Doğrusal kod - Linear code

Olarak kodlama teorisi , bir lineer kod bir bir hata düzeltme kodu herhangi biri için lineer bir kombinasyonu arasında kod kelimeler de bir kod kelimesi olan. Doğrusal kodlar geleneksel olarak blok kodlar ve evrişimli kodlar olarak ikiye ayrılır , ancak turbo kodlar bu iki türün bir melezi olarak görülebilir. Doğrusal kodlar, diğer kodlardan daha verimli kodlama ve kod çözme algoritmalarına izin verir (bkz. sendrom kod çözme ).

Doğrusal kodlar, ileri hata düzeltmesinde kullanılır ve bir iletişim kanalı üzerinde sembollerin (örneğin bitlerin ) iletilmesi için yöntemlerde uygulanır, böylece iletişimde hatalar meydana gelirse, bir mesaj bloğunun alıcısı tarafından bazı hatalar düzeltilebilir veya algılanabilir. Doğrusal bir blok kodundaki kod sözcükleri, gönderilecek orijinal değerden daha fazla simge kullanılarak kodlanmış simge bloklarıdır. n uzunluğunda doğrusal bir kod, n sembol içeren blokları iletir . Örneğin, [7,4,3] Hamming kodu , 7 bitlik kod sözcükleri kullanan 4 bitlik mesajları temsil eden doğrusal bir ikili koddur . İki farklı kod sözcüğü en az üç bitte farklılık gösterir. Sonuç olarak, tek bir hata düzeltilebilirken, kod kelimesi başına en fazla iki hata tespit edilebilir. Bu kod 2 ⁴ =16 kod sözcüğü içerir.

Tanım ve parametreler

Bir lineer kod uzunluğunun , n ve seviye k a, lineer alt uzayı Cı ile boyut k bir vektör alanı olan sonlu alan ile q elemanları. Böyle bir koda q -ary kodu denir . Eğer q = 2 veya q = 3, kodu olarak tanımlanan ikili kod veya bir üçlü kod sırası. C'deki vektörlere kod sözcükleri denir . Boyut , bir kodun kod sözcüklerinin sayısıdır ve eşit q ^k . $\mathbb {F} _{q}^{n}$ $\mathbb {F} _{q}$

Ağırlık , bir kod sözcüğünün sıfırdan farklı ve elemanların sayısı da o mesafesi , iki kod sözcükleri arasında Hamming uzaklığı , aralarında, elementlerin sayısı, bunlar farklı. Doğrusal kodun d mesafesi , sıfır olmayan kod sözcüklerinin minimum ağırlığıdır veya eşdeğer olarak, farklı kod sözcükleri arasındaki minimum mesafedir. Uzunluk n , boyut k ve mesafe d olan doğrusal bir koda [ n , k , d ] kodu denir .

Standart temeli vermek istiyoruz çünkü her koordinat, küçük bir iletim hatası olasılığıyla (bir ikili simetrik kanal ) "gürültülü bir kanal" üzerinden iletilen bir "bit"i temsil ediyor . Başka bir temel kullanılırsa, bu model kullanılamaz ve Hamming metriği iletimdeki hataların sayısını istediğimiz gibi ölçmez. $\mathbb {F} _{q}^{n}$

Jeneratör ve kontrol matrisleri

Bir şekilde , doğrusal alt uzay içinde , bütün kod Cı (çok büyük olabilir) olarak temsil edilebilir yayılma bir dizi (a olarak bilinen kod sözcükleri esas olarak lineer cebir ). Bu temel kod sözcükleri genellikle , C kodu için üretici matris olarak bilinen G matrisinin satırlarında toplanır . G blok matris formunda olduğunda , temsil eder kimlik matrisi, P bazı olan matris, o zaman G olduğunu söylemek standart form . $\mathbb {F} _{q}^{n}$ ${\görüntüleme stili k}$ ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ ${\ Displaystyle I_{k}}$ ${\görüntüleme stili k\kez k}$ ${\görüntüleme stili k\kez (nk)}$

Bir matris , H , lineer bir fonksiyonunu temsil eden çekirdek olan Cı denen kontrol matrisinin bir C (ya da bazen, bir parite kontrol matrisi). Aynı şekilde, H olan bir matris boş alanı olan Cı . Eğer Cı- bir oluşturma matris ile bir koddur G standart form, daha sonra oluşturulan C. kodu için bir kontrol matrisi H olarak adlandırılan ikili kod G olduğu doğrulanabilir C H ise, matris matris. $\phi :\mathbb {F} _{q}^{n}\to \mathbb {F} _{q}^{nk}$ ${\boldsymbol {G}}=[I_{k}|P]$ ${\boldsymbol {H}}=[-P^{T}|I_{nk}]$ ${\görüntüleme stili k\kez n}$ ${\görüntüleme stili (nk)\kez n}$

