Poissonův bodový proces - Poisson point process

V pravděpodobnosti , statistice a souvisejících polích je Poissonův bodový proces typ náhodného matematického objektu, který se skládá z bodů náhodně umístěných v matematickém prostoru . Poissonův bodový proces se často nazývá jednoduše Poissonův proces , ale také se nazývá Poissonova náhodná míra , Poissonovo náhodné bodové pole nebo Poissonovo bodové pole . Tento bodový proces má výhodné matematické vlastnosti, což vedlo k tomu, že je často definován v euklidovském prostoru a používán jako matematický model pro zdánlivě náhodné procesy v mnoha oborech, jako je astronomie , biologie , ekologie, geologie, seismologie , fyzika , ekonomie, zpracování obrazu a telekomunikace.

Tento proces je pojmenován podle francouzského matematika Siméona Denise Poissona, přestože Poisson tento proces nikdy nestudoval. Jeho název je odvozen od skutečnosti, že pokud soubor náhodných bodů v nějakém prostoru vytvoří Poissonův proces, pak počet bodů v oblasti konečné velikosti je náhodná proměnná s Poissonovým rozdělením . Proces byl objeven nezávisle a opakovaně v několika prostředích, včetně experimentů s radioaktivním rozpadem, příchozích telefonních hovorů a pojistné matematiky.

Poissonův bodový proces je často definován na skutečné linii , kde jej lze považovat za stochastický proces . V tomto nastavení se používá například v teorii front k modelování náhodných událostí, jako je příjezd zákazníků do obchodu, telefonní hovory na burze nebo výskyt zemětřesení, rozložených v čase. V rovině může bodový proces, známý také jako prostorový Poissonův proces , představovat umístění rozptýlených objektů, jako jsou vysílače v bezdrátové síti , částice narážející do detektoru nebo stromy v lese. V tomto nastavení se tento proces často používá v matematických modelech a v příbuzných oborech prostorových bodových procesů, stochastické geometrie , prostorové statistiky a teorie kontinuální perkolace . Poissonův bodový proces lze definovat na abstraktnějších prostorech. Kromě aplikací je bodový proces Poisson sám o sobě předmětem matematického studia. Poissonův bodový proces má ve všech nastaveních tu vlastnost, že každý bod je stochasticky nezávislý na všech ostatních bodech procesu, a proto se mu někdy říká čistě nebo zcela náhodný proces. Přes jeho široké použití jako stochastický model jevů reprezentovatelných jako body, inherentní povaha procesu znamená, že dostatečně nepopisuje jevy, kde je mezi body dostatečně silná interakce. To inspirovalo návrh dalších bodových procesů, z nichž některé jsou konstruovány s Poissonovým bodovým procesem, které se snaží zachytit takovou interakci.

Bodový proces závisí na jediném matematickém objektu, kterým může být v závislosti na kontextu konstanta , lokálně integrovatelná funkce nebo v obecnějším nastavení radonová míra . V prvním případě je konstanta, známá jako rychlost nebo intenzita , průměrná hustota bodů v Poissonově procesu umístěných v nějaké oblasti vesmíru. Výsledný bodový proces se nazývá homogenní nebo stacionární Poissonův bodový proces . V druhém případě se bodový proces nazývá nehomogenní nebo nehomogenní Poissonův bodový proces a průměrná hustota bodů závisí na umístění podkladového prostoru Poissonova bodového procesu. Slovo bod je často vynecháno, ale existují i ​​jiné Poissonovy procesy objektů, které místo bodů sestávají z komplikovanějších matematických objektů, jako jsou čáry a polygony , a takové procesy mohou být založeny na Poissonově bodovém procesu. Homogenní Poissonův bodový proces i nehomogenní Poissonův bodový proces jsou konkrétními případy generalizovaného procesu obnovy .

Přehled definic

V závislosti na nastavení má proces několik ekvivalentních definic a také definic různé obecnosti vzhledem k mnoha aplikacím a charakteristikám. Poissonův bodový proces lze definovat, studovat a používat v jedné dimenzi, například na skutečné linii, kde jej lze interpretovat jako proces počítání nebo část modelu ve frontě; ve vyšších dimenzích, jako je rovina, kde hraje roli ve stochastické geometrii a prostorové statistice ; nebo na obecnějších matematických prostorech. V důsledku toho se zápis, terminologie a úroveň matematické přísnosti používané k definování a studiu Poissonova bodového procesu a bodových procesů obecně liší podle kontextu.

Přes to všechno má Poissonův bodový proces dvě klíčové vlastnosti - Poissonovu vlastnost a vlastnost nezávislosti - které hrají zásadní roli ve všech prostředích, kde se používá Poissonův bodový proces. Tyto dvě vlastnosti nejsou logicky nezávislé; skutečně nezávislost znamená Poissonovo rozdělení počtu bodů, ale ne naopak.

Poissonova distribuce počtu bodů

Poissonův bodový proces je charakterizován pomocí Poissonovy distribuce . Poissonovo rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné (nazývané Poissonova náhodná proměnná ) tak, že pravděpodobnost, která se rovná, je dána vztahem: ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ Displaystyle P \ {N = n \} = {\ frac {\ Lambda ^{n}} {n!}} e ^{-\ Lambda}}$

kde označuje faktoriál a parametr určuje tvar rozdělení. (Ve skutečnosti se rovná očekávané hodnotě .) ${\ displaystyle \ textstyle n!}$${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle N}$

Poissonův bodový proces má podle definice tu vlastnost, že počet bodů v ohraničené oblasti základního prostoru procesu je Poissonova distribuovaná náhodná proměnná.

Úplná nezávislost

Zvažte kolekci nesouvislých a ohraničených podoblastí základního prostoru. Podle definice bude počet bodů Poissonova bodového procesu v každém ohraničeném subregionu zcela nezávislý na všech ostatních.

Tato vlastnost je známá pod několika názvy, jako je úplná náhodnost , úplná nezávislost nebo nezávislé rozptyly a je společná pro všechny Poissonovy bodové procesy. Jinými slovy, chybí interakce mezi různými regiony a body obecně, což motivuje Poissonův proces, kterému se někdy říká čistě nebo zcela náhodný proces.

Homogenní Poissonův bodový proces

Pokud má Poissonův bodový parametr parametr formuláře , kde je Lebesgueova míra (to znamená, že množinám přiřazuje délku, plochu nebo objem) a je konstanta, pak se bodový proces nazývá homogenní nebo stacionární Poissonův bodový proces. Parametr, nazývaný rychlost nebo intenzita , souvisí s očekávaným (nebo průměrným) počtem Poissonových bodů existujících v nějaké ohraničené oblasti, kde se míra obvykle používá, když má podkladový prostor jednu dimenzi. Parametr lze interpretovat jako průměrný počet bodů na nějakou jednotku rozsahu, jako je délka , plocha, objem nebo čas, v závislosti na podkladovém matematickém prostoru, a také se nazývá střední hustota nebo střední rychlost ; viz terminologie . ${\ Displaystyle \ textstyle \ Lambda = \ nu \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ nu}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

Interpretováno jako proces počítání

Homogenní Poissonův bodový proces, je-li uvažován na kladné polopřímce, lze definovat jako proces počítání , typ stochastického procesu, který lze označit jako . Proces počítání představuje celkový počet výskytů nebo událostí, které se staly až do času včetně . Proces počítání je homogenní Poissonův proces počítání s rychlostí, pokud má následující tři vlastnosti: ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle t}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

• ${\ textstyle N (0) = 0;}$
• má nezávislé přírůstky ; a
• počet událostí (nebo bodů) v libovolném intervalu délky je Poissonova náhodná proměnná s parametrem (nebo průměrem) .${\ textstyle t}$${\ textstyle \ lambda t}$

Poslední vlastnost znamená:

${\ Displaystyle \ mathbb {E} [N (t)] = \ lambda t.}$

Jinými slovy, pravděpodobnost, že se náhodná proměnná rovná, je dána vztahem: ${\ textstyle N (t)}$${\ textstyle n}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ {N (t) = n \} = {\ frac {(\ lambda t)^{n}} {n!}} e^{-\ lambda t}.}$

Poissonův proces počítání lze také definovat prohlášením, že časové rozdíly mezi událostmi procesu počítání jsou exponenciální proměnné s průměrem . Časové rozdíly mezi událostmi nebo příjezdy jsou známy jako časy mezi příchody nebo mezi nimi . ${\ Displaystyle \ textstyle 1/\ lambda}$

