Poängprocess - Point process

I statistik och sannolikhetsteori är en poängprocess eller ett punktfält en samling matematiska punkter som slumpmässigt ligger på ett matematiskt utrymme som den verkliga linjen eller det euklidiska utrymmet. Punktprocesser kan användas som matematiska modeller av fenomen eller objekt som kan representeras som punkter i någon typ av utrymme.

Det finns olika matematiska tolkningar av en punktprocess, såsom ett slumpmässigt räknemått eller en slumpmässig uppsättning. Vissa författare betraktar en punktprocess och en stokastisk process som två olika objekt, så att en punktprocess är ett slumpmässigt objekt som härrör från eller associeras med en stokastisk process, även om det har påpekats att skillnaden mellan punktprocesser och stokastiska processer inte är tydlig. . Andra betraktar en punktprocess som en stokastisk process, där processen indexeras av uppsättningar av det underliggande utrymmet som den definieras på, såsom den verkliga linjen eller det dimensionella euklidiska utrymmet. Andra stokastiska processer såsom förnyelse och räkningsprocesser studeras i teorin om poängprocesser. Ibland föredras inte ordet "punktprocess", eftersom ordet "process" historiskt betecknade en utveckling av något system i tid, så punktprocess kallas också ett slumpmässigt punktfält. ${\ displaystyle n}$

Punktprocesser är väl studerade objekt i sannolikhetsteorin och föremål för kraftfulla verktyg i statistik för modellering och analys av rumslig data , vilket är av intresse för så olika discipliner som skogsbruk, växtekologi, epidemiologi, geografi, seismologi, materialvetenskap, astronomi, telekommunikation , beräkningsneurovetenskap, ekonomi och andra.

Punktprocesser på den verkliga linjen bildar ett viktigt specialfall som är särskilt mottagligt att studera, eftersom punkterna ordnas på ett naturligt sätt, och hela punktprocessen kan beskrivas fullständigt med (slumpmässiga) intervall mellan punkterna. Dessa poängprocesser används ofta som modeller för slumpmässiga händelser i tid, såsom ankomsten av kunder i en kö ( köteori ), impulser i ett neuron ( beräkningsneurovetenskap ), partiklar i en Geiger-räknare , lokalisering av radiostationer i en telekommunikationsnätverk eller av sökningar på internet .

Allmän poängprocessteori

I matematik, är en punkt process ett slumpmässigt element vars värden är "punktmönster" på en uppsättning S . Medan i den exakta matematiska definitionen ett punktmönster specificeras som ett lokalt ändligt räknemått , är det tillräckligt för mer tillämpade ändamål att tänka på ett punktmönster som en räknbar delmängd av S som inte har några gränspunkter .

Definition

För att definiera allmänna punktprocesser börjar vi med ett sannolikhetsutrymme och ett mätbart utrymme där är ett lokalt kompakt andra räknbart Hausdorff-utrymme och är dess Borel σ-algebra . Tänk nu på ett heltal värderat lokalt ändlig kärna från in i , det vill säga en kartläggning så att: ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$ ${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle \ Omega \ times {\ mathcal {S}} \ mapsto \ mathbb {Z} _ {+}}$

För varje , är en lokalt begränsad åtgärd på . ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ xi (\ omega, \ cdot)}$ ${\ displaystyle S}$
För varje , är en slumpvariabel över . ${\ displaystyle B \ i {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ xi (\ cdot, B): \ Omega \ mapsto \ mathbb {Z} _ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {+}}$

Den här kärnan definierar ett slumpmässigt mått på följande sätt. Vi skulle vilja tänka på att definiera en kartläggning som mappar till ett mått (nämligen ), var är uppsättningen av alla lokalt begränsade åtgärder på . För att göra denna kartläggning mätbar måste vi definiera ett fält över . Detta fält är konstruerat som minimal algebra så att alla utvärderingskartor av formen , där de är relativt kompakta , är mätbara. Utrustad med detta -fält, är då ett slumpmässigt element, där för varje , är ett lokalt begränsat mått över . ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ xi _ {\ omega} \ i {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle \ Omega \ mapsto {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ pi _ {B}: \ mu \ mapsto \ mu (B)}$ ${\ displaystyle B \ i {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ xi _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle S}$

Nu, genom en punkt process på menar vi helt enkelt ett heltal värderad slumpmässig åtgärd (eller ekvivalent, heltalsvärderad kärnan) konstruerad enligt ovan. Det vanligaste exemplet för tillståndsutrymmet S är den euklidiska rymden R ⁿ eller en undergrupp därav, där en särskilt intressant specialfall ges av den verkliga halv-line [0, ∞). Emellertid punktprocesser inte begränsad till dessa exempel och kan bland annat också användas om punkterna själva kompakta undergrupper av R ⁿ , i vilket fall ξ vanligen hänvisas till som en partikelprocess . ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ xi}$

Det har noterats att termen punktprocess inte är särskilt bra om S inte är en delmängd av den verkliga linjen, eftersom det kan föreslå att ξ är en stokastisk process . Termen är emellertid väl etablerad och obestridd även i allmänhet.

