Kod çözme yöntemleri - Decoding methods

Olarak kodlama teorisi , kod çözme içine alınan mesajları çeviri işlemidir kod sözcüklerinin belirli bir bölgesinin kodu . Mesajları kod sözcüklerine eşlemenin birçok yaygın yöntemi vardır. Bunlar genellikle ikili simetrik kanal gibi gürültülü bir kanal üzerinden gönderilen mesajları kurtarmak için kullanılır .

Gösterim

${\ displaystyle C \ altkümesi \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ uzunluğa sahip bir ikili kod olarak kabul edilir ; unsurları olacaktır ; ve bu öğeler arasındaki mesafedir. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle d (x, y)}$

İdeal gözlemci kod çözme

Bir kişiye mesaj verilebilir , ardından ideal gözlemci kod çözme kod sözcüğünü üretir . Süreç bu çözümle sonuçlanır: ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle y \ C}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} (y {\ mbox {gönderilen}} \ orta x {\ mbox {alındı}})}$

Örneğin, bir kişi iletimden sonra mesaj olarak alınma olasılığı en yüksek olan kod sözcüğünü seçebilir . ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

Kod çözme kuralları

Her kod sözcüğü beklenen bir olasılığa sahip değildir: alınan mesaja eşit bir şekilde değişme olasılığı olan birden fazla kod sözcüğü olabilir. Böyle bir durumda, gönderici ve alıcı (lar) bir kod çözme konvansiyonu üzerinde önceden anlaşmalıdır. Popüler sözleşmeler şunları içerir:

1. Kod sözcüğün yeniden gönderilmesini isteyin - otomatik tekrar isteği .
2. Buna daha yakın olan en olası kod sözcükleri kümesinden herhangi bir rastgele kod sözcüğü seçin.
3. Başka bir kod takip ederse , kod sözcüğün belirsiz bitlerini silme olarak işaretleyin ve dış kodun onları belirsizleştirmesini umun.

Maksimum olasılık kod çözme

Alınan bir maksimum olasılık kod çözme vektörü verildiğinde , en üst düzeye çıkaran bir kod sözcüğü seçer. ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ ${\ displaystyle y \ C}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} (x {\ mbox {alındı}} \ orta y {\ mbox {gönderildi}})}$ ,

başka bir deyişle, gönderilen verildiğinde alınan olasılığı en üst düzeye çıkaran kod sözcüğü . Tüm kod sözcüklerinin gönderilme olasılığı eşitse, bu şema ideal gözlemci kod çözme işlemine eşdeğerdir. Aslında Bayes Teoremi ile , ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ başla {hizalı} \ mathbb {P} (x {\ mbox {alındı}} \ orta y {\ mbox {gönderilen}}) & {} = {\ frac {\ mathbb {P} (x { \ mbox {alındı}}, y {\ mbox {gönderildi}})} {\ mathbb {P} (y {\ mbox {sent}})}} \\ & {} = \ mathbb {P} (y {\ mbox {gönderilen}} \ orta x {\ mbox {alındı}}) \ cdot {\ frac {\ mathbb {P} (x {\ mbox {alındı}})} {\ mathbb {P} (y {\ mbox { gönderildi}})}}. \ end {hizalı}}}$

Sabitleme üzerine , yeniden edilir ve bütün kod sözcükleri eşit olasılıkla gönderecektir olarak sabittir. Bu nedenle, değişkenin bir fonksiyonu olarak büyütüldüğünde zaman tam olarak maksimize edilir ve iddia izler. ${\ displaystyle \ mathbb {P} (x {\ mbox {alındı}})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (y {\ mbox {gönderilen}})}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (x {\ mbox {alındı}} \ orta y {\ mbox {gönderildi}})}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (y {\ mbox {gönderilen}} \ orta x {\ mbox {alındı}})}$

İdeal gözlemci kod çözmede olduğu gibi, benzersiz olmayan kod çözme için bir kongre kabul edilmelidir.

Maksimum olasılık kod çözme problemi aynı zamanda bir tamsayı programlama problemi olarak da modellenebilir .