Interpretováno jako bodový proces na skutečné čáře

Interpretovaný jako bodový proces , Poissonův bodový proces lze definovat na skutečné čáře s ohledem na počet bodů procesu v intervalu . Pro homogenní Poissonův bodový proces na skutečné linii s parametrem je pravděpodobnost, že se tento náhodný počet bodů, zapsaný zde jako , rovná nějakému počítacímu číslu, dána vztahem: ${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$ ${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ Displaystyle P \ {N (a, b] = n \} = {\ frac {[\ lambda (ba)]^{n}} {n!}} e^{-\ lambda (ba)},}$

U některých kladných celých čísel má homogenní proces Poissonova bodu konečné rozložení dané: ${\ displaystyle \ textstyle k}$

${\ Displaystyle P \ {N (a_ {i}, b_ {i}] = n_ {i}, i = 1, \ tečky, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {[\ lambda (b_ {i} -a_ {i})]^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} e^{-\ lambda (b_ {i} -a_ {i})} ,}$

kde jsou reálná čísla . ${\ Displaystyle \ textstyle a_ {i} <b_ {i} \ leq a_ {i+1}}$

Jinými slovy, je Poissonova náhodná proměnná s průměrem , kde . Kromě toho počet bodů v jakýchkoli dvou nesouvislých intervalech, řekněme, a jsou na sobě nezávislé, a to se vztahuje na jakýkoli konečný počet nesouvislých intervalů. V kontextu teorie front lze za událost považovat existující bod (v intervalu) , ale to se liší od slova událost ve smyslu teorie pravděpodobnosti. Z toho vyplývá, že jde o očekávaný počet příchozích, které se vyskytnou za jednotku času. ${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (ba)}$${\ Displaystyle \ textstyle a \ leq b}$${\ Displaystyle \ textstyle (a_ {1}, b_ {1}]}$${\ Displaystyle \ textstyle (a_ {2}, b_ {2}]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

Klíčové vlastnosti

Předchozí definice má dvě důležité funkce sdílené Poissonovými bodovými procesy obecně:

• počet příchozích v každém konečném intervalu má Poissonovo rozdělení;
• počet příchozích v nesouvislých intervalech jsou nezávislé náhodné veličiny.

Kromě toho má třetí funkci související pouze s homogenním Poissonovým bodovým procesem:

• Poissonovo rozdělení počtu příchozích v každém intervalu závisí pouze na délce intervalu .${\ Displaystyle \ textstyle (a+t, b+t]}$${\ displaystyle \ textstyle ba}$

Jinými slovy, pro jakoukoli konečnou je náhodná proměnná nezávislá na , takže se jí také říká stacionární Poissonův proces. ${\ displaystyle \ textstyle t> 0}$${\ Displaystyle \ textstyle N (a+t, b+t]}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

Zákon velkých čísel

Veličinu lze interpretovat jako očekávaný nebo průměrný počet bodů vyskytujících se v intervalu , konkrétně: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (b_ {i} -a_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {i}, b_ {i}]}$

${\ Displaystyle E \ {N (a_ {i}, b_ {i}] \} = \ lambda (b_ {i} -a_ {i}),}$

kde označuje operátor očekávání . Jinými slovy, parametr Poissonova procesu se shoduje s hustotou bodů. Kromě toho se homogenní Poissonův bodový proces drží své vlastní formy (silného) zákona velkého počtu. Přesněji řečeno, s pravděpodobností jedna: ${\ displaystyle \ textstyle E}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {N (t)} {t}} = \ lambda,}$

kde označuje limit funkce a předpokládaný počet příchodů za jednotku času. ${\ Displaystyle \ textstyle \ lim}$${\ Displaystyle \ lambda}$

Vlastnost bez paměti

Vzdálenost mezi dvěma po sobě následujícími body bodového procesu na reálné přímce bude exponenciální náhodná proměnná s parametrem (nebo ekvivalentně průměr ). To znamená, že body mají vlastnost bez paměti : existence jednoho bodu existujícího v konečném intervalu neovlivňuje pravděpodobnost (rozdělení) ostatních existujících bodů, ale tato vlastnost nemá přirozenou ekvivalenci, když je Poissonův proces definován na prostoru s vyšší rozměry. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ textstyle 1/\ lambda}$

Pořádek a jednoduchost

Bodový proces se stacionárními přírůstky se někdy říká, že je řádný nebo pravidelný, pokud:

${\ Displaystyle P \ {N (t, t+\ delta]> 1 \} = o (\ delta),}$

kde se používá malý zápis . Bodový proces se nazývá jednoduchý bodový proces, když je pravděpodobnost, že se kterýkoli z jeho dvou bodů shoduje ve stejné poloze, v podkladovém prostoru, nulová. U bodových procesů obecně na reálné přímce vlastnost uspořádanosti znamená, že proces je jednoduchý, což je případ homogenního Poissonova bodového procesu.

Charakterizace Martingale

Na reálné linii má homogenní poissonský bodový proces spojení s teorií martingalů prostřednictvím následující charakteristiky: bodový proces je homogenní poissonský bodový proces právě tehdy, když

${\ Displaystyle N (-\ infty, t] -t,}$

je martingale.

Vztah k jiným procesům

Poissonův proces je skutečným Markovovým procesem spojitého času známým jako proces narození , speciální případ procesu narození a smrti (s pouhými narozeními a nulovou úmrtností). Byly definovány složitější procesy s vlastností Markov , jako jsou Markovovy příchodové procesy , kde je Poissonův proces zvláštním případem.

Omezeno na poloviční čáru

Pokud je homogenní Poissonův proces uvažován právě na polopřímce , což může být případ, kdy představuje čas, pak výsledný proces není při překladu skutečně neměnný. V takovém případě již Poissonův proces podle některých definic stacionarity není stacionární. ${\ displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

Aplikace

Ve skutečné linii došlo k mnoha aplikacím homogenního Poissonova procesu ve snaze modelovat zdánlivě náhodné a nezávislé události. Má zásadní roli v teorii front , což je pole pravděpodobnosti vývoje vhodných stochastických modelů reprezentujících náhodný příchod a odchod určitých jevů. Například zákazníci přicházející a obsluhovaní nebo telefonní hovory přicházející na telefonní ústřednu mohou být studovány technikami z teorie front.

Zobecnění

Homogenní Poissonův proces na reálné přímce je považován za jeden z nejjednodušších stochastických procesů pro počítání náhodných čísel bodů. Tento proces lze zobecnit několika způsoby. Jednou z možných generalizací je rozšířit distribuci interarrival časů z exponenciální distribuce na další distribuce, což zavádí stochastický proces známý jako proces obnovy . Další generalizace je definovat Poissonův bodový proces ve vyšších dimenzionálních prostorech, jako je rovina.

Prostorový Poissonův bodový proces

Prostorový proces Poissonův je proces, Poissonův který je definován v rovině . Pro jeho matematickou definici se nejprve uvažuje o ohraničené, otevřené nebo uzavřené (nebo přesněji Borelově měřitelné ) oblasti roviny. Počet bodů bodového procesu existujícího v této oblasti je náhodná proměnná, označená . Pokud body patří do homogenního Poissonova procesu s parametrem , pak pravděpodobnost bodů existujících v je dána vztahem: ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{2}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B \ subset {\ textbf {R}}^{2}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B)}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ Displaystyle P \ {N (B) = n \} = {\ frac {(\ lambda | B |)^{n}} {n!}} e^{-\ lambda | B |}}$

kde označuje oblast . ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

U některých konečných celých čísel můžeme dát konečnou dimenzionální distribuci homogenního Poissonova bodového procesu tak, že nejprve vezmeme v úvahu kolekci disjunktních, ohraničených borelských (měřitelných) množin . Počet bodů existujících v bodovém procesu lze zapsat jako . Pak má homogenní Poissonův bodový proces s parametrem konečno-rozměrné rozdělení: ${\ Displaystyle \ textstyle k \ geq 1}$${\ Displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ tečky, B_ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

${\ Displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ tečky, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {(\ lambda | B_ {i} |)^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} E^{-\ lambda | B_ {i} |}.}$

Aplikace

Prostorový Poissonův bodový proces je prominentní v prostorové statistice , stochastické geometrii a teorii perkolace kontinua . Tento bodový proces se používá v různých fyzikálních vědách, jako je model vyvinutý pro detekci alfa částic. V posledních letech se často používá k modelování zdánlivě neuspořádaných prostorových konfigurací určitých bezdrátových komunikačních sítí. Byly například vyvinuty modely pro mobilní nebo mobilní telefonní sítě, kde se předpokládá, že vysílače telefonní sítě, známé jako základnové stanice, jsou umístěny podle homogenního Poissonova bodového procesu.

