Algebraická K -teorie -Algebraic K-theory

Algebraická K -teorie je oborová oblast v matematice s vazbami na geometrii , topologii , teorii prstenů a teorii čísel . Geometrickým, algebraickým a aritmetickým objektům jsou přiřazeny objekty zvané K -skupiny. Jedná se o skupiny ve smyslu abstraktní algebry . Obsahují podrobné informace o původním objektu, ale je notoricky obtížné je vypočítat; například důležitým nevyřešeným problémem je vypočítat K -skupiny celých čísel .

Teorii K vynalezl koncem padesátých let Alexander Grothendieck ve své studii teorie průniku o algebraických odrůdách . V moderním jazyce definoval Grothendieck pouze K ₀ , nultou K -skupinu, ale i tato jediná skupina má spoustu aplikací, například Grothendieck – Riemann – Rochova věta . Intersection theory is still a motivating force in the development of (higher) algebraic K -theory through its links with motivic cohomology and specifically Chow groups . Předmět také zahrnuje klasická čísla -teoretická témata jako kvadratická vzájemnost a vložení číselných polí do reálných čísel a komplexních čísel , stejně jako modernější starosti jako konstrukce vyšších regulátorů a speciální hodnoty L -funkcí .

Nejprve byly objeveny nižší K -skupiny v tom smyslu, že byly nalezeny adekvátní popisy těchto skupin z hlediska jiných algebraických struktur. Například pokud F je pole , pak K ₀ ( F ) je izomorfní s celými čísly Z a úzce souvisí s pojmem dimenze vektorového prostoru . Pro komutativní kroužku R , je skupina K ₀ ( R ) je spojena s skupiny Picard z R , a když R je kruh celých čísel do číselného pole, to zobecňuje klasické konstrukce skupiny třídy . Skupina K ₁ ( R ) je úzce spjata se skupinou jednotek R ^× , a pokud R je pole, je to přesně skupina jednotek. Pro číselné pole F je skupina K ₂ ( F ) vztažena k teorii pole třídy , Hilbertově symbolu a řešitelnosti kvadratických rovnic při dokončování. Naproti tomu nalezení správné definice vyšších K -skupin prstenů bylo obtížným úspěchem Daniela Quillena a mnoho základních faktů o vyšších K -skupinách algebraických odrůd nebylo známo, dokud práce Roberta Thomasona .

Dějiny

Historii K -teorie podrobně popsal Charles Weibel .

Grothendieckova skupina K ₀

V 19. století Bernhard Riemann a jeho žák Gustav Roch dokázali to, co je nyní známé jako Riemann -Rochova věta . Pokud X je Riemannův povrch, pak sady meromorfních funkcí a meromorfních diferenciálních forem na X tvoří vektorové prostory. Balíček řádků na X určuje podprostory těchto vektorových prostorů, a pokud X je projektivní, pak jsou tyto podprostory konečné dimenzionální. Riemann-Roch teorém říká, že rozdíl v rozměrech mezi těmito podprostorů se rovná stupni vedení svazku (míra twistedness) plus jedna minus rodu X . V polovině 20. století zobecnila Riemann-Rochova věta Friedrich Hirzebruch na všechny algebraické odrůdy. V Hirzebruchově formulaci, Hirzebruch – Riemann – Rochově větě , se z věty stalo prohlášení o Eulerových charakteristikách : Eulerova charakteristika vektorového svazku na algebraické odrůdě (což je střídající se součet rozměrů jejích skupin cohomologie) se rovná Eulerově charakteristice triviálního svazku plus korekční faktor pocházející z charakteristických tříd vektorového svazku. Toto je zobecnění, protože na projektivní Riemannově ploše se Eulerova charakteristika liniového svazku rovná rozdílu v dimenzích zmíněných dříve, Eulerova charakteristika triviálního svazku je jedna minus rod a jedinou netriviální charakteristickou třídou je stupeň.

Předmět K -teorie je pojmenován podle konstrukce Alexandra Grothendiecka z roku 1957, která se objevila v Grothendieckově – Riemannově – Rochově větě , jeho zobecnění Hirzebruchovy věty. Nechť X je hladká algebraická odrůda. Ke každému vektorovému svazku na X Grothendieck přidruží invariant, jeho třídu . Soubor všech tříd na X se z německého Klasse nazýval K ( X ) . Podle definice je K ( X ) kvocient volné abelianské skupiny na třídách izomorfismu vektorových svazků na X , a je tedy abelianskou skupinou. Je -li základní prvek odpovídající vektorovému svazku V označen [ V ], pak pro každou krátkou přesnou sekvenci vektorových svazků:

${\ Displaystyle 0 \ to V '\ to V \ to V' '\ to 0,}$

Grothendieck uložil vztah [ V ] = [ V ′ ] + [ V ″ ] . Tyto generátory a relace definují K ( X ) a naznačují, že jde o univerzální způsob přiřazování invarianty vektorovým svazkům způsobem kompatibilním s přesnými sekvencemi.

Grothendieck vzal perspektivu, že Riemann -Rochova věta je tvrzením o morfismech odrůd, nikoli o odrůdách samotných. Dokázal, že je homomorphism z K ( X ) do skupin Chow z X pocházejících z Chern charakteru a Todd třídy z X . Navíc dokázal, že správný morfismus f  : X → Y na hladkou odrůdu Y určuje homomorfismus f*  : K ( X ) → K ( Y ) nazývaný pushforward . To dává dva způsoby určení prvku v Chowově skupině Y z vektorového svazku na X : Počínaje X , lze nejprve vypočítat posun v K -teorii a poté použít Chernův znak a Toddovu třídu Y , nebo lze nejprve použijte Chernův znak a Toddovu třídu X a poté vypočítejte pushforward pro skupiny Chow. Grothendieck – Riemann – Rochova věta říká, že jsou si rovny. Když Y je bod, vektorový svazek je vektorový prostor, třída vektorového prostoru je jeho dimenze a Grothendieck – Riemann – Rochova věta se specializuje na Hirzebruchovu větu.

Skupina K ( X ) je nyní známá jako K ₀ ( X ). Po nahrazení vektorových svazků projektivními moduly se také definovala K ₀ pro nekomutativní prstence, kde měla aplikace ke seskupování reprezentací . Atiyah a Hirzebruch rychle přenesli Grothendieckovu konstrukci do topologie a použili ji k definování topologické K-teorie . Topologická K -teorie byla jedním z prvních příkladů mimořádné kohomologické teorie : Ke každému topologickému prostoru X (splňující některá mírná technická omezení) přidružuje posloupnost skupin K _n ( X ), které splňují všechny Eilenberg -Steenrodovy axiomy kromě normalizace axiom. Nastavení algebraických odrůd je však mnohem přísnější a flexibilní konstrukce používané v topologii nebyly k dispozici. Zatímco se zdálo, že skupina K ₀ splňuje nezbytné vlastnosti jako počátek kohomologické teorie algebraických odrůd a nekomutativních prstenců, neexistuje vyšší definice vyšší K _n ( X ). I když byly takové definice vyvinuty, technické problémy kolem omezení a lepení obvykle přinutily definovat K _n pouze pro prsteny, nikoli pro odrůdy.

K ₀ , K ₁ a K ₂

I když to původně nebylo známo, skupina související s K ₁ již byla představena v jiném kontextu. Henri Poincaré se pokusil definovat Bettiho čísla potrubí z hlediska triangulace. Jeho metody však měly vážnou mezeru: Poincaré nedokázal prokázat, že dvě triangulace potrubí vždy přinesly stejná čísla Betti. Bylo zjevně pravdou, že čísla Betti byla rozdělením triangulace nezměněna, a proto bylo jasné, že jakékoli dvě triangulace, které sdílely společné rozdělení, měly stejná čísla Betti. Nebylo známo, že jakékoli dvě triangulace připouštějí společné dělení. Tato hypotéza se stala domněnkou známou jako Hauptvermutung (zhruba „hlavní domněnka“). Skutečnost, že triangulace byly v rámci dělení stabilní, vedla JHC Whitehead k zavedení pojmu jednoduchého homotopického typu . Jednoduchá homotopická ekvivalence je definována ve smyslu přidání zjednodušení nebo buněk do zjednodušeného komplexu nebo buněčného komplexu takovým způsobem, že každá další simplexní nebo buněčná deformace se zatáhne do rozdělení starého prostoru. Součástí motivace pro tuto definici je, že dělení triangulace je jednoduchá homotopie ekvivalentní původní triangulaci, a proto dvě triangulace, které sdílejí společné dělení, musí být ekvivalentem jednoduché homotopy. Whitehead dokázal, že jednoduchá ekvivalence homotopy je jemnější invariant než ekvivalence homotopy zavedením invariantu zvaného torze . Torze ekvivalence homotopie nabývá hodnot ve skupině, která se nyní nazývá skupina Whitehead a označuje Wh ( π ), kde π je základní skupina těchto dvou komplexů. Whitehead našel příklady netriviálního kroucení a tím dokázal, že některé ekvivalence homotopie nebyly jednoduché. Skupina Whitehead bylo později zjištěno, že je podíl K ₁ ( Z n ), kde Z π je integrální kruhovou skupinu z n . Později John Milnor použil Reidemeisterovu torzi , invariant související s torzí Whitehead, k vyvrácení Hauptvermutung.