Doğrusallık, c ₀ kod sözcüğü ile diğer c ≠ c ₀ kod sözcüklerinden herhangi biri arasındaki minimum Hamming mesafesi d' nin c _0'dan bağımsız olduğunu garanti eder . Bu , C'deki iki kod sözcüğünün c − c ₀ farkının da bir kod sözcüğü (yani, C altuzayının bir öğesi ) olması özelliğinden ve d ( c , c ₀ ) = d ( c − c _{0 özelliğinden kaynaklanır)} , 0). Bu özellikler şunu ifade eder:

\min _{c\in C,\ c\neq c_{0}}d(c,c_{0})=\min _{c\in C,\ c\neq c_{0}}d (c-c_{0},0)=\min _{c\in C,\ c\neq 0}d(c,0)=d.

Başka bir deyişle, doğrusal bir kodun kod sözcükleri arasındaki minimum mesafeyi bulmak için, yalnızca sıfır olmayan kod sözcüklerine bakmak gerekir. En küçük ağırlığa sahip sıfır olmayan kod sözcüğü, sıfır kod sözcüğüne olan minimum mesafeye sahiptir ve dolayısıyla kodun minimum mesafesini belirler.

Doğrusal bir kodun C mesafesi d , aynı zamanda kontrol matrisinin H doğrusal olarak bağımlı sütunlarının minimum sayısına eşittir .

Korumalı: dolayı eşdeğer olan, , burada bir kolon . Olanlar öğeleri kaldırın olanlar ile doğrusal bağımlıdır. Bu nedenle, en az lineer bağımlı sütunların minimum sayısıdır. Diğer yandan, sütun dizini kümesinin bulunduğu minimum doğrusal bağımlı sütun kümesini göz önünde bulundurun . . Şimdi vektörü öyle düşünün ki eğer . Not çünkü . Bu nedenle, lineer bağımlı sütunların minimum sayısı olan 'ye sahibiz . Bu nedenle iddia edilen mülk kanıtlanmıştır. ${\boldsymbol {H}}\cdot {\boldsymbol {c}}^{T}={\boldsymbol {0}}$ $\sum _{i=1}^{n}(c_{i}\cdot {\boldsymbol {H_{i}}})={\boldsymbol {0}}$ ${\boldsymbol {H_{i}}}$ ${\görüntüleme stili ben^{th}}$ ${\ Displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ $c_{i}=0$ ${\boldsymbol {H_{i}}}$ $c_{i}\neq 0$ ${\görüntüleme stili d}$ $\{{\boldsymbol {H_{j}}}|j\in S\}$ ${\görüntüleme stili S}$ $\sum _{i=1}^{n}(c_{i}\cdot {\boldsymbol {H_{i}}})=\sum _{j\in S}(c_{j}\cdot {\boldsymbol {H_{j}}})+\sum _{j\notin S}(c_{j}\cdot {\boldsymbol {H_{j}}})={\boldsymbol {0}}$ ${\boldsymbol {c'}}$ $c_{j}'=0$ $j\notin S$ ${\boldsymbol {c'}}\C'de$ ${\boldsymbol {H}}\cdot {\boldsymbol {c'}}^{T}={\boldsymbol {0}}$ $d\leq wt({\boldsymbol {c'}})$ ${\ Displaystyle {\boldsymbol {H}}}$

Örnek: Hamming kodları

Hata düzeltme amacıyla geliştirilen doğrusal kodların birinci sınıfı olan Hamming kodları , sayısal iletişim sistemlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Herhangi bir pozitif tamsayı için bir Hamming kodu vardır. Çünkü bu Hamming kodu 1 bitlik bir hatayı düzeltebilir. ${\görüntüleme stili r\geq 2}$ $[2^{r}-1,2^{r}-r-1,3]_{2}$ ${\görüntüleme stili d=3}$

Örnek : Aşağıdaki oluşturucu matrisi ve eşlik kontrol matrisi ile doğrusal blok kodu bir Hamming kodudur. ${\görüntüleme stili [7,4,3]_{2}}$

