Singleton bağlı - Singleton bound

Olarak kodlama teorisi , Singleton bağlanan üst keyfi boyutuna nispeten ham bağlı Richard Collom Singleton adını, blok kodu blok uzunluğuna sahip , boyut ve minimum mesafe . Joshibound olarak da bilinir . tarafından kanıtlanmıştır Joshi (1958) ve hatta daha erken tarafından Komamiya (1953) . ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili d}$

Bağlılık beyanı

Bir dizi uzunluktaki kod kelimesinin minimum mesafesi şu şekilde tanımlanır: ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili n}$

${\displaystyle d=\min _{\{x,y\in C:x\neq y\}}d(x,y)}$

burada bir Hamming uzaklığı arasındaki ve . İfade , uzunluk ve minimum uzaklığa  sahip bir -ary blok kodundaki maksimum olası kod sözcüğü sayısını temsil eder . ${\görüntüleme stili d(x,y)}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle A_{q}(n,d)}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili d}$

O zaman Singleton bağlılığı şunu belirtir:

${\displaystyle A_{q}(n,d)\leq q^{n-d+1}.}$

Kanıt

İlk sayısı gözlemleyin uzunluğunun -ary deyişle olan böyle bir kelime her harf birini alabilir, çünkü bağımsız kalan harflerin, farklı değerler. ${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili q^{n}}$${\görüntüleme stili q}$

Şimdi , minimum mesafenin keyfi bir blok kodu olsun . Açıkçası, tüm kod sözcükleri farklıdır. Biz ise delinme ilk silerek kodu her kod sözcüğünün harfleri orijinal kod sözcüklerinin tüm beri, sonra görüntülenen tüm kod sözcükleri hala ikili farklı olmalıdır var Hamming mesafesi en az birbirlerinden. Böylece değiştirilen kodun boyutu orijinal kodla aynıdır. ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili c\C'de}$${\görüntüleme stili d-1}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili d}$

Yeni elde edilen kod sözcüklerinin her birinin uzunluğu

${\displaystyle n-(d-1)=n-d+1}$,

ve bu nedenle, çoğu olabilir . Yana keyfi oldu böylece bu parametreleri ile olası en büyük kod için bu sınır zorunluluk tutma: ${\displaystyle q^{n-d+1}}$${\görüntüleme stili C}$

${\displaystyle |C|\leq A_{q}(n,d)\leq q^{n-d+1}.}$

Doğrusal kodlar

Eğer a, lineer kod bloğu uzunluğu ile , boyut ve minimum mesafe üzerinde sonlu alanı ile elemanlar, daha sonra kod sözcüklerinin sayısıdır Singleton eder değişmeye bağlı olarak: ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili q^{k}}$

${\displaystyle q^{k}\leq q^{n-d+1}}$,

Böylece

${\displaystyle k\leq n-d+1}$,

genellikle şu şekilde yazılır

${\displaystyle d\leq n-k+1}$.

Lineer kod halinde bağlanmış Singleton farklı bir kanıtı bu seviye gözlemlenerek elde edilebilir parite kontrol matrisi olup . Başka bir basit kanıt, standart formdaki herhangi bir üreteç matrisinin satırlarının en fazla ağırlığa sahip olduğunu gözlemlemekten gelir . ${\görüntüleme stili nk}$${\displaystyle n-k+1}$

Tarih

Bu sonuç için verilen genel alıntı Singleton'dur (1964) , ancak daha önce Joshi (1958) tarafından kanıtlanmıştır . Göre Gal (1988 , s. 72), elde edilen sonuç 1953 kağıt bulunabilir (1953) Komamiya

MDS kodları

Singleton sınırında eşitliği sağlayan lineer blok kodlara MDS (maksimum uzaklıkla ayrılabilir) kodları denir . Bu tür kodlara örnek olarak, yalnızca iki kod sözcüğüne sahip kodlar (tamamı sıfır sözcük ve hepsi bir sözcük, bu nedenle minimum mesafeye sahip ), tümünü kullanan kodlar (minimum mesafe 1), tek bir eşlik sembolü (minimum) olan kodlar yer alır. mesafe 2) ve ikili kodları . Bunlara genellikle önemsiz MDS kodları denir . ${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle (\mathbb {F} _{q})^{n}}$

İkili alfabelerde yalnızca önemsiz MDS kodları mevcuttur.

Önemsiz MDS kodlarına örnek olarak Reed-Solomon kodları ve bunların genişletilmiş sürümleri verilebilir .