První adekvátní definici K ₁ prstenu vytvořili Hyman Bass a Stephen Schanuel . V topologické K -teorii je K ₁ definována pomocí vektorových svazků na zavěšení prostoru. Všechny takovéto vektorové svazky pocházejí ze spojovací konstrukce , kde jsou dva triviální vektorové svazky na dvou polovinách prostoru nalepeny podél společného pruhu prostoru. Tato data lepení jsou vyjádřena pomocí obecné lineární skupiny , ale prvky této skupiny pocházející z elementárních matic (matice odpovídající elementárním operacím řádků nebo sloupců) definují ekvivalentní lepení. Bass -Schanuelova definice K ₁ kruhu R je motivována GL ( R ) / E ( R ) , kde GL ( R ) je nekonečná obecná lineární skupina (spojení všech GL _n ( R )) a E ( R ) je podskupina elementárních matic. Rovněž poskytly definici K ₀ homomorfismu kruhů a prokázaly, že K ₀ a K ₁ mohou zapadat do přesné sekvence podobné přesné sekvenci relativní homologie.

Práce v K -theory z tohoto období vyvrcholila Bassovou knihou Algebraic K -theory . Kromě poskytnutí ucelené expozice tehdy známých výsledků vylepšil Bass mnoho výroků vět. Za zmínku stojí zejména to, že Bass, navazující na svou dřívější práci s Murthym, poskytl první důkaz toho, co je nyní známé jako základní věta algebraické K -teorie . To je čtyři-termín přesná sekvence vztahující K ₀ kruhu R na K ₁ z R , polynom kroužek R [ t ], a lokalizace R [ t , t ^-1 ]. Bass uznal, že tato věta poskytuje popis K ₀ zcela z hlediska K ₁ . Rekurzivním použitím tohoto popisu vytvořil záporné K -skupiny K _−n ( R ). V nezávislé práci Max Karoubi dal další definici negativních K -skupin pro určité kategorie a dokázal, že jeho definice přinesly stejné skupiny jako Bassovy.

Další velký vývoj v předmětu přišel s definicí K ₂ . Steinberg studoval univerzální centrální rozšíření skupiny Chevalley v poli a poskytl explicitní prezentaci této skupiny z hlediska generátorů a vztahů. V případě skupiny E _n ( k ) elementárních matic je nyní univerzální centrální rozšíření zapsáno St _n ( k ) a nazývá se Steinbergova skupina . Na jaře 1967 John Milnor definoval K ₂ ( R ) jako jádro homomorfismu St ( R ) → E ( R ) . Skupina K ₂ dále rozšířila některé z přesných sekvencí známých pro K ₁ a K ₀ a měla pozoruhodné aplikace pro teorii čísel. Práce Hideya Matsumota z roku 1968 ukázala, že pro pole F bylo K ₂ ( F ) izomorfní:

${\ Displaystyle F^{\ times} \ otimes _ {\ mathbf {Z}} F^{\ times}/\ langle x \ otimes (1-x) \ colon x \ in F \ setminus \ {0,1 \ } \ rangle.}$

Tento vztah splňuje i Hilbertův symbol , který vyjadřuje řešitelnost kvadratických rovnic nad místními poli . Zejména John Tate dokázal dokázat, že K ₂ ( Q ) je v zásadě strukturována kolem zákona kvadratické vzájemnosti .

Vyšší K -skupiny

Na konci šedesátých a na začátku sedmdesátých let bylo navrženo několik definic vyšší K -teorie. Swan a Gersten vytvořili definice K _n pro všechna n a Gersten dokázal, že jeho a Swanovy teorie jsou ekvivalentní, ale nebylo známo, že by tyto dvě teorie splňovaly všechny očekávané vlastnosti. Nobile a Villamayor také navrhli definici vyšších K -skupin. Karoubi a Villamayor definovali dobře vychované K -skupiny pro všechna n , ale jejich ekvivalent K ₁ byl někdy vhodným kvocientem Bass – Schanuel K ₁ . Jejich K -skupiny se nyní nazývají KV _n a souvisejí s homotopickými invariantními modifikacemi K -teorie.

Milnor, částečně inspirovaný Matsumotovou větou, definoval vyšší skupiny K pole. Odkazoval na svou definici jako „čistě ad hoc “ a nezdálo se, že by to zobecňovalo na všechny prsteny, ani se nezdálo, že by to byla správná definice vyšší K -teorie polí. Mnohem později Nesterenko a Suslin a Totaro zjistili, že Milnor K -teorie je ve skutečnosti přímým součtem skutečné K -teorie pole. Konkrétně skupiny K mají filtraci nazývanou hmotnostní filtrace a Milnorova K -teorie pole je nejvyšší hmotnostně tříděný kus K -teorie. Kromě toho Thomason zjistil, že neexistuje analogie teorie Milnor K pro obecnou rozmanitost.

První definice vyšší K -teorie, která byla široce přijímána, byla Daniel Quillen . Jako součást Quillen práce na dohadech Adams v topologii, kterou konstruovány mapy od klasifikačních prostorů BGL ( F _q ) na homotopie vlákna cp ^q - 1 , kde ψ ^q je q th provozu Adams působící na třídění prostor BU . Tato mapa je acyklická a po mírné úpravě BGL ( F _q ), aby se vytvořil nový prostorový BGL ( F _q ) ⁺ , se mapa stala ekvivalencí homotopy. Tato úprava se nazývala plusová konstrukce . O Adamsových operacích bylo známo, že souvisí s třídami Chern a K -teorií od Grothendieckova díla, a tak byl Quillen veden k definici K -teorie R jako homotopických skupin BGL ( R ) ⁺ . Nejenže se tím obnovily K ₁ a K ₂ , vztah K -teorie k Adamsovým operacím umožnil Quillenovi vypočítat K -skupiny konečných polí.

Klasifikační prostor BGL je připojen, takže Quillenova definice neposkytla správnou hodnotu pro K ₀ . Navíc nedávalo žádné negativní K -skupiny. Jelikož K ₀ měl známou a přijatou definici, bylo možné tuto obtížnost obejít, ale zůstalo technicky nepohodlné. Koncepčně byl problém v tom, že definice vycházela z GL , který byl klasicky zdrojem K ₁ . Protože GL ví pouze o lepení vektorových svazků, nikoli o samotných vektorových svazcích, nebylo možné popsat K ₀ .

Segal, inspirovaný konverzacemi s Quillenem, brzy představil další přístup ke konstrukci algebraické K -teorie pod názvem Γ -objektů. Segalův přístup je homotopickým analogem Grothendieckovy konstrukce K ₀ . Tam, kde Grothendieck pracoval s třídami izomorfismu svazků, pracoval Segal se samotnými svazky a jako součást svých dat používal izomorfismy svazků. Výsledkem je spektrum, jehož homotopickými skupinami jsou vyšší skupiny K (včetně K ₀ ). Segalův přístup však dokázal vnutit vztahy pouze pro rozdělené přesné sekvence, nikoli obecné přesné sekvence. V kategorii projektivních modulů přes prsten se každá krátká přesná sekvence rozdělí, a tak k definici K -teorie prstenu lze použít Γ -objekty. Existují však nedělené krátké přesné sekvence v kategorii vektorových svazků na odrůdě a v kategorii všech modulů přes prsten, takže Segalův přístup neplatil pro všechny zajímavé případy.

