Poisson -punktprocess - Poisson point process

I sannolikhet , statistik och relaterade fält är en Poisson -punktprocess en typ av slumpmässigt matematiskt objekt som består av punkter slumpmässigt placerade på ett matematiskt utrymme . Poisson -punktprocessen kallas ofta helt enkelt Poisson -processen , men det kallas också ett slumpmässigt Poisson -mått , Poisson -slumpmässigt punktfält eller Poisson -punktfält . Denna punktprocess har bekväma matematiska egenskaper, vilket har lett till att den ofta definieras i det euklidiska rymden och används som en matematisk modell för till synes slumpmässiga processer inom många discipliner som astronomi , biologi , ekologi, geologi, seismologi , fysik , ekonomi, bildbehandling och telekommunikation.

Processen är uppkallad efter den franske matematikern Siméon Denis Poisson trots att Poisson aldrig har studerat processen. Dess namn härrör från det faktum att om en samling slumpmässiga punkter i något utrymme bildar en Poisson -process, så är antalet punkter i ett område med begränsad storlek en slumpmässig variabel med en Poisson -fördelning . Processen upptäcktes oberoende och upprepade gånger i flera inställningar, inklusive experiment med radioaktivt sönderfall, telefonsamtal och försäkringsmatematik.

Poisson -punktprocessen definieras ofta på den verkliga linjen , där den kan betraktas som en stokastisk process . I den här inställningen används den till exempel i köteori för att modellera slumpmässiga händelser, till exempel kundernas ankomst till en butik, telefonsamtal vid en växel eller förekomst av jordbävningar, fördelade i tid. I planet kan punktprocessen, även känd som en spatial Poisson -process , representera platserna för spridda objekt som sändare i ett trådlöst nätverk , partiklar som kolliderar i en detektor eller träd i en skog. I denna inställning används processen ofta i matematiska modeller och inom de relaterade områdena för rumsliga punktprocesser, stokastisk geometri , rumsstatistik och kontinuumperkolationsteori . Poisson -punktprocessen kan definieras på mer abstrakta utrymmen. Utöver applikationer är Poisson -punktprocessen ett föremål för matematisk studie i sig. I alla inställningar har Poisson -punktprocessen egenskapen att varje punkt är stokastiskt oberoende av alla andra punkter i processen, varför det ibland kallas en rent eller helt slumpmässig process. Trots dess breda användning som en stokastisk modell av fenomen som kan representeras som punkter, innebär processens inneboende natur att den inte tillräckligt beskriver fenomen där det finns en tillräckligt stark interaktion mellan punkterna. Detta har inspirerat förslaget till andra punktprocesser, varav några är konstruerade med Poisson -punktprocessen, som försöker fånga en sådan interaktion.

Punktprocessen beror på ett enda matematiskt objekt, vilket beroende på sammanhanget kan vara en konstant , en lokalt integrerbar funktion eller, i mer allmänna inställningar, ett Radon -mått . I det första fallet är konstanten, känd som hastigheten eller intensiteten , medeltätheten för punkterna i Poisson -processen i någon del av rymden. Den resulterande punktprocessen kallas en homogen eller stationär Poisson -punktprocess . I det andra fallet kallas punktprocessen för en inhomogen eller icke -homogen Poisson -punktprocess , och medeltätheten av punkter beror på placeringen av det underliggande utrymmet i Poisson -punktprocessen. Ordet punkt utelämnas ofta, men det finns andra Poisson -processer av objekt, som istället för punkter består av mer komplicerade matematiska objekt som linjer och polygoner , och sådana processer kan baseras på Poisson -punktprocessen. Både den homogena Poisson -punktprocessen och den icke -homogena Poisson -punktprocessen är speciella fall av den generaliserade förnyelseprocessen .

Översikt över definitioner

Beroende på inställningen har processen flera likvärdiga definitioner samt definitioner av varierande allmänhet på grund av dess många tillämpningar och karakteriseringar. Poisson -punktprocessen kan definieras, studeras och användas i en dimension, till exempel på den verkliga linjen, där den kan tolkas som en räkningsprocess eller del av en kömodell; i högre dimensioner som planet där det spelar en roll i stokastisk geometri och rumsstatistik ; eller på mer allmänna matematiska mellanslag. Följaktligen varierar notationen, terminologin och nivån på matematisk stränghet som används för att definiera och studera Poisson -punktprocessen och poängprocesser i allmänhet beroende på sammanhanget.

Trots allt detta har Poisson -punktprocessen två nyckelegenskaper - Poisson -egenskapen och självständighetsegenskapen - som spelar en väsentlig roll i alla inställningar där Poisson -punktprocessen används. De två egenskaperna är inte logiskt oberoende; oberoende innebär visserligen Poissons fördelning av poängtal, men inte det motsatta.

Poissons fördelning av poängtal

En Poisson -punktprocess kännetecknas via Poisson -distributionen . Poisson -fördelningen är sannolikhetsfördelningen för en slumpmässig variabel (kallad en Poisson -slumpmässig variabel ) så att sannolikheten för lika är given av: ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {N = n \} = {\ frac {\ Lambda ^{n}} {n!}} e ^{-\ Lambda}}$

där betecknar factorial och parametern bestämmer fördelningens form. (I själva verket är det det förväntade värdet på .) ${\ displaystyle \ textstyle n!}$${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle N}$

Per definition har en Poisson-punktprocess egenskapen att antalet punkter i ett avgränsat område av processens underliggande utrymme är en Poisson-fördelad slumpmässig variabel.

Fullständigt självständighet

Tänk på en samling av osammanhängande och avgränsade delregioner i det underliggande utrymmet. Per definition kommer antalet punkter i en Poisson -punktprocess i varje avgränsad delregion att vara helt oberoende av alla andra.

Denna egenskap är känd under flera namn som fullständig slumpmässighet , fullständigt oberoende eller oberoende spridning och är gemensam för alla Poisson -punktprocesser. Med andra ord saknas interaktion mellan olika regioner och punkterna i allmänhet, vilket motiverar att Poisson -processen ibland kallas en rent eller helt slumpmässig process.

Homogen Poisson -punktprocess

Om en Poisson -punktprocess har en parameter i formen , var är Lebesgue -måttet (det vill säga den tilldelar längd, yta eller volym till uppsättningar) och är en konstant, kallas punktprocessen för en homogen eller stationär Poisson -punktprocess. Parametern, kallad hastighet eller intensitet , är relaterad till det förväntade (eller genomsnittliga) antalet Poisson -punkter som finns i någon avgränsad region, där hastigheten vanligtvis används när det underliggande utrymmet har en dimension. Parametern kan tolkas som det genomsnittliga antalet poäng per viss måttenhet, såsom längd , yta, volym eller tid, beroende på det underliggande matematiska utrymmet, och det kallas också medeltäthet eller medelhastighet ; se Terminologi . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda = \ nu \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ nu}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

Tolkas som en räkningsprocess

Den homogena Poisson-punktprocessen, när den betraktas på den positiva halvlinjen, kan definieras som en räkningsprocess , en typ av stokastisk process, som kan betecknas som . En räkningsprocess representerar det totala antalet händelser eller händelser som har hänt till och med tid . En räkningsprocess är en homogen Poisson -räkningsprocess med hastighet om den har följande tre egenskaper: ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle t}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

• ${\ textstil N (0) = 0;}$
• har oberoende steg ; och
• antalet händelser (eller punkter) i valfritt längdintervall är en slumpmässig variabel från Poisson med parameter (eller medelvärde) .${\ textstyle t}$${\ textstyle \ lambda t}$

Den sista egenskapen innebär:

${\ displaystyle \ mathbb {E} [N (t)] = \ lambda t.}$

Med andra ord ges sannolikheten för att den slumpmässiga variabeln är lika med : ${\ textstil N (t)}$${\ textstil n}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ {N (t) = n \} = {\ frac {(\ lambda t)^{n}} {n!}} e^{-\ lambda t}.}$

Poisson -räkningsprocessen kan också definieras genom att ange att tidsskillnaderna mellan händelser i räkningsprocessen är exponentiella variabler med medelvärde . Tidsskillnaderna mellan händelserna eller ankomsterna kallas interarrival- eller interokurentider . ${\ displaystyle \ textstyle 1/\ lambda}$

