Allmänna koordinater - Generalized coordinates

I analytisk mekanik hänvisar termen generaliserade koordinater till de parametrar som beskriver systemets konfiguration i förhållande till någon referenskonfiguration. Dessa parametrar måste definiera systemets konfiguration i förhållande till referenskonfigurationen. Detta görs förutsatt att detta kan göras med ett enda diagram . De generaliserade hastigheterna är tidsderivaten för systemets generaliserade koordinater.

Ett exempel på en generaliserad koordinat är vinkeln som lokaliserar en punkt som rör sig på en cirkel. Adjektivet "generaliserad" skiljer dessa parametrar från den traditionella användningen av termen koordinat för att hänvisa till kartesiska koordinater : till exempel att beskriva platsen för punkten på cirkeln med hjälp av x- och y-koordinater.

Även om det kan finnas många val för generaliserade koordinater för ett fysiskt system, väljs vanligen parametrar som är lämpliga för specifikationen av systemets konfiguration och som gör lösningen av dess rörelseekvationer enklare. Om dessa parametrar är oberoende av varandra definieras antalet oberoende generaliserade koordinater av antalet frihetsgrader i systemet.

Generaliserade koordinater är ihopkopplade med generaliserade momenta för att ge kanoniska koordinater på fasutrymmet .

Begränsningar och frihetsgrader

Öppna rak väg

Öppna böjd väg F ( x , y ) = 0

Stängd krökt väg C ( x , y ) = 0

En generaliserad koordinat (en grad av frihet) på vägar i 2D. Endast en generaliserad koordinat behövs för att unikt specificera positioner på kurvan. I dessa exempel är variabeln antingen båglängd s eller vinkel θ . Att ha båda de kartesiska koordinaterna ( x , y ) är onödiga eftersom antingen x eller y är relaterade till den andra genom kurvornas ekvationer. De kan också parametreras med s eller θ .

Öppna böjd bana F ( x , y ) = 0. Flera skärningar av radie med bana.

Stängd krökt väg C ( x , y ) = 0. Självkorsning av väg.

Båglängden s längs kurvan är en legitim generaliserad koordinat eftersom positionen är unikt bestämd, men vinkeln θ är inte eftersom det finns flera positioner för ett enda värde på θ .

Generaliserade koordinater väljs vanligtvis för att tillhandahålla det minsta antalet oberoende koordinater som definierar konfigurationen av ett system, vilket förenklar formuleringen av Lagranges rörelseekvationer. Det kan dock också inträffa att en användbar uppsättning generaliserade koordinater kan vara beroende , vilket innebär att de är relaterade till en eller flera begränsningsekvationer .

Holonomiska begränsningar

Öppna böjd yta F ( x , y , z ) = 0

Stängd krökt yta S ( x , y , z ) = 0

Två generaliserade koordinater, två frihetsgrader, på böjda ytor i 3d. Endast två siffror ( u , v ) behövs för att specificera punkterna på kurvan, en möjlighet visas för varje fall. De fullständiga tre kartesiska koordinaterna ( x , y , z ) är inte nödvändiga eftersom några två bestämmer den tredje enligt kurvens ekvationer.

För ett system av N- partiklar i 3D- riktigt koordinatutrymme kan positionsvektorn för varje partikel skrivas som en 3- tupel i kartesiska koordinater :

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}) \ ,, \ quad \ mathbf {r} _ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}) \ ,, \ ldots \ ,, \ mathbf {r} _ {N} = (x_ {N}, y_ {N}, z_ {N}) \ ,.}

Någon av de positionsvektorerna kan betecknas r _k där k = 1, 2, ..., N märker partiklarna. En holonomisk begränsning är en begränsningsekvation av formen för partikel k

{\ displaystyle f (\ mathbf {r} _ {k}, t) = 0}

som förbinder alla de 3 rumsliga koordinaterna för den partikeln tillsammans, så att de inte är oberoende. Begränsningen kan ändras med tiden, så tid t kommer att visas uttryckligen i begränsningsekvationerna. Vid vilken tidpunkt som helst bestäms vilken koordinat som helst från de andra koordinaterna, t.ex. om x _k och z _k ges, så är det också y _k . En tvångsekvation räknas som en begränsning. Om det finns C- begränsningar har var och en en ekvation, så det kommer att finnas C- begränsningsekvationer. Det finns inte nödvändigtvis en begränsningsekvation för varje partikel, och om det inte finns några begränsningar i systemet finns det inga begränsningsekvationer.