Na jaře 1972 našel Quillen jiný přístup ke konstrukci vyšší K -teorie, který se měl ukázat jako nesmírně úspěšný. Tato nová definice začala přesnou kategorií , kategorií splňující určité formální vlastnosti podobné, ale o něco slabší než vlastnosti splněné kategorií modulů nebo vektorových svazků. Z toho sestrojil pomocnou kategorii pomocí nového zařízení nazývaného jeho „ Q -konstrukce “. Stejně jako Segalovy Γ -objekty má Q -konstrukce kořeny v Grothendieckově definici K ₀ . Na rozdíl od Grothendieckovy definice však Q -konstrukce staví kategorii, nikoli abelianskou skupinu, a na rozdíl od Segalových Γ -objektů pracuje Q -konstrukce přímo s krátkými přesnými sekvencemi. Pokud C je abelian kategorie, pak QC je kategorie se stejnými předměty, jako jsou C, ale jejichž morfizmy jsou definovány, pokud jde o krátké přesné sekvence v C . K -skupiny o přesné kategorie jsou homotopy skupiny w BQC , na smyčky prostoru na geometrické realizace (s prostor smyčky opravuje indexování). Quillen navíc prokázal svoji „ + = Q větu“, že jeho dvě definice K -teorie spolu souhlasí. To poskytlo správnou K ₀ a vedlo k jednodušším důkazům, ale stále nepřineslo žádné negativní K -skupiny.

Všechny abelianské kategorie jsou přesné kategorie, ale ne všechny přesné kategorie jsou abelianské. Protože Quillen byl schopen pracovat v této obecnější situaci, dokázal ve svých důkazech používat přesné nástroje jako nástroje. Tato technika mu umožnila dokázat mnoho základních teorií algebraické K -teorie. Kromě toho bylo možné prokázat, že dřívější definice Swan a Gersten byly za určitých podmínek ekvivalentní Quillenově.

Teorie K se nyní zdála být teorií homologie pro prsteny a kohomologickou teorií pro odrůdy. Mnoho z jeho základních teorémů však neslo hypotézu, že daný prsten nebo odrůda byla pravidelná. Jedním ze základních vztahů očekávaných byl dlouhý přesný sled (nazývá „lokalizační sekvence“), vztahující se na K -Teorie z řady X, a otevřený podmnožinu U . Quillen nebyl schopen prokázat existenci lokalizační sekvence v plné obecnosti. Byl však schopen prokázat jeho existenci pro související teorii nazývanou G -teorie (nebo někdy K '-teorie). Teorie G byla definována na počátku vývoje předmětu Grothendieckem. Grothendieck definoval G ₀ ( X ) pro odrůdu X jako volnou abelianskou skupinu na třídách izomorfismu koherentních svazků na X , modulo vztahy pocházející z přesných sekvencí koherentních svazků. V kategorickém rámci přijatém pozdějšími autory je K -teorie odrůdy K -teorie její kategorie vektorových svazků, zatímco její G -teorie je K -teorie její kategorie koherentních kladek. Quillen mohl nejen dokázat existenci lokalizační přesné sekvence pro G -teorii, ale také dokázal, že pro pravidelný prsten nebo odrůdu se K -teorie rovnala G -teorii, a proto K -teorie pravidelných odrůd měla lokalizační přesnou sekvenci. Vzhledem k tomu, že tato posloupnost byla zásadní pro mnoho faktů v předmětu, pronikaly hypotézy pravidelnosti do raných prací o vyšší teorii K.

Aplikace algebraické K -teorie v topologii

Nejčasnější aplikací algebraické K -teorie na topologii byla Whiteheadova konstrukce torze Whitehead. Úzce související konstrukci objevila CTC Wall v roce 1963. Wall zjistil, že prostor π, kterému dominuje konečný komplex, má zobecněnou Eulerovu charakteristiku přijímající hodnoty v kvocientu K ₀ ( Z π ), kde π je základní skupina prostoru . Tato invarianta se nazývá Wallova překážka konečnosti, protože X je homotopy ekvivalentní konečnému komplexu právě tehdy, když invariant zmizí. Laurent Siebenmann ve své práci našel invariant podobný Wallovu , který brání otevřenému potrubí, které je vnitřkem kompaktního potrubí s ohraničením. Jestliže dvě potrubí s rámečkem M a N jsou isomorphic interiéry (v TOP, PL, nebo Diff podle potřeby), pak izomorfismus mezi nimi vymezuje h -cobordism mezi M a N .

Torze Whitehead byla nakonec reinterpretována přímějším K -teoretickým způsobem. K této reinterpretaci došlo studiem h -cobordismů . Dva n -rozměrné rozdělovače M a N jsou h -spoluvládající, pokud existuje ( n + 1) -dimenzionální rozdělovač s hranicí W, jehož hranicí je disjunktní spojení M a N a pro které jsou inkluze M a N do W homotopy ekvivalence (v kategoriích TOP, PL nebo DIFF). Stephen Smale ‚s h -cobordism věta tvrdil, že pokud n ≥ 5 , W je kompaktní, a M , N , a W jsou potom spojeny, potom W je isomorfní válce M x [0, 1] (v TOP, PL, nebo DIFF podle potřeby). Tato věta prokázala Poincarého domněnku pro n ≥ 5 .

Pokud se nepředpokládá, že M a N jsou jednoduše spojeny, pak h -cobordismus nemusí být válec. S -cobordism věta, vzhledem nezávisle na Mazur, Stallings a Barden, vysvětluje celkové situace: h -cobordism je válec tehdy a jen tehdy, pokud je Whitehead torze inkluzního M ⊂ W zmizí. To zevšeobecňuje větu o h -cobordismu, protože jednoduché hypotézy o propojenosti naznačují, že příslušná skupina Whitehead je triviální. Věta s -cobordism ve skutečnosti naznačuje, že mezi třídami izomorfismu h -cobordismů a prvky skupiny Whitehead existuje bijektivní korespondence .

Zjevnou otázkou spojenou s existencí h -cobordismů je jejich jedinečnost. Přirozený pojem ekvivalence je izotopie . Jean Cerf dokázal, že u jednoduše spojených hladkých potrubí M o rozměru alespoň 5 je izotopie h -cobordismů stejná jako slabší pojem zvaný pseudo -izotopy. Hatcher a Wagoner studovali složky prostoru pseudoizotopií a spojili ho s podílem K ₂ ( Z π ).

Vhodným kontextem pro teorém s -cobordismu je klasifikační prostor h -cobordismů. Pokud M je CAT potrubí, pak H ^CAT ( M ), je prostor, který klasifikuje svazky h -cobordisms na M . S -cobordism teorém může být interpretován jako prohlášení, že množina připojených komponent tohoto prostoru je skupina Whitehead z n ₁ ( M ). Tento prostor obsahuje přísně více informací než skupina Whitehead; například připojená složka triviálního cobordismu popisuje možné válce na M a zejména je překážkou jedinečnosti homotopy mezi rozdělovačem a M × [0, 1] . Zvážení těchto otázek vedlo Waldhausena k zavedení jeho algebraické K -teorie prostorů. Algebraický K -Teorie M je prostor ( M ), která je definována tak, že v podstatě hraje stejnou roli pro vyšší K -skupiny jako K ₁ ( Z n ₁ ( M )) dělá pro M . Waldhausen konkrétně ukázal, že existuje mapa od A ( M ) do prostoru Wh ( M ), která generalizuje mapu K ₁ ( Z π ₁ ( M )) → Wh ( π ₁ ( M )) a jejíž homotopické vlákno je teorie homologie.

Aby bylo možné plně rozvinout -Teorie, Waldhausen značné technické pokroky v základech K -Teorie. Waldhausen zavedena kategorie Waldhausen a na Waldhausen kategorie C zavedl simpliciální kategorii S _⋅ C (dále jen S je pro Segal) definována z hlediska řetězců cofibrations v C . To osvobodilo základy K -teorie od potřeby vyvolávat analogy přesných sekvencí.