Tolkas som en punktprocess på den riktiga linjen

Tolkas som en punktprocess , kan en Poisson -punktprocess definieras på den verkliga linjen genom att beakta antalet punkter i processen i intervallet . För den homogena Poisson -punktprocessen på den riktiga linjen med parameter ges sannolikheten för att detta slumpmässiga antal poäng, som skrivs här som , är lika med ett antal räknarantal av: ${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstil N (a, b]}$ ${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {N (a, b] = n \} = {\ frac {[\ lambda (ba)]^{n}} {n!}} e^{-\ lambda (ba)},}$

För något positivt heltal har den homogena Poisson-punktprocessen den ändliga-dimensionella fördelningen som ges av: ${\ displaystyle \ textstyle k}$

${\ displaystyle P \ {N (a_ {i}, b_ {i}] = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {[\ lambda (b_ {i} -a_ {i})]^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} e^{-\ lambda (b_ {i} -a_ {i})}} ,}$

där de verkliga siffrorna . ${\ displaystyle \ textstyle a_ {i} <b_ {i} \ leq a_ {i+1}}$

Med andra ord, är en slumpmässig variabel från Poisson med medelvärde , var . Vidare, säg, och är oberoende av varandra , antalet poäng i alla två osammanhängande intervall, och detta sträcker sig till ett begränsat antal ojämna intervall. I köteoretisk kontext kan man betrakta en punkt som finns (i ett intervall) som en händelse , men detta är annorlunda än ordet händelse i sannolikhetsteorisk betydelse. Därav följer det förväntade antalet ankomster som sker per tidsenhet. ${\ displaystyle \ textstil N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (ba)}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {1}, b_ {1}]}}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {2}, b_ {2}]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

Viktiga egenskaper

Den tidigare definitionen har två viktiga funktioner som delas av Poisson -punktprocesser i allmänhet:

• antalet ankomster i varje ändligt intervall har en Poisson -fördelning;
• antalet ankomster i osammanhängande intervall är oberoende slumpmässiga variabler.

Dessutom har den en tredje funktion relaterad till bara den homogena Poisson -punktprocessen:

• Poisson -fördelningen av antalet ankomster i varje intervall beror bara på intervallets längd .${\ displaystyle \ textstyle (a+t, b+t]}$${\ displaystyle \ textstyle ba}$

Med andra ord, för alla ändliga är den slumpmässiga variabeln oberoende av , så det kallas också en stationär Poisson -process. ${\ displaystyle \ textstyle t> 0}$${\ displaystyle \ textstil N (a+t, b+t]}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

Lag av stora antal

Mängden kan tolkas som det förväntade eller genomsnittliga antalet poäng som förekommer i intervallet , nämligen: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (b_ {i} -a_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {i}, b_ {i}]}}$

${\ displaystyle E \ {N (a_ {i}, b_ {i}] \} = \ lambda (b_ {i} -a_ {i}),}$

där betecknar förväntningsoperatören . Med andra ord sammanfaller parametern i Poisson -processen med punkternas densitet . Vidare följer den homogena Poisson -punktprocessen sin egen form av den (starka) lagen om stora tal. Mer specifikt, med sannolikhet en: ${\ displaystyle \ textstyle E}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {N (t)} {t}} = \ lambda,}$

där betecknar gränsen för en funktion, och det förväntade antalet ankomster inträffade per tidsenhet. ${\ displaystyle \ textstyle \ lim}$${\ displaystyle \ lambda}$

Minneslös egendom

Avståndet mellan två på varandra följande punkter i en punktprocess på den verkliga linjen kommer att vara en exponentiell slumpmässig variabel med parameter (eller motsvarande medelvärde ). Detta innebär att punkterna har den minneslösa egenskapen: förekomsten av en punkt som finns i ett begränsat intervall påverkar inte sannolikheten (fördelningen) för andra existerande punkter, men den här egenskapen har ingen naturlig ekvivalens när Poisson -processen definieras på ett utrymme med högre dimensioner. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle 1/\ lambda}$

Ordning och enkelhet

En punktprocess med stationära steg sägs ibland vara ordnad eller regelbunden om:

${\ displaystyle P \ {N (t, t+\ delta]> 1 \} = o (\ delta),}$

där lite notering används. En punktprocess kallas en enkel punktprocess när sannolikheten för att någon av dess två punkter sammanfaller i samma position, på det underliggande utrymmet, är noll. För punktprocesser i allmänhet på den verkliga linjen innebär ordningens egenskap att processen är enkel, vilket är fallet för den homogena Poisson -punktprocessen.

Martingale karakterisering

På den verkliga linjen har den homogena Poisson -punktprocessen en koppling till teorin om martingales via följande karakterisering: en punktprocess är den homogena Poisson -punktprocessen om och bara om

${\ displaystyle N (-\ infty, t] -t,}$

är en martingale.

Förhållande till andra processer

På den verkliga linjen är Poisson-processen en typ av kontinuerlig Markov-process som kallas en födelseprocess , ett speciellt fall av födelse-dödsprocessen (med bara födelser och noll dödsfall). Mer komplicerade processer med Markov -egenskapen , såsom Markov -ankomstprocesser , har definierats där Poisson -processen är ett specialfall.

Begränsad till halvlinjen

Om den homogena Poisson-processen betraktas precis på halvlinjen , vilket kan vara fallet när den representerar tid, är den resulterande processen inte riktigt invariant under översättning. I så fall är Poisson -processen inte längre stationär, enligt vissa definitioner av stationaritet. ${\ displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

Ansökningar

Det har varit många tillämpningar av den homogena Poisson -processen på den verkliga linjen i ett försök att modellera till synes slumpmässiga och oberoende händelser som inträffar. Den har en grundläggande roll i köteori , vilket är sannolikhetsfältet för att utveckla lämpliga stokastiska modeller för att representera slumpmässig ankomst och avgång av vissa fenomen. Till exempel kan kunder som anländer och betjänas eller telefonsamtal som kommer till en telefonväxel både studeras med tekniker från köteori.

Generaliseringar

Den homogena Poisson -processen på den verkliga linjen anses vara en av de enklaste stokastiska processerna för att räkna slumpmässigt antal poäng. Denna process kan generaliseras på ett antal sätt. En möjlig generalisering är att förlänga fördelningen av interarrivalstider från den exponentiella distributionen till andra distributioner, vilket introducerar den stokastiska processen som kallas en förnyelseprocess . En annan generalisering är att definiera Poisson -punktprocessen på högre dimensionella utrymmen som planet.

Rumslig Poisson -punktprocess

En spatial Poisson -process är en Poisson -punktprocess som definieras i planet . För sin matematiska definition överväger man först en avgränsad, öppen eller stängd (eller närmare bestämt Borel -mätbar ) region av planet. Antalet punkter i en punktprocess som finns i denna region är en slumpmässig variabel, betecknad med . Om punkterna tillhör en homogen Poisson -process med parameter , ges sannolikheten för att det finns punkter i : ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{2}}$${\ displaystyle \ textstil B}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstil B \ delmängd {\ textbf {R}}^{2}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B)}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstil B}$

${\ displaystyle P \ {N (B) = n \} = {\ frac {(\ lambda | B |)^{n}} {n!}} e^{-\ lambda | B |}}$

där betecknar området för . ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstil B}$

För något ändligt heltal kan vi ge den ändliga dimensionella fördelningen av den homogena Poisson-punktprocessen genom att först överväga en samling av osammanhängande, avgränsade Borel (mätbara) uppsättningar . Antalet punkter i punktprocessen som finns i kan skrivas som . Sedan har den homogena Poisson-punktprocessen med parameter den ändliga dimensionella fördelningen: ${\ displaystyle \ textstyle k \ geq 1}$${\ displaystyle \ textstil B_ {1}, \ dots, B_ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {(\ lambda | B_ {i} |)^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} E^{-\ lambda | B_ {i} |}.}$

Ansökningar

Den rumsliga Poisson -punktprocessen har en framträdande plats i rumsstatistik , stokastisk geometri och kontinuumperkolationsteori . Denna punktprocess tillämpas inom olika fysikaliska vetenskaper, till exempel en modell som utvecklats för alfa -partiklar som detekteras. Under de senaste åren har den ofta använts för att modellera till synes störda rumsliga konfigurationer av vissa trådlösa kommunikationsnätverk. Exempelvis har modeller för mobil- eller mobiltelefonnät utvecklats där man antar att telefonnätets sändare, så kallade basstationer, är placerade enligt en homogen Poisson -punktprocess.

