Poisson point proces - Poisson point process

I sandsynlighed , statistik og relaterede felter er en Poisson -punktproces en type tilfældigt matematisk objekt, der består af punkter, der er tilfældigt placeret på et matematisk rum . Poisson -punktprocessen kaldes ofte ganske enkelt Poisson -processen , men det kaldes også et tilfældigt Poisson -mål , Poisson -tilfældigt punktfelt eller Poisson -punktfelt . Denne punktproces har bekvemme matematiske egenskaber, hvilket har ført til, at den ofte blev defineret i det euklidiske rum og brugt som en matematisk model til tilsyneladende tilfældige processer i talrige discipliner som astronomi , biologi , økologi, geologi, seismologi , fysik , økonomi, billedbehandling og telekommunikation.

Processen er opkaldt efter den franske matematiker Siméon Denis Poisson på trods af at Poisson aldrig har studeret processen. Dets navn stammer fra det faktum, at hvis en samling af tilfældige punkter i et eller andet rum danner en Poisson -proces, så er antallet af punkter i et område med endelig størrelse en tilfældig variabel med en Poisson -fordeling . Processen blev opdaget uafhængigt og gentagne gange i flere indstillinger, herunder forsøg på radioaktivt henfald, ankomster fra telefonopkald og forsikringsmatematik.

Poisson -punktprocessen er ofte defineret på den virkelige linje , hvor den kan betragtes som en stokastisk proces . I denne indstilling bruges den f.eks. I køteori til at modellere tilfældige hændelser, såsom kundernes ankomst til en butik, telefonopkald ved en central eller forekomst af jordskælv, fordelt i tid. I flyet kan punktprocessen, også kendt som en rumlig Poisson -proces , repræsentere placeringen af ​​spredte objekter, f.eks. Sendere i et trådløst netværk , partikler, der støder ind i en detektor eller træer i en skov. I denne indstilling bruges processen ofte i matematiske modeller og i de relaterede felter i rumlige punktprocesser, stokastisk geometri , rumlig statistik og kontinuum perkolationsteori . Poisson -punktprocessen kan defineres på mere abstrakte rum. Ud over applikationer er Poisson -punktprocessen et objekt for matematisk undersøgelse i sig selv. I alle indstillinger har Poisson -punktprocessen den egenskab, at hvert punkt er stokastisk uafhængigt af alle de andre punkter i processen, hvorfor det undertiden kaldes en rent eller helt tilfældig proces. På trods af dens brede anvendelse som en stokastisk model af fænomener, der kan repræsenteres som punkter, indebærer procesens iboende karakter, at den ikke tilstrækkeligt beskriver fænomener, hvor der er tilstrækkelig stærk interaktion mellem punkterne. Dette har inspireret forslaget til andre punktprocesser, hvoraf nogle er konstrueret med Poisson -punktprocessen, der søger at fange sådan interaktion.

Punktprocessen afhænger af et enkelt matematisk objekt, som afhængigt af konteksten kan være en konstant , en lokalt integrerbar funktion eller i mere generelle indstillinger et Radon -mål . I det første tilfælde er konstanten, kendt som hastigheden eller intensiteten , den gennemsnitlige tæthed af punkterne i Poisson -processen, der er placeret i et område af rummet. Den resulterende punktproces kaldes en homogen eller stationær Poisson -punktproces . I det andet tilfælde kaldes punktprocessen en inhomogen eller ikkehomogen Poisson -punktproces , og den gennemsnitlige tæthed af punkter afhænger af placeringen af ​​det underliggende rum i Poisson -punktprocessen . Ordet punkt udelades ofte, men der er andre Poisson -processer af objekter, som i stedet for punkter består af mere komplicerede matematiske objekter som linjer og polygoner , og sådanne processer kan baseres på Poisson -punktprocessen. Både den homogene Poisson -punktproces og den ikke -homogene Poisson -punktproces er særlige tilfælde af den generaliserede fornyelsesproces .

Oversigt over definitioner

Afhængigt af indstillingen har processen flere ækvivalente definitioner samt definitioner af varierende generalitet på grund af dens mange applikationer og karakteriseringer. Poisson -punktprocessen kan defineres, studeres og bruges i en dimension, for eksempel på den virkelige linje, hvor den kan tolkes som en tælleproces eller en del af en kømodel; i højere dimensioner såsom det plan, hvor det spiller en rolle i stokastisk geometri og rumlig statistik ; eller på mere generelle matematiske rum. Følgelig varierer notationen, terminologien og niveauet for matematisk strenghed, der bruges til at definere og studere Poisson -punktprocessen og punktprocesser generelt, afhængigt af konteksten.

På trods af alt dette har Poisson -punktprocessen to nøgleegenskaber - Poisson -egenskaben og uafhængighedsegenskaben - der spiller en væsentlig rolle i alle indstillinger, hvor Poisson -punktprocessen bruges. De to ejendomme er ikke logisk uafhængige; uafhængighed indebærer faktisk Poisson -fordelingen af ​​pointtællinger, men ikke det modsatte.

Poisson -fordeling af pointtællinger

En Poisson -punktproces er karakteriseret via Poisson -distributionen . Poisson -fordelingen er sandsynlighedsfordelingen for en tilfældig variabel (kaldet en tilfældig variabel fra Poisson ), således at sandsynligheden for lig er givet ved: ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {N = n \} = {\ frac {\ Lambda ^{n}} {n!}} e ^{-\ Lambda}}$

hvor betegner factorial og parameteren bestemmer fordelingsformen. (Faktisk lig med den forventede værdi af .) ${\ displaystyle \ textstyle n!}$${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle N}$

Per definition har en Poisson-punktproces den egenskab, at antallet af punkter i et afgrænset område af procesens underliggende rum er en Poisson-distribueret tilfældig variabel.

Fuldstændig uafhængighed

Overvej en samling af usammenhængende og afgrænsede underregioner i det underliggende rum. Per definition vil antallet af punkter i en Poisson -punktproces i hver afgrænset subregion være fuldstændigt uafhængigt af alle de andre.

Denne egenskab er kendt under flere navne, såsom fuldstændig tilfældighed , fuldstændig uafhængighed eller uafhængig spredning og er fælles for alle Poisson -punktprocesser. Med andre ord mangler der interaktion mellem forskellige regioner og punkterne generelt, hvilket motiverer Poisson -processen undertiden til at blive kaldt en rent eller helt tilfældig proces.

Homogen Poisson -punktproces

Hvis en Poisson -punktproces har en parameter i formen , hvor er Lebesgue -mål (det vil sige, at den tildeler længde, areal eller volumen til sæt) og er en konstant, så kaldes punktprocessen en homogen eller stationær Poisson -punktproces. Parameteren, kaldet hastighed eller intensitet , er relateret til det forventede (eller gennemsnitlige) antal Poisson -punkter, der findes i et afgrænset område, hvor frekvensen normalt bruges, når det underliggende rum har en dimension. Parameteren kan tolkes som det gennemsnitlige antal punkter pr. Vis omfangsenhed, såsom længde , areal, volumen eller tid, afhængigt af det underliggende matematiske rum, og det kaldes også middeltætheden eller middelhastigheden ; se terminologi . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda = \ nu \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ nu}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

Fortolket som en tælleproces

Den homogene Poisson-punktproces, når den betragtes på den positive halvlinje, kan defineres som en tælleproces , en type stokastisk proces, som kan betegnes som . En tælleproces repræsenterer det samlede antal hændelser eller begivenheder, der er sket til og med tid . En tælleproces er en homogen Poisson -tællingsproces med hastighed, hvis den har følgende tre egenskaber: ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle t}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

• ${\ textstyle N (0) = 0;}$
• har uafhængige trin ; og
• antallet af begivenheder (eller punkter) i et hvilket som helst længdeinterval er en tilfældig Poisson -variabel med parameter (eller middelværdi) .${\ textstyle t}$${\ textstyle \ lambda t}$

Den sidste ejendom indebærer:

${\ displaystyle \ mathbb {E} [N (t)] = \ lambda t.}$

Med andre ord er sandsynligheden for, at den tilfældige variabel er lig med , givet ved: ${\ textstyle N (t)}$${\ textstyle n}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ {N (t) = n \} = {\ frac {(\ lambda t)^{n}} {n!}} e^{-\ lambda t}.}$