Hittills definieras systemets konfiguration av 3 N- kvantiteter, men C- koordinater kan elimineras, en koordinat från varje tvångsekvation. Antalet oberoende koordinater är n = 3 N - C . (I D- dimensioner skulle den ursprungliga konfigurationen behöva ND- koordinater, och minskningen med begränsningar betyder n = ND - C ). Det är idealiskt att använda det minsta antal koordinater som behövs för att definiera konfigurationen för hela systemet, samtidigt som man utnyttjar systemets begränsningar. Dessa kvantiteter är kända som generaliserade koordinater i detta sammanhang, betecknade q _j ( t ). Det är lämpligt att samla dem i en n - tupel

{\ displaystyle \ mathbf {q} (t) = (q_ {1} (t), q_ {2} (t), \ ldots, q_ {n} (t))}

vilket är en punkt i systemets konfigurationsutrymme . De är alla oberoende av varandra och var och en är en funktion av tiden. Geometriskt kan de vara längder längs raka linjer, eller båglängder längs kurvor eller vinklar; inte nödvändigtvis kartesiska koordinater eller andra standard ortogonala koordinater . Det finns en för varje grad av frihet , så antalet generaliserade koordinater är lika med antalet frihetsgrader, n . En frihetsgrad motsvarar en kvantitet som ändrar systemets konfiguration, till exempel vinkeln på en pendel, eller båglängden som passeras av en pärla längs en tråd.

Om det är möjligt att hitta från begränsningarna så många oberoende variabler som det finns frihetsgrader, kan dessa användas som generaliserade koordinater. Positionsvektorn r _k för partikel k är en funktion av alla n generaliserade koordinater (och, genom dem, av tid),

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k} = \ mathbf {r} _ {k} (\ mathbf {q} (t)) \ ,,}

och de allmänna koordinaterna kan betraktas som parametrar associerade med begränsningen.

Motsvarande tidsderivat av q är de generaliserade hastigheterna ,

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ frac {d \ mathbf {q}} {dt}} = ({\ dot {q}} _ {1} (t), {\ dot {q}} _ {2} (t), \ ldots, {\ dot {q}} _ {n} (t))}

(varje punkt över en kvantitet indikerar en engångsderivat ). Hastighetsvektorn v _k är det totala derivatet av r _k med avseende på tid

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {k} = {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k} = {\ frac {d \ mathbf {r} _ {k}} {dt}} = \ summa _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} \ ,. }

och beror så i allmänhet på de allmänna hastigheterna och koordinaterna. Eftersom vi är fria att specificera de initiala värdena för de generaliserade koordinaterna och hastigheterna separat, kan de generaliserade koordinaterna q _j och hastigheterna dq _j / dt behandlas som oberoende variabler .

Icke-holonomiska begränsningar

Ett mekaniskt system kan innebära begränsningar för både de allmänna koordinaterna och deras derivat. Begränsningar av denna typ är kända som icke-holonomiska. Första ordningens icke-holonomiska begränsningar har formen

{\ displaystyle g (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) = 0 \ ,,}

Ett exempel på en sådan begränsning är ett rullande hjul eller knivkant som begränsar hastigheten på hastighetsvektorn. Icke-holonomiska begränsningar kan också inbegripa derivat av nästa ordning, såsom generaliserade accelerationer.

