Instrueret sæt - Directed set

I matematik er et rettet sæt (eller et rettet forudbestilling eller et filtreret sæt ) et ikke-frit sæt sammen med et refleksivt og transitivt binært forhold (det vil sige en forudbestilling ) med den yderligere egenskab, at hvert par af elementer har en øvre grænse . Med andre ord, for enhver og i skal der findes i med og en rettet sæts forudbestilling kaldes en retning . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a \ leq c}$${\ displaystyle b \ leq c.}$

Begrebet defineret ovenfor kaldes undertiden et opadrettet sæt . Et nedadrettet sæt defineres analogt, hvilket betyder at hvert par af elementer er afgrænset nedenfor. Nogle forfattere (og denne artikel) antager, at et instrueret sæt er rettet opad, medmindre andet er angivet. Vær opmærksom på, at andre forfattere kalder et sæt rettet, hvis og kun hvis det er rettet både opad og nedad.

Regisserede sæt er en generalisering af ikke- ordnede totalt ordnede sæt . Det vil sige, at alle totalt ordnede sæt er rettet sæt (kontrast delvist ordnede sæt , som ikke behøver at blive dirigeret). Deltag i semilattices (som er delvist ordnede sæt) er også dirigerede sæt, men ikke omvendt. Ligeledes er gitter rettet sæt både opad og nedad.

I topologi bruges rettet sæt til at definere net , der generaliserer sekvenser og forener de forskellige forestillinger om grænse, der anvendes i analysen . Regisserede sæt giver også anledning til direkte grænser i abstrakt algebra og (mere generelt) kategoriteori .

Ækvivalent definition

Ud over definitionen ovenfor er der en ækvivalent definition. Et rettet sæt er et sæt med en forudbestilling, således at hver endelig delmængde af har en øvre grænse. I denne definition indebærer eksistensen af ​​en øvre grænse for den tomme delmængde, at det ikke er frit. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Eksempler

Et element af et forudbestilt sæt er en maksimal element , hvis for hver , indebærer . Det er en største element , hvis for hver , . Nogle enkle konsekvenser af definitionen inkluderer: ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle (I, \ leq)}$${\ displaystyle j \ i I}$${\ displaystyle m \ leq j}$${\ displaystyle j \ leq m}$${\ displaystyle j \ i I}$${\ displaystyle j \ leq m}$

• Ethvert forudbestilt sæt med det største element er et rettet sæt med den samme forudbestilling.
• Hvert maksimale element i et rettet forudbestilt sæt er et største element. Faktisk er et rettet forudbestilt sæt karakteriseret ved lighed mellem de (muligvis tomme) sæt af maksimale og største elementer.

Eksempler på instruerede sæt inkluderer:

• Sættet af naturlige tal med den ordinære rækkefølge er et rettet sæt (og det samme gælder hvert helt ordnet sæt ).${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$
• Lad og blive instrueret sæt. Derefter kan det kartesiske produktsæt gøres til et rettet sæt ved at definere, om og kun hvis og i analogi med produktordren, er dette produktretningen på det kartesiske produkt. For eksempel kan sæt af par af naturlige tal gøres til et rettet sæt ved at definere hvis og kun hvis og${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {1} \ times \ mathbb {D} _ {2}}$${\ displaystyle \ left (n_ {1}, n_ {2} \ right) \ leq \ left (m_ {1}, m_ {2} \ right)}$${\ displaystyle n_ {1} \ leq m_ {1}}$${\ displaystyle n_ {2} \ leq m_ {2}.}$${\ displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ left (n_ {0}, n_ {1} \ right) \ leq \ left (m_ {0}, m_ {1} \ right)}$${\ displaystyle n_ {0} \ leq m_ {0}}$${\ displaystyle n_ {1} \ leq m_ {1}.}$
• Hvis er en topologisk rum og er et punkt i sæt af alle kvarterer i kan vendes til en rettet sæt ved at skrive , hvis og kun hvis indeholder For hver og  : ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle T,}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle U \ leq V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V.}$${\ displaystyle U,}$ ${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle W}$
  • ${\ displaystyle U \ leq U}$siden indeholder sig selv.${\ displaystyle U}$
  • hvis og da, og som indebærer således${\ displaystyle U \ leq V}$${\ displaystyle V \ leq W,}$${\ displaystyle U \ supseteq V}$${\ displaystyle V \ supseteq W,}$${\ displaystyle U \ supseteq W.}$${\ displaystyle U \ leq W.}$
  • fordi og da begge og vi har og${\ displaystyle x_ {0} \ i U \ cap V,}$${\ displaystyle U \ supseteq U \ cap V}$${\ displaystyle V \ supseteq U \ cap V,}$${\ displaystyle U \ leq U \ cap V}$${\ displaystyle V \ leq U \ cap V.}$
• Hvis der er et reelt tal, kan sættet omdannes til et rettet sæt ved at definere, om (så "større" elementer er tættere på ). Vi siger så, at realerne er rettet mod . Dette er et eksempel på et instrueret sæt, der hverken delvist er ordnet eller fuldstændigt ordnet . Dette skyldes, at antisymmetri nedbrydes for hvert par og lige langt fra hvor og er på modsatte sider af eksplicit, dette sker, når det for nogle virkelige i hvilket tilfælde og selvom denne forudbestilling var defineret på i stedet for, ville det stadig danne et rettet sæt, men det ville nu have et (unikt) største element, specifikt ; dog ville det stadig ikke delvist bestilles. Dette eksempel kan generaliseres til et metrisk rum ved at definere på eller forudbestilling, hvis og kun hvis${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle I: = \ mathbb {R} \ backslash \ lbrace x_ {0} \ rbrace}$${\ displaystyle a \ leq _ {I} b}$${\ displaystyle \ left | a-x_ {0} \ right | \ geq \ left | b-x_ {0} \ right |}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x_ {0}.}$${\ displaystyle \ {a, b \} = \ left \ {x_ {0} -r, x_ {0} + r \ right \}}$${\ displaystyle r \ neq 0,}$${\ displaystyle a \ leq _ {I} b}$${\ displaystyle b \ leq _ {I} a}$${\ displaystyle a \ neq b.}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ tilbageslag \ lbrace x_ {0} \ rbrace}$${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ setminus \ left \ {x_ {0} \ right \}}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle d \ left (a, x_ {0} \ right) \ geq d \ left (b, x_ {0} \ right).}$
• Et (trivielt) eksempel på et delvist ordnet sæt, der ikke er rettet, er det sæt }, hvor de eneste ordrerelationer er, og Et mindre trivielt eksempel er som det foregående eksempel på "reals rettet mod ", men hvor kun ordrereglen gælder for par af elementer på den samme side af x ₀ (dvs. hvis man tager et element til venstre for og til højre, så og ikke kan sammenlignes, og delmængden har ingen øvre grænse).${\ displaystyle \ {a, b \}}$${\ displaystyle a \ leq a}$${\ displaystyle b \ leq b.}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ {a, b \}}$
• En ikke-tom familie af sæt er et dirigeret sæt med hensyn til den delvise rækkefølge (henholdsvis ), hvis og kun hvis skæringspunktet (resp., Union) mellem to af dets medlemmer indeholder som en delmængde (resp., Er indeholdt som en delmængde af) et tredje medlem. I symboler er en familie af sæt rettet med hensyn til (henholdsvis ) hvis og kun hvis ${\ displaystyle \, \ supseteq \,}$${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \, \ supseteq \,}$${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$

  for alle findes der nogle sådan, at og (resp., og )${\ displaystyle A, B \ i I,}$${\ displaystyle C \ i I}$${\ displaystyle A \ supseteq C}$${\ displaystyle B \ supseteq C}$${\ displaystyle A \ subseteq C}$${\ displaystyle B \ subseteq C}$

  eller ækvivalent

  for alle findes der nogle sådanne (resp. ).${\ displaystyle A, B \ i I,}$${\ displaystyle C \ i I}$${\ displaystyle A \ cap B \ supseteq C}$${\ displaystyle A \ cap B \ subseteq C}$