Poisson -tællingsprocessen kan også defineres ved at angive, at tidsforskellene mellem tællingsprocessens hændelser er eksponentielle variabler med middelværdi . Tidsforskellene mellem begivenhederne eller ankomsterne er kendt som interarrival- eller forekomststider . ${\ displaystyle \ textstyle 1/\ lambda}$

Fortolket som en punktproces på den virkelige linje

Fortolket som en punktproces kan en Poisson -punktproces defineres på den reelle linje ved at overveje antallet af punkter i processen i intervallet . For den homogene Poisson -punktproces på den reelle linje med parameter er sandsynligheden for, at dette tilfældige antal punkter, skrevet her som , er lig med et tællertal givet ved: ${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$ ${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {N (a, b] = n \} = {\ frac {[\ lambda (ba)]^{n}} {n!}} e^{-\ lambda (ba)},}$

For et positivt heltal har den homogene Poisson-punktproces den endelige-dimensionelle fordeling givet ved: ${\ displaystyle \ textstyle k}$

${\ displaystyle P \ {N (a_ {i}, b_ {i}] = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {[\ lambda (b_ {i} -a_ {i})]^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} e^{-\ lambda (b_ {i} -a_ {i})}} ,}$

hvor de reelle tal . ${\ displaystyle \ textstyle a_ {i} <b_ {i} \ leq a_ {i+1}}$

Med andre ord, er en tilfældig variabel fra Poisson med middelværdi , hvor . Endvidere siger og er antallet af punkter i to ulige intervaller, og er uafhængige af hinanden, og dette strækker sig til et endeligt antal uensartede intervaller. I køteoretisk kontekst kan man betragte et eksisterende punkt (i et interval) som en begivenhed , men dette er forskelligt fra ordet begivenhed i sandsynlighedsteorisk forstand. Heraf følger det forventede antal ankomster pr. Tidsenhed. ${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (ba)}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {1}, b_ {1}]}}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {2}, b_ {2}]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

Nøgleegenskaber

Den tidligere definition har to vigtige funktioner, der deles af Poisson -punktprocesser generelt:

• antallet af ankomster i hvert begrænset interval har en Poisson -fordeling;
• antallet af ankomster i uensartede intervaller er uafhængige tilfældige variabler.

Desuden har den en tredje funktion relateret til netop den homogene Poisson -punktproces:

• Poisson -fordelingen af ​​antallet af ankomster i hvert interval afhænger kun af intervallets længde .${\ displaystyle \ textstyle (a+t, b+t]}$${\ displaystyle \ textstyle ba}$

Med andre ord, for enhver endelig , er den tilfældige variabel uafhængig af , så det kaldes også en stationær Poisson -proces. ${\ displaystyle \ textstyle t> 0}$${\ displaystyle \ textstyle N (a+t, b+t]}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

Lov om store tal

Mængden kan tolkes som det forventede eller gennemsnitlige antal punkter, der forekommer i intervallet , nemlig: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (b_ {i} -a_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {i}, b_ {i}]}}$

${\ displaystyle E \ {N (a_ {i}, b_ {i}] \} = \ lambda (b_ {i} -a_ {i}),}$

hvor betegner forventningsoperatoren . Med andre ord falder parameteren i Poisson -processen sammen med punkternes tæthed . Desuden overholder den homogene Poisson -punktproces sin egen form for den (stærke) lov om store tal. Mere specifikt, med sandsynlighed en: ${\ displaystyle \ textstyle E}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {N (t)} {t}} = \ lambda,}$

hvor betegner grænsen for en funktion, og det forventede antal ankomster skete pr. tidsenhed. ${\ displaystyle \ textstyle \ lim}$${\ displaystyle \ lambda}$

Hukommelsesløs ejendom

Afstanden mellem to på hinanden følgende punkter i en punktproces på den reelle linje vil være en eksponentiel tilfældig variabel med parameter (eller ækvivalent middelværdi ). Dette indebærer, at punkterne har den hukommelsesløse egenskab: eksistensen af ​​et punkt, der eksisterer i et begrænset interval, påvirker ikke sandsynligheden (fordelingen) for andre eksisterende punkter, men denne egenskab har ingen naturlig ækvivalens, når Poisson -processen er defineret på et rum med højere dimensioner. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle 1/\ lambda}$

Orden og enkelhed

Nogle gange siges en punktproces med stationære trin at være ordnet eller regelmæssig, hvis:

${\ displaystyle P \ {N (t, t+\ delta]> 1 \} = o (\ delta),}$

hvor der bruges lidt-o notation . En punktproces kaldes en simpel punktproces, når sandsynligheden for, at et af dets to punkter falder sammen i samme position på det underliggende rum, er nul. For punktprocesser generelt på den virkelige linje indebærer ordentlighedens egenskab, at processen er enkel, hvilket er tilfældet for den homogene Poisson -punktproces.

Martingale karakterisering

På den virkelige linje har den homogene Poisson -punktproces en forbindelse til teorien om martingales via følgende karakterisering: en punktproces er den homogene Poisson -punktproces, hvis og kun hvis

${\ displaystyle N (-\ infty, t] -t,}$

er en martingale.

Forholdet til andre processer

På den virkelige linje er Poisson-processen en form for kontinuerlig Markov-proces, kendt som en fødselsproces , et specielt tilfælde af fødsel-dødsprocessen (med bare fødsler og nul dødsfald). Mere komplicerede processer med Markov -ejendommen , såsom Markov -ankomstprocesser , er blevet defineret, hvor Poisson -processen er et specielt tilfælde.

Begrænset til halvlinjen

Hvis den homogene Poisson-proces betragtes lige på halvlinjen , hvilket kan være tilfældet, når den repræsenterer tid, er den resulterende proces ikke virkelig invariant under oversættelse. I så fald er Poisson -processen ikke længere stationær, ifølge nogle definitioner af stationaritet. ${\ displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

Ansøgninger

Der har været mange anvendelser af den homogene Poisson -proces på den virkelige linje i et forsøg på at modellere tilsyneladende tilfældige og uafhængige begivenheder, der forekommer. Det har en grundlæggende rolle i køteori , som er sandsynlighedsfeltet for at udvikle passende stokastiske modeller til at repræsentere tilfældige ankomst og afgang af visse fænomener. For eksempel kan kunder, der ankommer og bliver betjent, eller telefonopkald, der ankommer til en telefoncentral, både studeres med teknikker fra køteori.

Generaliseringer

Den homogene Poisson -proces på den virkelige linje betragtes som en af ​​de enkleste stokastiske processer til tælling af tilfældige antal punkter. Denne proces kan generaliseres på en række måder. En mulig generalisering er at udvide fordelingen af ​​interarrival -tider fra den eksponentielle distribution til andre distributioner, hvilket introducerer den stokastiske proces kendt som en fornyelsesproces . En anden generalisering er at definere Poisson -punktprocessen på højere dimensionelle rum såsom planet.

Rumlig Poisson -punktproces

En rumlig Poisson -proces er en Poisson -punktproces, der er defineret i planet . For sin matematiske definition overvejer man først et afgrænset, åbent eller lukket (eller mere præcist Borel -målbart ) område af flyet. Antallet af punkter i en punktproces, der findes i denne region, er en tilfældig variabel, betegnet med . Hvis punkterne tilhører en homogen Poisson -proces med parameter , er sandsynligheden for punkter, der findes i , givet ved: ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{2}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B \ delsæt {\ textbf {R}}^{2}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B)}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle P \ {N (B) = n \} = {\ frac {(\ lambda | B |)^{n}} {n!}} e^{-\ lambda | B |}}$

hvor betegner området . ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

For et endeligt heltal kan vi give den endelige-dimensionelle fordeling af den homogene Poisson-punktproces ved først at overveje en samling af usammenhængende, afgrænsede Borel (målbare) sæt . Antallet af punkter i den punktproces, der findes i, kan skrives som . Så har den homogene Poisson-punktproces med parameter den endelige-dimensionelle fordeling: ${\ displaystyle \ textstyle k \ geq 1}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ dots, B_ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {(\ lambda | B_ {i} |)^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} E^{-\ lambda | B_ {i} |}.}$

Ansøgninger

Den rumlige Poisson -punktproces er fremtrædende i rumlige statistikker , stokastisk geometri og kontinuum perkolationsteori . Denne punktproces anvendes i forskellige fysiske videnskaber, såsom en model udviklet til alfa -partikler, der påvises. I de senere år har det været ofte brugt til at modellere tilsyneladende uordnede rumlige konfigurationer af visse trådløse kommunikationsnetværk. For eksempel er der udviklet modeller til mobil- eller mobiltelefonnetværk, hvor det antages, at telefonnetværkssendere, kendt som basestationer, er placeret i henhold til en homogen Poisson -punktproces.