Fysiska mängder i generaliserade koordinater

Rörelseenergi

Systemets totala kinetiska energi är energin i systemets rörelse, definierad som

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k} \ cdot {\ punkt {\ mathbf {r}}} _ {k} \ ,,}

i vilken · är punktprodukten . Den kinetiska energin är en funktion endast av hastigheterna v _k , inte själva koordinaterna r _k . Däremot är en viktig observation

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {i}}} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {j}}} \ höger) {\ dot {q}} _ {i} {\ dot {q}} _ {j},}

som illustrerar den kinetiska energin är i allmänhet en funktion av de generaliserade hastigheterna, koordinaterna och tiden om begränsningarna också varierar med tiden, så T = T ( q , d q / dt , t ).

I fallet begränsningarna på partiklarna är tidsoberoende, då är alla partiella derivat med avseende på tid noll, och den kinetiska energin är en homogen funktion av grad 2 i de allmänna hastigheterna.

Fortfarande för den tidsoberoende fallet är detta uttryck ekvivalent med att ta linjeelementet i kvadrat av banan för partikel k ,

{\ displaystyle ds_ {k} ^ {2} = d \ mathbf {r} _ {k} \ cdot d \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} \ vänster ({\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {i}}} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ { j}}} \ höger) dq_ {i} dq_ {j} \ ,,}

och att dividera med kvadratdifferentialen i tid, dt ² , för att erhålla hastigheten kvadrat för partikel k . För tidsoberoende begränsningar är det således tillräckligt att känna till linjelementet för att snabbt få partiklarnas kinetiska energi och därmed Lagrangian.

Det är lärorikt att se de olika fallen av polära koordinater i 2d och 3d på grund av deras frekventa utseende. I 2d polära koordinater ( r , θ ),

{\ displaystyle \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ ,,}

i 3d cylindriska koordinater ( r , θ , z ),

{\ displaystyle \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} \ ,,}

i 3d sfäriska koordinater ( r , θ , φ ),

{\ displaystyle \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ ,.}

Generaliserad fart

Den generaliserade momentum " canonically konjugat till" koordinat q _I definieras av

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}.}

Om Lagrangian L betyder inte bero på någon koordinat q _i , då det framgår av Euler-Lagrange ekvationer som den motsvarande gener momentum kommer att vara en konserverad kvantitet , eftersom tidsderivatan är noll innebär drivkraften är en konstant av rörelsen;

{\ displaystyle {\ dot {p}} _ {i} = {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} = 0 \ ,.}

Exempel

Pärla på en tråd

Pärla begränsad att flytta på en friktionsfri tråd. Tråden utövar en reaktionskraft C på vulsten för att hålla den på tråden. Icke-begränsande kraft N i detta fall är tyngdkraften. Lägg märke till att trådens startposition kan leda till olika rörelser.

För en pärla som glider på en friktionsfri tråd som endast utsätts för tyngdkraften i 2d-utrymme kan begränsningen på pärlan anges i formen f ( r ) = 0, där pärlens position kan skrivas r = ( x ( s ) , y ( s )), där s är en parameter, båglängden s längs kurvan från någon punkt på tråden. Detta är ett lämpligt val av generaliserad koordinat för systemet. Endast en koordinat behövs istället för två, eftersom strängens position kan parametreras med ett tal, s och begränsningsekvationen förbinder de två koordinaterna x och y ; antingen bestäms den ena av den andra. Begränsningskraften är reaktionskraften som tråden utövar på kulan för att hålla den på tråden, och den icke-begränsande kraften är tyngdkraften som verkar på kulan.

Antag att tråden ändrar form med tiden genom att böja. Därefter är partikelns begränsningsekvation och position

{\ displaystyle f (\ mathbf {r}, t) = 0 \ ,, \ quad \ mathbf {r} = (x (s, t), y (s, t))}

som nu båda är beroende av tid t på grund av de ändrade koordinaterna när ledningen ändrar sin form. Observeringstid visas implicit via koordinaterna och uttryckligen i tvångsekvationerna.

Enkel pendel

Enkel pendel. Eftersom stången är stel, begränsas positionen för bob enligt ekvationen f ( x , y ) = 0, är begränsningskraften C spänningen i stången. Återigen är den icke-begränsande kraften N i detta fall gravitation.

