Coordonate generalizate - Generalized coordinates

În mecanicii analitice , pe termen a generaliza coordonatele se referă la parametrii care descriu configurația a sistemului în raport cu o anumită configurație de referință. Acești parametri trebuie să definească în mod unic configurația sistemului în raport cu configurația de referință. Acest lucru se face presupunând că acest lucru se poate face cu o singură diagramă . La viteze generalizate sunt timp derivatele coordonatelor generalizate ale sistemului.

Un exemplu de coordonată generalizată este unghiul care localizează un punct care se deplasează pe un cerc. Adjectivul „generalizat” distinge acești parametri de utilizarea tradițională a termenului de coordonată pentru a se referi la coordonatele carteziene : de exemplu, descrierea locației punctului pe cerc folosind coordonatele x și y.

Deși pot exista mai multe opțiuni pentru coordonatele generalizate pentru un sistem fizic, parametrii care sunt convenabili sunt de obicei selectați pentru specificarea configurației sistemului și care fac soluția ecuațiilor sale de mișcare mai ușoare. Dacă acești parametri sunt independenți unii de alții, numărul coordonatelor generalizate independente este definit de numărul de grade de libertate ale sistemului.

Coordonatele generalizate sunt asociate cu momenta generalizată pentru a oferi coordonate canonice pe spațiul de fază .

Constrângeri și grade de libertate

Deschideți calea dreaptă

Deschideți calea curbată F ( x , y ) = 0

Calea curbată închisă C ( x , y ) = 0

O coordonată generalizată (un grad de libertate) pe căi în 2D. Este necesară o singură coordonată generalizată pentru a specifica în mod unic pozițiile pe curbă. În aceste exemple, acea variabilă este fie lungimea arcului s, fie unghiul θ . Având ambele coordonate carteziene ( x , y ) sunt inutile, deoarece x sau y este legat de celălalt prin ecuațiile curbelor. Ele pot fi, de asemenea, parametrizate cu s sau θ .

Traseu curbat deschis F ( x , y ) = 0. Intersecții multiple de rază cu traseu.

Calea curbată închisă C ( x , y ) = 0. Auto-intersecția căii.

Lungimea arcului s de -a lungul curbei este o coordonată generalizată legitimă, deoarece poziția este determinată în mod unic, dar unghiul θ nu este, deoarece există poziții multiple pentru o singură valoare de θ .

Coordonatele generalizate sunt de obicei selectate pentru a oferi numărul minim de coordonate independente care definesc configurația unui sistem, ceea ce simplifică formularea ecuațiilor de mișcare ale lui Lagrange . Cu toate acestea, se poate întâmpla, de asemenea, ca un set util de coordonate generalizate să poată fi dependent , ceea ce înseamnă că acestea sunt legate de una sau mai multe ecuații de constrângere .

Constrângeri holonomice

Suprafața curbată deschisă F ( x , y , z ) = 0

Suprafață curbată închisă S ( x , y , z ) = 0

Două coordonate generalizate, două grade de libertate, pe suprafețe curbate în 3d. Sunt necesare doar două numere ( u , v ) pentru a specifica punctele de pe curbă, fiind prezentată o posibilitate pentru fiecare caz. Cele trei coordonate carteziene complete ( x , y , z ) nu sunt necesare, deoarece oricare două o determină pe a treia în funcție de ecuațiile curbelor.

Pentru un sistem de N particule în spațiul de coordonate reale 3D , vectorul de poziție al fiecărei particule poate fi scris ca un triplu în coordonate carteziene :

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}) \ ,, \ quad \ mathbf {r} _ {2} = (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}) \ ,, \ ldots \ ,, \ mathbf {r} _ {N} = (x_ {N}, y_ {N}, z_ {N}) \ ,.}

Oricare dintre vectorii de poziție poate fi notat r _k unde k = 1, 2, ..., N marchează particulele. O constrângere holonomică este o ecuație de constrângere a formei pentru particula k

{\ displaystyle f (\ mathbf {r} _ {k}, t) = 0}

care leagă toate cele 3 coordonate spațiale ale acelei particule împreună, deci nu sunt independente. Constrângerea se poate schimba cu timpul, deci timpul t va apărea explicit în ecuațiile de constrângere. În orice moment, orice coordonată va fi determinată din celelalte coordonate, de exemplu, dacă se dau x _k și z _k , atunci este și y _k . O ecuație de constrângere contează ca o constrângere. Dacă există constrângeri C , fiecare are o ecuație, deci vor exista ecuații C constrângere. Nu există neapărat o ecuație de constrângere pentru fiecare particulă și, dacă nu există constrângeri pe sistem, atunci nu există ecuații de constrângere.