Defineret i højere dimensioner

Den tidligere homogene Poisson -punktproces strækker sig straks til højere dimensioner ved at erstatte begrebet område med (høj dimensionel) volumen. For nogle afgrænsede områder i det euklidiske rum , hvis punkterne danner en homogen Poisson -proces med parameter , er sandsynligheden for punkter, der findes i , givet ved: ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle B \ undersæt {\ textbf {R}}^{d}}$

${\ displaystyle P \ {N (B) = n \} = {\ frac {(\ lambda | B |)^{n}} {n!}} e^{-\ lambda | B |}}$

hvor nu betegner -dimensionel volumen på . For en samling af usammenhængende, afgrænsede Borelsæt , lad os endvidere angive antallet af eksisterende punkter i . Så har den tilsvarende homogene Poisson-punktproces med parameter den endelige-dimensionelle fordeling: ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ dots, B_ {k} \ undersæt {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {(\ lambda | B_ {i} |)^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} E^{-\ lambda | B_ {i} |}.}$

Homogene Poisson -punktprocesser afhænger ikke af placeringen af ​​det underliggende rum gennem dets parameter , hvilket indebærer, at det både er en stationær proces (invariant til translation) og en isotrop (invariant til rotation) stokastisk proces. På samme måde som det endimensionelle tilfælde er den homogene punktproces begrænset til en afgrænset delmængde af processen , så afhængigt af nogle definitioner af stationaritet er processen ikke længere stationær. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$

Pointene fordeles ensartet

Hvis den homogene punktproces er defineret på den virkelige linje som en matematisk model for forekomster af et eller andet fænomen, så har den den egenskab, at positionerne for disse forekomster eller begivenheder på den virkelige linje (ofte fortolket som tid) vil blive ensartet fordelt. Mere specifikt, hvis en hændelse forekommer (ifølge denne proces) i et interval, hvor dens placering vil være en ensartet tilfældig variabel defineret på dette interval. Desuden kaldes den homogene punktproces undertiden den ensartede Poisson -punktproces (se Terminologi ). Denne ensartethedsegenskab strækker sig til højere dimensioner i den kartesiske koordinat, men ikke i for eksempel polære koordinater. ${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$

Uhomogen Poisson -punktproces

Den inhomogene eller ikke- homogene Poisson-punktproces (se Terminologi ) er en Poisson-punktproces med et Poisson-parametersæt som en eller anden stedafhængig funktion i det underliggende rum, som Poisson-processen er defineret på. For euklidisk rum , opnås dette ved at indføre en lokalt integrerbare positiv funktion , således at der for enhver afgrænsede område den ( dimensionale) volumen integral af løbet region er begrænset. Med andre ord, hvis denne integral, betegnet med , er: ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ lambda \ colon \ mathbb {R} ^{d} \ til [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x <\ infty,}$

hvor er et ( -dimensionelt) volumenelement, så har en inhomogen Poisson -proces med (intensitet) funktion for enhver samling af usammenhængende Borel -målbare sæt den endelige -dimensionelle fordeling: ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathrm {d} x}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ dots, B_ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {(\ Lambda ( B_ {i}))^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} E^{-\ Lambda (B_ {i})}}}$

Endvidere har fortolkningen af ​​at være det forventede antal punkter i Poisson -processen placeret i afgrænsede område , nemlig ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = E [N (B)].}$

Defineret på den rigtige linje

På den virkelige linje har den inhomogene eller ikke-homogene Poisson-punktproces middelværdi givet af et endimensionelt integral. For to reelle tal og , hvor , betegnes med talpunkterne for en inhomogen Poisson -proces med intensitetsfunktion, der forekommer i intervallet . Sandsynligheden for, at der findes punkter i ovenstående interval er givet ved: ${\ displaystyle \ textstyle a}$${\ displaystyle \ textstyle b}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (t)}$${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$

${\ displaystyle P \ {N (a, b] = n \} = {\ frac {[\ Lambda (a, b)]^{n}} {n!}} e^{-\ Lambda (a, b )}.}$

hvor middelværdien eller intensitetsmålet er:

${\ displaystyle \ Lambda (a, b) = \ int _ {a}^{b} \ lambda (t) \, \ mathrm {d} t,}$

hvilket betyder, at den tilfældige variabel er en Poisson -tilfældig variabel med middelværdi . ${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle E \ {N (a, b] \} = \ Lambda (a, b)}$

Et træk ved en-dimensionens indstilling er, at en inhomogen Poisson-proces kan omdannes til en homogen ved en monoton transformation eller kortlægning, som opnås med det inverse af . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Tælling af procesfortolkning

Den inhomogene Poisson-punktproces, når den betragtes på den positive halvlinje, defineres også undertiden som en tælleproces. Med denne fortolkning repræsenterer processen, som undertiden skrives som , det samlede antal hændelser eller begivenheder, der er sket til og med tid . En tælleproces siges at være en inhomogen Poisson -tællingsproces, hvis den har de fire egenskaber: ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

• ${\ displaystyle \ textstyle N (0) = 0;}$
• har uafhængige trin ;
• ${\ displaystyle \ textstyle P \ {N (t+h) -N (t) = 1 \} = \ lambda (t) h+o (h);}$ og
• ${\ displaystyle \ textstyle P \ {N (t+h) -N (t) \ geq 2 \} = o (h),}$

hvor er asymptotisk eller lille-o notation for as . I tilfælde af punkt processer med resistens (fx neurale spike tog) en stærkere version af ejendom 4 gælder: . ${\ displaystyle \ textstyle o (h)}$${\ displaystyle \ textstyle o (h)/h \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ textstyle h \ rightarrow 0}$${\ displaystyle P (N (t+h) -N (t) \ geq 2) = o (h^{2})}$

Ovennævnte egenskaber indebærer, at der er en tilfældig Poisson -variabel med parameteren (eller middelværdien) ${\ displaystyle \ textstyle N (t+h) -N (t)}$

${\ displaystyle E [N (t+h) -N (t)] = \ int _ {t}^{t+h} \ lambda (s) \, ds,}$

hvilket indebærer

${\ displaystyle E [N (h)] = \ int _ {0}^{h} \ lambda (s) \, ds.}$

Rumlig Poisson -proces

En inhomogen Poisson -proces, der er defineret i flyet , kaldes en rumlig Poisson -proces. Den defineres med intensitetsfunktion, og dens intensitetsmåling opnås ved at udføre en overfladeintegral af dens intensitetsfunktion over et bestemt område. For eksempel kan dens intensitetsfunktion (som en funktion af kartesiske koordinater og ) være ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{2}}$${\ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle y}$

${\ displaystyle \ lambda (x, y) = e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

så den tilsvarende intensitetsmåling er givet af overfladeintegralet

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} e^{-(x^{2}+y^{2})} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y, }$

hvor er et afgrænset område i flyet . ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^{2}}$

I højere dimensioner

I planet svarer det til en overfladeintegral, mens i integralen bliver et ( -dimensionelt) volumenintegral. ${\ textstyle \ Lambda (B)}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^{d}}$${\ textstyle d}$

Ansøgninger

Når den virkelige linje tolkes som tid, bruges den inhomogene proces inden for tælleprocesser og i køteori. Eksempler på fænomener, der er blevet repræsenteret af eller fremstår som en inhomogen Poisson -punktproces, omfatter:

• Mål, der bliver scoret i en fodboldkamp.
• Defekter i et printkort

I planet er Poisson -punktprocessen vigtig i de relaterede discipliner stokastisk geometri og rumlig statistik. Intensitetsmålet for denne punktproces er afhængig af placeringen af ​​det underliggende rum, hvilket betyder, at det kan bruges til at modellere fænomener med en tæthed, der varierer over et bestemt område. Med andre ord kan fænomenerne repræsenteres som punkter, der har en lokalitetsafhængig tæthed. Disse processer er blevet brugt i forskellige discipliner og anvendelser omfatter undersøgelse af laks og lus i havene, skovbrug og søgeproblemer.