Dynamisk modell av en enkel pendel.

Förhållandet mellan användningen av generaliserade koordinater och kartesiska koordinater för att karakterisera rörelsen hos ett mekaniskt system kan illustreras genom att beakta den begränsade dynamiken i en enkel pendel.

En enkel pendel består av en massa M som hänger från en svängpunkt så att den är tvungen att röra sig på en cirkel med radie L. Massans position definieras av koordinatvektorn r = (x, y) uppmätt i planet för cirkeln så att y är i vertikal riktning. Koordinaterna x och y är relaterade till cirkelns ekvation

{\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -L ^ {2} = 0,}

som begränsar M.s rörelse. Denna ekvation ger också en begränsning av hastighetskomponenterna,

{\ displaystyle {\ dot {f}} (x, y) = 2x {\ dot {x}} + 2y {\ dot {y}} = 0.}

Nu introducerar du parametern θ som definierar M-vinkelpositionen från vertikal riktning. Den kan användas för att definiera koordinaterna x och y, så att

{\ displaystyle \ mathbf {r} = (x, y) = (L \ sin \ theta, -L \ cos \ theta).}

Användningen av θ för att definiera konfigurationen av detta system undviker den begränsning som cirkelns ekvation ger.

Observera att tyngdkraften som verkar på massan m är formulerad i de vanliga kartesiska koordinaterna,

{\ displaystyle \ mathbf {F} = (0, -mg),}

där g är gravitationens acceleration.

Det virtuella tyngdkraftsarbetet på massan m när det följer banan r ges av

{\ displaystyle \ delta W = \ mathbf {F} \ cdot \ delta \ mathbf {r}.}

Variationen r kan beräknas i termer av koordinaterna x och y, eller i termer av parametern θ, ${\ displaystyle \ delta}$

{\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} = (\ delta x, \ delta y) = (L \ cos \ theta, L \ sin \ theta) \ delta \ theta.}

Således ges det virtuella arbetet av

{\ displaystyle \ delta W = -mg \ delta y = -mgL \ sin \ theta \ delta \ theta.}

Observera att koefficienten för y är y-komponenten för den applicerade kraften. På samma sätt är koefficienten θ känd som den generaliserade kraften längs generaliserad koordinat θ, ges av ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ delta}$

{\ displaystyle F _ {\ theta} = - mgL \ sin \ theta.}

För att slutföra analysen, överväg den kinetiska energin T för massan med hjälp av hastigheten,

{\ displaystyle \ mathbf {v} = ({\ dot {x}}, {\ dot {y}}) = (L \ cos \ theta, L \ sin \ theta) {\ dot {\ theta}},}

så,

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {x}} ^ { 2} + {\ dot {y}} ^ {2}) = {\ frac {1} {2}} mL ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}.}

D'Alemberts form av principen om virtuellt arbete för pendeln i termer av koordinaterna x och y ges av,

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {x}}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial x}} = F_ {x} + \ lambda {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}, \ quad {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {y} }}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial y}} = F_ {y} + \ lambda {\ frac {\ partial f} {\ partial y}}.}

Detta ger de tre ekvationerna

{\ displaystyle m {\ ddot {x}} = \ lambda (2x), \ quad m {\ ddot {y}} = - mg + \ lambda (2y), \ quad x ^ {2} + y ^ {2} -L ^ {2} = 0,}

i de tre okända, x, y och λ.

Med hjälp av parametern θ tar dessa ekvationer formen

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {\ theta}}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial \ theta}} = F _ {\ theta},}

som blir,

{\ displaystyle mL ^ {2} {\ ddot {\ theta}} = - mgL \ sin \ theta,}

eller

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + {\ frac {g} {L}} \ sin \ theta = 0.}

Denna formulering ger en ekvation eftersom det finns en enda parameter och ingen begränsningsekvation.

Detta visar att parametern θ är en generaliserad koordinat som kan användas på samma sätt som de kartesiska koordinaterna x och y för att analysera pendeln.