Algebraická topologie a algebraická geometrie v algebraické K -teorii

Quillen navrhl, aby svého žáka Kenneth Brown , že by bylo možné vytvořit teorii snopy ze spekter z nichž K -Teorie by poskytly příklad. Snop spektra K -teorie by ke každé otevřené podmnožině odrůdy asocioval K -teorii této otevřené podmnožiny. Brown vyvinul takovou teorii pro svou práci. Současně Gersten měl stejný nápad. Na konferenci v Seattlu na podzim 1972 společně objevili spektrální sekvenci konvergující ze svazkové kohomologie svazku K _n -skupin na X do K -skupiny celkového prostoru. Toto se nyní nazývá spektrální sekvence Brown – Gersten . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {n}}$

Spencer Bloch , ovlivňován Gersten práce na snopy K -skupiny, se ukázalo, že v pravidelných povrchu, kohomologie skupina je isomorphic k Chow skupina CH ² ( X ) z codimension 2 cyklech na X . Inspirován tímto, Gersten předpokládal, že pro pravidelný místní prsten R s frakčním polem F , K _n ( R ) vstřikuje do K _n ( F ) pro všechny n . Quillen brzy dokázal, že je to pravda, když R obsahuje pole, a pomocí toho dokázal, že ${\ Displaystyle H^{2} (X, {\ mathcal {K}} _ {2})}$

${\ Displaystyle H ^{p} (X, {\ mathcal {K}} _ {p}) \ cong \ operatorname {CH} ^{p} (X)}$

pro všechny p . Toto je známé jako Blochův vzorec . Ačkoli od té doby došlo k Gerstenovým dohadům, obecný případ zůstává otevřený.

Lichtenbaum předpokládal, že speciální hodnoty zeta funkce číselného pole lze vyjádřit pomocí K -skupin prstence celých čísel pole. Bylo známo, že tyto speciální hodnoty souvisejí s etalskou cohomologií prstenu celých čísel. Quillen proto zobecnil Lichtenbaumovu domněnku a předpovídal existenci spektrální sekvence, jako je spektrální sekvence Atiyah – Hirzebruch v topologické K -teorii. Quillen navrhované spektrální sekvence začne z Etale kohomologie prstencové R a, v dostatečně vysokých stupních a po dokončení v předním l invertibilní v R , dosedají na l -adic dokončení K -Teorie R . V případě, který studoval Lichtenbaum, by spektrální sekvence degenerovala, což by přineslo Lichtenbaumovu domněnku.

Nutnost lokalizace na primární l Browderovi naznačila, že by měla existovat varianta K -teorie s konečnými koeficienty. Zavedl K -teorie skupiny K _n ( R ; Z / l Z ), což byly Z / l Z -vektorové prostory, a našel analogii Bottova prvku v topologické K -teorii. Soule použil tuto teorii ke konstrukci „étale Chernových tříd “, analogů topologických Chernových tříd, které převzaly prvky algebraické K -teorie do tříd v étale cohomology . Na rozdíl od algebraické K -teorie je étale cohomologie vysoce vypočítatelná, takže třídy étale Chern poskytly účinný nástroj pro detekci existence prvků v K -teorii. William G. Dwyer a Eric Friedlander poté vynalezli analogii K -teorie pro étalovou topologii zvanou étale K -theory. U odrůd definovaných přes komplexní čísla je étale K -teorie izomorfní až topologická K -teorie. Kromě toho teorie étale K připustila spektrální sekvenci podobnou té, kterou vymyslel Quillen. Thomason kolem roku 1980 dokázal, že po převrácení Bottova prvku se algebraická K -teorie s konečnými koeficienty stala izomorfní k étale K -teorii.

V sedmdesátých a na začátku osmdesátých let postrádala K -teorie o singulárních odrůdách dostatečné základy. Ačkoli se věřilo, že Quillenova K -teorie dává správné skupiny, nebylo známo, že by tyto skupiny měly všechny předpokládané vlastnosti. K tomu bylo nutné přeformulovat algebraickou K -teorii. To provedl Thomason v dlouhé monografii, kterou společně připsal svému mrtvému ​​příteli Thomasi Trobaughovi, který mu podle něj dal ve snu klíčovou myšlenku. Thomason spojil Waldhausenovu konstrukci K -teorie se základy teorie křižovatky popsané v šestém dílu Grothendieckova Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie . Tam byla K ₀ popsána z hlediska komplexů snopů na algebraických odrůdách. Thomason zjistil, že pokud se pracuje s odvozenou kategorií snopů, existuje jednoduchý popis, kdy lze komplex snopů rozšířit z otevřené podmnožiny odrůdy na celou odrůdu. Použitím Waldhausenovy konstrukce K -teorie na odvozené kategorie dokázal Thomason dokázat, že algebraická K -teorie měla všechny očekávané vlastnosti cohomologické teorie.

V roce 1976 Keith Dennis objevil zcela novou techniku ​​pro výpočet K -teorie založenou na Hochschildově homologii . To bylo založeno na existenci Dennisovy stopové mapy, homomorfismu od K -teorie po Hochschildovu homologii. Zatímco Dennisova stopová mapa se zdála být úspěšná pro výpočty K -teorie s konečnými koeficienty, byla méně úspěšná pro racionální výpočty. Goodwillie, motivovaný svým „kalkulem funktorů“, předpokládal existenci teorie přechodné k K -teorii a Hochschildově homologii. Tuto teorii nazval topologickou Hochschildovou homologií, protože jeho základním prstenem by mělo být sférické spektrum (považováno za prstenec, jehož operace jsou definovány pouze do homotopy). V polovině 80. let dal Bokstedt definici topologické homologie Hochschildů, která uspokojila téměř všechny dohadné vlastnosti Goodwillie, a to umožnilo další výpočty K -skupin. Bokstedtova verze Dennisovy trasové mapy byla transformací spekter K → THH . Tato transformace zohlednila pevné body kruhového působení na THH , což naznačovalo vztah s cyklickou homologií . V průběhu dokazování algebraického analogu teorie K Novikovovy domněnky zavedli Bokstedt, Hsiang a Madsen topologickou cyklickou homologii, která měla k topologické homologii Hochschild stejný vztah jako cyklická homologie k homologii Hochschild. Dennisova trasovací mapa k topologickým faktorům homologie Hochschild prostřednictvím topologické cyklické homologie, která poskytuje ještě podrobnější nástroj pro výpočty. V roce 1996 Dundas, Goodwillie a McCarthy dokázali, že topologická cyklická homologie má v přesném smyslu stejnou místní strukturu jako algebraická K -teorie, takže pokud je možný výpočet v K -teorii nebo topologické cyklické homologii, pak mnoho dalších “následují výpočty.

Nižší K -skupiny

Nejprve byly objeveny nižší skupiny K a byly jim poskytnuty různé popisy ad hoc, které zůstávají užitečné. Po celou dobu nechť A je prsten .

K ₀

Funktor K ₀ převezme prsten A do Grothendieckovy skupiny ze souboru tříd izomorfismu jeho finálně generovaných projektivních modulů , považovaných za monoid pod přímým součtem. Jakýkoli kruhový homomorfismus A → B dává mapu K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ) mapováním (třídy) projektivního A -modulu M na M ⊗ _A B , čímž se K ₀ stane kovariantním funktorem.

Pokud je prstenec A komutativní, můžeme jako skupinu definovat podskupinu K ₀ ( A )

${\ displaystyle {\ tilde {K}} _ {0} \ left (A \ right) = \ bigcap \ limits _ {{\ mathfrak {p}} {\ text {prime ideal of}} A} \ mathrm {Ker } \ dim _ {\ mathfrak {p}},}$

kde:

${\ Displaystyle \ dim _ {\ mathfrak {p}}: K_ {0} \ left (A \ right) \ to \ mathbf {Z}}$

je mapa odesílající každý (třídu a) konečně generovaného projektivního A -modulu M do hodnosti volného -modulu (tento modul je skutečně bezplatný, protože jakýkoli konečně generovaný projektivní modul přes místní kruh je zdarma). Tato podskupina je známý jako sníženého nultý K-teorie z A . ${\ displaystyle A _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ tilde {K}} _ {0} \ left (A \ right)}$

Pokud B je prsten bez prvku identity , můžeme definici K ₀ rozšířit následovně. Nechť A = B ⊕ Z je rozšíření B na prsten s jednotou získanou přilehlým prvkem identity (0,1). K dispozici je krátká přesné sekvence B → → Z a definujeme K ₀ ( B ), že je jádro odpovídající mapě K ₀ ( A ) → K ₀ ( Z ) = Z .