Fortolkning af intensitetsfunktionen

Poisson -intensitetsfunktionen har en fortolkning, der betragtes som intuitiv, med volumenelementet i uendelig betydning: er den uendelige sandsynlighed for et punkt i en Poisson -punktproces, der eksisterer i et rumområde med volumen placeret ved . ${\ textstyle \ lambda (x)}$${\ textstyle \ mathrm {d} x}$${\ textstyle \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x}$${\ textstyle \ mathrm {d} x}$${\ textstyle x}$

For eksempel fik en homogen Poisson punkt processen på den reelle akse, sandsynligheden for at finde et enkelt punkt af processen i et lille interval af bredde er ca. . Faktisk er en sådan intuition, hvordan Poisson -punktprocessen undertiden introduceres, og dens distribution afledes. ${\ textstyle \ delta}$${\ textstyle \ lambda \ delta}$

Enkel punktproces

Hvis en Poisson-punktproces har et intensitetsmål, der er lokalt begrænset og diffust (eller ikke-atomisk), så er det en simpel punktproces . For en simpel punktproces er sandsynligheden for, at et punkt findes på et enkelt punkt eller sted i det underliggende (tilstand) rum, enten nul eller en. Dette indebærer, at der med sandsynlighed ikke er to (eller flere) punkter i en Poisson -punktproces, der falder sammen i placeringen i det underliggende rum.

Simulering

Simulerer en Poisson punkt proces på en computer er normalt gøres i et afgrænset område af rummet, kendt som en simulering vindue , og kræver to trin: passende skaber et tilfældigt antal punkter og derefter hensigtsmæssigt placere punkterne på tilfældig måde. Begge disse to trin afhænger af den specifikke Poisson -punktproces, der simuleres.

Trin 1: Antal point

Antallet af punkter i vinduet, angivet her med , skal simuleres, hvilket gøres ved hjælp af en (pseudo)- tilfældig talgenererende funktion, der er i stand til at simulere tilfældige variabler fra Poisson. ${\ textstyle N}$${\ textstyle W}$

Homogen sag

For det homogene tilfælde med konstanten er middelværdien af ​​den tilfældige variabel i Poisson sat til, hvor er længden, arealet eller ( -dimensionelle) volumen på . ${\ textstyle \ lambda}$${\ textstyle N}$${\ textstyle \ lambda | W |}$${\ textstyle | W |}$${\ textstyle d}$${\ textstyle W}$

Uhomogent tilfælde

For det inhomogene tilfælde erstattes det med den ( -dimensionelle) volumenintegral ${\ textstyle \ lambda | W |}$${\ textstyle d}$

${\ displaystyle \ Lambda (W) = \ int _ {W} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x}$

Trin 2: Placering af punkter

Den anden fase kræver tilfældig placering af punkterne i vinduet . ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle W}$

Homogen sag

For det homogene tilfælde i en dimension er alle punkter ensartet og uafhængigt placeret i vinduet eller intervallet . For højere dimensioner i et kartesisk koordinatsystem placeres hver koordinat ensartet og uafhængigt i vinduet . Hvis vinduet ikke er et underrum i det kartesiske rum (f.eks. Inde i en enhedsfære eller på overfladen af ​​en enhedsfære), vil punkterne ikke blive placeret ensartet , og passende koordinatændringer (fra kartesisk) er nødvendige. ${\ displaystyle \ textstyle W}$${\ displaystyle \ textstyle W}$${\ displaystyle \ textstyle W}$

Uhomogent tilfælde

For det inhomogene tilfælde kan der bruges et par forskellige metoder afhængigt af intensitetsfunktionens art . Hvis intensitetsfunktionen er tilstrækkelig enkel, kan uafhængige og tilfældige ikke-ensartede (kartesiske eller andre) koordinater for punkterne genereres. For eksempel kan simulering af en Poisson -punktproces på et cirkulært vindue udføres for en isotrop intensitetsfunktion (i polære koordinater og ), hvilket betyder, at den er rotationsvariant eller uafhængig af, men afhængig af , ved en ændring af variabel i, hvis intensitetsfunktionen er tilstrækkeligt enkelt. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle r}$

For mere komplicerede intensitetsfunktioner kan man bruge en accept-afvisningsmetode , som består i at bruge (eller 'acceptere') kun visse tilfældige punkter og ikke bruge (eller 'afvise') de andre punkter, baseret på forholdet:

${\ displaystyle {\ frac {\ lambda (x_ {i})} {\ Lambda (W)}} = {\ frac {\ lambda (x_ {i})} {\ int _ {W} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x.}}}$

hvor er det punkt, der overvejes for accept eller afvisning. ${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$

Generel Poisson -punktproces

Poisson-punktprocessen kan yderligere generaliseres til det, der undertiden er kendt som den generelle Poisson-punktproces eller generelle Poisson-proces ved hjælp af et Radon-mål , som er lokalt-endelig mål. Generelt kan denne Radon -måling være atomisk, hvilket betyder, at flere punkter i Poisson -punktprocessen kan eksistere på samme sted i det underliggende rum. I denne situation er antallet af punkter på en Poisson -tilfældig variabel med middelværdi . Men nogle gange antages det omvendte, så Radon-måttet er diffust eller ikke-atomært. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda ({x})}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

En punktproces er en generel Poisson -punktproces med intensitet, hvis den har de to følgende egenskaber: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

• antallet af punkter i et afgrænset Borel -sæt er en tilfældig Poisson -variabel med middelværdi . Med andre ord betegner det samlede antal punkter placeret i ved , derefter er sandsynligheden for, at en tilfældig variabel er lig med , givet ved:${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {{N} (B) = n \} = {\ frac {(\ Lambda (B))^{n}} {n!}} e^{-\ Lambda (B)}}$

• antallet af punkter i usammenhængende Borel -sæt danner uafhængige tilfældige variabler.${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

Radon -målingen fastholder sin tidligere fortolkning af at være det forventede antal punkter, der er placeret i afgrænsningsområdet , nemlig ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = E [{N} (B)].}$

Hvis den endvidere er absolut kontinuerlig, så den har en densitet (som er Radon -Nikodym -densiteten eller derivatet) i forhold til Lebesgue -målingen, kan den for alle Borelsæt skrives som: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x,}$

hvor densiteten blandt andet er kendt som intensitetsfunktionen. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$

Historie

Poisson distribution

På trods af sit navn blev Poisson -punktprocessen hverken opdaget eller undersøgt af den franske matematiker Siméon Denis Poisson ; navnet er nævnt som et eksempel på Stiglers lov . Navnet stammer fra dets iboende relation til Poisson -fordelingen , afledt af Poisson som et begrænsende tilfælde for den binomiske fordeling . Dette beskriver sandsynligheden for summen af Bernoulli -forsøg med sandsynlighed , ofte sammenlignet med antallet af hoveder (eller haler) efter forspændte flips af en mønt med sandsynligheden for at et hoved (eller hale) forekommer . For en eller anden positiv konstant , da stigninger mod uendelig og falder mod nul, således at produktet er fikseret, nærmer Poisson -fordelingen sig tættere på binomialet. ${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle np = \ Lambda}$

Poisson udledte Poisson -distributionen, udgivet i 1841, ved at undersøge den binomiske fordeling i grænsen på (til nul) og (til uendelig). Det vises kun én gang i alle Poissons værker, og resultatet var ikke velkendt i hans tid. I løbet af de følgende år brugte en række mennesker distributionen uden at anføre Poisson, herunder Philipp Ludwig von Seidel og Ernst Abbe . I slutningen af ​​1800 -tallet ville Ladislaus Bortkiewicz studere fordelingen igen i en anden indstilling (med henvisning til Poisson) ved hjælp af fordelingen med reelle data til at studere antallet af dødsfald fra hestespark i den preussiske hær . ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

Opdagelse

Der er en række krav til tidlig brug eller opdagelse af Poisson -punktprocessen. For eksempel var John Michell i 1767, et årti før Poisson blev født, interesseret i sandsynligheden for, at en stjerne befinder sig inden for et bestemt område af en anden stjerne under antagelse af, at stjernerne var "spredt ved en tilfældighed", og studerede et eksempel bestående af de seks klareste stjerner i Pleiaderne , uden at udlede Poisson -fordelingen. Dette arbejde inspirerede Simon Newcomb til at studere problemet og beregne Poisson -fordelingen som en tilnærmelse til den binomiske fordeling i 1860.

I begyndelsen af ​​det 20. århundrede ville Poisson -processen (i en dimension) opstå uafhængigt i forskellige situationer. I Sverige 1903 udgav Filip Lundberg et speciale med arbejde, der nu betragtes som grundlæggende og banebrydende, hvor han foreslog at modellere forsikringsskader med en homogen Poisson -proces.

