}) \ cap N_ {2}/(N_ {1} \ cap N_ {2}) = \ {0 \}.}

Uniserial -moduler er ensartede, og ensartede moduler er nødvendigvis direkte ukomponterbare. Ethvert kommutativt domæne er en ensartet ring, da hvis a og b er nulelementer i to idealer, er produktet ab et nulelement i skæringspunktet mellem idealerne.

Ensartet dimension af et modul

Den følgende sætning gør det muligt at definere en dimension på moduler ved hjælp af ensartede submoduler. Det er en modulversion af et vektorrums sætning:

Sætning: Hvis U _i og V _j er medlemmer af en finite samling af ensartede undermoduler af et modul M , således at og begge er væsentlige undermoduler af M , derefter n = m . ${\ displaystyle \ oplus _ {i = 1}^{n} U_ {i}}$ ${\ displaystyle \ oplus _ {i = 1}^{m} V_ {i}}$

Den ensartede dimension af et modul M , betegnet u.dim ( M ), er defineret til at være n hvis der findes et endeligt sæt af ensartede undermoduler U _jeg sådan, at er et væsentligt undermodul af M . Den foregående sætning sikrer, at dette n er veldefineret. Hvis der ikke findes et sådant begrænset sæt submoduler, er u.dim ( M ) defineret til at være ∞. Når man taler om den ensartede dimension af en ring, er det nødvendigt at angive, om u.dim ( R _R ) eller rettere u.dim ( _R R ) måles. Det er muligt at have to forskellige ensartede dimensioner på de modsatte sider af en ring. ${\ displaystyle \ oplus _ {i = 1}^{n} U_ {i}}$

Hvis N er et undermodul af M , derefter u.dim ( N ) ≤ u.dim ( M ) med ligestilling præcis når N er et væsentligt undermodul af M . Især M og dets injektive skrog E ( M ) har altid den samme ensartede dimension. Det er også rigtigt, at u.dim ( M ) = n hvis og kun hvis E ( M ) er en direkte sum af n ikke -nedbrydelige injektionsmoduler .

Det kan vises, at u.dim ( M ) = ∞ hvis og kun hvis M indeholder en uendelig direkte sum af ikke -nul -submoduler . Såfremt M enten er noeterisk eller artisk, har M en endelig ensartet dimension. Hvis M har en endelig kompositionslængde k , så er u.dim ( M ) ≤ k med ligestilling nøjagtigt, når M er et halvenkelt modul . ( Lam 1999 )

Et standardresultat er, at et rigtigt noeterisk domæne er et rigtigt malmdomæne . Faktisk kan vi gendanne dette resultat fra en anden sætning tilskrevet Goldie, som siger, at følgende tre betingelser er ækvivalente for et domæne D :

D har ret Malm
u.dim ( D _D ) = 1
u.dim ( D _D ) <∞

Hule moduler og co-uniform dimension

Den dobbelte begrebet ensartet modul er, at en hul modul : et modul M siges at være hule, hvis, når N ₁ og N ₂ er undermoduler af M , således at , så enten N ₁ = M eller N ₂ = M . Tilsvarende kunne man også sige, at enhver ordentlig submodul af M er en overflødig submodul . ${\ displaystyle N_ {1}+N_ {2} = M}$

Disse moduler indrømmer også en analog af ensartet dimension, kaldet co-uniform dimension , corank , hule dimension eller dobbelt Goldie-dimension . Undersøgelser af hule moduler og co-uniform dimension blev udført i ( Fleury 1974 ) , ( Reiter 1981 ) , ( Takeuchi 1976 ) , ( Varadarajan 1979 ) og ( Miyashita 1966 ) . Læseren advares om, at Fleury udforskede forskellige måder at dualisere Goldie -dimensionen på. Varadarajan, Takeuchi og Reiters versioner af hul dimension er uden tvivl de mere naturlige. Grzeszczuk og Puczylowski i ( Grzeszczuk & Puczylowski 1984 ) gav en definition af ensartet dimension for modulgitter, således at den hule dimension af et modul var den ensartede dimension af dets dobbelte gitter af submoduler.

Det er altid sådan, at et endeligt kraftvarme -modul har en endelig ensartet dimension. Dette rejser spørgsmålet: har et endeligt genereret modul en endelig hul dimension? Svaret viser sig at være nej: det blev vist i ( Sarath & Varadarajan 1979 ), at hvis et modul M har en endelig hul dimension, så er M / J ( M ) et halvenkelt , artisk modul . Der er mange ringe med enhed, for hvilke R / J ( R ) ikke er semi -enkel Artinian, og givet en sådan ring R , genereres R selv endeligt, men har uendelig hul dimension.

Sarath og Varadarajan viste senere, at M / J ( M ) er semisimple Artinian er også tilstrækkeligt for M at have finite hule dimension billede J ( M ) er en overflødig undermodul af M . Dette viser, at ringene R med endelig hul, enten som venstre eller højre R -modul, netop er de semilokale ringe .

En yderligere følge af Varadarajans resultat er, at R _R har en endelig hul dimension, præcis når _R R gør det. Dette står i kontrast til den endelige ensartede dimensionskasse, da det er kendt, at en ring kan have en endelig ensartet dimension på den ene side og uendelig ensartet dimension på den anden.

Lærebøger

Lam, Tsit-Yuen (1999), Forelæsninger om moduler og ringe , Graduate Texts in Mathematics, 189 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294

Primære kilder

Fleury, Patrick (1974), "A note on dualizing Goldie dimension", Canadian Mathematical Bulletin , 17 (4): 511–517, doi : 10.4153/cmb-1974-090-0

Goldie, AW (1958), "Strukturen af primeringsringe under stigende kædebetingelser", Proc. London Math. Soc. , Serie 3, 8 (4): 589–608, doi : 10.1112/plms/s3-8.4.589 , ISSN 0024-6115 , MR 0103206

Goldie, AW (1960), "Semi-prime ringe med maksimal stand", Proc. London Math. Soc. , Serie 3, 10 : 201–220, doi : 10.1112/plms/s3-10.1.201 , ISSN 0024-6115 , MR 0111766

Grezeszcuk, P; Puczylowski, E (1984), "On Goldie and dual Goldie dimension", Journal of Pure and Applied Algebra , 31 (1-3): 47-55, doi : 10.1016/0022-4049 (84) 90075-6

Hanna, A .; Shamsuddin, A. (1984), Dualitet i kategorien moduler: Applikationer , Reinhard Fischer, ISBN 978-3889270177

Miyashita, Y. (1966), "Kvasiprojektive moduler, perfekte moduler og en sætning til modulære gitter", J. Fac. Sci. Hokkaido Ser. I , 19 : 86–110, MR 0213390

Reiter, E. (1981), "En dobbelt til Goldie -stigende kædetilstand på direkte summer af submoduler", Bull. Calcutta Math. Soc. , 73 : 55–63

Sarath B .; Varadarajan, K. (1979), "Dual Goldie dimension II", Communications in Algebra , 7 (17): 1885–1899, doi : 10.1080/00927877908822434

Takeuchi, T. (1976), "On cofinite-dimensionale modules.", Hokkaido Mathematical Journal , 5 (1): 1–43, doi : 10.14492/hokmj/1381758746 , ISSN 0385-4035 , MR 0213390

Varadarajan, K. (1979), "Dual Goldie dimension", komm. Algebra , 7 (6): 565–610, doi : 10.1080/00927877908822364 , ISSN 0092-7872 , MR 0524269

Languages

In other projects