Příklady

• (Projektivní) moduly nad polem k jsou vektorové prostory a K ₀ ( k ) je izomorfní vůči Z podle dimenze .
• Konečně generované projektivní moduly přes lokální prstenec A jsou volné, a proto je v tomto případě opět K ₀ ( A ) izomorfní k Z , podle pořadí .
• Pro A Dedekind domény , K ₀ ( ) = Pic ( ) ⊕ Z , kde Pic ( ) je skupina Picard z A ,

Algebro-geometrická varianta této konstrukce je aplikována na kategorii algebraických odrůd ; sdružuje s danou algebraické odrůdy X na Grothendieck je K -Skupina kategorie lokálně volných kladek (nebo ucelených snopy) na X . Vzhledem k tomu, kompaktní topologický prostor X je topologický K -Teorie K ^horní ( X ) (v reálném) vektorových svazků přes X se shoduje s K ₀ kroužku z kontinuálních reálných funkcí na X .

Relativní K ₀

Nechť jsem ideálem A a definuji „dvojník“ jako podřetězec karteziánského součinu A × A :

${\ Displaystyle D (A, I) = \ {(x, y) \ in A \ times A: xy \ in I \} \.}$

Relativní K-skupina je definována v podmínkách „double“

${\ Displaystyle K_ {0} (A, I) = \ ker \ left ({K_ {0} (D (A, I)) \ rightarrow K_ {0} (A)} \ right) \.}$

kde je mapa vyvolána projekcí podél prvního faktoru.

Relativní K ₀ ( A , I ) je izomorfní vůči K ₀ ( I ), považuji I za prsten bez identity. Nezávislost na A je analogií věty o přesnosti v homologii.

K ₀ jako prsten

Je -li A komutativní prsten, pak tenzorový součin projektivních modulů je opět projektivní, a tak tenzorový součin indukuje násobení, které mění K ₀ na komutativní kruh se třídou [ A ] jako identitou. Vnější produkt podobně indukuje λ-kruhovou strukturu. Skupina Picarda je začleněna jako podskupina skupiny jednotek K ₀ ( A ) ^∗ .

K ₁

Hyman Bass předpokladu této definice, která zobecňuje skupinu jednotek kruhu: K ₁ ( A ) je abelianization z nekonečného obecné lineární skupiny :

${\ displaystyle K_ {1} (A) = \ operatorname {GL} (A)^{\ mbox {ab}} = \ operatorname {GL} (A)/[\ operatorname {GL} (A), \ operatorname { GL} (A)]}$

Tady

${\ displaystyle \ operatorname {GL} (A) = \ operatorname {colim} \ operatorname {GL} (n, A)}$

je přímý limit GL ( n ), který je vložen do GL ( n  + 1) jako matice horního levého bloku , a je jeho podskupinou komutátorů . Definujte elementární matici jako matici, která je součtem matice identity a jednoho mimo diagonálního prvku (toto je podmnožina elementárních matic používaných v lineární algebře ). Poté Whiteheadovo lemma uvádí, že skupina E ( A ) generovaná elementárními maticemi se rovná podskupině komutátorů [GL ( A ), GL ( A )]. Ve skutečnosti, skupina GL ( ) / E ( ) byl poprvé definován a studován Whitehead, a se nazývá skupina Whitehead prstencové A . ${\ displaystyle [\ operatorname {GL} (A), \ operatorname {GL} (A)]}$

Relativní K ₁

Relativní K-skupina je definována v podmínkách „double“

${\ Displaystyle K_ {1} (A, I) = \ ker \ left ({K_ {1} (D (A, I)) \ rightarrow K_ {1} (A)} \ right) \.}$

Existuje přirozená přesná posloupnost

${\ Displaystyle K_ {1} (A, I) \ rightarrow K_ {1} (A) \ rightarrow K_ {1} (A/I) \ rightarrow K_ {0} (A, I) \ rightarrow K_ {0} ( A) \ rightarrow K_ {0} (A/I) \.}$

Komutativní prstence a pole

Pro A komutativní prsten , lze definovat determinant det: GL ( ) → materiálu A * do skupiny jednotek z A , které mizí na E ( A ), a tím se sníží k mapě det: K ₁ ( A ) → A * . Jako E ( A ) ◅ SL ( A ) lze také definovat speciální skupinu bílých hlav S K ₁ ( A ): = SL ( A )/E ( A ). Tato mapa se rozdělí přes mapu A* → GL (1, A ) → K ₁ ( A ) (jednotka v levém horním rohu), a proto je na, a má jako jádro speciální skupinu Whitehead, čímž se získá rozdělená krátká přesná sekvence :

${\ Displaystyle 1 \ to SK_ {1} (A) \ to K_ {1} (A) \ to A^{*} \ to 1,}$

což je podíl obvyklé rozdělené krátké přesné sekvence definující speciální lineární skupinu , jmenovitě

${\ displaystyle 1 \ to \ operatorname {SL} (A) \ to \ operatorname {GL} (A) \ to A^{*} \ to 1.}$

Determinant je rozdělen tak, že zahrne skupinu jednotek A* = GL ₁ ( A ) do obecné lineární skupiny GL (A) , takže K ₁ ( A ) se rozdělí jako přímý součet skupiny jednotek a speciální skupiny Whitehead: K ₁ ( A ) ≅ A* ⊕ SK ₁ ( A ).

Když A je euklidovská doména (např. Pole nebo celá čísla), S K ₁ ( A ) zmizí a determinantní mapa je izomorfismus od K ₁ ( A ) do A ^∗ . To je obecně nepravdivé pro PID, což poskytuje jeden ze vzácných matematických rysů euklidovských domén, které se nezobecňují na všechny PID. Explicitní PID takový, že SK ₁ je nenulový, poskytl Ischebeck v roce 1980 a Grayson v roce 1981. Pokud A je doména Dedekind, jejíž kvocientové pole je pole algebraických čísel (konečné rozšíření racionálních hodnot), pak Milnor (1971 , důsledek 16,3 ) ukazuje, že S K ₁ ( A ) zmizí.

Zmizení SK ₁ lze interpretovat tak, že K ₁ je generováno obrazem GL ₁ v GL. Když se to nezdaří, lze se zeptat, zda je K ₁ generováno obrazem GL ₂ . V případě domény Dedekind tomu tak je: K ₁ je skutečně generován obrazy GL ₁ a SL ₂ v GL. Podskupinu SK ₁ generovanou SL ₂ lze studovat pomocí Mennickeho symbolů . Pro domény Dedekind se všemi kvocienty podle konečných maximálních ideálů je SK ₁ torzní skupina.

Pro nekomutativní kruh nelze determinant obecně definovat, ale mapa GL ( A ) → K ₁ ( A ) je zobecněním determinantu.

Centrální jednoduché algebry

V případě centrálního jednoduché algebry A přes pole F je snížená norma poskytuje zobecnění determinantu dávat mapu K ₁ ( A ) → F ^* a S K ₁ ( A ) může být definována jako jádra. Wangova věta uvádí, že pokud A má primární stupeň, pak S K ₁ ( A ) je triviální a toto může být rozšířeno na stupeň bez čtverců. Wang také ukázal, že S K ₁ ( A ) je triviální pro jakoukoli centrální jednoduchou algebru nad číselným polem, ale Platonov uvedl příklady algeber stupně prvočíselných čtverců, pro které S K ₁ ( A ) není triviální.

K ₂

John Milnor našli správnou definici K ₂ : to je střed na Steinberg skupiny St ( A ) z A .

Lze jej také definovat jako jádro mapy

${\ displaystyle \ varphi \ colon \ operatorname {St} (A) \ to \ mathrm {GL} (A),}$

nebo jako Schurův multiplikátor skupiny elementárních matic .

Pro pole je K ₂ určeno Steinbergovými symboly : to vede k Matsumotově větě.

Lze vypočítat, že K ₂ je nula pro jakékoli konečné pole. Výpočet K ₂ ( Q ) je komplikovaný: Tate dokázal

${\ Displaystyle K_ {2} (\ mathbf {Q}) = (\ mathbf {Z} /4)^{*} \ times \ prod _ {p {\ text {odd prime}}} (\ mathbf {Z} /p)^{*} \}$

a poznamenal, že důkaz následoval po prvním Gaussově důkazu zákona o kvadratické vzájemnosti .

V případě jiných než archimédských místních polí je skupina K ₂ ( F ) přímým součtem konečné cyklické skupiny řádu m , řekněme, a dělitelné skupiny K ₂ ( F ) ^m .