Dubbel pendel

En dubbel pendel

Fördelarna med generaliserade koordinater blir uppenbara med analysen av en dubbel pendel . För de två massorna m _i , i = 1, 2, låt r _i = (x _i , y _i ), i = 1, 2 definiera deras två banor. Dessa vektorer uppfyller de två begränsningsekvationerna,

{\ displaystyle f_ {1} (x_ {1}, y_ {1}, x_ {2}, y_ {2}) = \ mathbf {r} _ {1} \ cdot \ mathbf {r} _ {1} - L_ {1} ^ {2} = 0}

och

{\ displaystyle f_ {2} (x_ {1}, y_ {1}, x_ {2}, y_ {2}) = (\ mathbf {r} _ {2} - \ mathbf {r} _ {1}) \ cdot (\ mathbf {r} _ {2} - \ mathbf {r} _ {1}) - L_ {2} ^ {2} = 0.}

Formuleringen av Lagranges ekvationer för detta system ger sex ekvationer i de fyra kartesiska koordinaterna x _i , y _i i = 1, 2 och de två Lagrange-multiplikatorerna λ _i , i = 1, 2 som härrör från de två begränsningsekvationerna.

Nu introducerar du de generaliserade koordinaterna θ _i i = 1,2 som definierar vinkelpositionen för varje massa av den dubbla pendeln från vertikal riktning. I det här fallet har vi det

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = (L_ {1} \ sin \ theta _ {1}, - L_ {1} \ cos \ theta _ {1}), \ quad \ mathbf {r} _ {2} = (L_ {1} \ sin \ theta _ {1}, - L_ {1} \ cos \ theta _ {1}) + (L_ {2} \ sin \ theta _ {2}, - L_ { 2} \ cos \ theta _ {2}).}

Tyngdkraften som verkar på massorna ges av,

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {1} = (0, -m_ {1} g), \ quad \ mathbf {F} _ {2} = (0, -m_ {2} g)}

där g är gravitationens acceleration. Därför ges det virtuella tyngdkraftsarbetet på de två massorna när de följer banorna r _i , i = 1,2

{\ displaystyle \ delta W = \ mathbf {F} _ {1} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ { 2}.}

Variationerna δ r _i i = 1, 2 kan beräknas vara

{\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {1} = (L_ {1} \ cos \ theta _ {1}, L_ {1} \ sin \ theta _ {1}) \ delta \ theta _ {1} , \ quad \ delta \ mathbf {r} _ {2} = (L_ {1} \ cos \ theta _ {1}, L_ {1} \ sin \ theta _ {1}) \ delta \ theta _ {1} + (L_ {2} \ cos \ theta _ {2}, L_ {2} \ sin \ theta _ {2}) \ delta \ theta _ {2}}

Således ges det virtuella arbetet av

{\ displaystyle \ delta W = - (m_ {1} + m_ {2}) gL_ {1} \ sin \ theta _ {1} \ delta \ theta _ {1} -m_ {2} gL_ {2} \ sin \ theta _ {2} \ delta \ theta _ {2},}

och de generaliserade krafterna är

{\ displaystyle F _ {\ theta _ {1}} = - (m_ {1} + m_ {2}) gL_ {1} \ sin \ theta _ {1}, \ quad F _ {\ theta _ {2}} = -m_ {2} gL_ {2} \ sin \ theta _ {2}.}

Beräkna den kinetiska energin i detta system

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {1} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} \ cdot \ mathbf {v} _ {2} = {\ frac {1} {2}} (m_ {1} + m_ {2}) L_ {1} ^ {2} {\ dot {\ theta}} _ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} L_ {2} ^ {2} {\ dot {\ theta} } _ {2} ^ {2} + m_ {2} L_ {1} L_ {2} \ cos (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) {\ dot {\ theta}} _ {1 } {\ dot {\ theta}} _ {2}.}

Euler – Lagrange ekvation ger två ekvationer i de okända generaliserade koordinaterna θ _i i = 1, 2, ges av