Definieras i högre dimensioner

Den tidigare homogena Poisson -punktprocessen sträcker sig omedelbart till högre dimensioner genom att ersätta begreppet område med (högdimensionell) volym. För vissa avgränsade områden i det euklidiska utrymmet , om punkterna bildar en homogen Poisson -process med parameter , ges sannolikheten för punkter som finns i : ${\ displaystyle \ textstil B}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstil B \ delmängd {\ textbf {R}}^{d}}$

${\ displaystyle P \ {N (B) = n \} = {\ frac {(\ lambda | B |)^{n}} {n!}} e^{-\ lambda | B |}}$

där nu betecknar -dimensionell volym av . Vidare, för en samling av osammanhängande, avgränsade Borel -uppsättningar , låt oss ange antalet punkter som finns i . Sedan har motsvarande homogena Poisson-punktprocess med parameter den ändliga dimensionella fördelningen: ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstil B}$${\ displaystyle \ textstil B_ {1}, \ dots, B_ {k} \ delmängd {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {(\ lambda | B_ {i} |)^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} E^{-\ lambda | B_ {i} |}.}$

Homogena Poisson -punktprocesser beror inte på det underliggande rymdets position genom dess parameter , vilket innebär att det är både en stationär process (invariant för translation) och en isotrop (invariant till rotation) stokastisk process. På samma sätt som det endimensionella fallet är den homogena punktprocessen begränsad till någon avgränsad delmängd av , sedan är processen inte längre stationär beroende på vissa definitioner av stationaritet. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$

Poäng fördelas enhetligt

Om den homogena punktprocessen definieras på den verkliga linjen som en matematisk modell för förekomster av något fenomen, har den den egenskapen att positionerna för dessa händelser eller händelser på den verkliga linjen (ofta tolkad som tid) kommer att fördelas enhetligt. Mer specifikt, om en händelse inträffar (enligt denna process) i ett intervall där dess plats kommer att vara en enhetlig slumpmässig variabel definierad på det intervallet. Vidare kallas den homogena punktprocessen ibland den enhetliga Poisson -punktprocessen (se Terminologi ). Denna enhetlighetsegenskap sträcker sig till högre dimensioner i den kartesiska koordinaten, men inte i till exempel polära koordinater. ${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$

Inhomogen Poisson -punktprocess

Den inhomogena eller icke-homogena Poisson- punktprocessen (se Terminologi ) är en Poisson-punktprocess med en Poisson-parameteruppsättning som någon platsberoende funktion i det underliggande utrymmet på vilket Poisson-processen är definierad. För Euclidean utrymme , uppnås detta genom att införa en lokalt integrerbar positiv funktion , sådan att för varje innesluten region av ( -dimensionella) volym integralen av över regionen är ändlig. Med andra ord, om denna integral, betecknad med , är: ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ lambda \ colon \ mathbb {R} ^{d} \ till [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ textstil B}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstil B}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x <\ infty,}$

var är ett ( -dimensionellt) volymelement, för varje samling av osammanhängande Borel -mätbara uppsättningar har en inhomogen Poisson -process med (intensitet) -funktionen den ändliga dimensionella fördelningen: ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathrm {d} x}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstil B_ {1}, \ dots, B_ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {(\ Lambda ( B_ {i}))^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} E^{-\ Lambda (B_ {i})}.}$

Dessutom har tolkningen av att vara det förväntade antalet punkter i Poisson -processen beläget i gränsområdet , nämligen ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$${\ displaystyle \ textstil B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = E [N (B)].}$

Definieras på den riktiga linjen

På den verkliga linjen har den inhomogena eller icke-homogena Poisson-punktprocessen medelvärdet som ges av en endimensionell integral. För två reella tal och , där , beteckna med antalet punkter för en inhomogen Poisson -process med intensitetsfunktion som förekommer i intervallet . Sannolikheten för att poäng finns i intervallet ovan ges av: ${\ displaystyle \ textstyle a}$${\ displaystyle \ textstyle b}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$${\ displaystyle \ textstil N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (t)}$${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$

${\ displaystyle P \ {N (a, b] = n \} = {\ frac {[\ Lambda (a, b)]^{n}} {n!}} e^{-\ Lambda (a, b )}.}$

där medelvärdet eller intensitetsmåttet är:

${\ displaystyle \ Lambda (a, b) = \ int _ {a}^{b} \ lambda (t) \, \ mathrm {d} t,}$

vilket betyder att den slumpmässiga variabeln är en slumpmässig variabel från Poisson med medelvärde . ${\ displaystyle \ textstil N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle E \ {N (a, b] \} = \ Lambda (a, b)}$

En egenskap hos inställningen med en dimension är att en inhomogen Poisson-process kan omvandlas till en homogen genom en monoton transformation eller mappning, vilket uppnås med inversen av . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Räkna process tolkning

Den inhomogena Poisson-punktprocessen, när den betraktas på den positiva halvlinjen, definieras också ibland som en räkningsprocess. Med denna tolkning representerar processen, som ibland skrivs som , det totala antalet händelser eller händelser som har hänt till och med tid . En räkningsprocess sägs vara en inhomogen Poisson -räkningsprocess om den har de fyra egenskaperna: ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

• ${\ displaystyle \ textstyle N (0) = 0;}$
• har oberoende steg ;
• ${\ displaystyle \ textstil P \ {N (t+h) -N (t) = 1 \} = \ lambda (t) h+o (h);}$ och
• ${\ displaystyle \ textstil P \ {N (t+h) -N (t) \ geq 2 \} = o (h),}$

var är asymptotisk eller liten o notation för as . I fallet med punkt-processer med eldfasthet (t ex neurala spik tåg) en starkare version av egendom 4 tillämplig: . ${\ displaystyle \ textstyle o (h)}$${\ displaystyle \ textstyle o (h)/h \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ textstyle h \ rightarrow 0}$${\ displaystyle P (N (t+h) -N (t) \ geq 2) = o (h^{2})}$

Ovanstående egenskaper innebär att det är en slumpmässig variabel från Poisson med parametern (eller medelvärdet) ${\ displaystyle \ textstil N (t+h) -N (t)}$

${\ displaystyle E [N (t+h) -N (t)] = \ int _ {t}^{t+h} \ lambda (s) \, ds,}$

vilket innebär

${\ displaystyle E [N (h)] = \ int _ {0}^{h} \ lambda (s) \, ds.}$

Rumslig Poisson -process

En inhomogen Poisson -process som definieras i planet kallas en spatial Poisson -process Den definieras med intensitetsfunktion och dess intensitetsmått erhålls genom att utföra en ytintegral av dess intensitetsfunktion över något område. Till exempel kan dess intensitetsfunktion (som en funktion av kartesiska koordinater och ) vara ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{2}}$${\ textstil x}$${\ displaystyle \ textstyle y}$

${\ displaystyle \ lambda (x, y) = e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

så motsvarande intensitetsmått ges av ytintegralen

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} e^{-(x^{2}+y^{2})} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y, }$

var är något avgränsat område i planet . ${\ displaystyle \ textstil B}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^{2}}$

I högre dimensioner

I planet motsvarar en ytintegral medan i integralen blir en ( -dimensionell) volymintegral. ${\ textstyle \ Lambda (B)}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^{d}}$${\ textstil d}$

Ansökningar

När den verkliga linjen tolkas som tid, används den inhomogena processen inom räkningsprocesser och i köteori. Exempel på fenomen som har representerats av eller framstår som en inhomogen Poisson -punktprocess inkluderar:

• Mål som görs i en fotbollsmatch.
• Defekter i kretskort

I planet är Poisson -punktprocessen viktig i de relaterade disciplinerna stokastisk geometri och rumsstatistik. Intensitetsmåttet för denna punktprocess är beroende av placeringen av det underliggande utrymmet, vilket innebär att det kan användas för att modellera fenomen med en densitet som varierar över någon region. Med andra ord kan fenomenen representeras som punkter som har en platsberoende densitet. Dessa processer har använts i olika discipliner och användningsområden inkluderar studier av lax och sjölöss i haven, skogsbruk och sökproblem.