Máme K ₂ ( Z ) = Z /2 a obecně K ₂ je konečný pro kruh celých čísel číselného pole.

Dále máme K ₂ ( Z / n ) = Z / 2, pokud n je dělitelné 4, a jinak nula.

Matsumotova věta

Matsumotova věta uvádí, že pro pole k je druhá K -skupina dána vztahem

${\ Displaystyle K_ {2} (k) = k^{\ times} \ otimes _ {\ mathbf {Z}} k^{\ times}/\ langle a \ otimes (1-a) \ mid a \ not = 0,1 \ rangle.}$

Matsumotova původní věta je ještě obecnější: Pro jakýkoli kořenový systém představuje prezentaci nestabilní K-teorie. Tato prezentace se liší od zde uvedené pouze pro symplektické kořenové systémy. U nesymplektických kořenových systémů je nestabilní druhá skupina K vůči kořenovému systému přesně stabilní skupinou K pro GL ( A ). Nestabilní druhé K-skupiny (v tomto kontextu) jsou definovány převzetím jádra univerzálního centrálního rozšíření skupiny Chevalley univerzálního typu pro daný kořenový systém. Tato konstrukce poskytuje jádro Steinbergova rozšíření pro kořenové systémy A _n ( n  > 1) a v mezích stabilní druhé K -skupiny.

Dlouhé přesné sekvence

Pokud A je doména Dedekind s polem zlomků F, pak existuje dlouhá přesná sekvence

${\ Displaystyle K_ {2} F \ rightarrow \ oplus _ {\ mathbf {p}} K_ {1} A/{\ mathbf {p}} \ rightarrow K_ {1} A \ rightarrow K_ {1} F \ rightarrow \ oplus _ {\ mathbf {p}} K_ {0} A/{\ mathbf {p}} \ rightarrow K_ {0} A \ rightarrow K_ {0} F \ rightarrow 0 \}$

kde p běh přes všech primárních ideálů A .

Existuje také rozšíření přesné sekvence pro relativní K ₁ a K ₀ :

${\ Displaystyle K_ {2} (A) \ rightarrow K_ {2} (A/I) \ rightarrow K_ {1} (A, I) \ rightarrow K_ {1} (A) \ cdots \.}$

Párování

Existuje párování na K ₁ s hodnotami v K ₂ . Vzhledem k dojížděcím maticím X a Y nad A vezměte prvky x a y ve Steinbergově skupině s X , Y jako obrázky. Komutátor je prvek K ₂ . Mapa není vždy surjektivní. ${\ Displaystyle xyx^{-1} y^{-1}}$

Milnor K -teorie

Výše uvedený výraz pro K ₂ pole k vedl Milnora k následující definici „vyšších“ K -skupin podle

${\ Displaystyle K _ {*}^{M} (k): = T^{*} (k^{\ times})/(a \ otimes (1-a)),}$

tedy jako tříděné dílů kvocient tensor algebry na multiplikativní skupiny k ^x u oboustranného ideálu , které generuje

${\ Displaystyle \ left \ {a \ otimes (1-a): \ a \ neq 0,1 \ right \}.}$

Pro n = 0,1,2 se tyto shodují s níže uvedenými, ale pro n ≧ 3 se obecně liší. Například máme K^M
_n( F _q ) = 0 pro n ≧ 2, ale K _n F _q je nenulové pro liché n (viz níže).

Tenzorový součin na tenzorové algebře indukuje produkt, který vytváří odstupňovaný prstenec, který je odstupňovaný-komutativní . ${\ displaystyle K_ {m} \ times K_ {n} \ rightarrow K_ {m+n}}$${\ displaystyle K _ {*}^{M} (F)}$

Obrazy prvků ve jsou označovány symboly , označený . Pro celé číslo m invertibilní v k existuje mapa ${\ Displaystyle a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}}$${\ displaystyle K_ {n}^{M} (k)}$${\ displaystyle \ {a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \}}$

${\ Displaystyle \ partial: k^{*} \ rightarrow H^{1} (k, \ mu _ {m})}$

kde označuje skupinu m -tých kořenů jednoty v nějakém oddělitelném rozšíření k . To se rozšiřuje na ${\ displaystyle \ mu _ {m}}$

${\ Displaystyle \ partial^{n}: k^{*} \ times \ cdots \ times k^{*} \ rightarrow H^{n} \ left ({k, \ mu _ {m}^{\ otimes n }}\že jo)\ }$

uspokojující definující vztahy K skupiny Milnor. Proto může být považována za mapu na , nazývanou Galoisova symbolická mapa. ${\ displaystyle \ partial ^{n}}$${\ displaystyle K_ {n}^{M} (k)}$

Vztah mezi etalskou (nebo Galoisovou ) cohomologií oboru a Milnorovou K-theory modulo 2 je Milnorova domněnka , kterou dokázal Vladimír Voevodsky . Analogickým tvrzením pro liché prvočísla je Bloch-Kato dohad , který prokázali Voevodsky, Rost a další.

Vyšší K -teorie

Přijaté definice vyšších K -skupin byly dány Quillenem (1973) , po několika letech, během nichž bylo navrženo několik nekompatibilních definic. Cílem programu bylo najít definice K ( R ) a K ( R , I ) z hlediska klasifikace prostorů tak, aby R ⇒ K ( R ) a ( R , I ) ⇒ K ( R , I ) byly funktory do kategorie homotopy prostorů a dlouholetou přesné sekvence pro relativní k-skupinami vzniká jako dlouho přesné homotopie sekvence části fibration k ( R , i ) →  k ( R ) →  k ( R / i ).

Quillen dal dvě konstrukce, „plusovou konstrukci“ a „ Q -konstrukci“, přičemž ta druhá byla následně různými způsoby upravena. Tyto dvě konstrukce poskytují stejné K-skupiny.

Konstrukce +

Jednu z možných definic vyšší algebraické K -teorie prstenů poskytl Quillen

${\ displaystyle K_ {n} (R) = \ pi _ {n} (B \ operatorname {GL} (R)^{+}),}$

Zde π _n je homotopy skupina , GL ( R ) je přímé omezení z obecných lineárních skupin nad R pro velikost matice tendenci k nekonečnu, B je třídění prostor konstrukce homotopie teorie , a ⁺ je Quillen je navíc konstrukce . Původně tuto myšlenku našel při studiu skupinové kohomologie a poznamenal, že některé jeho výpočty souvisejí . ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbb {F} _ {q})}$${\ displaystyle K_ {1} (\ mathbb {F} _ {q})}$

Tato definice platí pouze pro n  > 0, takže člověk často definuje vyšší algebraickou teorii K prostřednictvím

${\ Displaystyle K_ {n} (R) = \ pi _ {n} (B \ jméno operátora {GL} (R)^{+} \ times K_ {0} (R))}$

Protože BGL ( R ) ⁺ je spojen s cestou a K ₀ ( R ) diskrétní, tato definice se neliší ve vyšších stupních a platí také pro n  = 0.

Q -stavební

Konstrukce Q dává stejné výsledky jako konstrukce +, ale platí v obecnějších situacích. Definice je navíc přímější v tom smyslu, že skupiny K definované pomocí Q -konstrukce jsou podle definice funktoriální. Tato skutečnost není v konstrukci plus automatická.

Předpokládejme, že je to přesná kategorie ; je definována přidružená k nové kategorii , jejíž objekty jsou objekty a morfismy od M 'do M ' jsou třídy izomorfismu diagramů ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle QP}$${\ displaystyle P}$

${\ Displaystyle M '\ longleftarrow N \ longrightarrow M' ',}$

kde první šipka je přípustný epimorfismus a druhá šipka je přípustný monomorfismus . Všimněte si, že morfismy jsou analogické definicím morfismů v kategorii motivů , kde jsou morfismy uvedeny jako korespondence takové, že${\ displaystyle QP}$${\ displaystyle Z \ subset X \ times Y}$

${\ Displaystyle X \ leftarrow Z \ rightarrow Y}$

je diagram, kde šipka vlevo je krycí mapa (tedy surjektivní) a šipka vpravo je injektivní. Tato kategorie pak může být otočen do topologického prostoru za použití klasifikační prostor konstrukce , která je definována jako geometrický realizace v nervu o . Poté je i -ta K -skupina přesné kategorie definována jako ${\ displaystyle BQP}$${\ displaystyle QP}$${\ displaystyle P}$

${\ Displaystyle K_ {i} (P) = \ pi _ {i+1} (\ mathrm {BQ} P, 0)}$

s pevným nulovým objektem . Všimněte si, že klasifikační prostor grupoidu posune skupiny homotopů o jeden stupeň nahoru, a proto posun ve stupních pro bytí prostoru. ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle B {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle K_ {i}}$${\ displaystyle \ pi _ {i+1}}$

Tato definice se shoduje s výše uvedenou definicí K ₀ ( P ). Pokud P je kategorie konečně generovaných projektivních R -modulů , tato definice souhlasí s výše uvedenou definicí BGL ⁺ K _n ( R ) pro všechna n . Obecněji, pro schématu X , tím vyšší K -skupiny z X je definována jako K -skupiny z (přesné kategorie) lokálně volných ucelených snopy na X .