I Danmark i 1909 opstod en anden opdagelse, da AK Erlang udledte Poisson -distributionen, da han udviklede en matematisk model for antallet af indgående telefonopkald i et begrænset tidsinterval. Erlang var ikke på det tidspunkt opmærksom på Poissons tidligere arbejde og antog, at antallet af telefonopkald, der ankom i hvert tidsinterval, var uafhængige af hinanden. Derefter fandt han den begrænsende sag, der reelt omarbejder Poisson -distributionen som en grænse for den binomiske fordeling.

I 1910 offentliggjorde Ernest Rutherford og Hans Geiger eksperimentelle resultater om tælling af alfapartikler. Deres eksperimentelle arbejde havde matematiske bidrag fra Harry Bateman , der udledte Poisson -sandsynligheder som en løsning til en familie af differentialligninger, selvom løsningen var blevet afledt tidligere, hvilket resulterede i den uafhængige opdagelse af Poisson -processen. Efter dette tidspunkt var der mange undersøgelser og anvendelser af Poisson -processen, men dens tidlige historie er kompliceret, hvilket er blevet forklaret af de forskellige anvendelser af processen på mange områder af biologer, økologer, ingeniører og forskellige fysikere.

Tidlige ansøgninger

Årene efter 1909 førte til en række undersøgelser og anvendelser af Poisson -punktprocessen, men dens tidlige historie er kompleks, hvilket er blevet forklaret af de forskellige anvendelser af processen på mange områder af biologer , økologer, ingeniører og andre, der arbejder inden for de fysiske videnskaber . De tidlige resultater blev offentliggjort på forskellige sprog og i forskellige indstillinger uden brug af standardterminologi og notation. For eksempel foreslog i 1922 svensk kemiker og nobelpristager Theodor Svedberg en model, hvor en rumlig Poisson -punktproces er den underliggende proces for at studere, hvordan planter fordeles i plantesamfund. En række matematikere begyndte at studere processen i begyndelsen af ​​1930'erne, og vigtige bidrag blev ydet af Andrey Kolmogorov , William Feller og Aleksandr Khinchin , blandt andre. Inden for teletrafikteknik studerede og brugte matematikere og statistikere Poisson og andre punktprocesser.

Begrebernes historie

Svenskeren Conny Palm studerede i sin afhandling fra 1943 Poisson og andre punktprocesser i den endimensionelle indstilling ved at undersøge dem med hensyn til den statistiske eller stokastiske afhængighed mellem tidspunkterne. I hans arbejde eksisterer den første kendte registrerede brug af udtrykket punktprocesser som Punktprozesse på tysk.

Det menes, at William Feller var den første på tryk, der omtalte det som Poisson -processen i et papir fra 1940. Selvom svenskeren Ove Lundberg brugte udtrykket Poisson -proces i sin ph.d. -afhandling fra 1940, hvor Feller blev anerkendt som en indflydelse, er det blevet hævdet, at Feller opfandt udtrykket før 1940. Det er blevet bemærket, at både Feller og Lundberg brugte udtrykket som selvom det var velkendt, hvilket indebar, at det allerede da var i tale-brug. Feller arbejdede fra 1936 til 1939 sammen med Harald Cramér ved Stockholms universitet , hvor Lundberg var en ph.d. -studerende under Cramér, der ikke brugte udtrykket Poisson -proces i en bog af ham, færdig i 1936, men gjorde det i efterfølgende udgaver, hvilket hans har ført til spekulationen om, at udtrykket Poisson -proces blev opfundet engang mellem 1936 og 1939 på Stockholms universitet.

Terminologi

Punktprocessteoriens terminologi generelt er blevet kritiseret for at være for varieret. Udover at ordet punkt ofte udelades, kaldes den homogene Poisson (punkt) proces også en stationær Poisson (punkt) proces, såvel som en ensartet Poisson (punkt) proces. Den inhomogene Poisson-punktproces, såvel som at blive kaldt nonhomogen , omtales også som den ikke-stationære Poisson-proces.

Begrebet punktproces er blevet kritiseret, som udtrykket proces kan foreslå over tid og rum, så tilfældigt punktfelt , hvilket resulterer i, at udtrykkene Poisson tilfældigt punktfelt eller Poisson -punktfelt også bruges. En punktproces betragtes og kaldes undertiden en tilfældig tællemåling, derfor omtales Poisson -punktprocessen også som en tilfældig Poisson -måling , et udtryk, der bruges i undersøgelsen af ​​Lévy -processer, men nogle vælger at bruge de to udtryk for Poisson punkter processer defineret på to forskellige underliggende rum.

Det underliggende matematiske rum i Poisson -punktprocessen kaldes et bærerum eller statsrum , selvom sidstnævnte udtryk har en anden betydning i forbindelse med stokastiske processer. I konteksten af ​​punktprocesser kan udtrykket "tilstandsrum" betyde det rum, hvorpå punktprocessen er defineret, såsom den reelle linje, som svarer til indekssæt eller parametersæt i stokastisk procesterminologi.

Målingen kaldes intensitetsmål , middelmål eller parametermål , da der ikke er nogen standardtermer. Hvis har et derivat eller densitet, betegnet med , kaldes intensitetsfunktionen af Poisson -punktprocessen. For den homogene Poisson -punktproces er derivatet af intensitetsmålet simpelthen en konstant , som kan omtales som hastigheden , normalt når det underliggende rum er den reelle linje eller intensiteten . Det kaldes også middelhastigheden eller middeltætheden eller hastigheden . For den tilsvarende proces omtales undertiden som standard Poisson (punkt) proces. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda = 1}$

Omfanget af Poisson -punktprocessen kaldes undertiden eksponering .

Notation

Notationen af ​​Poisson -punktprocessen afhænger af dens indstilling og det felt, den anvendes i. For eksempel på den reelle linje bliver Poisson -processen, både homogen eller inhomogen, undertiden fortolket som en tælleproces, og notationen bruges at repræsentere Poisson -processen. ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$

En anden grund til varierende notation skyldes teorien om punktprocesser, som har et par matematiske fortolkninger. For eksempel kan en simpel Poisson -punktproces betragtes som et tilfældigt sæt, hvilket antyder notationen , hvilket indebærer, at det er et tilfældigt punkt, der tilhører eller er et element i Poisson -punktprocessen . En anden, mere generel fortolkning er at betragte en Poisson eller enhver anden punktproces som en tilfældig tællemåling, så man kan skrive antallet af punkter i en Poisson -punktproces, der findes eller befinder sig i en (Borel -målbar) region som , hvilket er en tilfældig variabel. Disse forskellige fortolkninger resulterer i, at notation bruges fra matematiske felter såsom målingsteori og sætteori. ${\ displaystyle \ textstyle x \ i {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$

For generelle punktprocesser er nogle gange et abonnement på f.eks . Punktsymbolet inkluderet, så man skriver (med sætnotation) i stedet for og kan bruges til dummyvariablen i integrale udtryk som Campbells sætning, i stedet for at betegne tilfældige punkter . Nogle gange betegner et stort bogstav punktprocessen, mens et lille bogstav angiver et punkt fra processen, så for eksempel punktet eller tilhører eller er et punkt i punktprocessen , og skrives med sætnotation som eller . ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ i {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x \ i {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle X}$${\ displaystyle \ textstyle x \ i X}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ i X}$

Desuden kan sætteorien og integral- eller målteori -notationen bruges i flæng. For eksempel, for en punktproces, der er defineret på det euklidiske tilstandsrum og en (målbar) funktion på , udtrykket ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle {{\ textbf {R}}^{d}}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$

${\ displaystyle \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} f (x) \, \ mathrm {d} N (x) = \ sum \ grænser _ {x_ {i} \ i N} f (x_ {i}),}$

demonstrerer to forskellige måder at skrive en summering over en punktproces (se også Campbells sætning (sandsynlighed) ). Mere specifikt fortolker den integrerede notation på venstre side punktprocessen som en tilfældig tællende foranstaltning, mens summen på højre side antyder en tilfældig sæt fortolkning.

Funktioner og momentmål

I sandsynlighedsteorien anvendes operationer på tilfældige variabler til forskellige formål. Nogle gange er disse operationer regelmæssige forventninger, der producerer gennemsnittet eller variansen af ​​en tilfældig variabel. Andre, såsom karakteristiske funktioner (eller Laplace -transformationer) af en tilfældig variabel kan bruges til entydigt at identificere eller karakterisere tilfældige variabler og bevise resultater som den centrale grænsesætning. I teorien om punktprocesser findes der analoge matematiske værktøjer, der normalt findes i form af mål og funktionaliteter i stedet for henholdsvis øjeblikke og funktioner.