Tolkning av intensitetsfunktionen

Poisson -intensitetsfunktionen har en tolkning, som betraktas som intuitiv, med volymelementet i oändlig mening: är den oändliga sannolikheten för en punkt i en Poisson -punktprocess som finns i ett område av rymden med volym belägen vid . ${\ textstyle \ lambda (x)}$${\ textstil \ mathrm {d} x}$${\ textstyle \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x}$${\ textstil \ mathrm {d} x}$${\ textstil x}$

Till exempel, med tanke på en homogen Poisson -punktprocess på den verkliga linjen, är sannolikheten att hitta en enda punkt i processen i ett litet breddintervall ungefär . I själva verket är en sådan intuition hur Poisson -punktprocessen ibland introduceras och dess distribution härleds. ${\ textstil \ delta}$${\ textstyle \ lambda \ delta}$

Enkel punktprocess

Om en Poisson-punktprocess har ett intensitetsmått som är lokalt ändligt och diffust (eller icke-atomärt), är det en enkel punktprocess . För en enkel punktprocess är sannolikheten för att en punkt existerar vid en enda punkt eller plats i det underliggande (tillstånd) utrymmet antingen noll eller en. Detta innebär att, med sannolikhet ett, inte två (eller fler) punkter i en Poisson -punktprocess sammanfaller på plats i det underliggande utrymmet.

Simulering

Simulera en Poisson punkt process på en dator görs vanligen i en innesluten region av rymden, känd som en simulering fönster , och erfordrar två steg: lämpligt att skapa ett slumpmässigt antal punkter och sedan på lämpligt placera de punkter på ett slumpmässigt sätt. Båda dessa två steg beror på den specifika Poisson -punktprocess som simuleras.

Steg 1: Antal poäng

Antalet punkter i fönstret, som här anges med , måste simuleras, vilket görs med hjälp av en (pseudo)- slumpgenererande funktion som kan simulera slumpmässiga variabler från Poisson. ${\ textstil N}$${\ textstil W}$

Homogent fall

För det homogena fallet med konstanten är medelvärdet för den slumpmässiga variabeln Poisson satt till var är längden, ytan eller ( -dimensionella) volymen av . ${\ textstyle \ lambda}$${\ textstil N}$${\ textstyle \ lambda | W |}$${\ textstyle | W |}$${\ textstil d}$${\ textstil W}$

Inhomogent fall

För det inhomogena fallet ersätts det med ( -dimensionell) volymintegral ${\ textstyle \ lambda | W |}$${\ textstil d}$

${\ displaystyle \ Lambda (W) = \ int _ {W} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x}$

Steg 2: Positionering av punkter

Det andra steget kräver att slumpmässigt placeras punkterna i fönstret . ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle W}$

Homogent fall

För det homogena fallet i en dimension är alla punkter enhetligt och oberoende placerade i fönstret eller intervallet . För högre dimensioner i ett kartesiskt koordinatsystem placeras varje koordinat enhetligt och oberoende i fönstret . Om fönstret inte är ett delutrymme i kartesiskt utrymme (till exempel inuti en enhetsfär eller på ytan av en enhetsfär), kommer punkterna inte att placeras enhetligt i och lämpliga ändringar av koordinater (från kartesiska) behövs. ${\ displaystyle \ textstyle W}$${\ displaystyle \ textstyle W}$${\ displaystyle \ textstyle W}$

Inhomogent fall

För det inhomogena fallet kan ett par olika metoder användas beroende på intensitetsfunktionens beskaffenhet . Om intensitetsfunktionen är tillräckligt enkel kan oberoende och slumpmässiga icke-enhetliga (kartesiska eller andra) koordinater för punkterna genereras. Till exempel kan simulering av en Poisson -punktprocess på ett cirkulärt fönster göras för en isotrop intensitetsfunktion (i polära koordinater och ), vilket innebär att den är rotationsvariant eller oberoende av, men beroende av , genom att ändra en variabel om intensitetsfunktionen är tillräckligt enkelt. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle r}$

För mer komplicerade intensitetsfunktioner kan man använda en acceptans-avvisningsmetod , som består i att använda (eller "acceptera") endast vissa slumpmässiga punkter och inte använda (eller "avvisa") de andra punkterna, baserat på förhållandet:

${\ displaystyle {\ frac {\ lambda (x_ {i})} {\ Lambda (W)}} = {\ frac {\ lambda (x_ {i})} {\ int _ {W} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x.}}}$

var är den punkt som övervägs för acceptans eller avslag. ${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$

Allmän Poisson -punktprocess

Poisson-punktprocessen kan generaliseras ytterligare till det som ibland kallas den allmänna Poisson-punktprocessen eller allmänna Poisson-processen genom att använda ett Radon-mått , som är lokalt-ändligt mått. I allmänhet kan detta Radon -mått vara atomiskt, vilket innebär att flera punkter i Poisson -punktprocessen kan existera på samma plats i det underliggande utrymmet. I denna situation är antalet poäng på en Poisson -slumpmässig variabel med medelvärde . Men ibland antas det motsatta, så Radon-måttet är diffust eller icke-atomärt. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda ({x})}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

En punktprocess är en allmän Poisson -punktprocess med intensitet om den har två följande egenskaper: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

• antalet punkter i en begränsad Borel -uppsättning är en slumpmässig variabel med Poisson med medelvärde . Med andra ord, beteckna det totala antalet punkter som ligger i med , då ges sannolikheten för att en slumpmässig variabel är lika med :${\ displaystyle \ textstil B}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$${\ displaystyle \ textstil B}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {{N} (B) = n \} = {\ frac {(\ Lambda (B))^{n}} {n!}} e^{-\ Lambda (B)}}$

• antalet punkter i osammanhängande Borel -uppsättningar bildar oberoende slumpmässiga variabler.${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

Radon -måttet upprätthåller sin tidigare tolkning av att vara det förväntade antalet punkter som ligger i gränsområdet , nämligen ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstil B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = E [{N} (B)].}$

Om det dessutom är absolut kontinuerligt så att det har en densitet (som är Radon -Nikodym -densiteten eller derivatet) med avseende på Lebesgue -måttet, kan det för alla Borel -uppsättningar skrivas som: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstil B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x,}$

där densiteten bland annat är känd som intensitetsfunktionen. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$

Historia

Poisson distribution

Trots sitt namn upptäcktes eller studerades inte Poisson -punktprocessen av den franska matematikern Siméon Denis Poisson ; namnet nämns som ett exempel på Stiglers lag . Namnet härrör från dess inneboende relation till Poisson -distributionen , härledd av Poisson som ett begränsande fall för binomialfördelningen . Detta beskriver sannolikheten av summan av Bernoulli försök med sannolikhet , ofta liknas vid antalet huvuden (eller svansar) efter förspänd flips av ett mynt med sannolikheten för ett huvud (eller svans) som inträffar varelse . För någon positiv konstant , när ökningen mot oändlighet och minskar mot noll så att produkten fixeras, närmar sig Poisson -fördelningen närmare den för binomialet. ${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle np = \ Lambda}$

Poisson härledd Poisson-fördelningen, som publicerades i 1841, genom att undersöka binomialfördelning i gränsen av (till noll) och (till oändlighet). Det visas bara en gång i Poissons alla verk, och resultatet var inte välkänt under hans tid. Under de följande åren använde ett antal människor distributionen utan att citera Poisson, inklusive Philipp Ludwig von Seidel och Ernst Abbe . I slutet av 1800 -talet skulle Ladislaus Bortkiewicz studera fördelningen igen i en annan miljö (med hänvisning till Poisson), med hjälp av fördelningen med verkliga data för att studera antalet dödsfall från hästsparkar i den preussiska armén . ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

Upptäckt

Det finns ett antal påståenden om tidig användning eller upptäckt av Poisson -punktprocessen. Till exempel, John Michell 1767, ett decennium innan Poisson föddes, var intresserad av sannolikheten för att en stjärna befinner sig inom ett visst område av en annan stjärna under antagandet att stjärnorna "sprids av en slump" och studerade ett exempel bestående av de sex ljusaste stjärnorna i Pleiaderna , utan att härleda Poisson -fördelningen. Detta arbete inspirerade Simon Newcomb att studera problemet och beräkna Poisson -fördelningen som en approximation för binomialfördelningen 1860.