Používá se také následující varianta: místo finálně generovaných projektivních (= lokálně volných) modulů vezměte finálně generované moduly. Výsledné K -skupiny se obvykle píší G _n ( R ). Když R je noetherovský pravidelný prsten , pak se G - a K -teorie shodují. Globální dimenze pravidelných prstenů je skutečně konečná, tj. Jakýkoli konečně generovaný modul má konečné projektivní rozlišení P _* → M a jednoduchý argument ukazuje, že kanonická mapa K ₀ (R) → G ₀ (R) je izomorfismus , s [ M ] = Σ ± [ P _n ]. Tento izomorfismus rozšiřuje do vyšších K -skupiny, také.

S -stavební

Třetí konstrukce K -Teorie skupin je S -stavební, kvůli Waldhausen . Platí pro kategorie s kofibracemi (nazývané také kategorie Waldhausen ). Toto je obecnější koncept než přesné kategorie.

Příklady

Zatímco quillenská algebraická K -teorie poskytla hluboký vhled do různých aspektů algebraické geometrie a topologie, K -skupiny se ukázaly jako obzvláště obtížně vypočítatelné, kromě několika ojedinělých, ale zajímavých případů. (Viz také: K-skupiny pole .)

Algebraické K -skupiny konečných polí

První a jeden z nejdůležitějších výpočtů vyšších algebraických K -skupin prstenu provedl sám Quillen pro případ konečných polí :

Pokud F _q je konečné pole s q prvky, pak:

• K ₀ ( F _q ) = Z ,
• K _{2 i} ( F _q ) = 0 pro i ≥1,
• K _{2 i –1} ( F _q ) = Z /( q ⁱ  - 1) Z pro i  ≥ 1. 

Rick Jardine  ( 1993 ) Quillenův výpočet vyvrátil pomocí různých metod.

Algebraické K -skupiny prstenců celých čísel

Quillen dokázal, že pokud A je prstenec algebraických celých čísel v algebraickém číselném poli F (konečné rozšíření racionálních čísel ), pak se algebraické K-skupiny A konečně vygenerují. Armand Borel to použil k výpočtu torze modulace K _i ( A ) a K _i ( F ). Například pro celá čísla Z Borel dokázal, že (modulo torze)

• K _i ( Z ) /tors.=0 pro kladné i, pokud i = 4k+1 s k kladným
• K _{4 k +1} ( Z )/tors.= Z pro kladné k .

Nedávno byly určeny torzní podskupiny K _{2 i +1} ( Z ) a pořadí konečných skupin K _{4 k +2} ( Z ), ale zda jsou poslední skupiny cyklické a zda skupiny K _{4 k} ( Z ) zmizí závisí na Vandiverově domněnce o třídních skupinách cyklotomických celých čísel. Další podrobnosti viz domněnka Quillen – Lichtenbaum .

Přihlášky a otevřené otázky

Algebraické K-skupiny se používají v dohadech o speciálních hodnotách L-funkcí a formulaci nekomutativních hlavních dohadů Iwasawovy teorie a při konstrukci vyšších regulátorů .

Parshinova domněnka se týká vyšších algebraických K -skupin pro hladké odrůdy nad konečnými poli a uvádí, že v tomto případě skupiny mizí až do torze.

Další zásadní domněnka díky Hymanovi Bassovi ( Bassova domněnka ) říká, že všechny skupiny G _n ( A ) jsou konečně generovány, když A je konečně generovaná Z -algebra. (Skupiny G _n ( A ) jsou K -skupiny kategorie finálně generovaných A -modulů)

Viz také

• Blochův vzorec
• Základní věta algebraické K -teorie
• Základní věty v algebraické K -teorii
• K -teorie
• K -teorie kategorie
• K -skupina pole
• Spektrum K -teorie
• Dohady o červeném posunu
• Topologická K -teorie
• Tuhost ( K -teorie)

Poznámky

Reference

• Bass, Hyman (1968), Algebraic K -theory , Mathematics Lecture Note Series, New York -Amsterdam : WA Benjamin, Inc., Zbl  0174.30302
• Friedlander, Eric ; Grayson, Daniel, eds. (2005), Handbook of K-Theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-27855-9 , ISBN 978-3-540-30436-4, MR  2182598
• Friedlander, Eric M .; Weibel, Charles W. (1999), Overview of algebraic K -theory , World Sci. Publ., River Edge, NJ, s. 1–119, MR  1715873
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006), Central simple algebras and Galois cohomology , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 101 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-86103-8, Zbl  1137.12001
• Gras, Georges (2003), třídní teorie pole. Od teorie k praxi , Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44133-5, Zbl  1019.11032
• Jardine, John Frederick (1993), „K-teorie konečných polí, znovu navštíveno“, K-Theory , 7 (6): 579–595, doi : 10.1007/BF00961219 , MR  1268594
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Úvod do kvadratických forem v oborech , postgraduální studium matematiky, 67 , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1095-8, MR  2104929 , Zbl  1068.11023
• Lemmermeyer, Franz (2000), reciproční zákony. From Euler to Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12893-0 , ISBN 978-3-540-66957-9, MR  1761696 , Zbl  0949.11002
• Milnor, John Willard (1970), „Algebraická K -teorie a kvadratické formy“, Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, Bibcode : 1970InMat ... 9..318M , doi : 10,1007/BF01425486 , ISSN  0020- 9910 , MR  0260844
• Milnor, John Willard (1971), Introduction to algebraic K-theory , Annals of Mathematics Studies, 72 , Princeton, NJ: Princeton University Press , MR  0349811 , Zbl  0237.18005 (nižší K-skupiny)
• Quillen, Daniel (1973), „High algebraic K-theory. I“, Algebraic K-theory, I: Higher K-theory (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972) , Lecture Notes in Math, 341 , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 85–147, doi : 10.1007/BFb0067053 , ISBN 978-3-540-06434-3, MR  0338129
• Quillen, Daniel (1975), „Higher algebraic K-theory“, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, BC, 1974), Vol. 1 , Montreal, Quebec: Kanaďan. Matematika. Kongres, s. 171–176 , MR  0422392 (Quillenova Q-konstrukce)
• Quillen, Daniel (1974), „Vyšší K-teorie pro kategorie s přesnými sekvencemi“, Nový vývoj v topologii (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 11 , Cambridge University Press , s. 95–103, MR  0335604 (vztah Q-konstrukce k plus-konstrukci)
• Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraic K-theory and its applications , Graduate Texts in Mathematics , 147 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-4314-4 , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290 , Zbl  0801.19001. Errata
• Seiler, Wolfgang (1988), „λ-Rings and Adams Operations in Algebraic K-Theory“, v Rapoport, M .; Schneider, P .; Schappacher, N. (eds.), Beilinsonovy dohady o speciálních hodnotách L-funkcí , Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-581120-0
• Silvester, John R. (1981), Introduction to algebraic K-theory , Chapman and Hall Mathematics Series, London, New York: Chapman and Hall , ISBN 978-0-412-22700-4, Zbl  0468.18006
• Weibel, Charles (2005), "Algebraic K-teorie kruhů celých čísel v lokálních a globálních polí" (PDF) , Handbook of K-teorie , Berlín, New York: Springer-Verlag , pp 139-190,. Doi : 10,1007 /3-540-27855-9_5 , ISBN 978-3-540-23019-9, MR  2181823 (článek z průzkumu)
• Weibel, Charles (1999), The Development of algebraic K-theory before 1980 , Contemporary Mathematics, 243 , Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 211–238, doi : 10,1090/conm/243/03695 , MR  1732049

