Dirichlet -funktion - Dirichlet function

I matematik , den Dirichlet funktionen er indikatorfunktion 1 _Q eller af sættet af rationale tal Q , dvs. 1 _Q ( x ) = 1 , hvis x er et rationelt tal og 1 _Q ( x ) = 0 , hvis x ikke er et rationelt tal (dvs. et irrationelt tal ). ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ mathbb {Q}}}$

$${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ mathbb {Q}} (x) = {\ begin {cases} 1 & x \ in \ mathbb {Q} \\ 0 & x \ notin \ mathbb {Q} \ end {cases}} }$$

Det er opkaldt efter matematikeren Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Det er et eksempel på patologisk funktion, der giver modeksempler til mange situationer.

Topologiske egenskaber

• Dirichlet -funktionen er ingen steder kontinuerlig .
  Bevis  -

  • Hvis y er rationel, så er f ( y ) = 1 . For at vise, at funktionen ikke er kontinuerlig ved y , skal vi finde en ε, så uanset hvor lille vi vælger δ , vil der være punkter z inden for δ af y, således at f ( z ) ikke er inden for ε af f ( y ) = 1 . Faktisk er 1/2 sådan en ε . Fordi de irrationelle tal er tætte i realerne, uanset hvilken δ vi vælger, kan vi altid finde en irrationel z inden for δ af y , og f ( z ) = 0 er mindst 1/2 væk fra 1.
  • Hvis y er irrationel, så er f ( y ) = 0 . Igen kan vi tage ε = 1/2 , og denne gang, fordi de rationelle tal er tætte i realen, kan vi vælge z til at være et rationelt tal så tæt på y som det kræves. Igen er f ( z ) = 1 mere end 1/2 væk fra f ( y ) = 0 .
  Dens begrænsninger for mængden af ​​rationelle tal og for mængden af ​​irrationelle tal er konstanter og derfor kontinuerlige. Dirichlet -funktionen er et arketypisk eksempel på Blumberg -sætningen .
• Dirichlet -funktionen kan konstrueres som den dobbelte punktvise grænse for en sekvens af kontinuerlige funktioner som følger:
  $${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ quad \ mathbf {1} _ {\ mathbb {Q}} (x) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left (\ lim _ { j \ til \ infty} \ venstre (\ cos (k! \ pi x) \ højre)^{2j} \ højre)}$$

  
  for heltal j og k . Dette viser, at Dirichlet -funktionen er en Baire klasse 2 -funktion. Det kan ikke være en Baire klasse 1 -funktion, fordi en Baire klasse 1 -funktion kun kan være diskontinuerlig på et sparsomt sæt .

Periodicitet

For ethvert reelt tal x og ethvert positivt rationelt tal T , 1 _Q ( x + T ) = 1 _Q ( x ). Dirichlet Funktionen er derfor et eksempel på en reel periodisk funktion , som ikke er konstant , men hvis sæt af perioder, sættet af rationale tal, er en tæt delmængde af R .

Integrationsegenskaber

• Dirichlet-funktionen er ikke Riemann-integrerbar på noget segment af R, hvorimod den er afgrænset, fordi sættet af dens diskontinuitetspunkter ikke er ubetydeligt (for Lebesgue-målingen ).
• Dirichlet -funktionen giver et modeksempel, der viser, at den monotone konvergenssætning ikke er sand i forbindelse med Riemann -integralet.
  Bevis  -

  Ved hjælp af en optælling af de rationelle tal mellem 0 og 1 definerer vi funktionen f _n (for alle ikke -negative heltal n ) som indikatorfunktion for sættet af de første n -termer i denne sekvens af rationelle tal. Den stigende sekvens af funktioner f _n (som er ikke-negative, Riemann-integrerbare med et forsvindende integral) konvergerer punktvis til Dirichlet-funktionen, som ikke er Riemann-integrerbar.

• Dirichlet-funktionen er Lebesgue-integrerbar på R og dens integral over R er nul, fordi den er nul, undtagen på sættet med rationelle tal, der er ubetydelig (for Lebesgue-målingen).

Referencer