{\ displaystyle (m_ {1} + m_ {2}) L_ {1} ^ {2} {\ ddot {\ theta}} _ {1} + m_ {2} L_ {1} L_ {2} {\ ddot {\ theta}} _ {2} \ cos (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) + m_ {2} L_ {1} L_ {2} {\ ddot {\ theta _ {2}} } ^ {2} \ sin (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) = - (m_ {1} + m_ {2}) gL_ {1} \ sin \ theta _ {1},}

och

{\ displaystyle m_ {2} L_ {2} ^ {2} {\ ddot {\ theta}} _ {2} + m_ {2} L_ {1} L_ {2} {\ ddot {\ theta}} _ { 1} \ cos (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) + m_ {2} L_ {1} L_ {2} {\ ddot {\ theta _ {1}}} ^ {2} \ sin (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) = - m_ {2} gL_ {2} \ sin \ theta _ {2}.}

Användningen av de allmänna koordinaterna θ _i i = 1, 2 ger ett alternativ till den kartesiska formuleringen av den dubbla pendelns dynamik.

Sfärisk pendel

Sfärisk pendel: vinklar och hastigheter.

För ett 3d-exempel, en sfärisk pendel med konstant längd l fri att svänga i vilken vinkel som helst som är föremål för tyngdkraften, kan begränsningen på pendelboben anges i formen

{\ displaystyle f (\ mathbf {r}) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -l ^ {2} = 0 \ ,,}

där pendelbobens position kan skrivas

{\ displaystyle \ mathbf {r} = (x (\ theta, \ phi), y (\ theta, \ phi), z (\ theta, \ phi)) \ ,,}

i vilka ( θ , φ ) är de sfäriska polära vinklarna eftersom boben rör sig i ytan på en sfär. Positionen r mäts längs upphängningspunkten mot bobben, här behandlad som en punktpartikel . Ett logiskt val av generaliserade koordinater för att beskriva rörelsen är vinklarna ( θ , φ ). Endast två koordinater behövs istället för tre, eftersom bobens position kan parametreras med två nummer och begränsningsekvationen förbinder de tre koordinaterna x , y , z så att någon av dem bestäms av de andra två.

Allmänna koordinater och virtuellt arbete

Den virtuella arbetets princip anges att om ett system är i statisk jämvikt, är den virtuella arbetet i de anbringade krafter noll för alla virtuella rörelser hos systemet från detta tillstånd, det vill säga W = 0 för varje variation r . När det formuleras i termer av generaliserade koordinater motsvarar detta kravet att de generaliserade krafterna för någon virtuell förskjutning är noll, det vill säga F _i = 0. ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ delta}$

Låta krafterna på systemet att vara F _j , j = 1, ..., m appliceras på punkter med kartesiska koordinater r _j , j = 1, ..., m, då den virtuella arbete som en virtuell förskjutning från jämviktsposition ges av

{\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {j}.}

där δ r _j , j = 1, ..., m betecknar de virtuella förskjutningarna för varje punkt i kroppen.

Nu anta att varje δ r _j beror på den generaliserade koordinaterna q _i , i = 1, ..., n , sedan

{\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {j} = {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {j}} {\ partial q_ {1}}} \ delta {q} _ {1} + \ ldots + {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {j}} {\ partial q_ {n}}} \ delta {q} _ {n},}

och

{\ displaystyle \ delta W = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {j}} { \ partial q_ {1}}} \ höger) \ delta {q} _ {1} + \ ldots + \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {j}} {\ partial q_ {n}}} \ höger) \ delta {q} _ {n}.}

De n termer

{\ displaystyle F_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {j}} {\ partial q_ {i}}}, \ quad i = 1, \ ldots, n,}

är de generaliserade krafterna som verkar på systemet. Kane visar att dessa generaliserade krafter också kan formuleras i termer av förhållandet mellan tidsderivat,

{\ displaystyle F_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {v} _ {j}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}, \ quad i = 1, \ ldots, n,}

där v _j är hastigheten av punkten för anbringandet av kraften F _j .