Laplace -funktioner

For en Poisson -punktproces med intensitetsmåling er Laplace -funktionen givet af: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle L_ {N} (f) = e^{-\ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} (1-e^{-f (x)}) \ Lambda (\ mathrm { d} x)},}$

${\ displaystyle L_ {N} (f) = e^{-\ lambda \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} (1-e^{-f (x)}) \, \ mathrm {d} x}.}$

En version af Campbells sætning involverer Laplace -funktionen i Poisson -punktprocessen.

Sandsynlighedsskabende funktioner

Sandsynlighedsgenererende funktion for ikke-negativ heltal-værdiansat tilfældig variabel fører til, at sandsynlighedsgenererende funktion defineres analogt med hensyn til enhver ikke-negativ afgrænset funktion på sådan . For en punktproces er sandsynlighedsgenererende funktion defineret som: ${\ displaystyle \ textstyle v}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle 0 \ leq v (x) \ leq 1}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

${\ displaystyle G (v) = E \ venstre [\ prod _ {x \ i N} v (x) \ højre]}$

hvor produktet udføres for alle punkterne i . Hvis intensitetsmålet på lokalt er endelig, så er det veldefineret for enhver målbar funktion på . For en Poisson -punktproces med intensitetsmåling er den genererende funktion givet ved: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle G}$${\ displaystyle \ textstyle u}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle G (v) = e^{-\ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} [1-v (x)] \, \ Lambda (\ mathrm {d} x)}, }$

hvilket i det homogene tilfælde reducerer til

${\ displaystyle G (v) = e^{-\ lambda \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} [1-v (x)] \, \ mathrm {d} x}.}$

Momentmål

For en generel Poisson -punktproces med intensitetsmåling er målingen i første øjeblik dens intensitetsmåling: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle M^{1} (B) = \ Lambda (B),}$

hvilket for en homogen Poisson -punktproces med konstant intensitet betyder: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

${\ displaystyle M^{1} (B) = \ lambda | B |,}$

hvor er længden, arealet eller volumen (eller mere generelt Lebesgue -målet ) for . ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

Mecke -ligningen

Mecke -ligningen karakteriserer Poisson -punktprocessen. Lad være rummet for alle -endelige foranstaltninger på noget generelt rum . En punktproces med intensitet på er en Poisson -punktproces, hvis og kun hvis alle følgende målbare funktioner gælder for alle målbare funktioner${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle f: {\ mathcal {Q}} \ times \ mathbb {N} _ {\ sigma} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [\ int f (x, \ eta) \ eta (\ mathrm {d} x) \ right] = \ int \ operatorname {E} \ left [f (x, \ eta +\ delta _ {x}) \ højre] \ lambda (\ mathrm {d} x)}$

For flere detaljer se.

Faktorisk momentmåling

For en generel Poisson -punktproces med intensitetsmåling er det -faktorielle momentmåling givet ved udtrykket: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle M^{(n)} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ prod _ {i = 1}^{n} [\ Lambda (B_ {i})]], }$

hvor er intensitetsmål eller første øjebliks mål for , som for et eller andet Borelsæt er givet af ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = M^{1} (B) = E [N (B)].}$

For en homogen Poisson -punktproces er -th -faktorielle momentmåling simpelthen: ${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle M^{(n)} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ lambda^{n} \ prod _ {i = 1}^{n} | B_ {i} |,}$

hvor er længden, arealet eller volumenet (eller mere generelt Lebesgue -målet ) for . Endvidere er den -faktoriske momentdensitet: ${\ displaystyle \ textstyle | B_ {i} |}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle \ mu ^{(n)} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lambda ^{n}.}$

Undgåelsesfunktion

Den undgåelse funktion eller ugyldig sandsynlighed for et punkt proces defineres i forhold til nogle sæt , som er en delmængde af den underliggende rum , som sandsynligheden for ingen point af eksisterende i . Mere præcist, for et testsæt , er undgåelsesfunktionen givet af: ${\ displaystyle \ textstyle v}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle v (B) = P ({N} (B) = 0).}$

For en generel Poisson -punktproces med intensitetsmåling er dens undgåelsesfunktion givet ved: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle v (B) = e^{-\ Lambda (B)}}$

Rényis sætning

Enkle punktprocesser er fuldstændig karakteriseret ved deres ugyldige sandsynligheder. Med andre ord fanges fuldstændig information om en simpel punktproces udelukkende i dens tomrumssandsynligheder, og to enkle punktprocesser har de samme tomrumssandsynligheder, hvis og hvis kun hvis de er de samme punktprocesser. Tilfældet med Poisson-processen er undertiden kendt som Rényis sætning , der er opkaldt efter Alfréd Rényi, der opdagede resultatet for en homogen punktproces i en dimension.

I en form siger Rényis sætning for et diffust (eller ikke-atomært) Radon-mål på og et sæt er en endelig forening af rektangler (altså ikke Borel), at if er en tællelig delmængde af sådan at: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle A}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$

${\ displaystyle P ({N} (A) = 0) = v (A) = e^{-\ Lambda (A)}}$

så er en Poisson -punktproces med intensitetsmåling . ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Pointprocesoperationer

Matematiske operationer kan udføres på punktprocesser for at få nye punktprocesser og udvikle nye matematiske modeller til placeringen af ​​bestemte objekter. Et eksempel på en operation er kendt som udtynding, hvilket indebærer sletning eller fjernelse af punkterne i en eller anden punktproces i henhold til en regel, hvilket skaber en ny proces med de resterende punkter (de slettede punkter danner også en punktproces).

Udtynding

For Poisson -processen resulterer de uafhængigt udtyndende operationer i en anden Poisson -punktproces. Mere specifikt giver en -fortyndingsoperation, der anvendes på en Poisson -punktproces med intensitetsmåling, en punktproces med fjernede punkter, der også er Poisson -punktproces med intensitetsmåling , som for et afgrænset Borel -sæt er givet ved: ${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {p}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {p}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} p (x) \, \ Lambda (\ mathrm {d} x)}$

Dette tyndere resultat af Poisson -punktprocessen er undertiden kendt som Prekopas sætning . Efter tilfældig udtynding af en Poisson -punktproces danner de bevarede eller resterende punkter også en Poisson -punktproces, som har intensitetsmålet

${\ displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} (1-p (x)) \, \ Lambda (\ mathrm {d} x).}$

De to separate Poisson -punktprocesser dannet henholdsvis fra de fjernede og gemte punkter er stokastisk uafhængige af hinanden. Med andre ord, hvis en region vides at indeholde bevarede punkter (fra den oprindelige Poisson -punktproces), vil dette ikke have nogen indflydelse på det tilfældige antal fjernede punkter i den samme region. Denne evne til tilfældigt at oprette to uafhængige Poisson -punktprocesser fra en er undertiden kendt som opdeling af Poisson -punktprocessen. ${\ displaystyle \ textstyle n}$

Superposition

Hvis der er en tællelig samling af punktprocesser , så er deres superposition eller, i sætteoretisk sprog, deres forening, som er ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$

${\ displaystyle {N} = \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} {N} _ {i},}$

danner også en punktproces. Med andre ord vil alle punkter placeret i en af ​​punktprocesserne også være placeret i superpositionen af ​​disse punktprocesser . ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

Superposition sætning

Den superposition sætning af Poisson punkt proces siger, at superposition af uafhængige Poisson punktprocesser med gennemsnitlige foranstaltninger også vil være en Poisson punkt proces med gennemsnitlig foranstaltning ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2}, \ dots}$

${\ displaystyle \ Lambda = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ Lambda _ {i}.}$

Med andre ord er foreningen af ​​to (eller mange flere) Poisson -processer en anden Poisson -proces. Hvis et punkt udtages fra en tællelig forening af Poisson -processer, er sandsynligheden for, at punktet tilhører den th Poisson -proces givet ved: ${\ textstyle x}$${\ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ textstyle j}$${\ textstyle N_ {j}}$

${\ displaystyle P (x \ in N_ {j}) = {\ frac {\ Lambda _ {j}} {\ sum _ {i = 1}^{n} \ Lambda _ {i}}}.}$

For to homogene Poisson -processer med intensiteter reduceres de to tidligere udtryk til ${\ textstyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ dots}$

${\ displaystyle \ lambda = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ lambda _ {i},}$

og

${\ displaystyle P (x \ in {N} _ {j}) = {\ frac {\ lambda _ {j}} {\ sum _ {i = 1}^{n} \ lambda _ {i}}}. }$

Klynger

Operationsklyngen udføres, når hvert punkt i en punktproces erstattes af en anden (muligvis anden) punktproces. Hvis den originale proces er en Poisson -punktproces, kaldes den resulterende proces en Poisson -klynge -punktproces. ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {c}}$

Tilfældig forskydning

En matematisk model kan kræve tilfældigt bevægelige punkter i en punktproces til andre steder på det underliggende matematiske rum, hvilket giver anledning til en punktprocesoperation kendt som forskydning eller translation. Poisson -punktprocessen er blevet brugt til eksempelvis at modellere planternes bevægelse mellem generationer på grund af forskydningssætningen, der løst siger, at den tilfældige uafhængige forskydning af punkter i en Poisson -punktproces (på det samme underliggende rum) danner en anden Poisson -punktproces.