I början av 1900 -talet skulle Poisson -processen (i en dimension) uppstå oberoende i olika situationer. I Sverige 1903 publicerade Filip Lundberg en avhandling som innehöll arbete, nu betraktat som grundläggande och banbrytande, där han föreslog att modellera försäkringsskador med en homogen Poisson -process.

I Danmark 1909 inträffade ytterligare en upptäckt när AK Erlang härledde Poisson -distributionen när han utvecklade en matematisk modell för antalet inkommande telefonsamtal i ett begränsat tidsintervall. Erlang var inte vid den tiden medveten om Poissons tidigare arbete och antog att antalet telefonsamtal som kom under varje tidsintervall var oberoende av varandra. Han hittade sedan det begränsande fallet, som effektivt omarbetar Poisson -distributionen som en gräns för binomialfördelningen.

År 1910 publicerade Ernest Rutherford och Hans Geiger experimentella resultat om att räkna alfapartiklar. Deras experimentella arbete hade matematiska bidrag från Harry Bateman , som härledde Poissons sannolikheter som en lösning på en familj av differentialekvationer, även om lösningen hade härletts tidigare, vilket resulterade i oberoende upptäckt av Poisson -processen. Efter denna tid fanns det många studier och tillämpningar av Poisson -processen, men dess tidiga historia är komplicerad, vilket har förklarats av processens olika tillämpningar på många områden av biologer, ekologer, ingenjörer och olika fysiska forskare.

Tidiga ansökningar

Åren efter 1909 ledde till ett antal studier och tillämpningar av Poisson -punktprocessen, men dess tidiga historia är komplex, vilket har förklarats av processens olika tillämpningar på många områden av biologer , ekologer, ingenjörer och andra som arbetar inom de fysiska vetenskaperna . De tidiga resultaten publicerades på olika språk och i olika inställningar, utan någon standardterminologi och notering. Till exempel föreslog 1922 svensk kemist och nobelpristagare Theodor Svedberg en modell där en rumslig Poisson -punktprocess är den underliggande processen för att studera hur växter fördelas i växtsamhällen. Ett antal matematiker började studera processen i början av 1930 -talet, och viktiga bidrag gjordes av bland andra Andrey Kolmogorov , William Feller och Aleksandr Khinchin . Inom teletrafikteknik studerade och använde matematiker och statistiker Poisson och andra punktprocesser.

Termernas historia

Svensken Conny Palm i sin avhandling 1943 studerade Poisson och andra punktprocesser i den endimensionella inställningen genom att undersöka dem när det gäller det statistiska eller stokastiska beroendet mellan tidpunkterna. I sitt arbete finns den första kända inspelade användningen av termen punktprocesser som Punktprozesse på tyska.

Man tror att William Feller var den första på trycket som hänvisade till det som Poisson -processen i ett papper från 1940. Även om svensken Ove Lundberg använde termen Poisson -process i sin doktorsavhandling från 1940, där Feller erkändes som inflytande, har det hävdats att Feller myntade termen före 1940. Det har noterats att både Feller och Lundberg använde termen som även om det var välkänt, vilket innebar att det redan då var i talad användning. Feller arbetade 1936 till 1939 tillsammans med Harald Cramér vid Stockholms universitet , där Lundberg var doktorand under Cramér som inte använde termen Poisson -process i en bok av honom, slutade 1936, men gjorde det i efterföljande utgåvor, vilket hans har lett till spekulationerna om att termen Poisson -processen myntades någon gång mellan 1936 och 1939 vid Stockholms universitet.

Terminologi

Punktprocesssteorins terminologi i allmänhet har kritiserats för att vara för varierad. Förutom att ordet punkt ofta utelämnas, kallas den homogena Poisson (punkt) processen också en stationär Poisson (punkt) process, liksom en enhetlig Poisson (punkt) process. Den inhomogena Poisson-punktprocessen, liksom den kallas icke-homogen , kallas också för den icke-stationära Poisson-processen.

Termen punktprocess har kritiserats, eftersom termprocessen kan föreslå över tid och rum, så slumpmässigt punktfält , vilket resulterar i att termerna Poisson slumpmässigt punktfält eller Poisson -punktfält också används. En punktprocess betraktas och kallas ibland en slumpmässig räknemätning, därför kallas Poisson -punktprocessen också som ett slumpmässigt Poisson -mått , en term som används i studien av Lévy -processer, men vissa väljer att använda de två termerna för Poisson punkter processer definierade på två olika underliggande mellanslag.

Det underliggande matematiska rummet i Poisson -punktprocessen kallas ett bärarutrymme eller tillståndsutrymme , även om den senare termen har en annan betydelse i samband med stokastiska processer. I sammanhanget med punktprocesser kan termen "tillståndsutrymme" betyda det utrymme på vilket punktprocessen definieras, till exempel den verkliga linjen, som motsvarar indexuppsättningen eller parameteruppsättningen i stokastisk processterminologi.

Måttet kallas intensitetsmått , medelmått eller parametermått , eftersom det inte finns några standardtermer. If har ett derivat eller densitet, betecknat med , kallas intensitetsfunktionen för Poisson -punktprocessen. För den homogena Poisson -punktprocessen är derivatet av intensitetsmåttet helt enkelt en konstant , som kan kallas hastigheten , vanligtvis när det underliggande utrymmet är den verkliga linjen, eller intensiteten . Det kallas också medelhastigheten eller medeltätheten eller hastigheten . För motsvarande process kallas ibland för standard Poisson (punkt) process. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda = 1}$

Omfattningen av Poisson -punktprocessen kallas ibland exponeringen .

Notation

Notationen av Poisson -punktprocessen beror på dess inställning och det fält den används i. Till exempel på den verkliga linjen tolkas Poisson -processen, både homogen eller inhomogen, ibland som en räkningsprocess och notationen används att representera Poisson -processen. ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$

En annan anledning till varierande notering beror på teorin om punktprocesser, som har ett par matematiska tolkningar. Till exempel kan en enkel Poisson -punktprocess betraktas som en slumpmässig uppsättning, vilket antyder notationen , vilket innebär att det är en slumpmässig punkt som tillhör eller är ett element i Poisson -punktprocessen . En annan, mer allmän tolkning är att betrakta en Poisson eller någon annan punktprocess som en slumpmässig räknemätning, så man kan skriva antalet punkter i en Poisson -punktprocess som hittas eller ligger i någon (Borel -mätbar) region som , vilket är en slumpmässig variabel. Dessa olika tolkningar resulterar i att notation används från matematiska fält som måttteori och uppsättningsteori. ${\ displaystyle \ textstyle x \ i {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstil B}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$

För allmänna punktprocesser ingår ibland en prenumeration på exempelvis punktsymbolen så man skriver (med uppsatt notation) istället för och kan användas för dummyvariabeln i integrala uttryck som Campbells sats, istället för att beteckna slumpmässiga punkter . Ibland betecknar en stor bokstavsprocessen, medan en liten anger en punkt från processen, så till exempel punkten eller tillhör eller är en punkt i punktprocessen , och skrivs med uppsatt notation som eller . ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ i {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x \ i {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle X}$${\ displaystyle \ textstyle x \ i X}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ i X}$

Dessutom kan uppsättningsteorin och integral- eller mätteori -notationen användas omväxlande. Till exempel, för en punktprocess definierad på det euklidiska tillståndsutrymmet och en (mätbar) funktion på , uttrycket ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstil {{\ textbf {R}}^{d}}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$

${\ displaystyle \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} f (x) \, \ mathrm {d} N (x) = \ sum \ gränser _ {x_ {i} \ i N} f (x_ {i}),}$

visar två olika sätt att skriva en summering över en punktprocess (se även Campbells sats (sannolikhet) ). Mer specifikt tolkar den integrerade notationen på vänster sida punktprocessen som en slumpmässig räknemått medan summan på höger sida antyder en slumpmässig tolkning.

Funktioner och momentmått

I sannolikhetsteorin tillämpas operationer på slumpmässiga variabler för olika ändamål. Ibland är dessa operationer regelbundna förväntningar som ger genomsnittet eller variansen för en slumpmässig variabel. Andra, såsom karaktäristiska funktioner (eller Laplace -transformeringar) av en slumpmässig variabel kan användas för att identifiera eller karakterisera slumpmässiga variabler på ett unikt sätt och bevisa resultat som den centrala gränssatsen. I teorin om punktprocesser finns analoga matematiska verktyg som vanligtvis existerar i form av mått och funktioner istället för ögonblick respektive funktioner.