Maksimum olasılık kod çözme algoritması, genelleştirilmiş dağıtım yasasının uygulanmasıyla çözülen "bir ürün işlevini marjinalleştirme" probleminin bir örneğidir .

Minimum mesafe kod çözme

Alınan bir kod sözcüğü verildiğinde , minimum mesafeli kod çözme , Hamming mesafesini en aza indirmek için bir kod sözcüğü seçer : ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle y \ C}$

${\ displaystyle d (x, y) = \ # \ {i: x_ {i} \ not = y_ {i} \}}$

yani , mümkün olduğunca yakın olan kod sözcüğünü seçin . ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

Ayrık bir hafızasız kanaldaki hata olasılığının kesinlikle yarıdan az olması durumunda, minimum mesafe kod çözme , maksimum olasılık kod çözme ile eşdeğerdir , çünkü eğer ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle d (x, y) = d, \,}$

sonra:

${\ displaystyle {\ başla {hizalı} \ mathbb {P} (y {\ mbox {alındı}} \ orta x {\ mbox {gönderilen}}) & {} = (1-p) ^ {nd} \ cdot p ^ {d} \\ & {} = (1-p) ^ {n} \ cdot \ left ({\ frac {p} {1-p}} \ sağ) ^ {d} \\\ end {hizalı} }}$

ki ( p yarıdan küçük olduğu için) d' nin en aza indirilmesi ile maksimize edilir .

Minimum mesafe kod çözme, en yakın komşu kod çözme olarak da bilinir . Standart bir dizi kullanılarak desteklenebilir veya otomatik hale getirilebilir . Minimum mesafeli kod çözme, aşağıdaki koşullar karşılandığında makul bir kod çözme yöntemidir:

1. Bir hatanın oluşma olasılığı , sembolün konumundan bağımsızdır. ${\ displaystyle p}$
2. Hatalar bağımsız olaylardır - mesajdaki bir pozisyondaki bir hata diğer pozisyonları etkilemez.

Bu varsayımlar, ikili simetrik bir kanal üzerinden iletimler için makul olabilir . Diskteki tek bir çiziğin birçok komşu sembolde veya kod sözcüğünde hataya neden olabileceği DVD gibi diğer ortamlar için mantıksız olabilirler.

Diğer kod çözme yöntemlerinde olduğu gibi, benzersiz olmayan kod çözme için bir kongre kabul edilmelidir.

Sendrom kod çözme

Sendrom kod çözme , gürültülü bir kanal üzerinden , yani üzerinde hataların yapıldığı bir doğrusal kodun kodunu çözmenin oldukça verimli bir yöntemidir . Temelde, sendrom kod çözme, azaltılmış bir arama tablosu kullanılarak minimum mesafeli kod çözme işlemidir. Buna, kodun doğrusallığı ile izin verilir.

Parite kontrol matrisi ile uzunluk ve minimum mesafenin doğrusal bir kodu olduğunu varsayalım . O zaman açıkça düzeltebilme yeteneğine sahiptir ${\ displaystyle C \ altkümesi \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle t = \ sol \ lfloor {\ frac {d-1} {2}} \ sağ \ rfloor}$

kanal tarafından yapılan hatalar (çünkü hatadan daha fazlası yapılmazsa , minimum mesafeli kod çözme hala yanlış iletilen kod sözcüğünü doğru bir şekilde çözecektir). ${\ displaystyle t}$

Şimdi , kanal üzerinden bir kod sözcüğünün gönderildiğini ve hata modelinin oluştuğunu varsayalım . Sonra alınır. Sıradan minimum mesafe kod çözme , en yakın eşleşme için bir boyut tablosundaki vektörü arar - yani bir öğe (mutlaka benzersiz değildir) ile ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle e \ in \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle z = x + e}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle | C |}$${\ displaystyle c \ in C}$

${\ displaystyle d (c, z) \ leq d (y, z)}$

hepsi için . Sendrom kod çözme, aşağıdaki parite matrisinin özelliğinden yararlanır: ${\ displaystyle y \ C}$