{\boldsymbol {G}}={\başlangıç{pmatrix}1\ 0\ 0\ 0\ 1\ 1\ 0\\0\ 1\ 0\ 0\ 0\ 1\ 1\\0\ 0 \ 1\ 0\ 1\ 1\ 1\\0\ 0\ 0\ 1\ 1\ 0\ 1\end{pmatrix}},

{\boldsymbol {H}}={\başlangıç{pmatrix}1\ 0\ 1\ 1\ 1\ 0\ 0\\1\ 1\ 1\ 0\ 0\ 1\ 0\\0\ 1 \ 1\ 1\ 0\ 0\ 1\end{pmatrix}}

Örnek: Hadamard kodları

Hadamard kod bir olan lineer kod ve birçok hataları düzeltme yeteneğine sahiptir. Hadamard kodu sütun sütun oluşturulabilir: sütun, aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi tamsayı ikili gösteriminin bitleridir . Hadamard kodu minimum mesafeye sahiptir ve bu nedenle hataları düzeltebilir. $[2^{r},r,2^{r-1}]_{2}$ ${\görüntüleme stili ben^{th}}$ ${\görüntüleme stili ben}$ ${\ Displaystyle 2^{r-1}}$ ${\ Displaystyle 2^{r-2}-1}$

Örnek: Aşağıdaki oluşturucu matrisine sahip doğrusal blok kodu bir Hadamard kodudur: . ${\görüntüleme stili [8,3,4]_{2}}$ ${\boldsymbol {G}}_{Had}={\başlangıç{pmatrix}0\ 0\ 0\ 0\ 1\ 1\ 1\ 1\\0\ 0\ 1\ 1\ 0\ 0\ 1\ 1\\0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\end{pmatrix}}$

Hadamard kodu , Reed–Muller kodunun özel bir halidir . İlk sütunu (tamamı sıfır sütunu) 'den çıkarırsak , Hamming kodunun ikili kodu olan simpleks kodu elde ederiz . ${\boldsymbol {G}}_{Had}$ ${\görüntüleme stili [7,3,4]_{2}}$

En yakın komşu algoritması

d parametresi, kodun hata düzeltme yeteneği ile yakından ilgilidir. Aşağıdaki yapı/algoritma bunu göstermektedir (en yakın komşu kod çözme algoritması olarak adlandırılır):

Girdi: Alınan bir vektör v . $\mathbb {F} _{q}^{n}$

Çıktı: bir kod kelimesi de en yakın varsa. ${\görüntüleme stili w}$ ${\görüntüleme stili C}$ ${\görüntüleme stili v}$

ile başlayarak , aşağıdaki iki adımı tekrarlayın. ${\görüntüleme stili t=0}$
() He yarıçapı topun elemanları numaralandırma alınan kelime etrafında , gösterilen . ${\görüntüleme stili t}$ $T$ ${\görüntüleme stili v}$ $v$ ${\ Displaystyle B_{t}(v)}$ ${\ Displaystyle B_{t}(v)}$
- Her biri için in , kontrol içinde . Eğer öyleyse, çözüm olarak geri dönün . ${\görüntüleme stili w}$ ${\ Displaystyle B_{t}(v)}$ ${\görüntüleme stili w}$ ${\görüntüleme stili C}$ ${\görüntüleme stili w}$
Artış . Yalnızca numaralandırma tamamlandığında ve hiçbir çözüm bulunamadığında başarısız olur . ${\görüntüleme stili t}$ $t>(d-1)/2$

Biz lineer demek olduğunu en bir kod kelimesinin en varsa düzeltmek -hata her biri için, içinde . ${\görüntüleme stili C}$ ${\görüntüleme stili t}$ ${\ Displaystyle B_{t}(v)}$ ${\görüntüleme stili v}$ $\mathbb {F} _{q}^{n}$

popüler gösterim

Genel olarak kodlar genellikle C harfi ile gösterilir ve n uzunluğunda ve k düzeyindeki bir kod (yani temelinde k kod kelimesi ve oluşturma matrisinde k satır bulunan ) genellikle bir ( n , k ) olarak adlandırılır. kod. Doğrusal blok kodları sıklıkla [ n , k , d ] kodları olarak belirtilir; burada d , kodun herhangi iki kod kelimesi arasındaki minimum Hamming mesafesini ifade eder.

([ n , k , d ] notasyonu, doğrusal olmayan uzunluk n , M boyutu (yani, M kod kelimeleri olan) ve minimum Hamming'i belirtmek için kullanılan ( n , M , d ) notasyonu ile karıştırılmamalıdır. mesafe d .)