Representation

Varje förekomst (eller händelse) av en punktprocess ξ kan representeras som

{\ displaystyle \ xi = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ delta _ {X_ {i}},}

där betecknar diracmått , n är ett heltal värderad slumpvariabel och är slumpmässiga element i S . Om det är nästan säkert distinkt (eller motsvarande, nästan säkert för alla ), är poängprocessen känd som enkel . ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle \ xi (x) \ leq 1}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

Annan annorlunda men användbar representation av en händelse (en händelse i händelse rymden, dvs en serie punkter) är den räkning notation, där varje instans representeras som en funktion, en kontinuerlig funktion som tar heltal värden: : ${\ displaystyle N (t)}$ ${\ displaystyle N: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {Z} ^ {+}}}$

{\ displaystyle N (t_ {1}, t_ {2}) = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ xi (t) dt}

vilket är antalet händelser i observationsintervallet . Det betecknas ibland med och eller betyder . ${\ displaystyle (t_ {1}, t_ {2}]}$ ${\ displaystyle N_ {t_ {1}, t_ {2}}}$ ${\ displaystyle N_ {T}}$ ${\ displaystyle N (T)}$ ${\ displaystyle N_ {0, T}}$

Förväntningsåtgärd

Den förväntningen åtgärd Eξ (även känd som genomsnittlig åtgärd ) för en punkt process ξ är ett mått på S som tilldelar varje Borel delmängd B av S det förväntade antalet platser av ξ i B . Det är,

{\ displaystyle E \ xi (B): = E {\ bigl (} \ xi (B) {\ bigr)} \ quad {\ text {för varje}} B \ i {\ mathcal {B}}.}

Laplace funktionell

Den Laplace funktionell för en punkt process N är en karta från uppsättningen av alla positiva värda funktioner f om läget utrymmet av N , till definieras enligt följande: ${\ displaystyle \ Psi _ {N} (f)}$ ${\ displaystyle [0, \ infty)}$

{\ displaystyle \ Psi _ {N} (f) = E [\ exp (-N (f))]}

De spelar en liknande roll som de karakteristiska funktionerna för slumpmässig variabel . En viktig sats säger att: tvåpunktsprocesser har samma lag om deras Laplace-funktionalitet är lika.

Momentmått

Den kraft som en punktprocess definierar definieras i produktutrymmet enligt följande: ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ xi ^ {n},}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$

{\ displaystyle \ xi ^ {n} (A_ {1} \ times \ cdots \ times A_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ xi (A_ {i})}

Med monoton klass teorem , detta unikt definierar åtgärd på Förväntningen kallas th ögonblick åtgärden . Det första ögonblicket är det genomsnittliga måttet. ${\ displaystyle (S ^ {n}, B (S ^ {n})).}$ ${\ displaystyle E \ xi ^ {n} (\ cdot)}$ ${\ displaystyle n}$

Låt . De gemensamma intensiteterna för en poängprocess mot Lebesgue-åtgärden är sådana funktioner att för alla ojämna avgränsade Borel-underuppsättningar ${\ displaystyle S = \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {(k)}: (\ mathbb {R} ^ {d}) ^ {k} \ till [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {k}}$

{\ displaystyle E \ left (\ prod _ {i} \ xi (B_ {i}) \ right) = \ int _ {B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {k}} \ rho ^ {(k )} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) \, dx_ {1} \ cdots dx_ {k}.}

Gemensamma intensiteter finns inte alltid för punktprocesser. Med tanke på att stunder av en slumpmässig variabel bestämmer den slumpmässiga variabeln i många fall, kan ett liknande resultat förväntas för gemensamma intensiteter. Detta har faktiskt visats i många fall.