MDS kodları, sabit ve için en büyük hata düzeltme ve tespit yeteneklerine sahip oldukları için önemli bir blok kod sınıfıdır . MDS kodlarını karakterize etmenin birkaç yolu vardır: ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili k}$

Teorem : Üzerinde lineer bir [ ] kodu olsun . Aşağıdakiler eşdeğerdir: ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili n,k,d}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

• ${\görüntüleme stili C}$ bir MDS kodudur.
• Herhangi bir sütunları jeneratör matrisi için olan lineer bağımsız .${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili C}$
• Herhangi bir sütunları parite kontrol matrisi için lineer bağımsızdır.${\görüntüleme stili nk}$${\görüntüleme stili C}$
• ${\görüntüleme stili C^{\perp}}$ bir MDS kodudur.
• Eğer için bir jeneratör matrisi standart şeklinde, daha sonra her bir kare submatrix olan tekil olmayan .${\görüntüleme stili G=(I|A)}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili A}$
• Herhangi bir koordinat konumu verildiğinde , desteği tam olarak bu konumlar olan bir (minimum ağırlık) kod sözcüğü vardır .${\görüntüleme stili d}$

Bu karakterizasyonların sonuncusu, MacWilliams kimliklerini kullanarak, bir MDS kodunun tam ağırlık dağılımı için açık bir formüle izin verir .

Teorem : Üzerinde lineer bir [ ] MDS kodu olsun . Ağırlıktaki kod kelimelerinin sayısını ifade ediyorsa , o zaman ${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili n,k,d}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\ Displaystyle A_{w}}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili w}$

${\displaystyle A_{w}={\binom {n}{w}}\sum _{j=0}^{wd}(-1)^{j}{\binom {w}{j}}(q ^{w-d+1-j}-1)={\binom {n}{w}}(q-1)\sum _{j=0}^{wd}(-1)^{j}{ \binom {w-1}{j}}q^{wdj}.}$

Projektif geometride yaylar

Bir MDS kodunun üreteç matrisinin sütunlarının doğrusal bağımsızlığı, sonlu projektif geometrideki nesnelerden MDS kodlarının oluşturulmasına izin verir . Izin sonlu olması yansıtmalı boşluk (geometrik) boyutunun sınırlı alan üzerinde . Homojen koordinatlarla temsil edilen bu projektif uzayda bir nokta kümesi olsun . Form matris sütunları bu noktaların homojen koordinatlarıdır. Sonra, ${\görüntüleme stili PG(N,q)}$${\görüntüleme stili N}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle K=\{P_{1},P_{2},\dots ,P_{m}\}}$${\ Displaystyle (N+1)\times m}$${\görüntüleme stili G}$

Teorem : bir (uzaysal) -arc, ancak ve ancak bir MDS kodunun üreteç matrisi üzerinde ise .${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili G}$${\ Displaystyle [m,N+1,mN]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

Ayrıca bakınız

• Gilbert-Varshamov bağlı
• Plotkin bağlı
• hamming bağlı
• Johnson bağlı
• Griesmer bağlı

Notlar

Referanslar

• Joshi, DD (1958), "Minimum Mesafe Kodları için Üst Sınırlar Üzerine Bir Not", Bilgi ve Kontrol , 1 (3): 289–295 , doi : 10.1016/S0019-9958(58)80006-6
• Komamiya, Y. (1953), "Mantıksal matematiğin bilgi teorisine uygulanması", Proc. 3. Japonya. Nat. Kong. Uygulama Matematik. : 437
• Ling, San; Xing, Chaoping (2004), Kodlama Teorisi / İlk Kurs , Cambridge University Press, ISBN 0-521-52923-9
• MacWilliams, FJ ; Sloane, NJA (1977), Hata Düzeltme Kodları Teorisi , North-Holland, pp.  33, 37 , ISBN 0-444-85193-3
• Pless, Vera (1998), Hata Düzeltme Kodları Teorisine Giriş (3. baskı), Wiley Interscience, ISBN 0-471-19047-0
• Roman, Steven (1992), Kodlama ve Bilgi Teorisi , GTM , 134 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-97812-7
• Singleton, RC (1964), "Maksimum uzaklık q-nary kodları", IEEE Trans. Enf. Teori , 10 (2): 116–118, doi : 10.1109/TIT.1964.1053661
• Vermani, LR (1996), Cebirsel kodlama teorisinin unsurları , Chapman & Hall
• Welsh, Dominic (1988), Kodlar ve Kriptografi , Oxford University Press, ISBN 0-19-853287-3

daha fazla okuma

• JH van Lint (1992). Kodlama Teorisine Giriş . GTM . 86 (2. baskı). Springer-Verlag. P. 61 . ISBN'si 3-540-54894-7.
• Niederreiter, Harald ; Xing, Chaoping (2001). "6. Cebirsel kodlama teorisine uygulamalar". Sonlu alanlar üzerindeki eğriler üzerindeki rasyonel noktalar. Teori ve Uygulamalar . Londra Matematik Derneği Ders Notu Serisi. 285 . Cambridge : Cambridge University Press . ISBN'si 0-521-66543-4. Zbl  0971.11033 .