Singleton bağlı

Lemma ( Singleton bağlı ): Her lineer [n,k,d] kodu C'yi karşılar . $k+d\leq n+1$

Parametreleri k+d=n+1'i karşılayan bir C koduna ayrılabilir maksimum uzaklık veya MDS denir . Bu tür kodlar, var olduklarında, bir anlamda mümkün olan en iyi şeydir.

C ₁ ve C ₂ , n uzunluğunda iki kod ise ve simetrik grupta S _n içinde bir permütasyon p varsa, bunun için (c ₁ ,...,c _n ) C _1'de sadece ve sadece (c _{p(1) ise )} , ..., c _{(p, n)} ) C ₂ , o zaman Cı ki ₁ , C ₂ olan permütasyon eşdeğeri . Daha genellik olarak, bir varsa monomial matris Cı gönderir ₁ C izomorfik ₂ sonra Cı ki ₁ , C ₂ olan eşdeğer . ${\görüntüleme stili n\kez n}$ $M\colon \mathbb {F} _{q}^{n}\to \mathbb {F} _{q}^{n}$

Lemma : Herhangi bir doğrusal kod, standart formdaki bir koda eşdeğer bir permütasyondur.

Bonisoli teoremi

Bir kod olarak tanımlanır eşit uzaklıkta bir sabit vardır, ancak ve ancak , d kodun ayrı kod sözcüklerinin her ikisi arasındaki mesafe eşittir, öyle ki d . 1984 yılında Arrigo Bonisoli, sonlu alanlar üzerinde lineer tek ağırlıklı kodların yapısını belirledi ve her eşit uzaklıktaki lineer kodun ikili Hamming kodlarının bir dizisi olduğunu kanıtladı .

Örnekler

Bazı doğrusal kod örnekleri şunları içerir:

Tekrar kodları
parite kodları
döngüsel kodlar
Hamming kodları
Golay kodu , hem ikili ve üçlü versiyonları
BCH kodlarının örnek olduğu polinom kodları
Reed-Solomon kodları
Reed-Müller kodları
Goppa kodları
Düşük yoğunluklu eşlik kontrol kodları
Genişletici kodları
Çok boyutlu eşlik kontrol kodları
torik kodlar
Turbo kodları

genelleme

Hamming alanlarda olmayan alan alfabe üzerinde de, özellikle de fazla kabul edilmiştir sonlu halkaları (özellikle fazla Z ₄ ) sebebiyet veren modül yerine, vektör uzayı ve halka doğrusal kodları (özdeşleşen alt birimlerin lineer kodları yerine). Bu durumda kullanılan tipik metrik, Lee mesafesidir . Hamming mesafesi ile (yani GF(2 ^2m )) ile Lee mesafesi ile (GR(4,m) olarak da gösterilir ) arasında bir Gri izometri vardır ; ana çekiciliği, üzerinde lineer olmayan bazı "iyi" kodlar arasında . $\mathbb {Z} _{2}^{2m}$ $\mathbb {Z} _{4}^{m}$ $\mathbb {Z} _{2}^{2m}$ $\mathbb {Z} _{4}^{m}$

Daha yakın zamanlarda, bazı yazarlar bu tür kodlara halkalar üzerinden basitçe doğrusal kodlar olarak da atıfta bulundular.