För att det virtuella arbetet ska vara noll för en godtycklig virtuell förskjutning måste var och en av de generaliserade krafterna vara noll, det vill säga

{\ displaystyle \ delta W = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad F_ {i} = 0, i = 1, \ ldots, n.}

Se även

Anteckningar

Referenser

^ Ginsberg 2008 , s. 397, §7.2.1 Val av generaliserade koordinater
^ Farid ML Amirouche (2006). "§2.4: Allmänna koordinater" . Grundläggande för multikroppsdynamik: teori och tillämpningar . Springer. sid. 46. ISBN 0-8176-4236-6.
^ Florian Scheck (2010). "§5.1 Fördelningar med generaliserade koordinater" . Mekanik: Från Newtons lagar till deterministisk kaos (5: e upplagan). Springer. sid. 286. ISBN 978-3-642-05369-6.
^ Goldstein 1980 , s. 12
^ ^a ^b Kibble & Berkshire 2004 , s. 232
^ Torby 1984 , s. 260
^ Goldstein 1980 , s. 13
^ Hand & Finch 2008 , s. 15
^ Torby 1984 , s. 269
^ Goldstein 1980 , s. 25
^ Landau & Lifshitz 1976 , s. 8
^ Greenwood, Donald T. (1987). Principles of Dynamics (2: a upplagan). Prentice Hall. ISBN 0-13-709981-9.
^ Richard Fitzpatrick, Newtonian Dynamics, http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton/Newtonhtml.html .
^ Eric W. Weisstein, Double Pendulum , scienceworld.wolfram.com. 2007
^ Torby, Bruce (1984). "Energimetoder". Advanced Dynamics for Engineers . HRW-serien i maskinteknik. Amerikas förenta stater: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
^ TR Kane och DA Levinson, Dynamics: theory and applications, McGraw-Hill, New York, 1985

Bibliografi över citerade referenser

Ginsberg, Jerry H. (2008). Engineering dynamics (3: e upplagan). Cambridge Storbritannien: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88303-0.
Kibble, TWB ; Berkshire, FH (2004). Klassisk mekanik (5: e upplagan). River Edge NJ: Imperial College Press . ISBN 1860944248.

[Ginsberg-1] Ginsberg 2008 , s. 397, §7.2.1 Val av generaliserade koordinater

[Amirouche-2] Farid ML Amirouche (2006). "§2.4: Allmänna koordinater" . Grundläggande för multikroppsdynamik: teori och tillämpningar . Springer. sid. 46. ISBN 0-8176-4236-6.

[Scheck-3] Florian Scheck (2010). "§5.1 Fördelningar med generaliserade koordinater" . Mekanik: Från Newtons lagar till deterministisk kaos (5: e upplagan). Springer. sid. 286. ISBN 978-3-642-05369-6.

[4] Goldstein 1980 , s. 12

[Kibble_2004_page=232-6] Kibble & Berkshire 2004 , s. 232

[7] Torby 1984 , s. 260

[8] Goldstein 1980 , s. 13

[Hand_2008_page=15-9] Hand & Finch 2008 , s. 15

[Torby_1984_page=269-11] Torby 1984 , s. 269

[12] Goldstein 1980 , s. 25

[13] Landau & Lifshitz 1976 , s. 8

[14] Greenwood, Donald T. (1987). Principles of Dynamics (2: a upplagan). Prentice Hall. ISBN 0-13-709981-9.

[15] Richard Fitzpatrick, Newtonian Dynamics, http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton/Newtonhtml.html .

[16] Eric W. Weisstein, Double Pendulum , scienceworld.wolfram.com. 2007

[Torby1984-17] Torby, Bruce (1984). "Energimetoder". Advanced Dynamics for Engineers . HRW-serien i maskinteknik. Amerikas förenta stater: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.

[18] TR Kane och DA Levinson, Dynamics: theory and applications, McGraw-Hill, New York, 1985

Languages

In other projects