Forskydningssætning

En version af forskydningen teorem involverer en Poisson punkt proces på med intensitet funktion . Det antages derefter, at punkterne tilfældigt forskydes et andet sted i, så hvert punkts forskydning er uafhængig, og at forskydningen af ​​et punkt, der tidligere var, er en tilfældig vektor med en sandsynlighedstæthed . Så er den nye punktproces også en Poisson -punktproces med intensitetsfunktion ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle \ rho (x, \ cdot)}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {D}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} \ lambda (x) \ rho (x, y) \, \ mathrm {d} x. }$

Hvis Poisson -processen er homogen med og hvis er en funktion af , så ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x) = \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ rho (x, y)}$${\ displaystyle yx}$

${\ displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ lambda.}$

Med andre ord, efter hver tilfældig og uafhængig forskydning af punkter, eksisterer den originale Poisson -punktproces stadig.

Forskydningssætningen kan udvides således, at Poisson -punkterne tilfældigt forskydes fra et euklidisk rum til et andet euklidisk rum , hvor det ikke nødvendigvis er lig med . ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d '}}$${\ displaystyle \ textstyle d '\ geq 1}$${\ displaystyle \ textstyle d}$

Kortlægning

En anden egenskab, der anses for nyttig, er evnen til at kortlægge en Poisson -punktproces fra et underliggende rum til et andet rum.

Kortlægningssætning

Hvis kortlægningen (eller transformationen) overholder nogle betingelser, danner den resulterende kortlagte (eller transformerede) samling af punkter også en Poisson -punktproces, og dette resultat kaldes undertiden kortlægningssætningen . Sætningen involverer en Poisson -punktproces med middelværdi på et underliggende rum. Hvis punkternes placeringer er kortlagt (det vil sige, punktprocessen transformeres) i henhold til en eller anden funktion til et andet underliggende rum, så er den resulterende punktproces også en Poisson -punktproces, men med et andet middelmål . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$

Mere specifikt kan man overveje en (borel -målbar) funktion, der kortlægger en punktproces med intensitetsmåling fra et rum til et andet rum på en sådan måde, så den nye punktproces har intensitetsmålet: ${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle S}$${\ displaystyle \ textstyle T}$${\ displaystyle \ textstyle {N} '}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) '= \ Lambda (f^{-1} (B))}$

uden atomer, hvor er et Borel -sæt og betegner det inverse af funktionen . Hvis er en Poisson -punktproces, så er den nye proces også en Poisson -punktproces med intensitetsmålet . ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle f^{-1}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N} '}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$

Tilnærmelser til Poisson -punktprocesser

Poisson-processens behandlingsmuligheder betyder, at det nogle gange er praktisk at tilnærme en ikke-Poisson-punktproces med en Poisson-proces. Det overordnede mål er at tilnærme både antallet af punkter i en eller anden punktproces og placeringen af ​​hvert punkt ved en Poisson -punktproces. Der er en række metoder, der kan bruges til at begrunde, uformelt eller stringent, tilnærmelse af forekomsten af ​​tilfældige begivenheder eller fænomener med passende Poisson -punktprocesser. De mere strenge metoder indebærer at udlede øvre grænser for sandsynlighedsmetrikkerne mellem Poisson- og ikke-Poisson-punktprocesserne, mens andre metoder kan begrundes med mindre formelle heuristikker.

Klumpende heuristisk

En metode til at tilnærme tilfældige begivenheder eller fænomener med Poisson -processer kaldes den klumpende heurist . Den generelle heuristik eller princippet indebærer at bruge Poisson -punktprocessen (eller Poisson -distributionen) til at tilnærme hændelser, der anses for sjældne eller usandsynlige, for en eller anden stokastisk proces. I nogle tilfælde er disse sjældne hændelser tæt på at være uafhængige, hvorfor en Poisson -punktproces kan bruges. Når hændelserne ikke er uafhængige, men har tendens til at forekomme i klynger eller klumper , så hvis disse klumper er passende defineret således, at de er omtrent uafhængige af hinanden, vil antallet af klumper, der forekommer, være tæt på en Poisson -tilfældig variabel og lokaliteterne af klumperne vil være tæt på en Poisson -proces.

Steins metode

Steins metode er en matematisk teknik, der oprindeligt blev udviklet til at tilnærme tilfældige variabler som Gaussiske og Poisson -variabler, som også er blevet anvendt på punktprocesser. Steins metode kan bruges til at udlede øvre grænser for sandsynlighedsmetrikker , der giver plads til at kvantificere, hvordan forskellige to tilfældige matematiske objekter varierer stokastisk. Der er afledt øvre grænser for sandsynlighedsmålinger såsom total variation og Wasserstein -afstand .

Forskere har anvendt Steins metode til Poisson -punktprocesser på en række måder, f.eks. Ved hjælp af Palm calculus . Teknikker baseret på Steins metode er blevet udviklet til at indregne virkningerne af visse punktprocesoperationer såsom udtynding og superposition i de øvre grænser . Steins metode er også blevet brugt til at udlede øvre grænser for Poisson -metrik og andre processer, såsom Cox -punktprocessen , som er en Poisson -proces med et tilfældigt intensitetsmål.

Konvergens til en Poisson -punktproces

Når en operation generelt anvendes på en generel punktproces, er den resulterende proces normalt ikke en Poisson -punktproces. For eksempel, hvis en punktproces, bortset fra en Poisson, har sine punkter tilfældigt og uafhængigt forskudt, så ville processen ikke nødvendigvis være en Poisson -punktproces. Under visse matematiske betingelser for både den oprindelige punktproces og den tilfældige forskydning er det imidlertid blevet vist via grænsesætninger, at hvis punkterne i en punktproces gentagne gange forskydes på en tilfældig og uafhængig måde, så er punktets endelige fordeling processen konvergerer (svagt) til en Poisson -punktproces.

Lignende konvergensresultater er blevet udviklet til udtyndings- og superpositionsoperationer, der viser, at sådanne gentagne operationer på punktprocesser under visse betingelser kan resultere i, at processen konvergerer til et Poisson -punktprocesser, forudsat en passende skalering af intensitetsmålet (ellers værdier af intensitetsmåling af de resulterende punktprocesser ville nærme sig nul eller uendelig). Sådan konvergensarbejde er direkte relateret til resultaterne kendt som Palm -Khinchin -ligningerne, der har sin oprindelse i Conny Palm og Aleksandr Khinchins arbejde , og hjælp forklarer, hvorfor Poisson -processen ofte kan bruges som en matematisk model af forskellige tilfældige fænomener .

Generaliseringer af Poisson -punktprocesser

Poisson -punktprocessen kan generaliseres ved f.eks. At ændre dens intensitetsmål eller definere mere generelle matematiske rum. Disse generaliseringer kan studeres matematisk såvel som bruges til matematisk at modellere eller repræsentere fysiske fænomener.