${\ displaystyle Hx = 0}$

hepsi için . Sendromu alınan olarak tanımlanır: ${\ displaystyle x \ C}$${\ displaystyle z = x + e}$

${\ displaystyle Hz = H (x + e) ​​= Hx + He = 0 + He = He}$

Gerçekleştirmek için ML deşifre bir de ikili simetrik kanalda , tek bakmak için-boyutta bir precomputed tablo vardır , haritalama için . ${\ displaystyle 2 ^ {nk}}$${\ displaystyle He}$${\ displaystyle e}$

Bunun standart bir dizi kod çözme işleminden çok daha az karmaşık olduğuna dikkat edin .

Bununla birlikte, iletim sırasında en fazla hatanın yapılmadığı varsayımı altında, alıcı değeri daha da küçültülmüş bir boyut tablosunda arayabilir . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle He}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ sum _ {i = 0} ^ {t} {\ binom {n} {i}} \\\ end {matris}}}$

Kod çözme listesi

Bilgi kod çözme seti

Bu, Las Vegas'ın olasılıklı yöntemlerinden oluşan bir ailedir - hepsi, yeterli hatasız konumu tahmin etmenin tüm hata konumlarını tahmin etmekten daha kolay olduğu gözlemine dayanmaktadır.

En basit bir şekilde bağlı Prange için: Let olması jeneratör matrisi kodlaması için kullanılır. Rastgele sütunlarını seçin ve karşılık gelen alt matrisiyle belirtin . Makul olasılık ile biz izin verirsek anlamına gelir tam sıralaması, sahip olacak herhangi şifrenin gelen pozisyonları için alt vektör olmak arasında bir mesaj için , biz kurtarabilirsiniz olarak . Dolayısıyla, alınan kelimenin bu konumlarının hata içermediği ve dolayısıyla gönderilen kod sözcüğün konumlarına eşit olduğu için şanslıysak , o zaman kodunu çözebiliriz. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k \ kere n}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle c '}$${\ displaystyle c = mG}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m = c'G '^ {- 1}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle y}$

Hatalar meydana gelirse , böyle şanslı bir sütun seçimi olasılığı ile verilir . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ textstyle {\ binom {nt} {k}} / {\ binom {n} {k}}}$

Bu yöntem çeşitli şekillerde iyileştirilmiştir, örneğin Stern ve Canteaut ve Sendrier tarafından.

Kısmi yanıt maksimum olasılık

Kısmi yanıt maksimum olasılık ( PRML ), zayıf analog sinyali bir manyetik diskin veya teyp sürücüsünün başlığından dijital bir sinyale dönüştürmek için bir yöntemdir.

Viterbi kod çözücü

Bir Viterbi kod çözücü, evrişimli bir koda dayalı ileri hata düzeltme kullanılarak kodlanmış bir bit akışının kodunu çözmek için Viterbi algoritmasını kullanır . Hamming uzaklığı sabit karar Viterbi kod çözücü için bir ölçü olarak kullanılır. Kare bir Öklid mesafe yumuşak karar kod çözücüler için bir ölçü olarak kullanılır.

Ayrıca bakınız

• Umrumda değil alarm
• Hata tespiti ve düzeltmesi
• Yasak girdi

Referanslar

daha fazla okuma

• Hill, Raymond (1986). Kodlama teorisinde ilk kurs . Oxford Uygulamalı Matematik ve Hesaplama Bilimi Serisi. Oxford University Press . ISBN   978-0-19-853803-5 .
• Pless, Vera (1982). Hata düzeltme kodları teorisine giriş . Ayrık Matematikte Wiley-Interscience Serisi. John Wiley & Sons . ISBN   978-0-471-08684-0 .
• van Lint, Jacobus H. (1992). Kodlama Teorisine Giriş . Matematikte Lisansüstü Metinler (GTM). 86 (2 ed.). Springer-Verlag . ISBN   978-3-540-54894-2 .