Până în prezent, configurația sistemului este definită de 3 N cantități, dar coordonatele C pot fi eliminate, o coordonată din fiecare ecuație de constrângere. Numărul de coordonate independente este n = 3 N - C . (În dimensiunile D , configurația inițială ar avea nevoie de coordonate ND , iar reducerea prin constrângeri înseamnă n = ND - C ). Este ideal să utilizați numărul minim de coordonate necesare pentru a defini configurația întregului sistem, profitând în același timp de constrângerile din sistem. Aceste cantități sunt cunoscute ca coordonate generalizate în acest context, notate q _j ( t ). Este convenabil să le colectați într-un n - tuplu

{\ displaystyle \ mathbf {q} (t) = (q_ {1} (t), q_ {2} (t), \ ldots, q_ {n} (t))}

care este un punct din spațiul de configurare al sistemului. Toate sunt independente una de cealaltă și fiecare este o funcție a timpului. Geometric, ele pot fi lungimi de-a lungul liniilor drepte, sau lungimi de arc de -a lungul curbelor sau unghiuri; nu neapărat coordonate carteziene sau alte coordonate ortogonale standard . Există câte una pentru fiecare grad de libertate , deci numărul coordonatelor generalizate este egal cu numărul de grade de libertate, n . Un grad de libertate corespunde unei mărimi care schimbă configurația sistemului, de exemplu unghiul unui pendul sau lungimea arcului traversată de o margine de-a lungul unui fir.

Dacă este posibil să se găsească din constrângeri atâtea variabile independente cu cât există grade de libertate, acestea pot fi utilizate ca coordonate generalizate. Vectorul de poziție r _k al particulei k este o funcție a tuturor coordonatelor generalizate n (și, prin ele, a timpului),

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k} = \ mathbf {r} _ {k} (\ mathbf {q} (t)) \ ,,}

iar coordonatele generalizate pot fi gândite ca parametri asociați cu constrângerea.

Derivatele corespunzătoare în timp ale q sunt vitezele generalizate ,

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = {\ frac {d \ mathbf {q}} {dt}} = ({\ dot {q}} _ {1} (t), {\ dot {q}} _ {2} (t), \ ldots, {\ dot {q}} _ {n} (t))}

(fiecare punct peste o cantitate indică o dată derivată ). Vectorul de viteză v _k este derivata totală a lui r _k în raport cu timpul

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {k} = {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k} = {\ frac {d \ mathbf {r} _ {k}} {dt}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} \ ,. }

și așa depinde, în general, de vitezele și coordonatele generalizate. Deoarece suntem liberi să specificăm valorile inițiale ale coordonatelor generalizate și ale vitezei separat, coordonatele generalizate q _j și viteza dq _j / dt pot fi tratate ca variabile independente .

Constrângeri neholonomice

Un sistem mecanic poate implica constrângeri atât asupra coordonatelor generalizate, cât și a derivatelor acestora. Constrângerile de acest tip sunt cunoscute ca neholonomice. Constrângerile neholonomice de ordinul întâi au forma

{\ displaystyle g (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) = 0 \ ,,}

Un exemplu de astfel de constrângere este o roată de rulare sau o muchie de cuțit care constrânge direcția vectorului viteză. Constrângerile neholonomice pot implica, de asemenea, derivate de ordinul următor, cum ar fi accelerările generalizate.