Tilfældige målinger af Poisson-type

De tilfældige målinger af Poisson-typen (PT) er en familie på tre tilfældige optællingsforanstaltninger, der lukkes under begrænsning til et underrum, dvs. lukket under punktprocesoperation#udtynding . Disse tilfældige mål er eksempler på den blandede binomiske proces og deler egenskaberne ved fordelingen af ​​egen lighed i Poisson-tilfældige mål . De er de eneste medlemmer af den kanoniske ikke-negative strømforsyningsfamilie, der har denne egenskab og inkluderer Poisson-fordelingen , den negative binomiske fordeling og den binomiske distribution . Poisson -tilfældige måling er uafhængig af uafhængige underrum, mens de andre PT -tilfældige målinger (negativ binom og binomial) har positive og negative kovarianser. PT -tilfældige mål diskuteres og inkluderer Poisson -tilfældigt mål , negativt binomisk tilfældigt mål og binomisk tilfældigt mål.

Poisson -punktprocesser på mere generelle rum

For matematiske modeller er Poisson -punktprocessen ofte defineret i det euklidiske rum, men er blevet generaliseret til mere abstrakte rum og spiller en grundlæggende rolle i studiet af tilfældige mål, hvilket kræver en forståelse af matematiske felter som sandsynlighedsteori, målingsteori og topologi .

Generelt er afstandsbegrebet af praktisk interesse for applikationer, mens topologisk struktur er nødvendig for håndfladefordelinger, hvilket betyder, at punktprocesser normalt defineres på matematiske rum med metrik. Endvidere kan en realisering af en punktproces betragtes som et tællemål, så punktprocesser er typer af tilfældige målinger kendt som tilfældige tællende foranstaltninger. I denne sammenhæng er Poisson og andre punktprocesser blevet undersøgt på et lokalt kompakt andet tællbart Hausdorff -rum.

Cox point proces

En Cox -punktproces , Cox -proces eller dobbelt stokastisk Poisson -proces er en generalisering af Poisson -punktprocessen ved at lade dens intensitetsmåling også være tilfældig og uafhængig af den underliggende Poisson -proces. Processen er opkaldt efter David Cox, der introducerede den i 1955, selvom andre Poisson -processer med tilfældige intensiteter tidligere var blevet indført uafhængigt af Lucien Le Cam og Maurice Quenouille. Intensitetsmålet kan være en realisering af tilfældig variabel eller et tilfældigt felt. For eksempel, hvis logaritmen for intensitetsmålet er et gaussisk tilfældigt felt , så er den resulterende proces kendt som en log Gaussian Cox -proces . Mere generelt er intensitetsmålene en erkendelse af et ikke-negativt lokalt endelig tilfældigt mål. Cox -punktprocesser udviser en samling af punkter, som matematisk kan vises at være større end Poisson -punktprocessernes. Cox -processernes generalitet og formidelighed har resulteret i, at de blev brugt som modeller inden for områder som geografisk statistik og trådløse netværk. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Markeret Poisson -punktproces

For en given punktproces kan hvert tilfældigt punkt i en punktproces have et tilfældigt matematisk objekt, kendt som et mærke , tilfældigt tildelt det. Disse mærker kan være lige så forskellige som heltal, reelle tal, linjer, geometriske objekter eller andre punktprocesser. Parret, der består af et punkt i punktprocessen og dets tilhørende mærke, kaldes et markeret punkt, og alle de markerede punkter danner en markeret punktproces . Det antages ofte, at tilfældige mærker er uafhængige af hinanden og identisk fordelt, men alligevel kan et punkts mærke stadig afhænge af placeringen af ​​dets tilsvarende punkt i det underliggende (tilstand) rum. Hvis den underliggende punktproces er en Poisson -punktproces, er den resulterende punktproces en markant Poisson -punktproces .

Mærkningssætning

Hvis en generel punktproces er defineret på et matematisk rum, og tilfældige mærker er defineret på et andet matematisk rum, er den markerede punktproces defineret på det kartesiske produkt af disse to rum. For en markeret Poisson-punktproces med uafhængige og identisk fordelte mærker, angiver mærkningssætningen , at denne markerede punktproces også er en (ikke-markeret) Poisson-punktproces defineret på det førnævnte kartesiske produkt af de to matematiske rum, hvilket ikke er sandt for generelle punktprocesser.

Sammensat Poisson -punktproces

Den sammensatte Poisson -punktproces eller sammensatte Poisson -proces dannes ved at tilføje tilfældige værdier eller vægte til hvert punkt i Poisson -punktprocessen defineret på et underliggende rum, så processen er konstrueret ud fra en markeret Poisson -punktproces, hvor mærkerne danner en samling uafhængige og identisk fordelte ikke-negative tilfældige variabler. Med andre ord, for hvert punkt i den originale Poisson-proces er der en uafhængig og identisk fordelt ikke-negativ tilfældig variabel, og derefter dannes den sammensatte Poisson-proces ud fra summen af ​​alle de tilfældige variabler, der svarer til punkter i Poisson-processen, der er lokaliseret i en eller anden region i det underliggende matematiske rum.

Hvis der er en markeret Poisson-punktproces dannet ud fra en Poisson-punktproces (defineret på f.eks. ) Og en samling uafhængige og identisk distribuerede ikke-negative mærker, således at der for hvert punkt i Poisson-processen er en ikke-negativ tilfældig variabel , er den resulterende sammensatte Poisson -proces derefter: ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ {M_ {i} \}}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle M_ {i}}$

${\ displaystyle C (B) = \ sum _ {i = 1}^{N (B)} M_ {i},}$

hvor er et Borel målbart sæt. ${\ displaystyle \ textstyle B \ undersæt {\ textbf {R}}^{d}}$

Hvis generelle tilfældige variabler tager værdier i for eksempel -dimensionalt euklidisk rum , er den resulterende sammensatte Poisson -proces et eksempel på en Lévy -proces, forudsat at den dannes ud fra en homogen punktproces, der er defineret på de ikke -negative tal . ${\ displaystyle \ textstyle \ {M_ {i} \}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$

Fejlproces med eksponentiel udjævning af intensitetsfunktioner

Fejlprocessen med eksponentiel udjævning af intensitetsfunktioner (FP-ESI) er en forlængelse af den ikke-homogene Poisson-proces. Intensitetsfunktionen for et FP-ESI er en eksponentiel udjævningsfunktion af intensitetsfunktionerne på de sidste tidspunkter for hændelsesforekomster og udkonkurrerer andre ni stokastiske processer på 8 virkelige fejldatasæt, når modellerne bruges til at passe til datasættene, hvor modelydelse måles i form af AIC ( Akaike informationskriterium ) og BIC ( Bayesiansk informationskriterium ).

Se også

• Boolsk model (sandsynlighedsteori)
• Kontinuum perkolationsteori
• Sammensat Poisson -proces
• Cox proces
• Punktproces
• Stokastisk geometri
• Stokastiske geometri modeller af trådløse netværk
• Markoviske ankomstprocesser

Noter

Referencer

Bestemt

Generel

Bøger

• A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26. oktober 2006). Stokastisk geometri: Foredrag holdt på CIME Summer School afholdt i Martina Franca, Italien, 13. -18 . September 2004 . Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
• Cox, DR ; Isham, Valerie (1980). Punktprocesser . Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-21910-8.
• Daley, Daryl J .; Vere-Jones, David (2003). En introduktion til teorien om punktprocesser: bind I: elementær teori og metoder . Springer. ISBN 978-1475781090.
• Daley, Daryl J .; Vere-Jones, David (2007). En introduktion til teorien om punktprocesser: bind II: generel teori og struktur . Springer. ISBN 978-0387213378.
• Kingman, John Frank (1992). Poisson -processer . Claredon Press. ISBN 978-0198536932.
• Møller, Jesper; Waagepetersen, Rasmus P. (2003). Statistisk inferens og simulering for rumlige punktprocesser . CRC Tryk. ISBN 978-1584882657.
• Ross, SM (1996). Stokastiske processer . Wiley. ISBN 978-0-471-12062-9.
• Snyder, DL; Miller, MI (1991). Tilfældige punktprocesser i tid og rum . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97577-1.
• Stoyan, Dietrich; Kendall, Wilfred S .; Mecke, Joseph (1995). Stokastisk geometri og dens anvendelser . Wiley. ISBN 978-0471950998.
• Streit, Streit (2010). Poisson Point -processer: Imaging, Tracking og Sensing . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1441969224.
• HC Tijms (18. april 2003). Et første kursus i stokastiske modeller . John Wiley & Sons. s. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.

Artikler

• Stirzaker, David (2000). "Råd til pindsvin eller konstanter kan variere". Den matematiske tidning .
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "Hvad skete der med diskret kaos, Quenouille -processen og den skarpe Markov -ejendom? Nogle historier om stokastiske punktprocesser". International statistisk gennemgang .