Stationaritet

En punktprocess sägs vara stationär om den har samma fördelning som för alla. För en stationär punktprocess är medelvärdet för en konstant och var står för Lebesgue-måttet. Detta kallas poängprocessens intensitet . En stationär punktprocess har nästan antingen 0 eller ett oändligt antal poäng totalt. För mer information om stationära punktprocesser och slumpmässiga mått, se kapitel 12 i Daley & Vere-Jones. Stationaritet har definierats och studerats för punktprocesser i mer allmänna utrymmen än . ${\ displaystyle \ xi \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ xi + x: = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ delta _ {X_ {i} + x}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}.}$ ${\ displaystyle E \ xi (\ cdot) = \ lambda \ | \ cdot \ |}$ ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Exempel på punktprocesser

Vi kommer att se några exempel på punktprocesser i ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}.}$

Poisson-punktprocess

Det enklaste och mest allestädes närvarande exemplet på en punktprocess är Poisson-punktprocessen , som är en rumslig generalisering av Poisson-processen . En Poisson (räkna) process på linjen kan karakteriseras av två egenskaper: antalet punkter (eller händelser) i ojämna intervall är oberoende och har en Poisson-fördelning . En Poisson-punktprocess kan också definieras med hjälp av dessa två egenskaper. Vi säger nämligen att en punktprocess är en Poisson-punktprocess om följande två villkor gäller ${\ displaystyle \ xi}$

1) är oberoende för ojämna underuppsättningar ${\ displaystyle \ xi (B_ {1}), \ ldots, \ xi (B_ {n})}$ ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}.}$

2) För en begränsad delmängd , har en Poisson-fördelning med parameter där betecknar Lebesgue-måttet . ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ xi (B)}$ ${\ displaystyle \ lambda \ | B \ |,}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

De två villkoren kan kombineras tillsammans och skrivas enligt följande: För alla ojämna avgränsade delmängder och icke-negativa heltal har vi det ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$ ${\ displaystyle k_ {1}, \ ldots, k_ {n}}$

{\ displaystyle \ Pr [\ xi (B_ {i}) = k_ {i}, 1 \ leq i \ leq n] = \ prod _ {i} e ^ {- \ lambda \ | B_ {i} \ |} {\ frac {(\ lambda \ | B_ {i} \ |) ^ {k_ {i}}} {k_ {i}!}}.}

Konstanten kallas intensiteten i Poisson-punktprocessen. Observera att Poisson-punktprocessen kännetecknas av den enda parametern. Det är en enkel, stationär punktprocess. För att vara mer specifik kallar man ovanstående punktprocess en homogen Poisson-punktprocess. En inhomogen Poisson-process definieras som ovan men genom att ersätta med där är en icke-negativ funktion på ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda.}$ ${\ displaystyle \ lambda \ | B \ |}$ ${\ displaystyle {\ stackrel {} {}} \ int _ {B} \ lambda (x) \, dx}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}.}$

Cox-punktprocess

En Cox-process (uppkallad efter Sir David Cox ) är en generalisering av Poisson-poängprocessen genom att vi använder slumpmässiga mått i stället för . Mer formellt, låt vara ett slumpmässigt mått . En Cox-punktprocess som drivs av det slumpmässiga måttet är punktprocessen med följande två egenskaper: ${\ displaystyle \ lambda \ | B \ |}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ xi}$

Givet , distribueras Poisson med parameter för alla begränsade delmängder ${\ displaystyle \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ xi (B)}$ ${\ displaystyle \ Lambda (B)}$ ${\ displaystyle B.}$
För alla begränsade samlingar av ojämna underuppsättningar och villkor som vi har som är oberoende. ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$ ${\ displaystyle \ Lambda (B_ {1}), \ ldots, \ Lambda (B_ {n}),}$ ${\ displaystyle \ xi (B_ {1}), \ ldots, \ xi (B_ {n})}$

Det är lätt att se att Poisson-punktprocessen (homogen och inhomogen) följer som speciella fall av Cox-punktprocesser. Det genomsnittliga måttet på en Cox-punktprocess är och därför är det i det speciella fallet med en Poisson-punktprocess ${\ displaystyle E \ xi (\ cdot) = E \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ lambda \ | \ cdot \ |.}$

För en Cox-punktprocess kallas intensitetsmåttet . Vidare, om har en (slumpmässig) densitet ( Radon-Nikodym-derivat ) dvs. ${\ displaystyle \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ cdot)}$

{\ displaystyle \ Lambda (B) {\ stackrel {\ text {as}} {=}} \ int _ {B} \ lambda (x) \, dx,}

då kallas intensitetsfältet för Cox-punktprocessen. Stationäritet för intensitetsmått eller intensitetsfält innebär stationäriteten för motsvarande Cox-punktprocesser. ${\ displaystyle \ lambda (\ cdot)}$