Definováno ve vyšších dimenzích

Předchozí homogenní Poissonův bodový proces se okamžitě rozšiřuje do vyšších dimenzí nahrazením pojmu oblasti (vysoce dimenzionálním) objemem. Pokud pro nějakou ohraničenou oblast euklidovského prostoru tvoří body homogenní Poissonův proces s parametrem , pak pravděpodobnost existujících bodů je dána vztahem: ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle B \ subset {\ textbf {R}}^{d}}$

${\ Displaystyle P \ {N (B) = n \} = {\ frac {(\ lambda | B |)^{n}} {n!}} e^{-\ lambda | B |}}$

kde nyní označuje -dimenzionální objem . Kromě toho, za kolekci nesouvislé, ohraničené Borel sad , ať značí počet míst existujících v . Pak odpovídající homogenní Poissonův bodový proces s parametrem má konečné rozložení: ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ Displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ tečky, B_ {k} \ podmnožina {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

${\ Displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ tečky, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {(\ lambda | B_ {i} |)^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} E^{-\ lambda | B_ {i} |}.}$

Homogenní Poissonovy bodové procesy nezávisí na poloze základního prostoru prostřednictvím jeho parametru , což znamená, že jde jak o stacionární proces (invariantní vůči translaci), tak izotropní (invariantní vůči rotaci) stochastický proces. Podobně jako v jednorozměrném případě je homogenní bodový proces omezen na určitou ohraničenou podmnožinu , pak v závislosti na některých definicích stacionarity již proces není stacionární. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$

Body jsou rozděleny rovnoměrně

Pokud je homogenní bodový proces definován na reálné přímce jako matematický model pro výskyt nějakého jevu, pak má charakteristiku, že polohy těchto výskytů nebo událostí na reálné přímce (často interpretované jako čas) budou rovnoměrně rozloženy. Přesněji řečeno, pokud k události dojde (podle tohoto procesu) v intervalu kde , pak její umístění bude jednotná náhodná proměnná definovaná v tomto intervalu. Kromě toho je homogenní bodový proces někdy nazýván jednotným Poissonovým bodovým procesem (viz Terminologie ). Tato vlastnost uniformity sahá do vyšších dimenzí v karteziánské souřadnici, ale ne například v polárních souřadnicích. ${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ Displaystyle \ textstyle a \ leq b}$

Nehomogenní Poissonův bodový proces

Nehomogenní nebo nehomogenní proces Poisson bod (viz terminologie ) je bod, proces Poisson s Poisson parametrů, jak určité místo v závislosti na funkci v základním prostoru, na kterém je proces Poisson definována. U euklidovského prostoru je toho dosaženo zavedením lokálně integrovatelné kladné funkce , takže pro jakoukoli ohraničenou oblast je ( -dimenzionální) objemový integrál nad regionem konečný. Jinými slovy, pokud tento integrál, označený , je: ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ Displaystyle \ lambda \ colon \ mathbb {R} ^{d} \ až [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ Displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$

${\ Displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x <\ infty,}$

kde je ( -dimenzionální) objemový prvek, pak pro jakoukoli kolekci nesouvislých ohraničených Borelových měřitelných množin má nehomogenní Poissonův proces s (intenzitní) funkcí konečné rozložení: ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathrm {d} x}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ Displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ tečky, B_ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$

${\ Displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ tečky, k \} = \ prod _ {i = 1}^{k} {\ frac {(\ Lambda ( B_ {i}))^{n_ {i}}} {n_ {i}!}} E^{-\ Lambda (B_ {i})}.}$

Dále má interpretaci očekávaný počet bodů Poissonova procesu umístěných v ohraničené oblasti , konkrétně ${\ Displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ Displaystyle \ Lambda (B) = E [N (B)].}$

Definováno na skutečné linii

Na reálné linii má nehomogenní nebo nehomogenní Poissonův bodový průměr střední míru danou jednorozměrným integrálem. Pro dvě reálná čísla a kde , označená číselnými body nehomogenního Poissonova procesu s funkcí intenzity vyskytující se v intervalu . Pravděpodobnost bodů existujících ve výše uvedeném intervalu je dána vztahem: ${\ displaystyle \ textstyle a}$${\ displaystyle \ textstyle b}$${\ Displaystyle \ textstyle a \ leq b}$${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (t)}$${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$

${\ Displaystyle P \ {N (a, b] = n \} = {\ frac {[\ Lambda (a, b)]^{n}} {n!}} e^{-\ Lambda (a, b )}.}$

kde průměr nebo míra intenzity je:

${\ Displaystyle \ Lambda (a, b) = \ int _ {a}^{b} \ lambda (t) \, \ mathrm {d} t,}$

což znamená, že náhodná proměnná je Poissonova náhodná proměnná s průměrem . ${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ Displaystyle \ textstyle E \ {N (a, b] \} = \ Lambda (a, b)}$

Rysem jednorozměrného nastavení je, že nehomogenní Poissonův proces lze transformovat na homogenní monotónní transformací nebo mapováním, čehož je dosaženo inverzně . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Interpretace procesu počítání

Nehomogenní Poissonův bodový proces, je-li uvažován na kladné polopřímce, je také někdy definován jako proces počítání. S touto interpretací proces, který je někdy psán jako , představuje celkový počet výskytů nebo událostí, které se staly až do času včetně . Říká se, že proces počítání je nehomogenní Poissonův proces počítání, pokud má čtyři vlastnosti: ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

• ${\ Displaystyle \ textstyle N (0) = 0;}$
• má nezávislé přírůstky ;
• ${\ Displaystyle \ textstyle P \ {N (t+h) -N (t) = 1 \} = \ lambda (t) h+o (h);}$ a
• ${\ Displaystyle \ textstyle P \ {N (t+h) -N (t) \ geq 2 \} = o (h),}$

kde je asymptotický nebo malý zápis pro as . V případě bodu procesy s refrakteritou (např neuronové špiček) silnější verzi díla 4 platí: . ${\ Displaystyle \ textstyle o (h)}$${\ Displaystyle \ textstyle o (h)/h \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ textstyle h \ rightarrow 0}$${\ Displaystyle P (N (t+h) -N (t) \ geq 2) = o (h^{2})}$

Výše uvedené vlastnosti naznačují, že se jedná o Poissonovu náhodnou proměnnou s parametrem (nebo průměrem) ${\ Displaystyle \ textstyle N (t+h) -N (t)}$

${\ Displaystyle E [N (t+h) -N (t)] = \ int _ {t}^{t+h} \ lambda (s) \, ds,}$

což znamená

${\ Displaystyle E [N (h)] = \ int _ {0}^{h} \ lambda (s) \, ds.}$

Prostorový Poissonův proces

Nehomogenní Poissonův proces definovaný v rovině se nazývá prostorový Poissonův proces Je definován pomocí funkce intenzity a jeho míra intenzity je získána provedením povrchového integrálu jeho funkce intenzity v nějaké oblasti. Například jeho funkce intenzity (jako funkce kartézských souřadnic a ) může být ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{2}}$${\ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle y}$

${\ Displaystyle \ lambda (x, y) = e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

takže odpovídající míra intenzity je dána povrchovým integrálem

${\ Displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} e^{-(x^{2}+y^{2})} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y, }$

kde je v rovině nějaká ohraničená oblast . ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^{2}}$

Ve vyšších dimenzích

V rovině odpovídá povrchovému integrálu, zatímco v integrálu se stane ( -dimenzionálním) objemovým integrálem. ${\ textstyle \ Lambda (B)}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^{d}}$${\ textstyle d}$

Aplikace

Když je skutečná čára interpretována jako čas, nehomogenní proces se používá v oblastech procesů počítání a v teorii front. Mezi příklady jevů, které byly reprezentovány nebo se jeví jako nehomogenní Poissonův bodový proces, patří:

• Góly padající ve fotbale.
• Vady na desce s obvody

V rovině je Poissonův bodový proces důležitý v souvisejících disciplínách stochastické geometrie a prostorové statistiky. Míra intenzity tohoto bodového procesu závisí na umístění základního prostoru, což znamená, že jej lze použít k modelování jevů s hustotou, která se v určité oblasti mění. Jinými slovy, jevy mohou být reprezentovány jako body, které mají hustotu závislou na poloze. Tento proces byl použit v různých disciplínách a využití zahrnuje studium lososa a mořských vší v oceánech, lesnictví a problémy s hledáním.