Mărimi fizice în coordonate generalizate

Energie kinetică

Energia cinetică totală a sistemului este energia mișcării sistemului, definită ca

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k} \ cdot {\ punct {\ mathbf {r}}} _ {k} \ ,,}

în care · este produsul punct . Energia cinetică este o funcție numai a vitezei v _k , nu a coordonatelor r _{k în} sine. Prin contrast, o observație importantă este

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {i}}} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {j}}} \ right) {\ dot {q}} _ {i} {\ dot {q}} _ {j},}

ceea ce ilustrează energia cinetică este în general o funcție a vitezei generalizate, a coordonatelor și a timpului dacă constrângerile variază și în funcție de timp, deci T = T ( q , d q / dt , t ).

În cazul în care constrângerile asupra particulelor sunt independente de timp, atunci toate derivatele parțiale în raport cu timpul sunt nule, iar energia cinetică este o funcție omogenă de gradul 2 în vitezele generalizate.

Totuși pentru cazul independent de timp, această expresie este echivalentă cu luarea elementului de linie pătrat al traiectoriei pentru particula k ,

{\ displaystyle ds_ {k} ^ {2} = d \ mathbf {r} _ {k} \ cdot d \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {i}}} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ { j}}} \ right) dq_ {i} dq_ {j} \ ,,}

și împărțind la diferențialul pătrat în timp, dt ² , pentru a obține viteza pătrată a particulei k . Astfel, pentru constrângeri independente de timp, este suficient să cunoaștem elementul de linie pentru a obține rapid energia cinetică a particulelor și, prin urmare, Lagrangianul.

Este instructiv să vedem diferitele cazuri de coordonate polare în 2d și 3d, datorită apariției lor frecvente. În coordonatele polare 2d ( r , θ ),

{\ displaystyle \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ ,,}

în coordonate cilindrice 3d ( r , θ , z ),

{\ displaystyle \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} \ ,,}

în coordonate sferice 3d ( r , θ , φ ),

{\ displaystyle \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ ,.}

Elan generalizat

Momentul generalizat "se conjugă canonic la" coordonata q _i este definit de

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}.}

În cazul în care Lagrangiene L nu nu depinde de unele coordonate q _i , atunci rezultă din ecuațiile Euler-Lagrange că impulsul generalizat corespunzător va fi o cantitate conservată , deoarece derivata este zero , ceea ce implică impulsul este o constantă a mișcării;

{\ displaystyle {\ dot {p}} _ {i} = {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} = 0 \ ,.}

Exemple

Margele pe un fir

Margele constrânse să se miște pe un fir fără frecare. Sârma exercită o forță de reacție C pe talon pentru a o menține pe sârmă. Forța fără constrângere N în acest caz este gravitația. Observați că poziția inițială a firului poate duce la mișcări diferite.

Pentru un talon care alunecă pe un fir fără frecare supus gravitației în spațiul 2d, constrângerea pe talon poate fi menționată sub forma f ( r ) = 0, unde poziția talonului poate fi scrisă r = ( x ( s ) , y ( s )), în care s este un parametru, lungimea arcului s de -a lungul curbei de la un punct al firului. Aceasta este o alegere adecvată de coordonate generalizate pentru sistem. Numai unul este nevoie de coordonate în loc de două, pentru că poziția talonului poate fi parametrizate de un număr, s , iar ecuația constrângere leagă cele două coordonate x și y ; fie una este determinată de cealaltă. Forța de constrângere este forța de reacție pe care sârma o exercită asupra cordonului pentru a-l menține pe fir, iar forța aplicată fără constrângere este gravitația care acționează asupra cordonului.

Să presupunem că firul își schimbă forma cu timpul, prin flexare. Atunci ecuația de constrângere și poziția particulei sunt respectiv

{\ displaystyle f (\ mathbf {r}, t) = 0 \ ,, \ quad \ mathbf {r} = (x (s, t), y (s, t))}

care acum ambele depind de timpul t datorită schimbării coordonatelor pe măsură ce firul își schimbă forma. Timpul de notificare apare implicit prin intermediul coordonatelor și în mod explicit în ecuațiile de constrângere.