Ayrıca bakınız

Kod çözme yöntemleri

Referanslar

^ William E. Ryan ve Shu Lin (2009). Kanal Kodları: Klasik ve Modern . Cambridge Üniversitesi Yayınları. P. 4 . ISBN'si 978-0-521-84868-8.
^ MacKay, David, JC (2003). Bilgi Teorisi, Çıkarım ve Öğrenme Algoritmaları (PDF) . Cambridge Üniversitesi Yayınları . P. 9. Bibcode : 2003itil.book.....M . ISBN'si 9780521642989. Bir lineer blok kodunda, ekstra bitler orijinal bitlerin lineer fonksiyonlarıdır ; bu ekstra bitlere eşlik kontrol bitleri denir ${\ Displaystyle NK}$ ${\görüntüleme stili K}$
^ Thomas M. Cover ve Joy A. Thomas (1991). Bilgi Teorisinin Unsurları . John Wiley & Sons, Inc. s. 210–211 . ISBN'si 978-0-471-06259-2.
^ Etzion, Tuvi; Raviv, Netanel (2013). "Grassmannian'da eşit mesafeli kodlar". arXiv : 1308.6231 [ matematik.CO ].
^ Bonisoli, A. (1984). "Her eşit uzaklıkta doğrusal kod, ikili Hamming kodlarının bir dizisidir". Ars Kombinatoria . 18 : 181–186.
^ Marcus Greferath (2009). "Halka-Doğrusal Kodlama Teorisine Giriş". Massimiliano Sala'da; Teo Mora; Ludovic Perret; Shojiro Sakata; Carlo Traverso (ed.). Gröbner Bazları, Kodlama ve Kriptografi . Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-3-540-93806-4.
^ "Matematik Ansiklopedisi" . www.encyclopediaofmath.org .
^ JH van Lint (1999). Kodlama Teorisine Giriş (3. baskı). Springer. Bölüm 8: ℤ ₄ üzerindeki kodlar . ISBN'si 978-3-540-64133-9.
^ ST Hamur; J.-L. Kim; P. Sole (2015). "Kodlama Teorisinde Açık Problemler" . Steven Dougherty'de; Alberto Facchini; Andre Gerard Leroy; Edmund Puczylowski; Patrick Sole (ed.). Değişmez Halkalar ve Uygulamaları . Amerikan Matematik Soc. P. 80. ISBN 978-1-4704-1032-2.

bibliyografya

JF Humphreys; Benim Perst (2004). Sayılar, Gruplar ve Kodlar (2. baskı). Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-511-19420-7. Bölüm 5, doğrusal kodlar konusuna (bu makaleden daha yumuşak) bir giriş içerir.

Dış bağlantılar

q -ary kod üreteci programı
Kod Tabloları: Çeşitli kod türlerinin parametrelerine ilişkin sınırlar , IAKS, Fakultät für Informatik, Universität Karlsruhe (TH)] . Çevrimiçi, en uygun ikili kodların güncel tablosu, ikili olmayan kodları içerir.
Z4 kodlarının veritabanı Çevrimiçi, en uygun Z4 kodlarının güncel veritabanı.

[1] William E. Ryan ve Shu Lin (2009). Kanal Kodları: Klasik ve Modern . Cambridge Üniversitesi Yayınları. P. 4 . ISBN'si 978-0-521-84868-8.

[DrMacKayECC-2] MacKay, David, JC (2003). Bilgi Teorisi, Çıkarım ve Öğrenme Algoritmaları (PDF) . Cambridge Üniversitesi Yayınları . P. 9. Bibcode : 2003itil.book.....M . ISBN'si 9780521642989. Bir lineer blok kodunda, ekstra bitler orijinal bitlerin lineer fonksiyonlarıdır ; bu ekstra bitlere eşlik kontrol bitleri denir ${\ Displaystyle NK}$ ${\görüntüleme stili K}$

[Cover_and_Thomas-3] Thomas M. Cover ve Joy A. Thomas (1991). Bilgi Teorisinin Unsurları . John Wiley & Sons, Inc. s. 210–211 . ISBN'si 978-0-471-06259-2.

[4] Etzion, Tuvi; Raviv, Netanel (2013). "Grassmannian'da eşit mesafeli kodlar". arXiv : 1308.6231 [ matematik.CO ].

[5] Bonisoli, A. (1984). "Her eşit uzaklıkta doğrusal kod, ikili Hamming kodlarının bir dizisidir". Ars Kombinatoria . 18 : 181–186.

[Greferath2009-6] Marcus Greferath (2009). "Halka-Doğrusal Kodlama Teorisine Giriş". Massimiliano Sala'da; Teo Mora; Ludovic Perret; Shojiro Sakata; Carlo Traverso (ed.). Gröbner Bazları, Kodlama ve Kriptografi . Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-3-540-93806-4.

[7] "Matematik Ansiklopedisi" . www.encyclopediaofmath.org .

[Lint1999-8] JH van Lint (1999). Kodlama Teorisine Giriş (3. baskı). Springer. Bölüm 8: ℤ ₄ üzerindeki kodlar . ISBN'si 978-3-540-64133-9.

[DoughertyFacchini2015-9] ST Hamur; J.-L. Kim; P. Sole (2015). "Kodlama Teorisinde Açık Problemler" . Steven Dougherty'de; Alberto Facchini; Andre Gerard Leroy; Edmund Puczylowski; Patrick Sole (ed.). Değişmez Halkalar ve Uygulamaları . Amerikan Matematik Soc. P. 80. ISBN 978-1-4704-1032-2.

Languages

In other projects