Interpretace funkce intenzity

Funkce Poissonovy intenzity má interpretaci, považovanou za intuitivní, s objemovým prvkem v infinitezimálním smyslu: je nekonečně malá pravděpodobnost bodu procesu Poissonova bodu existujícího v oblasti prostoru s objemem umístěným na . ${\ textstyle \ lambda (x)}$${\ textstyle \ mathrm {d} x}$${\ textstyle \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x}$${\ textstyle \ mathrm {d} x}$${\ textstyle x}$

Například při homogenním Poissonově bodovém procesu na skutečné přímce je pravděpodobnost nalezení jediného bodu procesu v malém intervalu šířky přibližně . Ve skutečnosti je taková intuice tím, jak se někdy zavádí Poissonův bodový proces a odvozuje se jeho distribuce. ${\ textstyle \ delta}$${\ textstyle \ lambda \ delta}$

Jednoduchý bodový proces

Pokud má Poissonův bodový proces míru intenzity, která je lokálně konečná a difúzní (nebo neatomická), pak jde o jednoduchý bodový proces . Pro jednoduchý bodový proces je pravděpodobnost bodu existujícího v jednom bodě nebo místě v podkladovém (stavovém) prostoru buď nula nebo jedna. To znamená, že s pravděpodobností jeden se žádné dva (nebo více) bodů Poissonova bodového procesu neshodují v umístění v základním prostoru.

Simulace

Simulace Poissonova bodového procesu na počítači se obvykle provádí v ohraničené oblasti prostoru, známé jako simulační okno , a vyžaduje dva kroky: vhodné vytvoření náhodného počtu bodů a následné vhodné umístění bodů náhodným způsobem. Oba tyto dva kroky závisí na konkrétním Poissonově bodovém procesu, který se simuluje.

Krok 1: Počet bodů

Počet bodů v okně, označený zde , je třeba simulovat, což se provádí pomocí funkce (pseudo)- generování náhodných čísel schopných simulovat Poissonovy náhodné proměnné. ${\ textstyle N}$${\ textstyle W}$

Homogenní případ

Pro homogenní případ s konstantou je průměr Poissonovy náhodné proměnné nastaven na hodnotu kde je délka, plocha nebo ( -dimenzionální) objem . ${\ textstyle \ lambda}$${\ textstyle N}$${\ textstyle \ lambda | W |}$${\ textstyle | W |}$${\ textstyle d}$${\ textstyle W}$

Nehomogenní případ

Pro nehomogenní případ se nahradí integrálem ( -dimenzionálního) objemu ${\ textstyle \ lambda | W |}$${\ textstyle d}$

${\ Displaystyle \ Lambda (W) = \ int _ {W} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x}$

Krok 2: Umístění bodů

Druhá fáze vyžaduje náhodné umístění bodů do okna . ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle W}$

Homogenní případ

Pro homogenní případ v jedné dimenzi jsou všechny body rovnoměrně a nezávisle umístěny v okně nebo intervalu . U vyšších dimenzí v kartézském souřadnicovém systému je každá souřadnice umístěna v okně rovnoměrně a nezávisle . Pokud okno není podprostorem karteziánského prostoru (například uvnitř jednotkové sféry nebo na povrchu jednotkové sféry), pak body nebudou umístěny rovnoměrně a je zapotřebí vhodná změna souřadnic (z karteziánské). ${\ displaystyle \ textstyle W}$${\ displaystyle \ textstyle W}$${\ displaystyle \ textstyle W}$

Nehomogenní případ

Pro nehomogenní případ lze použít několik různých metod v závislosti na povaze funkce intenzity . Pokud je funkce intenzity dostatečně jednoduchá, lze generovat nezávislé a náhodné nejednotné (karteziánské nebo jiné) souřadnice bodů. Například simulaci Poissonova bodového procesu na kruhovém okně lze provést pro funkci izotropní intenzity (v polárních souřadnicích a ), což znamená, že je rotačně variantní nebo nezávislá, ale závislá na , změnou proměnné, pokud je funkce intenzity dostatečně jednoduché. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle r}$

U složitějších funkcí intenzity lze použít metodu přijetí-odmítnutí , která spočívá v tom, že použijete (nebo „přijmete“) pouze určité náhodné body a nevyužijete (nebo „odmítnete“) ostatní body na základě poměru:

${\ Displaystyle {\ frac {\ lambda (x_ {i})} {\ Lambda (W)}} = {\ frac {\ lambda (x_ {i})} {\ int _ {W} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x.}}}$

kde je zvažovaný bod pro přijetí nebo odmítnutí. ${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$

Obecný Poissonův bodový proces

Poissonův bodový proces lze dále zobecnit na to, co je někdy známé jako obecný Poissonův bodový proces nebo obecný Poissonův proces pomocí radonové míry , což je lokálně konečná míra. Obecně může být tato radonová míra atomová, což znamená, že na stejném místě základního prostoru může existovat více bodů Poissonova bodového procesu. V této situaci je počet bodů v Poissonově náhodné proměnné s průměrem . Někdy se ale předpokládá opak, takže radonová míra je difúzní nebo neatomická. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda ({x})}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Bodový proces je obecný Poissonův bodový proces s intenzitou, pokud má dvě následující vlastnosti: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

• počet bodů v ohraničené Borelově sadě je Poissonova náhodná proměnná s průměrem . Jinými slovy, označuje celkový počet bodů nacházejících se tím , pak pravděpodobnost náhodné proměnné se rovná je dán vztahem:${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ Displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ Displaystyle P \ {{N} (B) = n \} = {\ frac {(\ Lambda (B))^{n}} {n!}} e^{-\ Lambda (B)}}$

• počet bodů v disjunktních Borelských množinách tvoří nezávislé náhodné proměnné.${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

Radonova míra si zachovává svoji předchozí interpretaci očekávaného počtu bodů umístěných v ohraničené oblasti , konkrétně ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ Displaystyle \ Lambda (B) = E [{N} (B)].}$

Kromě toho, pokud je absolutně spojitý, takže má hustotu (což je hustota Radon -Nikodym nebo jeho derivát) s ohledem na Lebesgueovu míru, pak pro všechny Borelovy sady lze zapsat jako: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ Displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x,}$

kde je hustota známá mimo jiné jako funkce intenzity. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$

Dějiny

Poissonova distribuce

Přes svůj název nebyl Poissonův bodový proces objeven ani studován francouzským matematikem Siméonem Denisem Poissonem ; jméno je uvedeno jako příklad Stiglerova zákona . Název pochází z jeho inherentního vztahu k Poissonově distribuci , odvozené Poissonem jako omezující případ binomické distribuce . To popisuje pravděpodobnost součtu Bernoulliho pokusů s pravděpodobností , často přirovnávanou k počtu hlav (nebo ocásků) po zkresleném otočení mince s pravděpodobností výskytu hlavy (nebo ocasu) . U nějaké kladné konstanty , jak se zvyšuje směrem k nekonečnu a klesá k nule, takže produkt je fixní, Poissonova distribuce se blíže blíží binomické. ${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ Displaystyle \ textstyle np = \ Lambda}$

Poissonův odvozený Poissonovo rozdělení, publikované v roce 1841, zkoumáním binomické rozdělení v limitu z (na nulu) a (až nekonečno). V celé Poissonově práci se objevuje pouze jednou a výsledek nebyl v jeho době dobře znám. V následujících letech distribuci používalo několik lidí, aniž by citovali Poissona, včetně Philipp Ludwig von Seidel a Ernst Abbe . Na konci 19. století by Ladislaus Bortkiewicz znovu studoval distribuci v jiném prostředí (cituje Poissona) a pomocí distribuce se skutečnými daty studoval počet úmrtí na koňské kopy v pruské armádě . ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

Objev

Existuje řada nároků na raná použití nebo objevy Poissonova bodového procesu. Například John Michell v roce 1767, deset let před narozením Poissona, se zajímal o pravděpodobnost, že se hvězda nachází v určité oblasti jiné hvězdy za předpokladu, že hvězdy byly „rozptýleny pouhou náhodou“, a studoval příklad sestávající z šest nejjasnějších hvězd v Plejádách , bez odvození Poissonova rozdělení. Tato práce inspirovala Simona Newcomba ke studiu problému a k výpočtu Poissonova rozdělení jako aproximace binomického rozdělení v roce 1860.