Další čtení

• Lluis-Puebla, Emilio; Dnes, Jean-Louis; Gillet, Henri; Soulé, Christophe; Snaith, Victor (1992), Higher algebraic K-theory: an overview , Lecture Notes in Mathematics, 1491 , Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55007-5, Zbl  0746.19001
• Magurn, Bruce A. (2009), Algebraický úvod do K-teorie , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 87 (opravená brožovaná ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-10658-0
• Srinivas, V. (2008), Algebraic K -theory , Modern Birkhäuser Classics (Paperback dotisk 1996 2. vydání.), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0, Zbl  1125.19300
• Weibel, C., K-kniha: Úvod do algebraické K-teorie

Pedagogické reference

• Vyšší algebraická teorie K: přehled
• Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraic K-theory and its applications , Graduate Texts in Mathematics , 147 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-4314-4 , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290 , Zbl  0801.19001. Errata
• Weibel, Charles (2013), The K-book: an introuction to Algebraic K-theory , Graduate Studies in Mathematics , 145 , AMS

Historické reference

• Atiyah, Michael F .; Hirzebruch, Friedrich (1961), Vektorové svazky a homogenní prostory , Proc. Sympos. Pure Math., 3 , American Mathematical Society , s. 7–38
• Barden, Dennis (1964). O struktuře a klasifikaci diferenciálních potrubí (práce). Cambridgeská univerzita .
• Bass, Hyman ; Murthy, MP (1967). „Grothendieckovy skupiny a Picardovy skupiny abelianských skupinových kruhů“. Annals of Mathematics . 86 (1): 16–73. doi : 10,2307/1970360 . JSTOR  1970360 .
• Bass, Hyman ; Schanuel, S. (1962). „Homotopická teorie projektivních modulů“ . Bulletin Americké matematické společnosti . 68 (4): 425–428. doi : 10,1090/s0002-9904-1962-10826-x .
• Bass, Hyman (1968). Algebraická K -teorie . Benjamin.
• Bloch, Spencer (1974). „ K ₂ algebraických cyklů“. Annals of Mathematics . 99 (2): 349–379. doi : 10,2307/1970902 . JSTOR  1970902 .
• Bokstedt, M., Topological Hochschild homology . Preprint, Bielefeld, 1986.
• Bokstedt, M., Hsiang, WC, Madsen, I., Cyklotomická stopa a algebraická K -teorie prostorů . Vymyslet. Math., 111 (3) (1993), 465–539.
• Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1958). „Le teoreme de Riemann – Roch“ . Bulletin de la Société Mathématique de France . 86 : 97–136. doi : 10,24033/bsmf.1500 .
• Browder, William (1978), algebraická K -teorie s koeficienty Z / p, Lecture Notes in Mathematics, 657 , Springer – Verlag, s. 40–84
• Brown, K., Gersten, S., Algebraic K -theory as generalized sheaf cohomology , Algebraic K -theory I, Lecture Notes in Math., Sv. 341, Springer-Verlag, 1973, s. 266–292.
• Cerf, Jean (1970). „Přírodní stratifikace různých typů písem různých proměnných a teorémů pseudoizotopie“ . Publikace Mathématiques de l'IHÉS . 39 : 5–173. doi : 10,1007/BF02684687 .
• Dennis, RK, Vyšší algebraická K -teorie a Hochschildova homologie , nepublikovaný předtisk (1976).
• Gersten, S (1971). „Na funktoru K ₂ “ . J. Algebra . 17 (2): 212–237. doi : 10,1016/0021-8693 (71) 90030-5 .
• Grothendieck, Alexander, Classes de fasiceaux et theoreme de Riemann – Roch , mimeographed notes, Princeton 1957.
• Hatcher, Allen ; Wagoner, John (1973), „Pseudoizotopie kompaktních potrubí“, Astérisque , 6 , MR  0353337
• Karoubi, Max (1968). "Foncteurs pochází a K -theorie. Kategorie filtry". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB . 267 : A328 – A331.
• Karoubi, Max ; Villamayor, O. (1971). „K-theorie algebrique et K-theorie topologique“ . Matematika. Skandovat . 28 : 265–307. doi : 10,7146/math.scand.a-11024 .
• Matsumoto, Hideya (1969). „Sur les sous-groupes aritmetiques des groupes semi-simple deployes“ . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2 : 1–62. doi : 10,24033/asens.1174 .
• Mazur, Barry (1963). „Diferenciální topologie z pohledu jednoduché homotopické teorie“ (PDF) . Publikace Mathématiques de l'IHÉS . 15 : 5–93.
• Milnor, J (1970). „Algebraická K -teorie a kvadratické formy“. Vymyslet. Math . 9 (4): 318–344. Bibcode : 1970InMat ... 9..318M . doi : 10,1007/bf01425486 .
• Milnor, J., Úvod do algebraické K -teorie , Princeton Univ. Press, 1971.
• Nobile, A., Villamayor, O., Sur la K -theorie algebrique , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4e serie, 1 , no. 3, 1968, 581–616.
• Quillen, Daniel, Kohomologie skupin , Proc. ICM Nice 1970, roč. 2, Gauthier-Villars, Paris, 1971, 47–52.
• Quillen, Daniel, Vyšší algebraická K -teorie I , Algebraická K -teorie I, Přednášky v matematice, sv. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147.
• Quillen, Daniel, Vyšší algebraická K -teorie , Proč. Internovat. Congress Math., Vancouver, 1974, roč. Já, Canad. Matematika. Soc., 1975, s. 171–176.
• Segal, Graeme (1974). „Kategorie a teorie kohomologie“ . Topologie . 13 (3): 293–312. doi : 10,1016/0040-9383 (74) 90022-6 .
• Siebenmann, Larry, Překážka nalezení hranice pro otevřený rozdělovač dimenze větší než pět , práce, Princetonská univerzita (1965).
• Smale, S (1962). „O struktuře potrubí“. Amer. J. Math . 84 (3): 387–399. doi : 10,2307/2372978 . JSTOR  2372978 .
• Steinberg, R., Generateurs,, relations et revetements de groupes algebriques , ́Colloq. Theorie des Groupes Algebriques, Gauthier-Villars, Paris, 1962, s. 113–127. (Francouzština)
• Swan, Richard, Nonabelian homologická algebra a K-teorie , Proc. Sympos. Čistá matematika, sv. XVII, 1970, s. 88–123.
• Thomason, RW, Algebraická K -teorie a kohomologie étale , Ann. Vědec. Např. Norma. Sup. 18 , 4e serie (1985), 437–552; erratum 22 (1989), 675–677.
• Thomason, RW, Le principe de sciendage et l'inexistence d'une K -theorie de Milnor globale , Topology 31 , no. 3, 1992, 571–588.
• Thomason, Robert W .; Trobaugh, Thomas (1990), „Vyšší algebraická K-teorie schémat a odvozených kategorií“, The Grothendieck Festschrift, sv. III , Progr. Math., 88 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, s. 247–435, doi : 10,1007 /978-0-8176-4576-2_10 , ISBN 978-0-8176-3487-2, MR  1106918
• Waldhausen, F., Algebraic K -teorie topologických prostorů . I , Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 1, pp. 35–60, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 1978.
• Waldhausen, F., Algebraická K -teorie prostorů , v algebraické a geometrické topologii (New Brunswick, New Jersey, 1983) , Lecture Notes in Mathematics, sv. 1126 (1985), 318–419.
• Zeď, CTC (1965). „Podmínky konečnosti pro CW-komplexy“. Annals of Mathematics . 81 (1): 56–69. doi : 10,2307/1970382 . JSTOR  1970382 .
• Whitehead, JHC (1941). „O incidenčních matricích, jádrech a typech homotopů“. Annals of Mathematics . 42 (5): 1197–1239. doi : 10,2307/1970465 . JSTOR  1970465 .
• Whitehead, JHC (1950). „Jednoduché typy homotopy“. Amer. J. Math . 72 (1): 1–57. doi : 10,2307/2372133 . JSTOR  2372133 .
• Whitehead, JHC (1939). „Simpliciální prostory, jádra a m-skupiny“. Proč. Londýnská matematika. Soc . 45 : 243–327. doi : 10,1112/plms/s2-45.1.243 .

externí odkazy

• Archiv předtisku K theory