Komplett rumslig slumpmässighet - Complete spatial randomness

Fullständig rumslig slumpmässighet ( CSR ) beskriver en punktprocess där punkthändelser inträffar inom ett givet studieområde på ett helt slumpmässigt sätt. Det är synonymt med en homogen rumslig Poisson-process . En sådan process modelleras med endast en parameter , dvs. tätheten av punkter inom det definierade området. Termen fullständig rumslig slumpmässighet används ofta i tillämpad statistik i samband med undersökning av vissa punktmönster, medan det i de flesta andra statistiska sammanhang hänvisas till begreppet en rumslig Poisson-process. ${\ displaystyle \ rho}$

Modell

Data i form av en uppsättning punkter, oregelbundet fördelade inom en region av rymden, uppstår i många olika sammanhang; Exempel inkluderar platser för träd i en skog, av fågelbon, av kärnor i vävnad, av sjuka människor i en riskpopulation. Vi kallar alla sådana datauppsättningar för ett rumsligt punktmönster och hänvisar till platserna som händelser för att skilja dessa från godtyckliga punkter i regionen i fråga. Hypotesen om fullständig rumslig slumpmässighet för ett rumsligt punktmönster hävdar att antalet händelser i vilken region som helst följer en Poisson-fördelning med ett givet medelantal per enhetlig indelning. Händelserna i ett mönster är oberoende och enhetligt fördelade över rymden; med andra ord, händelserna är lika troliga att inträffa var som helst och interagerar inte med varandra.

"Uniform" används i betydelsen att följa en enhetlig sannolikhetsfördelning över studieområdet, inte i betydelsen "jämnt" spridd över studieområdet. Det finns inga interaktioner mellan händelserna, eftersom händelsernas intensitet inte varierar över planet. Till exempel skulle självständighetsantagandet brytas om förekomsten av en händelse antingen uppmuntrade eller hämmade förekomsten av andra händelser i grannskapet.

Distribution

Sannolikheten att hitta exakt punkter inom området med händelsetäthet är därför: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle P (k, \ rho, V) = {\ frac {(V \ rho) ^ {k} e ^ {- (V \ rho)}} {k!}}. \, \!}$

Det första ögonblicket, det genomsnittliga antalet poäng i området, är helt enkelt . Detta värde är intuitivt eftersom det är Poisson-hastighetsparametern. ${\ displaystyle \ rho V}$

Sannolikheten att lokalisera grannen för en viss punkt på något radiellt avstånd är: ${\ displaystyle N ^ {\ mathrm {th}}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle P_ {N} (r) = {\ frac {D} {(N-1)!}} {\ lambda} ^ {N} r ^ {DN-1} e ^ {- \ lambda r ^ { D}},}$

var är antalet dimensioner, är en densitetsberoende parameter ges av och är gammafunktionen , som när dess argument är heltal, helt enkelt är en faktorfunktion . ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ rho \ pi ^ {\ frac {D} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {D} {2}} + 1)}}}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Det förväntade värdet av kan härledas via användning av gammafunktionen med hjälp av statistiska moment. Det första ögonblicket är medelavståndet mellan slumpmässigt fördelade partiklar i dimensioner. ${\ displaystyle P_ {N} (r)}$${\ displaystyle D}$

Applikationer

Studien av CSR är avgörande för jämförelsen av uppmätta punktdata från experimentella källor. Som en statistisk testmetod har CSR-testet många tillämpningar inom samhällsvetenskap och astronomiska undersökningar. CSR är ofta standarden mot vilken datamängder testas. Grovt beskrivet en metod för att testa CSR-hypotesen är följande:

1. Använd statistik som är en funktion av avståndet från varje händelse till nästa närmaste händelse.
2. Fokusera först på en specifik händelse och formulera en metod för att testa om händelsen och nästa närmaste händelse är betydligt nära (eller avlägsna).
3. Därefter överväger alla händelser och formulerar en metod för att testa om det genomsnittliga avståndet från varje händelse till nästa närmaste händelse är betydligt kort (eller lång).

I fall där det är svårt att beräkna teststatistik analytiskt används numeriska metoder, såsom Monte Carlo- metodsimulering, genom att simulera en stokastisk process ett stort antal gånger.

Referenser

Vidare läsning

• Diggle, PJ (2003). Statistisk analys av Spatial Point Patterns (2: a upplagan). New York: Academic Press. ISBN 0340740701.

externa länkar

• Förbättring av avståndstester mellan händelser av slumpmässighet i processer för rumspunkter