Na počátku 20. století by Poissonův proces (v jedné dimenzi) vznikl nezávisle v různých situacích. Ve Švédsku 1903 publikoval Filip Lundberg práci obsahující práci, nyní považovanou za zásadní a průkopnickou, kde navrhl modelovat pojistné události homogenním Poissonovým procesem.

V Dánsku v roce 1909 došlo k dalšímu objevu, když AK Erlang odvodil Poissonovu distribuci při vývoji matematického modelu pro počet příchozích telefonních hovorů v konečném časovém intervalu. Erlang v té době nevěděl o Poissonově dřívější práci a předpokládal, že počet telefonních hovorů přicházejících v každém časovém intervalu byl na sobě nezávislý. Poté našel omezující případ, který účinně přepracovává Poissonovu distribuci jako limit binomického rozdělení.

V roce 1910 Ernest Rutherford a Hans Geiger publikovali experimentální výsledky o počítání částic alfa. Jejich experimentální práce měla matematické příspěvky od Harryho Batemana , který odvodil Poissonovy pravděpodobnosti jako řešení rodiny diferenciálních rovnic, ačkoli řešení bylo odvozeno dříve, což vedlo k nezávislému objevu Poissonova procesu. Po této době došlo k mnoha studiím a aplikacím Poissonova procesu, ale jeho raná historie je komplikovaná, což bylo vysvětleno různými aplikacemi procesu v mnoha oblastech biology, ekology, inženýry a různými fyzikálními vědci.

Rané aplikace

Roky po roce 1909 vedly k řadě studií a aplikací Poissonova bodového procesu, nicméně jeho raná historie je složitá, což bylo vysvětleno různými aplikacemi procesu v mnoha oblastech biology , ekology, inženýry a dalšími pracujícími v že fyzikální vědy . Počáteční výsledky byly publikovány v různých jazycích a v různých prostředích, bez použití standardní terminologie a zápisu. Například v roce 1922 švédský chemik a laureát Nobelovy ceny Theodor Svedberg navrhl model, ve kterém je prostorový Poissonův bodový proces základním procesem ke studiu distribuce rostlin v rostlinných společenstvech. Řada matematiků začala tento proces studovat na počátku třicátých let minulého století a důležitým způsobem přispěli mimo jiné Andrey Kolmogorov , William Feller a Aleksandr Khinchin . V oblasti teletraffic engineeringu matematici a statistici studovali a používali Poissonovy a další bodové procesy.

Historie termínů

Švéd Conny Palm ve své disertační práci z roku 1943 studoval Poissonovy a další bodové procesy v jednorozměrném prostředí tím, že je zkoumal z hlediska statistické nebo stochastické závislosti mezi body v čase. V jeho díle existuje první známé zaznamenané použití výrazu bodové procesy jako Punktprozesse v němčině.

Předpokládá se, že William Feller byl první v tisku, který to v dokumentu z roku 1940 označil jako Poissonův proces . Ačkoli Švéd Ove Lundberg použil termín Poissonův proces ve své disertační práci z roku 1940, ve které byl Feller uznán jako vliv, bylo prohlašováno, že Feller razil termín před rokem 1940. Bylo poznamenáno, že Feller i Lundberg používali termín jako ačkoli to bylo dobře známé, znamenalo to, že do té doby to už bylo mluvené. Feller působil od roku 1936 do roku 1939 po boku Haralda Craméra na Stockholmské univerzitě , kde byl Lundberg doktorandem u Craméra, který v knize od něj nepoužíval výraz Poissonův proces , skončil v roce 1936, ale dělal to v dalších vydáních, což vedlo k jeho spekulace, že termín Poissonův proces byl vytvořen někdy mezi lety 1936 a 1939 na Stockholmské univerzitě.

Terminologie

Terminologie teorie bodových procesů obecně byla kritizována za příliš různorodou. Kromě toho, že se často vynechává slovo bod , se homogenní Poissonův (bodový) proces nazývá také stacionární Poissonův (bodový) proces, stejně jako jednotný Poissonův (bodový) proces. Nehomogenní Poissonův bodový proces, stejně jako se nazývá nehomogenní , je také označován jako nestacionární Poissonův proces.

Pojem bodový proces byl kritizován, protože termín proces může naznačovat v čase a prostoru, takže náhodné bodové pole , což má za následek, že se také používají termíny Poissonovo náhodné bodové pole nebo Poissonovo bodové pole . Bodový proces je považován za náhodný způsob počítání, někdy se mu také říká, proto je bodový proces Poisson také označován jako Poissonův náhodný ukazatel , termín používaný při studiu Lévyho procesu, ale někteří se rozhodnou použít tyto dva termíny pro Poissona. bodové procesy definované na dvou různých podkladových prostorech.

Základní matematický prostor Poissonova bodového procesu se nazývá nosný prostor nebo stavový prostor , ačkoli druhý termín má v kontextu stochastických procesů jiný význam. V kontextu bodových procesů může termín "stavový prostor" znamenat prostor, na kterém je definován bodový proces, jako je skutečná čára, která odpovídá sadě indexů nebo sad parametrů v terminologii stochastických procesů.

Míra se nazývá míra intenzity , střední míra nebo parametrová míra , protože neexistují žádné standardní termíny. Pokud má derivát nebo hustotu, označenou , se nazývá funkce intenzity Poissonova bodového procesu. Pro homogenní proces Poissonova bodu je derivace míry intenzity jednoduše konstanta , kterou lze označit jako rychlost , obvykle když je podkladovým prostorem skutečná čára nebo intenzita . Nazývá se také střední rychlost nebo střední hustota nebo rychlost . U , odpovídající proces je někdy označován jako standardní Poissonova (bod) procesu. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda = 1}$

Rozsah Poissonova bodového procesu se někdy nazývá expozice .

Zápis

Notace procesu Poissonova bodu závisí na jeho nastavení a oblasti, kterou je aplikován. Například, na reálné ose je Poissonův proces, a to jak homogenní nebo nehomogenní, je někdy interpretován jako proces počítání a zápis se používá reprezentovat Poissonův proces. ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$

Dalším důvodem pro různé zápisy je teorie bodových procesů, která má několik matematických interpretací. Například jednoduchý Poissonův bodový proces může být považován za náhodnou množinu, která naznačuje notaci , což znamená, že jde o náhodný bod, který patří nebo je prvkem Poissonova bodového procesu . Další, obecnější, interpretace je považovat Poissonův nebo jakýkoli jiný bodový proces za měřítko náhodného počítání, takže lze zapsat počet bodů Poissonova bodového procesu, který se nachází nebo nachází v nějaké (Borelově měřitelné) oblasti jako , což je náhodná proměnná. Tyto různé interpretace vedou k tomu, že se zápis používá z matematických oborů, jako je teorie měr a teorie množin. ${\ displaystyle \ textstyle x \ in {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$

Pro obecné bodových procesů, někdy index na symbol bodu, například , je součástí, takže jeden zápisů (s nastavenou notaci) místo , a mohou být použity pro fiktivní proměnné v integrální výrazy jako Campbella teorém, namísto označující náhodných bodů . Někdy velká písmena označují bodový proces, zatímco malá písmena označují bod z procesu, takže například bod nebo patří k nebo je bodem bodového procesu a zapisují se nastaveným zápisem jako nebo . ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ v {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x \ in {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle X}$${\ displaystyle \ textstyle x \ in X}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ v X}$

Kromě toho lze teorii množin a notaci integrálu nebo teorie míry použít zaměnitelně. Například pro bodový proces definovaný v euklidovském stavovém prostoru a (měřitelné) funkci na výraz ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle {{\ textbf {R}}^{d}}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$

${\ Displaystyle \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} f (x) \, \ mathrm {d} N (x) = \ sum \ limits _ {x_ {i} \ v N} f (x_ {i}),}$

ukazuje dva různé způsoby, jak napsat součet přes bodový proces (viz také Campbellova věta (pravděpodobnost) ). Přesněji řečeno, integrální zápis na levé straně interpretuje bodový proces jako míru náhodného počítání, zatímco součet na pravé straně naznačuje interpretaci náhodných množin.

Funkcionality a momentová opatření

V teorii pravděpodobnosti jsou operace aplikovány na náhodné veličiny pro různé účely. Někdy jsou tyto operace pravidelnými očekáváními, která vytvářejí průměr nebo rozptyl náhodné proměnné. Jiné, například charakteristické funkce (nebo Laplaceovy transformace) náhodné proměnné, lze použít k jedinečné identifikaci nebo charakterizaci náhodných proměnných a k prokázání výsledků, jako je centrální věta o limitu. V teorii bodových procesů existují analogické matematické nástroje, které obvykle existují ve formách taktů a funkcionálů namísto momentů a funkcí.