Laplace -funktioner

För en Poisson punkt process med intensitet åtgärd , den Laplace funktionella ges av: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle L_ {N} (f) = e^{-\ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} (1-e^{-f (x)}) \ Lambda (\ mathrm { d} x)},}$

${\ displaystyle L_ {N} (f) = e^{-\ lambda \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} (1-e^{-f (x)}) \, \ mathrm {d} x}.}$

En version av Campbells sats innefattar Laplace -funktionen i Poisson -punktprocessen.

Sannolikhetsgenererande funktioner

Sannolikhetsgenererande funktion för icke-negativ heltal-värderad slumpmässig variabel leder till att sannolikhetsgenererande funktion definieras analogt med avseende på alla icke-negativa begränsade funktioner på sådan . För en punktprocess definieras sannolikhetsgenererande funktion som: ${\ displaystyle \ textstyle v}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstil 0 \ leq v (x) \ leq 1}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

${\ displaystyle G (v) = E \ left [\ prod _ {x \ in N} v (x) \ right]}$

där produkten utförs för alla punkter i . Om intensiteten mått av lokalt begränsad, då är väl definierad för någon mätbar funktion på . För en Poisson -punktprocess med intensitetsmätning ges den genererande funktionen av: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle G}$${\ displaystyle \ textstyle u}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle G (v) = e^{-\ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} [1-v (x)] \, \ Lambda (\ mathrm {d} x)}, }$

vilket i det homogena fallet minskar till

${\ displaystyle G (v) = e^{-\ lambda \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} [1-v (x)] \, \ mathrm {d} x}.}$

Momentmått

För en allmän Poisson -punktprocess med intensitetsmått är första momentmåttet dess intensitetsmått: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle M^{1} (B) = \ Lambda (B),}$

vilket för en homogen Poisson -punktprocess med konstant intensitet betyder: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

${\ displaystyle M^{1} (B) = \ lambda | B |,}$

var är längden, ytan eller volymen (eller mer allmänt, Lebesgue -måttet ) på . ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstil B}$

Mecke -ekvationen

Mecke -ekvationen kännetecknar Poisson -punktprocessen. Låt vara utrymmet för alla -ändliga åtgärder på något allmänt utrymme . En punktprocess med intensitet på är en Poisson -punktprocess om och bara om följande för alla mätbara funktioner gäller ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle f: {\ mathcal {Q}} \ times \ mathbb {N} _ {\ sigma} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [\ int f (x, \ eta) \ eta (\ mathrm {d} x) \ right] = \ int \ operatorname {E} \ left [f (x, \ eta +\ delta _ {x}) \ höger] \ lambda (\ mathrm {d} x)}$

För mer information se.

Faktoriskt momentmått

För en allmän Poisson -punktprocess med intensitetsmätning ges det -th factorial momentmåttet av uttrycket: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle M^{(n)} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ prod _ {i = 1}^{n} [\ Lambda (B_ {i})]], }$

var är intensitetsmåttet eller första ögonblicksmåttet , som för någon Borel -uppsättning ges av ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstil B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = M^{1} (B) = E [N (B)].}$

För en homogen Poisson -punktprocess är måttet -th factorial moment helt enkelt: ${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle M^{(n)} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ lambda^{n} \ prod _ {i = 1}^{n} | B_ {i} |,}$

var är längden, ytan eller volymen (eller mer allmänt Lebesgue -måttet ) på . Vidare är den -faktoriska momentdensiteten: ${\ displaystyle \ textstyle | B_ {i} |}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle \ mu ^{(n)} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lambda ^{n}.}$

Undvikande funktion

Den undvikande funktion eller hålrums sannolikheten för en punkt process definieras i förhållande till en viss uppsättning , som är en delmängd av det underliggande utrymmet , som sannolikheten att inga punkter existerar i . Mer exakt, för en testuppsättning , är undvikningsfunktionen given av: ${\ displaystyle \ textstyle v}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstil B}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstil B}$${\ displaystyle \ textstil B}$

${\ displaystyle v (B) = P ({N} (B) = 0).}$

För en allmän Poisson -punktprocess med intensitetsmått ges dess undvikande funktion av: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle v (B) = e^{-\ Lambda (B)}}$

Rényis sats

Enkla punktprocesser kännetecknas helt av deras ogiltiga sannolikheter. Med andra ord fångas fullständig information om en enkel punktprocess helt i dess tomrumssannolikheter, och två enkla punktprocesser har samma tomrumssannolikheter om och om de bara är samma punktprocesser. Fallet för Poisson-processen är ibland känt som Rényis sats , som är uppkallad efter Alfréd Rényi som upptäckte resultatet för en homogen punktprocess i en dimension.

I en form säger Rényis teorem för ett diffust (eller icke-atomärt) radonmått på och en uppsättning är en ändlig förening av rektanglar (alltså inte Borel) att if är en räknbar delmängd av så att: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle A}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$

${\ displaystyle P ({N} (A) = 0) = v (A) = e^{-\ Lambda (A)}}$

då är en Poisson -punktprocess med intensitetsmått . ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Punktprocessoperationer

Matematiska operationer kan utföras på punktprocesser för att få nya punktprocesser och utveckla nya matematiska modeller för placering av vissa objekt. Ett exempel på en operation är känt som gallring vilket innebär att radera eller ta bort punkterna i någon punktprocess enligt en regel, skapa en ny process med de återstående punkterna (de raderade punkterna bildar också en punktprocess).

Gallring

För Poisson -processen resulterar de oberoende -gallrande operationerna i en annan Poisson -punktprocess. Mer specifikt ger en -förtunnande operation som tillämpas på en Poisson -punktprocess med intensitetsmätning en punktprocess med borttagna punkter som också är Poisson -punktprocess med intensitetsmätning , som för en begränsad Borel -uppsättning ges av: ${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {p}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {p}}$${\ displaystyle \ textstil B}$

${\ displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} p (x) \, \ Lambda (\ mathrm {d} x)}$

Detta gallringsresultat av Poisson -punktprocessen är ibland känt som Prekopas sats . Vidare, efter slumpmässig gallring av en Poisson -punktprocess, bildar de bevarade eller återstående punkterna också en Poisson -punktprocess, som har intensitetsmåttet

${\ displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} (1-p (x)) \, \ Lambda (\ mathrm {d} x).}$

De två separata Poisson -punktprocesser som bildas respektive från de borttagna och bevarade punkterna är stokastiskt oberoende av varandra. Med andra ord, om en region är känd för att innehålla bevarade punkter (från den ursprungliga Poisson -punktprocessen), kommer detta inte att ha någon inverkan på det slumpmässiga antalet borttagna punkter i samma region. Denna förmåga att slumpmässigt skapa två oberoende Poisson -punktprocesser från en är ibland känd som att dela Poisson -punktprocessen. ${\ displaystyle \ textstyle n}$

Superposition

Om det finns en otalig samling av punktprocesser , då är deras överlagring, eller, i uppsättningsteoretiskt språk, deras förening, vilket är ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$

${\ displaystyle {N} = \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} {N} _ {i},}$

bildar också en punktprocess. Med andra ord kommer alla punkter som finns i någon av punktprocesserna också att placeras i superpositionen av dessa punktprocesser . ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

Superpositionsteorem

Den super sats för punkten processen Poisson säger att överlagring av oberoende Poisson punktprocesser med medel åtgärder kommer också att vara en Poisson punkt process med en genomsnittlig mått ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2}, \ dots}$

${\ displaystyle \ Lambda = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ Lambda _ {i}.}$

Med andra ord är föreningen av två (eller betydligt fler) Poisson -processer en annan Poisson -process. Om en punkt samplas från en räknbar förening av Poisson -processer, ges sannolikheten för att punkten tillhör den Poisson -processen : ${\ textstil x}$${\ textstil n}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ textstyle j}$${\ textstil N_ {j}}$

${\ displaystyle P (x \ i N_ {j}) = {\ frac {\ Lambda _ {j}} {\ sum _ {i = 1}^{n} \ Lambda _ {i}}}.}$

För två homogena Poisson -processer med intensitet reduceras de två tidigare uttrycken till ${\ textstyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ dots}$

${\ displaystyle \ lambda = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ lambda _ {i},}$

och

${\ displaystyle P (x \ in {N} _ {j}) = {\ frac {\ lambda _ {j}} {\ sum _ {i = 1}^{n} \ lambda _ {i}}}. }$

Kluster

Operationsklusteringen utförs när varje punkt i någon punktprocess ersätts av en annan (möjligen annorlunda) punktprocess. Om den ursprungliga processen är en Poisson -punktprocess kallas den resulterande processen för en Poisson -klusterpunktsprocess. ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {c}}$

Slumpmässig förskjutning

En matematisk modell kan kräva slumpmässigt flyttande punkter i en punktprocess till andra platser på det underliggande matematiska utrymmet, vilket ger upphov till en punktprocessoperation som kallas förskjutning eller translation. Poisson -punktprocessen har använts för att exempelvis modellera växternas rörelse mellan generationer, på grund av förskjutningssatsen, som löst säger att den slumpmässiga oberoende förskjutningen av punkter i en Poisson -punktprocess (på samma underliggande utrymme) bildar en annan Poisson -punktprocess.