Det har funnits många specifika klasser av Cox-punktprocesser som har studerats i detalj såsom:

Logga Gaussian Cox-punktprocesser: för ett Gaussiskt slumpmässigt fält ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ exp (X (y))}$ ${\ displaystyle X (.)}$
Shot noise Cox point-processer :, för en Poisson-point-process och kärna ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ sum _ {X \ in \ Phi} h (X, y)}$ ${\ displaystyle \ Phi (\ cdot)}$ ${\ displaystyle h (\ cdot, \ cdot)}$
Allmänt skottbrus Cox-punktprocesser: för en punktprocess och kärna ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ sum _ {X \ in \ Phi} h (X, y)}$ ${\ displaystyle \ Phi (\ cdot)}$ ${\ displaystyle h (.,.)}$
Lévy-baserade Cox-punktprocesser: för en Lévy-bas och kärna , och ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ int h (x, y) L (dx)}$ ${\ displaystyle L (\ cdot)}$ ${\ displaystyle h (.,.)}$
Permanental Cox punkt processer: för k oberoende gaussiska slump fält 's ${\ displaystyle \ lambda (y) = X_ {1} ^ {2} (y) + \ cdots + X_ {k} ^ {2} (y)}$ ${\ displaystyle X_ {i} (\ cdot)}$
Sigmoidal Gaussian Cox-punktprocesser: för ett Gaussiskt slumpmässigt fält och slumpmässigt ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ lambda ^ {\ star} / (1+ \ exp (-X (y)))}$ ${\ displaystyle X (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {\ star}> 0}$

Genom Jensens ojämlikhet kan man verifiera att Cox-punktprocesser uppfyller följande ojämlikhet: för alla avgränsade Borel-underuppsättningar , ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle \ operatorname {Var} (\ xi (B)) \ geq \ operatorname {Var} (\ xi _ {\ alpha} (B)),}

där står för en Poisson-poängprocess med intensitetsmått Således fördelas punkter med större variation i en Cox-punktprocess jämfört med en Poisson-punktprocess. Detta kallas ibland kluster eller attraktiv egenskap för Cox-punktprocessen. ${\ displaystyle \ xi _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha (\ cdot): = E \ xi (\ cdot) = E \ Lambda (\ cdot).}$

Avgörande punktprocesser

En viktig klass av poängprocesser, med tillämpningar på fysik , slumpmässig matristeori och kombinatorik , är den avgörande punktprocesser .

Hawkes (självspännande) processer

En Hawkes-process , även känd som en självspännande räkneprocess, är en enkel punktprocess vars villkorliga intensitet kan uttryckas som ${\ displaystyle N_ {t}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ lambda (t) & = \ mu (t) + \ int _ {- \ infty} ^ {t} \ nu (ts) dN_ {s} \\ & = \ mu (t) + \ sum _ {T_ {k} <t} \ nu (t-T_ {k}) \ end {array}}}$

var är en kärnfunktion som uttrycker det positiva inflytandet från tidigare händelser på det aktuella värdet av intensitetsprocessen , är en möjligen icke-stationär funktion som representerar den förväntade, förutsägbara eller deterministiska delen av intensiteten, och är tidpunkten för förekomsten av i-händelsen av processen. ${\ displaystyle \ nu: \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle T_ {i}}$ ${\ displaystyle \ lambda (t)}$ ${\ displaystyle \ mu (t)}$ ${\ displaystyle \ {T_ {i}: T_ {i} <T_ {i + 1} \} \ in \ mathbb {R}}$

Geometriska processer

Givet en sekvens av icke-negativa slumpmässiga variabler: om de är oberoende och cdf av ges av för , där är en positiv konstant, kallas det en geometrisk process (GP). ${\ displaystyle \ {X_ {k}, k = 1,2, \ dots \}}$ ${\ displaystyle X_ {k}}$ ${\ displaystyle F (a ^ {k-1} x)}$ ${\ displaystyle k = 1,2, \ dots}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ {X_ {k}, k = 1,2, \ ldots \}}$

Den geometriska processen har flera förlängningar, inklusive α-serieprocessen och den dubbelt geometriska processen .

Peka processer på den verkliga halvlinjen

Historiskt hade de första poängprocesserna som studerades den verkliga halvlinjen R ₊ = [0, ∞) som tillståndsutrymme, vilket i detta sammanhang vanligtvis tolkas som tid. Dessa studier motiverades av önskan att modellera telekommunikationssystem, där punkterna representerade händelser i tid, såsom samtal till en telefonväxel.