Laplaceovy funkcionály

Pro Poissonův bodový proces s měřením intenzity je Laplaceova funkce dána vztahem: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle L_ {N} (f) = e^{-\ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} (1-e^{-f (x)}) \ Lambda (\ mathrm { d} x)},}$

${\ Displaystyle L_ {N} (f) = e^{-\ lambda \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} (1-e^{-f (x)}) \, \ mathrm {d} x}.}$

Jedna verze Campbellovy věty zahrnuje Laplaceovu funkci Poissonova bodového procesu.

Funkcionality generující pravděpodobnost

Funkce generování pravděpodobnosti nezáporných náhodná proměnná vede celé číslo s hodnotou pravděpodobnosti generující funkční jsou definovány analogicky s ohledem na jakékoliv nezáporné omezená funkce na taková, že . Pro bodový proces je funkce generující pravděpodobnost definována jako: ${\ displaystyle \ textstyle v}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ Displaystyle \ textstyle 0 \ leq v (x) \ leq 1}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

${\ Displaystyle G (v) = E \ left [\ prod _ {x \ in N} v (x) \ right]}$

kde se produkt provádí pro všechny body v . V případě, že míra intenzity z lokálně konečný, pak je dobře definován pro jakékoliv měřitelné funkci na . Pro Poissonův bodový proces s měřením intenzity je generující funkce dána vztahem: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle G}$${\ displaystyle \ textstyle u}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle G (v) = e^{-\ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} [1-v (x)] \, \ Lambda (\ mathrm {d} x)}, }$

který se v homogenním případě zmenší na

${\ Displaystyle G (v) = e^{-\ lambda \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} [1-v (x)] \, \ mathrm {d} x}.}$

Měření momentu

Pro obecný Poissonův bodový proces s měřením intenzity je prvním momentem jeho intenzita: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle M^{1} (B) = \ Lambda (B),}$

což pro homogenní Poissonův bodový proces s konstantní intenzitou znamená: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

${\ Displaystyle M^{1} (B) = \ lambda | B |,}$

kde je délka, plocha nebo objem (nebo obecněji Lebesgueova míra ) . ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

Meckeho rovnice

Poeckonův bodový proces charakterizuje Meckova rovnice. Nechť je prostor všech -konečných opatření na nějakém obecném prostoru . Bodový proces s intenzitou o Je to proces Poisson bodu tehdy a jen tehdy, pokud pro všechny měřitelné funkce má následující ${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {\ sigma}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ Displaystyle f: {\ mathcal {Q}} \ times \ mathbb {N} _ {\ sigma} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [\ int f (x, \ eta) \ eta (\ mathrm {d} x) \ right] = \ int \ operatorname {E} \ left [f (x, \ eta +\ delta _ {x}) \ vpravo] \ lambda (\ mathrm {d} x)}$

Další podrobnosti viz.

Měření faktoriálního momentu

Pro obecný Poissonův bodový proces s mírou intenzity je -th faktoriální momentová míra dána výrazem: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ Displaystyle M^{(n)} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ prod _ {i = 1}^{n} [\ Lambda (B_ {i})], }$

kde je míra intenzity nebo první momentová míra , která je pro některou Borelovu množinu dána vztahem ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ Displaystyle \ Lambda (B) = M^{1} (B) = E [N (B)].}$

Pro homogenní Poissonův bodový proces je -th faktoriální momentové opatření jednoduše: ${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ Displaystyle M^{(n)} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ lambda^{n} \ prod _ {i = 1}^{n} | B_ {i} |,}$

kde je délka, plocha nebo objem (nebo obecněji Lebesgueova míra ) . Kromě toho tého hustota faktoriál moment je: ${\ displaystyle \ textstyle | B_ {i} |}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ Displaystyle \ mu ^{(n)} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lambda ^{n}.}$

Funkce vyhýbání se

Funkce vyhýbání nebo neplatné pravděpodobnost procesu bodu je definována ve vztahu k nějakému souboru , který je podmnožinou základní prostoru , jako pravděpodobnost, bez bodů existující v . Přesněji, pro testovací sadu je funkce vyhýbání dána vztahem: ${\ displaystyle \ textstyle v}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ Displaystyle v (B) = P ({N} (B) = 0).}$

Pro obecný Poissonův bodový proces s měřením intenzity je jeho vyhýbací funkce dána vztahem: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle v (B) = e^{-\ Lambda (B)}}$

Rényiho věta

Jednoduché bodové procesy jsou zcela charakterizovány jejich prázdnými pravděpodobnostmi. Jinými slovy, úplné informace o jednoduchém bodovém procesu jsou zachyceny zcela v jeho prázdných pravděpodobnostech a dva jednoduché bodové procesy mají stejné neplatné pravděpodobnosti, pokud a pouze pokud jsou to stejné bodové procesy. Případ pro Poissonův proces je někdy znám jako Rényiho věta , která je pojmenována po Alfrédovi Rényim, který objevil výsledek pro případ homogenního bodového procesu v jednorozměrné.

V jedné formě tohoto Rényi teorém říká, že pro difuzní (nebo non-atomový) Radon opatření na a množina je konečná sjednocením obdélníků (tedy ne Borel), že pokud je počitatelné podmnožina takové, že: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle A}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$

${\ Displaystyle P ({N} (A) = 0) = v (A) = e^{-\ Lambda (A)}}$

potom je Poissonův bodový proces s měřením intenzity . ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Operace bodového procesu

Na bodových procesech lze provádět matematické operace, abychom získali nové bodové procesy a vyvinuli nové matematické modely pro umístění určitých objektů. Jeden příklad operace je známý jako ztenčení, které zahrnuje odstranění nebo odebrání bodů některého bodového procesu podle pravidla, vytvoření nového postupu se zbývajícími body (odstraněné body také tvoří bodový proces).

Ředění

U Poissonova procesu mají operace nezávislého ředění za následek další Poissonův bodový proces. Přesněji řečeno, operace -tenčení aplikovaná na Poissonův bodový proces s měřením intenzity dává bodový proces odstraněných bodů, což je také Poissonův bodový proces s měřením intenzity , který je pro ohraničenou Borelovu množinu dán: ${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {p}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {p}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ Displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} p (x) \, \ Lambda (\ mathrm {d} x)}$

Tento ztenčující se výsledek Poissonova bodového procesu je někdy znám jako Prekopova věta . Kromě toho, po náhodném ztenčení Poissonova bodového procesu, udržované nebo zbývající body také tvoří Poissonův bodový proces, který má míru intenzity

${\ Displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} (1-p (x)) \, \ Lambda (\ mathrm {d} x).}$

Dva oddělené Poissonovy bodové procesy vytvořené z odstraněných a udržovaných bodů jsou na sobě navzájem stochasticky nezávislé. Jinými slovy, pokud je známo, že oblast obsahuje udržované body (z původního Poissonova bodového procesu), pak to nebude mít žádný vliv na náhodný počet odstraněných bodů ve stejné oblasti. Tato schopnost náhodně vytvářet dva nezávislé Poissonovy bodové procesy z jednoho je někdy známá jako rozdělení Poissonova bodového procesu. ${\ displaystyle \ textstyle n}$

Superpozice

Pokud existuje počitatelná sbírka bodových procesů , pak jejich superpozice, nebo, v jazyce teorie množin, jejich sjednocení, které je ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$

${\ displaystyle {N} = \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} {N} _ {i},}$

také tvoří bodový proces. Jinými slovy, všechny body umístěné v kterémkoli z bodových procesů budou také umístěny v superpozici těchto bodových procesů . ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

Superpoziční věta

Princip superpozice procesu Poissonova bodového říká, že superpozice nezávislých bodových procesů Poisson s průměrnými opatření bude také bod proces Poisson s průměrnou míru ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$${\ Displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2}, \ dots}$

${\ Displaystyle \ Lambda = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ Lambda _ {i}.}$

Jinými slovy, spojení dvou (nebo počítatelně více) Poissonových procesů je dalším Poissonovým procesem. Pokud je bod odebrán z počitatelné unie Poissonových procesů, pak pravděpodobnost, že bod patří do th Poissonova procesu, je dána vztahem: ${\ textstyle x}$${\ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ textstyle j}$${\ textstyle N_ {j}}$