Förskjutningssats

En version av förskjutningen sats innebär en Poisson punkt process på med intensitet funktion . Det antas då att punkterna för slumpmässigt förskjuts någon annanstans i så att varje punkts förskjutning är oberoende och att förskjutningen av en punkt som tidigare var vid är en slumpmässig vektor med en sannolikhetstäthet . Då är den nya punktprocessen också en Poisson -punktprocess med intensitetsfunktion ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle \ rho (x, \ cdot)}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {D}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} \ lambda (x) \ rho (x, y) \, \ mathrm {d} x. }$

Om Poisson -processen är homogen med och om är en funktion av , då ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x) = \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ rho (x, y)}$${\ displaystyle yx}$

${\ displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ lambda.}$

Med andra ord, efter varje slumpmässig och oberoende förskjutning av punkter, existerar fortfarande den ursprungliga Poisson -punktprocessen.

Förskjutningssatsen kan förlängas så att Poisson -punkterna förflyttas slumpmässigt från ett euklidiskt utrymme till ett annat euklidiskt utrymme , där det inte nödvändigtvis är lika med . ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d '}}$${\ displaystyle \ textstyle d '\ geq 1}$${\ displaystyle \ textstyle d}$

Kartläggning

En annan egenskap som anses vara användbar är möjligheten att kartlägga en Poisson -punktprocess från ett underliggande utrymme till ett annat utrymme.

Kartläggningssats

Om mappningen (eller transformationen) följer vissa villkor, bildar den resulterande mappade (eller transformerade) samlingen av punkter också en Poisson -punktprocess, och detta resultat kallas ibland för mappningssatsen . Satsen involverar någon Poisson -punktprocess med medelvärdet på något underliggande utrymme. Om punkterna för punkterna mappas (det vill säga punktprocessen transformeras) enligt någon funktion till ett annat underliggande utrymme, så är den resulterande punktprocessen också en Poisson -punktprocess men med ett annat medelvärde . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$

Mer specifikt kan man överväga en (Borel mätbar) funktion som kartlägger en punktprocess med intensitetsmått från ett utrymme , till ett annat utrymme på ett sådant sätt så att den nya punktprocessen har intensitetsmåttet: ${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle S}$${\ displaystyle \ textstyle T}$${\ displaystyle \ textstyle {N} '}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) '= \ Lambda (f^{-1} (B))}$

utan atomer, där är en Borel -uppsättning och betecknar det omvända av funktionen . Om det är en Poisson -punktprocess, så är den nya processen också en Poisson -punktprocess med intensitetsmåttet . ${\ displaystyle \ textstil B}$${\ displaystyle \ textstyle f^{-1}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N} '}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$

Approximationer med Poisson -punktprocesser

Poisson-processens dragbarhet innebär att det ibland är bekvämt att approximera en icke-Poisson-punktprocess med en Poisson-process. Det övergripande målet är att approximera både antalet punkter i någon punktprocess och platsen för varje punkt med en Poisson -punktprocess. Det finns ett antal metoder som kan användas för att, informellt eller noggrant, motivera förekomsten av slumpmässiga händelser eller fenomen med lämpliga Poisson -punktprocesser. De mer strikta metoderna innebär att man får högre gränser för sannolikhetsmätvärdena mellan Poisson- och icke-Poisson-punktprocesser, medan andra metoder kan motiveras av mindre formell heuristik.

Klumpande heurist

En metod för att närma sig slumpmässiga händelser eller fenomen med Poisson -processer kallas den klumpande heuristiken . Den allmänna heuristiken eller principen innebär att man använder Poisson -punktprocessen (eller Poisson -distributionen) för att approximera händelser, som anses sällsynta eller osannolika, av någon stokastisk process. I vissa fall är dessa sällsynta händelser nära att vara oberoende, därför kan en Poisson -punktprocess användas. När händelserna inte är oberoende, men tenderar att förekomma i kluster eller klumpar , om dessa klumpar definieras på ett lämpligt sätt så att de är ungefär oberoende av varandra, kommer antalet klumpar som kommer att vara nära en slumpmässig variabel från Poisson och platserna av klumparna kommer att vara nära en Poisson -process.

Steins metod

Steins metod är en matematisk teknik som ursprungligen utvecklades för att approximera slumpmässiga variabler som Gaussian- och Poisson -variabler, som också har tillämpats på punktprocesser. Steins metod kan användas för att härleda övre gränser för sannolikhetsmått , som ger plats för att kvantifiera hur olika två slumpmässiga matematiska objekt varierar stokastiskt. Övre gränser för sannolikhetsmätvärden som total variation och Wasserstein -avstånd har härletts.

Forskare har tillämpat Steins metod på Poisson -punktprocesser på ett antal sätt, till exempel genom att använda Palm -kalkyl . Tekniker baserade på Steins metod har utvecklats för att i de övre gränserna ta med effekterna av vissa punktprocessoperationer som gallring och superposition. Steins metod har också använts för att härleda övre gränser för Poissons mätvärden och andra processer som Cox -punktprocessen , som är en Poisson -process med ett slumpmässigt intensitetsmått.

Konvergens till en Poisson -punktprocess

I allmänhet, när en operation appliceras på en allmän punktprocess är den resulterande processen vanligtvis inte en Poisson -punktprocess. Till exempel, om en punktprocess, annan än en Poisson, har sina punkter slumpmässigt och oberoende förskjutna, skulle processen inte nödvändigtvis vara en Poisson -punktprocess. Under vissa matematiska förhållanden för både den ursprungliga punktprocessen och den slumpmässiga förskjutningen har det dock visats via gränssatser att om punkterna i en punktprocess upprepade gånger förflyttas på ett slumpmässigt och oberoende sätt, då punktens slutliga fördelning processen kommer att konvergera (svagt) till en Poisson -punktprocess.

Liknande konvergensresultat har utvecklats för gallrings- och superpositionsoperationer som visar att sådana upprepade operationer på punktprocesser under vissa förhållanden kan resultera i att processen konvergerar till en Poisson -punktprocess, förutsatt en lämplig omskalning av intensitetsmåttet (annars kan värdena för intensitetsmätning av de resulterande punktprocesserna skulle närma sig noll eller oändlighet). Sådant konvergensarbete är direkt relaterat till resultaten som kallas Palm -Khinchin -ekvationerna, som har sitt ursprung i Conny Palm och Aleksandr Khinchins arbete , och hjälp förklarar varför Poisson -processen ofta kan användas som en matematisk modell av olika slumpmässiga fenomen .

Generaliseringar av Poisson -punktprocesser

Poisson -punktprocessen kan generaliseras genom att till exempel ändra dess intensitetsmått eller definiera mer generella matematiska mellanslag. Dessa generaliseringar kan studeras både matematiskt och användas för att matematiskt modellera eller representera fysiska fenomen.

Slumpmässiga mått av Poisson-typ

De Poisson-typ slump åtgärder (PT) är en familj av tre slumpmässiga räknings åtgärder som är stängda med restriktioner till ett underrum, stängd dvs enligt Point processoperationen # Gallring . Dessa slumpmässiga mått är exempel på den blandade binomiala processen och delar egenskapen för fördelningsjämlikhet hos Poisson-slumpmässigt mått . De är de enda medlemmarna i den kanoniska icke-negativa maktseriens distributionsfamilj som har den här egenskapen och inkluderar Poisson-distributionen , den negativa binomiala fördelningen och den binomiska distributionen . Poissons slumpmässiga mått är oberoende av osammanhängande delutrymmen, medan de andra slumpmässiga PT -mätningarna (negativ binomial och binomial) har positiva och negativa kovarianser. PT slumpmässiga mått diskuteras och inkluderar slumpmässigt Poisson -mått , negativt binomiskt slumpmässigt mått och binomiskt slumpmässigt mått.

