Goppa kodu - Goppa code

Gelen matematik bir cebirsel geometrik kodu ( AG-kod başka türlü olarak da bilinir), Goppa kodu , bir genel tipte olan lineer kod bir kullanılarak inşa cebirsel eğri bir fazla sonlu alan . Bu tür kodlar Valerii Denisovich Goppa tarafından tanıtıldı . Özel durumlarda, ilginç ekstrem özelliklere sahip olabilirler . Örneğin McEliece şifreleme sisteminde kullanılan ikili Goppa kodlarıyla karıştırılmamalıdırlar . ${\görüntüleme stili X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

Yapı

Geleneksel olarak, bir AG-kod inşa edilir tekil olmayan yansıtmalı eğrisi X sonlu alan üzerinde belirgin, sabit bir sayı kullanılarak - rasyonel noktaları ile : ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\görüntüleme stili \mathbf {X} }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\subset \mathbf {X} (\mathbb {F} _{q}).}$

Yalnızca rasyonel noktalardan oluşan ve (yani, )' den ayrık bir desteği olan X üzerinde bir bölen olsun . ${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili P_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}\cap \operatöradı {supp} (G)=\varnothing }$

Tarafından Riemann-Roch teoremi , benzersiz bir sonlu boyutlu vektör uzayı, orada bölen ile ilgili olarak, . Vektör uzayı bir alt uzay olan fonksiyon alanına ait X . ${\görüntüleme stili L(G)}$${\görüntüleme stili G}$

Yukarıdaki bilgiler kullanılarak oluşturulabilecek iki ana AG kodu türü vardır.

fonksiyon kodu

X eğrisi , bölen ve kümeye göre fonksiyon kodu (veya ikili kod ) aşağıdaki gibi oluşturulur. ${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$

, yukarıdaki gibi tanımlanmış bir bölen olsun . Genellikle bir Goppa kodunu C ( D , G ) ile belirtiriz . Artık Goppa kodunu tanımlamak için ihtiyacımız olan her şeyi biliyoruz: ${\displaystyle D=P_{1}+\cdots +P_{n}}$${\görüntüleme stili P_{i}}$

${\displaystyle C(D,G)=\sol\{\left(f(P_{1}),\ldots ,f(P_{n})\sağ)\ :\ f\in L(G)\sağ \}\subset \mathbb {F} _{q}^{n}}$

Sabit bir temel için için L ( G ) boyunca , karşılık gelen Goppa kodu üzerinden geçirilir vektörler tarafından ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle \left(f_{i}(P_{1}),\ldots ,f_{i}(P_{n})\sağ)}$

Öyleyse,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}(P_{1})&\cdots &f_{1}(P_{n})\\\vdots &&\vdots \\f_{k}(P_{1} )&\cdots &f_{k}(P_{n})\end{bmatrix}}}$

için bir jeneratör matrisidir ${\görüntüleme stili C(D,G).}$

Eşdeğer olarak, şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha :L(G)\to \mathbb {F} ^{n}\\f\mapsto (f(P_{1}),\ldots ,f(P_{n}) ))\end{durumlar}}}$

Aşağıdaki, kodun parametrelerinin , C üzerindeki D bölenlerinin lineer sistemlerinin klasik parametreleriyle nasıl ilişkili olduğunu gösterir ( daha fazlası için bkz. Riemann–Roch teoremi ). Notasyonu ℓ ( D ) L ( D ) boyutu anlamına gelir .

Önerme A. Goppa kod boyutu olduğunu${\görüntüleme stili C(D,G)}$${\displaystyle k=\ell (G)-\ell (GD).}$

Kanıt. Yana biz göstermelidir ${\ Displaystyle C(D,G)\cong L(G)/\ker(\alpha ),}$

${\displaystyle \ker(\alpha )=L(GD).}$

O zaman öyle olsun . Böylece, Tersine, varsayalım o zamandan beri ${\displaystyle f\in \ker(\alpha )}$${\displaystyle f(P_{1})=\cdots =f(P_{n})=0}$${\displaystyle \operatöradı {div} (f)>D}$${\görüntüleme stili f\in L(GD).}$${\görüntüleme stili f\in L(GD),}$${\displaystyle \operatöradı {div} (f)>D}$

${\displaystyle P_{i}<G,\quad i=1,\ldots ,n.}$

( G , ile ilgili sorunları “düzeltmez” , bu nedenle f bunun yerine bunu yapmalıdır.)${\görüntüleme stili -D}$${\displaystyle f(P_{1})=\cdots =f(P_{n})=0.}$

Önerme B. İki kod sözcüğü arasındaki minimum uzaklık${\displaystyle d\geqslant n-\deg(G).}$

Kanıt. Varsayalım Hamming ağırlığı arasında olup d . Bu , Then için sahip olduğumuz endeksler için ve ${\görüntüleme stili \alfa (f)}$${\görüntüleme stili nd}$${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{nd}}$${\displaystyle f(P_{i_{k}})=0}$${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,nd\}.}$${\displaystyle f\in L(G-P_{i_{1}}-\cdots -P_{i_{nd}})}$

${\displaystyle \operatöradı {div} (f)+G-P_{i_{1}}-\cdots -P_{i_{nd}}>0.}$

Her iki tarafta da derece almak ve şunu belirtmek

${\displaystyle \deg(\operatöradı {div} (f))=0,}$

alırız

${\displaystyle \deg(G)-(nd)\geqslant 0.}$

böyle

${\görüntüleme stili d\geq n-\der(G).}$

kalıntı kodu

Kalıntı kodu, fonksiyon kodunun ikilisi veya bazı fonksiyonların 's'deki kalıntısı olarak tanımlanabilir . ${\görüntüleme stili P_{i}}$

Referanslar

• Key One Chung, Goppa Codes , Aralık 2004, Matematik Bölümü, Iowa Eyalet Üniversitesi.

Dış bağlantılar

• Cebirsel Geometrik Kodlama Teorisi üzerine bir lisans tezi
• Key One Chung'dan Goppa Kodları