${\ Displaystyle P (x \ in N_ {j}) = {\ frac {\ Lambda _ {j}} {\ sum _ {i = 1}^{n} \ Lambda _ {i}}}.}$

U dvou homogenních Poissonových procesů s intenzitami se dva předchozí výrazy zmenší na ${\ textstyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ dots}$

${\ Displaystyle \ lambda = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ lambda _ {i},}$

a

${\ Displaystyle P (x \ in {N} _ {j}) = {\ frac {\ lambda _ {j}} {\ sum _ {i = 1}^{n} \ lambda _ {i}}}. }$

Shlukování

Klastrování operací se provádí, když je každý bod nějakého bodového procesu nahrazen jiným (možná odlišným) bodovým procesem. Pokud je původní proces Poissonovým bodovým procesem, pak se výsledný proces nazývá Poissonův klastrový bodový proces. ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {c}}$

Náhodné posunutí

Matematický model může vyžadovat náhodně se pohybující body bodového procesu na jiná místa v základním matematickém prostoru, což vede k operaci bodového procesu známému jako posunutí nebo translace. Poissonův bodový proces byl použit k modelování například pohybu rostlin mezi generacemi díky teorémě o posunu, která volně říká, že náhodné nezávislé posunutí bodů procesu Poissonova bodu (na stejném podkladovém prostoru) tvoří další Poissonův bodový proces.

Vytěsňovací věta

Jedna verze posuvného teorému zahrnuje proces Poisson bod na s funkcí intenzity . Potom se předpokládá, že body jsou náhodně posunuty někam jinam, takže posunutí každého bodu je nezávislé a že posunutí bodu dříve v je náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti . Pak je nový bodový proces také Poissonovým bodovým procesem s funkcí intenzity ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ Displaystyle \ textstyle \ rho (x, \ cdot)}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {D}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ int _ {{\ textbf {R}}^{d}} \ lambda (x) \ rho (x, y) \, \ mathrm {d} x. }$

Pokud je Poissonův proces homogenní a je -li funkcí , pak ${\ Displaystyle \ textstyle \ lambda (x) = \ lambda> 0}$${\ Displaystyle \ rho (x, y)}$${\ displaystyle yx}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ lambda.}$

Jinými slovy, po každém náhodném a nezávislém posunutí bodů stále existuje původní Poissonův bodový proces.

Posunovací větu lze rozšířit tak, že Poissonovy body jsou náhodně přemístěny z jednoho euklidovského prostoru do jiného euklidovského prostoru , kde se nemusí nutně rovnat . ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d '}}$${\ Displaystyle \ textstyle d '\ geq 1}$${\ displaystyle \ textstyle d}$

Mapování

Další užitečnou vlastností je schopnost mapovat Poissonův bodový proces z jednoho podkladového prostoru do jiného prostoru.

Mapovací věta

Pokud mapování (nebo transformace) dodržuje nějaké podmínky, pak výsledná mapovaná (nebo transformovaná) sbírka bodů také tvoří Poissonův bodový proces a tento výsledek je někdy označován jako mapovací věta . Věta zahrnuje nějaký Poissonův bodový proces se střední mírou v nějakém podkladovém prostoru. Pokud jsou místa bodů mapována (to znamená, že bodový proces je transformován) podle nějaké funkce do jiného podkladového prostoru, pak je výsledný bodový proces také Poissonovým bodovým procesem, ale s jinou střední mírou . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$

Konkrétněji lze uvažovat o (Borelově měřitelné) funkci, která mapuje bodový proces s měřením intenzity z jednoho prostoru do jiného prostoru takovým způsobem, že nový bodový proces má míru intenzity: ${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle S}$${\ displaystyle \ textstyle T}$${\ displaystyle \ textstyle {N} '}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) '= \ Lambda (f^{-1} (B))}$

bez atomů, kde je Borelova množina a označuje inverzní funkci . Pokud je to Poissonův bodový proces, pak je nový proces také Poissonovým bodovým procesem s mírou intenzity . ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle f^{-1}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N} '}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$

Aproximace s Poissonovými bodovými procesy

Traktabilita Poissonova procesu znamená, že někdy je vhodné aproximovat nepoissonský bodový proces s Poissonovým. Celkovým cílem je přiblížit jak počet bodů nějakého bodového procesu, tak polohu každého bodu Poissonovým bodovým procesem. Existuje řada metod, které lze použít k neformálnímu nebo důslednému ospravedlnění výskytu náhodných událostí nebo jevů pomocí vhodných Poissonových bodových procesů. Přísnější metody zahrnují odvození horních hranic metrik pravděpodobnosti mezi Poissonovými a non-Poissonovými bodovými procesy, zatímco jiné metody lze odůvodnit méně formální heuristikou.

Heuristická shlukování

Jedna metoda sbližování náhodných událostí nebo jevů s Poissonovými procesy se nazývá shlukující heuristika . Obecná heuristika nebo princip zahrnuje použití Poissonova bodového procesu (nebo Poissonova distribuce) k aproximaci událostí, které jsou považovány za vzácné nebo nepravděpodobné, nějakého stochastického procesu. V některých případech jsou tyto vzácné události téměř nezávislé, proto lze použít Poissonův bodový proces. Pokud události nejsou nezávislé, ale obvykle se vyskytují ve shlucích nebo shlucích , pak pokud jsou tyto shluky vhodně definovány tak, že jsou na sobě přibližně nezávislé, pak počet shluků, které se vyskytnou, bude blízký Poissonově náhodné proměnné a místům shluků bude blízko Poissonova procesu.

Steinova metoda

Steinova metoda je matematická technika původně vyvinutá pro sbližování náhodných proměnných, jako jsou Gaussovy a Poissonovy proměnné, která byla také použita pro bodové procesy. Steinovu metodu lze použít k odvození horních hranic metrik pravděpodobnosti , které dávají cestu ke kvantifikaci toho, jak se různé dva náhodné matematické objekty stochasticky liší. Byly odvozeny horní hranice metrik pravděpodobnosti, jako jsou celkové variace a Wassersteinova vzdálenost .

Vědci aplikovali Steinovu metodu na Poissonovy bodové procesy mnoha způsoby, například pomocí Palmového počtu . Techniky založené na Steinově metodě byly vyvinuty tak, aby do horních mezí zohledňovaly účinky určitých operací bodových procesů, jako je ředění a superpozice. Steinova metoda byla také použita k odvození horních mezí metrik Poissona a dalších procesů, jako je Coxův bodový proces , což je Poissonův proces s měřením náhodné intenzity.

Konvergence k Poissonovu bodovému procesu

Obecně platí, že když je operace použita na obecný bodový proces, výsledný proces obvykle není Poissonovým bodovým procesem. Například pokud má bodový proces, jiný než Poissonův, své body náhodně a nezávisle posunuté, pak by tento proces nemusel být nutně Poissonovým bodovým procesem. Za určitých matematických podmínek jak pro původní bodový proces, tak pro náhodné posunutí se však pomocí limitních vět ukázalo, že pokud jsou body bodového procesu opakovaně posunuty náhodným a nezávislým způsobem, pak konečné rozdělení bodu proces bude konvergovat (slabě) k procesu Poissonova bodu.

Podobné konvergenční výsledky byly vyvinuty pro operace ředění a superpozice, které ukazují, že takové opakované operace na bodových procesech mohou za určitých podmínek vést ke konvergenci procesu k Poissonovým bodovým procesům za předpokladu vhodného převýšení měřítka intenzity (jinak hodnoty míra intenzity výsledných bodových procesů by se blížila nule nebo nekonečnu). Tato konvergenční práce přímo souvisí s výsledky známými jako Palm -Khinchinovy ​​rovnice, které mají svůj původ v práci Connyho Palma a Aleksandra Khinchina , a pomáhá vysvětlit, proč lze Poissonův proces často použít jako matematický model různých náhodných jevů .

Zobecnění Poissonových bodových procesů

Poissonův bodový proces lze zobecnit například změnou míry jeho intenzity nebo definováním obecnějších matematických prostorů. Tato zobecnění lze studovat matematicky a také je použít k matematickému modelování nebo reprezentaci fyzikálních jevů.