Punkt processer på R ₊ är typiskt beskrivna genom att ge sekvensen av sina (slumpmässiga) inter-händelsetider ( T ₁ , T ₂ , ...), från vilken den faktiska sekvensen ( X ₁ , X ₂ , ...) av evenemangstider kan erhållas som

{\ displaystyle X_ {k} = \ sum _ {j = 1} ^ {k} T_ {j} \ quad {\ text {for}} k \ geq 1.}

Om tiderna mellan händelserna är oberoende och identiskt fördelade kallas den erhållna poängprocessen förnyelseprocess .

Intensiteten i en punktprocess

Den intensitet λ ( t | H _t ) för en punkt process på den reala halv-linje med avseende på en filtrerings H _t definieras som

{\ displaystyle \ lambda (t \ mid H_ {t}) = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta t}} \ Pr ({\ text {En händelse inträffar i tidsintervall}} \, [t, t + \ Delta t] \ mid H_ {t}),}

H _t kan beteckna historia av händelse-punkttider föregående tid t , men kan även motsvara andra filtreringar (till exempel i fallet med en Cox-processen).

I -notation kan detta skrivas i en mer kompakt form: . ${\ displaystyle N (t)}$ ${\ displaystyle \ lambda (t \ mid H_ {t}) = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta t}} \ Pr (N (t + \ Delta t) -N (t) = 1 \ mitt H_ {t})}$

Den kompensator för en punkt process, även känd som den dubbla förutsägbara projektion , är den integrerade villkorade intensitetsfunktion som definieras av

${\ displaystyle \ Lambda ^ {} (s _ {}, u) = \ int _ {s} ^ {u} \ lambda ^ {} (t | H_ {t}) \ mathrm {d} t}$

Relaterade funktioner

Papangelou intensitetsfunktion

Den Papangelou intensitetsfunktionen för en punkt process i -dimensionella euklidiska rymden definieras som ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ lambda _ {p} (x) = \ lim _ {\ delta \ to 0} {\ frac {1} {| B _ {\ delta} (x) |}} {P} \ {{\ text {En händelse inträffar i}} \, B _ {\ delta} (x) \ mid \ sigma [N (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus B _ {\ delta} (x))] \},}

var är bollen centrerad vid en radie och anger informationen om punktprocessen utanför . ${\ displaystyle B _ {\ delta} (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ sigma [N (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus B _ {\ delta} (x))]}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle B _ {\ delta} (x)}$

Sannolikhetsfunktion

Den logaritmiska sannolikheten för en parametrerad enkelpunktsprocess under förutsättning att vissa observerade data skrivs som

${\ displaystyle \ ln {\ mathcal {L}} (N (t) _ {t \ in [0, T]}) = \ int _ {0} ^ {T} (1- \ lambda (s)) ds + \ int _ {0} ^ {T} \ ln \ lambda (s) dN_ {s}}$

Punktprocesser i rumslig statistik

Analysen av punktmönster data i en kompakt delmängd S av R ⁿ är ett stort föremål för studien inom spatial statistik . Sådana uppgifter finns i ett brett spektrum av discipliner, bland annat

skogsbruk och växtekologi (placering av träd eller växter i allmänhet)
epidemiologi (hemma hos infekterade patienter)
zoologi (hålor eller bon hos djur)
geografi (positioner för mänskliga bosättningar, städer eller städer)
seismologi (epicentrar av jordbävningar)
materialvetenskap (positioner av defekter i industriella material)
astronomi (platser för stjärnor eller galaxer)
beräkningsneurovetenskap (spikar av neuroner).

Behovet av att använda punktprocesser för att modellera denna typ av data ligger i deras inneboende rumsliga struktur. Följaktligen är en första fråga av intresse ofta huruvida de givna uppgifterna uppvisar fullständig rumslig slumpmässighet (dvs. är en förverkligande av en rumslig Poisson-process ) i motsats till att antingen uppvisa rumslig aggregering eller rumslig hämning.

Däremot består många datamängder som beaktas i klassisk multivariat statistik av oberoende genererade datapunkter som kan styras av en eller flera kovariater (vanligtvis icke-rumsliga).

Bortsett från tillämpningarna i rumslig statistik är punktprocesser ett av de grundläggande objekten i stokastisk geometri . Forskning har också fokuserat i stor utsträckning på olika modeller byggda på punktprocesser som Voronoi-tessellationer, slumpmässiga geometriska grafer, boolesk modell etc.

Languages

In other projects