  Hvert π- system , som er en ikke-tom familie af sæt, der er lukket under krydset mellem et hvilket som helst to af dets medlemmer, er et rettet sæt med hensyn til ethvert λ-system er et rettet sæt med hensyn til hvert filter , topologi , og σ-algebra er et rettet sæt med hensyn til både og${\ displaystyle \, \ supseteq \ ,.}$${\ displaystyle \, \ subseteq \ ,.}$${\ displaystyle \, \ supseteq \,}$${\ displaystyle \, \ subseteq \ ,.}$
• Pr. Definition er et forfilter eller en filterbase en ikke-tom familie af sæt, der er et rettet sæt i forhold til den delvise rækkefølge, og som heller ikke indeholder det tomme sæt (denne betingelse forhindrer trivialitet, fordi det tomme sæt ellers ville være en største element med hensyn til ).${\ displaystyle \, \ supseteq \,}$${\ displaystyle \, \ supseteq \,}$
• I en poset dirigeres hver nedre lukning af et element, dvs. hver delmængde af formen, hvorfra et fast element er.${\ displaystyle P,}$${\ displaystyle \ {a \ i P: a \ leq x \}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P,}$

Kontrast med semilattices

Eksempel på et rettet sæt, som ikke er et sammenføjnings-semilattice

Rettede sæt er et mere generelt koncept end (join) semilattices: hvert join-semilattice er et rettet sæt, da sammenføjningen eller den mindste øvre grænse for to elementer er ønsket. Det omvendte holder dog ikke, vidner det dirigerede sæt {1000.0001, 1101,1011,1111} bestilt bitvis (f.eks. Holder, men ikke, da i sidste bit 1> 0), hvor {1000.0001} har tre øvre grænser, men ikke mindst øvre grænse, jf. billede. (Bemærk også, at uden 1111 er sættet ikke rettet.) ${\ displaystyle c.}$${\ displaystyle 1000 \ leq 1011}$${\ displaystyle 0001 \ leq 1000}$

Direkte delmængder

Det kræves ikke, at rækkefølge i et rettet sæt er antisymmetrisk , og derfor er rettet sæt ikke altid delordrer . Imidlertid bruges udtrykket rettet sæt også ofte i sammenhæng med posets. I denne indstilling kaldes et delsæt af et delvist ordnet sæt et rettet delsæt, hvis det er et rettet sæt i samme delrækkefølge: med andre ord er det ikke det tomme sæt , og hvert par af elementer har en øvre grænse. Her arves ordenens forhold til elementerne i ; af denne grund behøver refleksivitet og transitivitet ikke kræves eksplicit. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P}$

En rettet delmængde af en poset er ikke påkrævet for at være lukket nedad ; en delmængde af en poset er rettet, hvis og kun hvis dens nedadgående lukning er et ideal . Mens definitionen af ​​et rettet sæt er for et "opadrettet" sæt (hvert par af elementer har en øvre grænse), er det også muligt at definere et nedadrettet sæt, hvor hvert par af elementer har en fælles nedre grænse. En delmængde af en poset er nedadrettet, hvis og kun hvis dens øvre lukning er et filter .

Direkte delmængder bruges i domæne teori , som studerer rettet-komplet delordrer . Disse er posets, hvor hvert opadrettet sæt kræves for at have den mindste øvre grænse . I denne sammenhæng giver rettet delmængde igen en generalisering af konvergerende sekvenser.

Se også

• Centreret sæt  - ordre teori
• Filtreret kategori
• Tilknyttet sæt
• Net (matematik)  - En generalisering af en sekvens af punkter

Bemærkninger

Referencer

• JL Kelley (1955), generel topologi .
• Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Kontinuerlige gitter og domæner , Cambridge University Press. ISBN  0-521-80338-1 .