Náhodná opatření Poissonova typu

K Poissonova typu náhodné opatření (PT) jsou rodina tří náhodných počítání opatření, které jsou uzavřené v rámci omezení na podprostoru, tedy uzavřené pod bod Způsob provozu # Ředění . Tato náhodná opatření jsou příklady smíšeného binomického procesu a sdílejí vlastnost distribuční vlastní podobnosti Poissonova náhodného měřítka . Jsou jedinými členy kanonické řady distribucí nezáporných mocninných distribucí, které mají tuto vlastnost a zahrnují Poissonovo rozdělení , negativní binomické rozdělení a binomické rozdělení . Poissonova náhodná míra je nezávislá na disjunktních podprostorech, zatímco ostatní PT náhodná opatření (negativní binomické a binomické) mají pozitivní a negativní kovarianci. Náhodná opatření PT jsou diskutována a zahrnují Poissonovu náhodnou míru , negativní binomickou náhodnou míru a binomickou náhodnou míru.

Poissonovy bodové procesy na obecnějších prostorech

U matematických modelů je Poissonův bodový proces často definován v euklidovském prostoru, ale byl zobecněn na více abstraktních prostorů a hraje zásadní roli při studiu náhodných měr, což vyžaduje pochopení matematických oborů, jako je teorie pravděpodobnosti, teorie opatření a topologie .

Obecně platí, že koncept vzdálenosti má pro aplikace praktický význam, zatímco pro distribuce Palm je zapotřebí topologická struktura, což znamená, že bodové procesy jsou obvykle definovány v matematických prostorech pomocí metrik. Realizaci bodového procesu lze dále považovat za počítání, takže bodové procesy jsou typy náhodných měr známých jako náhodná počítání. V této souvislosti byly Poissonovy a další bodové procesy studovány na lokálně kompaktním druhém počítatelném Hausdorffově prostoru.

Cox bodový proces

Proces bod Cox , Cox proces nebo dvojnásobně stochastické Poissonův proces je zobecněním bodu procesu Poissonova podle nechat své opatření intenzity být také náhodná a nezávislé na podkladové Poissonova procesu. Tento proces je pojmenován po Davidu Coxovi, který jej zavedl v roce 1955, ačkoli jiné Poissonovy procesy s náhodnými intenzitami byly dříve nezávisle zavedeny Lucienem Le Camem a Maurice Quenouillem. Měřítkem intenzity může být realizace náhodné veličiny nebo náhodného pole. Pokud je například logaritmus míry intenzity gaussovské náhodné pole , pak je výsledný proces známý jako log Gaussova Coxova procesu . Obecněji je míra intenzity realizací nezáporného lokálně konečného náhodného opatření. Coxové bodové procesy vykazují shlukování bodů, které lze matematicky ukázat jako větší než u Poissonových bodových procesů. Obecnost a sledovatelnost procesů Cox vedla k tomu, že byly použity jako modely v oblastech, jako jsou prostorové statistiky a bezdrátové sítě. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Označený Poissonův bodový proces

Pro daný bodový proces může mít každý náhodný bod bodového procesu náhodně přiřazený náhodný matematický objekt, známý jako značka . Tyto značky mohou být stejně rozmanité jako celá čísla, reálná čísla, čáry, geometrické objekty nebo jiné bodové procesy. Dvojice skládající se z bodu bodového procesu a jeho odpovídající značky se nazývá označený bod a všechny označené body tvoří označený bodový proces . Často se předpokládá, že náhodné značky jsou na sobě nezávislé a identicky rozmístěné, přesto značka bodu může stále záviset na umístění jeho odpovídajícího bodu v základním (stavovém) prostoru. Pokud je základním bodovým procesem Poissonův bodový proces, pak výsledný bodový proces je označený Poissonův bodový proces .

Věta o značení

Pokud je na nějakém matematickém prostoru definován obecný bodový proces a na jiném matematickém prostoru jsou definovány náhodné značky, pak je proces označených bodů definován na karteziánském součinu těchto dvou prostorů. U označeného Poissonova bodového procesu s nezávislými a identicky rozloženými značkami značkovací věta uvádí, že tento označený bodový proces je také (neoznačeným) Poissonovým bodovým procesem definovaným na výše uvedeném karteziánském součinu dvou matematických prostorů, což neplatí pro obecné bodové procesy.

Složený Poissonův bodový proces

Sloučenina Poissonův bod Způsob nebo sloučenina Poissonův proces je tvořen přidáním náhodné hodnoty, nebo závaží na každý bod procesu Poissonova bod definovaný na nějaké základní prostoru, takže proces je vytvořeno z označeného procesu bodu Poissonova, kde značky tvoří soubor nezávislých a identicky distribuované nezáporné náhodné proměnné. Jinými slovy, pro každý bod původního Poissonova procesu existuje nezávislá a identicky rozložená nezáporná náhodná proměnná a poté je složený Poissonův proces vytvořen ze součtu všech náhodných proměnných odpovídajících umístěným bodům Poissonova procesu. v nějaké oblasti základního matematického prostoru.

Pokud existuje označený Poissonův bodový proces vytvořený z Poissonova bodového procesu (definovaného například na ) a kolekce nezávislých a identicky rozložených nezáporných značek tak, že pro každý bod Poissonova procesu existuje nezáporný náhodný proměnná , výsledný složený Poissonův proces je pak: ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ {M_ {i} \}}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle M_ {i}}$

${\ Displaystyle C (B) = \ sum _ {i = 1}^{N (B)} M_ {i},}$

kde je Borelova měřitelná množina. ${\ displaystyle \ textstyle B \ subset {\ textbf {R}}^{d}}$

Pokud obecné náhodné proměnné nabývají hodnot například v -dimenzionálním euklidovském prostoru , je výsledný složený Poissonův proces příkladem Lévyho postupu za předpokladu, že je vytvořen z homogenního bodového procesu definovaného na nezáporných číslech . ${\ displaystyle \ textstyle \ {M_ {i} \}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}}^{d}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$

Proces selhání s exponenciálním vyhlazováním funkcí intenzity

Proces selhání s exponenciálním vyhlazováním funkcí intenzity (FP-ESI) je rozšířením nehomogenního Poissonova procesu. Funkce intenzity FP-ESI je exponenciální vyhlazovací funkce intenzitních funkcí v posledních časových bodech výskytu událostí a překonává dalších devět stochastických procesů na 8 sadách dat o selhání v reálném světě, když jsou modely použity tak, aby odpovídaly datovým sadám, kde výkonnost modelu se měří pomocí AIC ( informační kritérium Akaike ) a BIC ( Bayesovské informační kritérium ).

Viz také

• Booleovský model (teorie pravděpodobnosti)
• Teorie perkolace kontinua
• Složený Poissonův proces
• Coxův proces
• Bodový proces
• Stochastická geometrie
• Stochastické geometrické modely bezdrátových sítí
• Markovianské příjezdové procesy

Poznámky

Reference

Charakteristický

Všeobecné

Knihy

• A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26. října 2006). Stochastická geometrie: Přednášky na letní škole CIME konané v Martině France, Itálie, 13. – 18. Září 2004 . Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
• Cox, DR ; Isham, Valerie (1980). Bodové procesy . Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-21910-8.
• Daley, Daryl J .; Vere-Jones, David (2003). Úvod do teorie bodových procesů: Svazek I: Elementární teorie a metody . Springer. ISBN 978-1475781090.
• Daley, Daryl J .; Vere-Jones, David (2007). Úvod do teorie bodových procesů: Svazek II: Obecná teorie a struktura . Springer. ISBN 978-0387213378.
• Kingman, John Frank (1992). Poissonovy procesy . Claredon Press. ISBN 978-0198536932.
• Moller, Jesper; Waagepetersen, Rasmus P. (2003). Statistická inference a simulace pro procesy prostorových bodů . Stiskněte CRC. ISBN 978-1584882657.
• Ross, SM (1996). Stochastické procesy . Wiley. ISBN 978-0-471-12062-9.
• Snyder, DL; Miller, MI (1991). Náhodné bodové procesy v čase a prostoru . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97577-1.
• Stoyan, Dietrich; Kendall, Wilfred S .; Mecke, Joseph (1995). Stochastická geometrie a její aplikace . Wiley. ISBN 978-0471950998.
• Streit, Streit (2010). Procesy Poissonových bodů: zobrazování, sledování a snímání . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1441969224.
• HC Tijms (18. dubna 2003). První kurz stochastických modelů . John Wiley & Sons. s. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.

Články

• Stirzaker, David (2000). „Rada pro ježky nebo konstanty se mohou lišit“. Matematický věstník .
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). „Co se stalo s diskrétním chaosem, Quenouillovým procesem a ostrým Markovovým majetkem? Nějaká historie stochastických bodových procesů“. Mezinárodní statistický přehled .