Poisson -punktprocesser på mer allmänna utrymmen

För matematiska modeller definieras Poisson -punktprocessen ofta i det euklidiska rummet, men har generaliserats till mer abstrakta utrymmen och spelar en grundläggande roll i studiet av slumpmässiga mått, vilket kräver förståelse av matematiska fält som sannolikhetsteori, måtteori och topologi .

I allmänhet är begreppet avstånd av praktiskt intresse för applikationer, medan topologisk struktur behövs för Palm -fördelningar, vilket innebär att punktprocesser vanligtvis definieras på matematiska utrymmen med mått. Vidare kan en förverkligande av en punktprocess betraktas som ett räknemått, så poängprocesser är typer av slumpmässiga mått som kallas slumpmässiga räknemått. I detta sammanhang har Poisson och andra punktprocesser studerats på ett lokalt kompakt andra räknbart Hausdorff -utrymme.

Cox point -process

En Cox -punktprocess , Cox -process eller dubbelstokastisk Poisson -process är en generalisering av Poisson -punktprocessen genom att låta dess intensitetsmätning också vara slumpmässig och oberoende av den underliggande Poisson -processen. Processen är uppkallad efter David Cox som introducerade den 1955, även om andra Poisson -processer med slumpmässiga intensiteter hade införts oberoende tidigare av Lucien Le Cam och Maurice Quenouille. Intensitetsmåttet kan vara en realisering av slumpmässig variabel eller ett slumpmässigt fält. Till exempel, om logaritmen för intensitetsmåttet är ett gaussiskt slumpmässigt fält , är den resulterande processen känd som en logg Gaussian Cox -process . Mer allmänt är intensitetsmåtten en insikt av ett icke-negativt lokalt ändligt slumpmässigt mått. Cox -punktprocesser uppvisar en gruppering av punkter, som matematiskt kan visas vara större än Poisson -punktprocessernas. Cox -processernas allmänhet och handlingsförmåga har resulterat i att de har använts som modeller inom områden som geografisk statistik och trådlösa nätverk. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Markerad Poisson -punktprocess

För en given punktprocess kan varje slumpmässig punkt i en punktprocess ha ett slumpmässigt matematiskt objekt, känt som ett märke , slumpmässigt tilldelat det. Dessa märken kan vara lika olika som heltal, reella tal, linjer, geometriska objekt eller andra punktprocesser. Paret som består av en punkt i punktprocessen och dess motsvarande märke kallas en markerad punkt, och alla markerade punkter bildar en markerad punktprocess . Det antas ofta att de slumpmässiga märkena är oberoende av varandra och identiskt fördelade, men en punkts märke kan fortfarande bero på placeringen av dess motsvarande punkt i det underliggande (tillstånd) utrymmet. Om den underliggande punktprocessen är en Poisson -punktprocess, är den resulterande punktprocessen en markerad Poisson -punktprocess .

Märkningssats

Om en allmän punktprocess definieras på något matematiskt utrymme och slumpmässiga markeringar definieras på ett annat matematiskt utrymme, definieras den markerade punktprocessen på den kartesiska produkten av dessa två mellanslag. För en markerad Poisson-punktprocess med oberoende och identiskt fördelade märken, står det i märkningssatsen att denna markerade punktprocess också är en (icke-märkt) Poisson-punktprocess definierad på den ovannämnda kartesiska produkten av de två matematiska utrymmena, vilket inte är sant för allmänna punktprocesser.

Sammansatt Poisson -punktprocess

Den sammansatta Poisson -punktprocessen eller sammansatta Poisson -processen bildas genom att lägga till slumpmässiga värden eller vikter till varje punkt i Poisson -punktprocessen definierad på något underliggande utrymme, så processen är konstruerad från en markerad Poisson -punktprocess, där märkena utgör en samling oberoende och identiskt fördelade icke-negativa slumpmässiga variabler. Med andra ord, för varje punkt i den ursprungliga Poisson-processen finns en oberoende och identiskt fördelad icke-negativ slumpmässig variabel, och sedan bildas den sammansatta Poisson-processen från summan av alla slumpmässiga variabler som motsvarar punkterna i Poisson-processen som ligger i någon del av det underliggande matematiska rummet.

Om det finns en markerad Poisson-punktprocess bildad från en Poisson-punktprocess (definierad till exempel ) och en samling oberoende och identiskt fördelade icke-negativa märken så att för varje punkt i Poisson-processen finns en icke-negativ slumpmässig variabel , är den resulterande sammansatta Poisson -processen: ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ {M_ {i} \}}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle M_ {i}}$

${\ displaystyle C (B) = \ sum _ {i = 1}^{N (B)} M_ {i},}$

var är en Borel -mätbar uppsättning. ${\ displaystyle \ textstil B \ delmängd {\ textbf {R}}^{d}}$

Om allmänna slumpmässiga variabler tar värden i till exempel -dimensionellt euklidiskt utrymme , är den resulterande sammansatta Poisson -processen ett exempel på en Lévy -process förutsatt att den bildas från en homogen punktprocess definierad på de icke -negativa talen . ${\ displaystyle \ textstyle \ {M_ {i} \}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$

Felprocess med exponentiell utjämning av intensitetsfunktioner

Felprocessen med exponentiell utjämning av intensitetsfunktioner (FP-ESI) är en förlängning av den icke-homogena Poisson-processen. Intensitetsfunktionen för ett FP-ESI är en exponentiell utjämningsfunktion för intensitetsfunktionerna vid de sista tidpunkterna för händelsehändelser och överträffar andra nio stokastiska processer på 8 verkliga feldataset när modellerna används för att passa datamängderna, där modellprestanda mäts i termer av AIC ( Akaike informationskriterium ) och BIC ( Bayesiansk informationskriterium ).

Se även

• Boolsk modell (sannolikhetsteori)
• Kontinuum perkoleringsteori
• Sammansatt Poisson -process
• Cox -process
• Punktprocess
• Stokastisk geometri
• Stokastiska geometri modeller av trådlösa nätverk
• Markovianska ankomstprocesser

Anteckningar

Referenser

Specifika

Allmän

Böcker

• A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26 oktober 2006). Stokastisk geometri: Föreläsningar hålls vid CIME Summer School i Martina Franca, Italien, 13–18 september 2004 . Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
• Cox, DR ; Isham, Valerie (1980). Punktprocesser . Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-21910-8.
• Daley, Daryl J .; Vere-Jones, David (2003). En introduktion till theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods . Springer. ISBN 978-1475781090.
• Daley, Daryl J .; Vere-Jones, David (2007). En introduktion till teorin om punktprocesser: Volym II: Allmän teori och struktur . Springer. ISBN 978-0387213378.
• Kingman, John Frank (1992). Poisson -processer . Claredon Press. ISBN 978-0198536932.
• Moller, Jesper; Waagepetersen, Rasmus P. (2003). Statistisk slutsats och simulering för rumspunktprocesser . CRC Press. ISBN 978-1584882657.
• Ross, SM (1996). Stokastiska processer . Wiley. ISBN 978-0-471-12062-9.
• Snyder, DL; Miller, MI (1991). Slumpmässiga punktprocesser i tid och rum . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97577-1.
• Stoyan, Dietrich; Kendall, Wilfred S .; Mecke, Joseph (1995). Stokastisk geometri och dess tillämpningar . Wiley. ISBN 978-0471950998.
• Streit, Streit (2010). Poisson Point -processer: Imaging, Tracking och Sensing . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1441969224.
• HC Tijms (18 april 2003). En första kurs i stokastiska modeller . John Wiley & Sons. s. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.

Artiklar

• Stirzaker, David (2000). "Råd till igelkottar eller konstanter kan variera". Den matematiska tidningen .
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "Vad hände med diskret kaos, Quenouille -processen och den skarpa Markov -egenskapen? Någon historia av stokastiska punktprocesser". International Statistical Review .