Pendul simplu

Pendul simplu. Deoarece tija este rigidă, poziția bobului este constrânsă în conformitate cu ecuația f ( x , y ) = 0, forța de constrângere C este tensiunea din tijă. Din nou, forța fără constrângere N în acest caz este gravitația.

Model dinamic al unui pendul simplu.

Relația dintre utilizarea coordonatelor generalizate și a coordonatelor carteziene pentru a caracteriza mișcarea unui sistem mecanic poate fi ilustrată luând în considerare dinamica constrânsă a unui pendul simplu.

Un pendul simplu constă dintr-o masă M atârnată de un punct de pivotare astfel încât este constrânsă să se deplaseze pe un cerc de rază L. Poziția masei este definită de vectorul de coordonate r = (x, y) măsurat în planul cercul astfel încât y să fie în direcție verticală. Coordonatele x și y sunt legate de ecuația cercului

{\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -L ^ {2} = 0,}

care constrânge mișcarea lui M. Această ecuație oferă, de asemenea, o constrângere asupra componentelor vitezei,

{\ displaystyle {\ dot {f}} (x, y) = 2x {\ dot {x}} + 2y {\ dot {y}} = 0.}

Acum introduceți parametrul θ, care definește poziția unghiulară a lui M din direcția verticală. Poate fi folosit pentru a defini coordonatele x și y, astfel încât

{\ displaystyle \ mathbf {r} = (x, y) = (L \ sin \ theta, -L \ cos \ theta).}

Utilizarea lui θ pentru a defini configurația acestui sistem evită constrângerea oferită de ecuația cercului.

Observați că forța de greutate care acționează asupra masei m este formulată în coordonatele carteziene obișnuite,

{\ displaystyle \ mathbf {F} = (0, -mg),}

unde g este accelerația gravitației.

Lucrarea virtuală a gravitației pe masa m pe măsură ce urmează traiectoria r este dată de

{\ displaystyle \ delta W = \ mathbf {F} \ cdot \ delta \ mathbf {r}.}

Variația r poate fi calculată în funcție de coordonatele x și y sau din punctul de vedere al parametrului θ, ${\ displaystyle \ delta}$

{\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} = (\ delta x, \ delta y) = (L \ cos \ theta, L \ sin \ theta) \ delta \ theta.}

Astfel, lucrarea virtuală este dată de

{\ displaystyle \ delta W = -mg \ delta y = -mgL \ sin \ theta \ delta \ theta.}

Observați că coeficientul lui y este componenta y a forței aplicate. În același mod, coeficientul lui θ este cunoscut sub numele de forță generalizată de-a lungul coordonatei generalizate θ, dată de ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ delta}$

{\ displaystyle F _ {\ theta} = - mgL \ sin \ theta.}

Pentru a finaliza analiza, luați în considerare energia cinetică T a masei, folosind viteza,

{\ displaystyle \ mathbf {v} = ({\ dot {x}}, {\ dot {y}}) = (L \ cos \ theta, L \ sin \ theta) {\ dot {\ theta}},}

asa de,

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {x}} ^ { 2} + {\ dot {y}} ^ {2}) = {\ frac {1} {2}} mL ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}.}

Forma lui D'Alembert a principiului muncii virtuale pentru pendul în ceea ce privește coordonatele x și y sunt date de,

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {x}}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial x}} = F_ {x} + \ lambda {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}, \ quad {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {y} }}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial y}} = F_ {y} + \ lambda {\ frac {\ partial f} {\ partial y}}.}

Aceasta produce cele trei ecuații

{\ displaystyle m {\ ddot {x}} = \ lambda (2x), \ quad m {\ ddot {y}} = - mg + \ lambda (2y), \ quad x ^ {2} + y ^ {2} -L ^ {2} = 0,}

în cele trei necunoscute, x, y și λ.

Folosind parametrul θ, acele ecuații iau forma

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {\ theta}}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial \ theta}} = F _ {\ theta},}

care devine,

{\ displaystyle mL ^ {2} {\ ddot {\ theta}} = - mgL \ sin \ theta,}

sau

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + {\ frac {g} {L}} \ sin \ theta = 0.}

Această formulare produce o ecuație deoarece există un singur parametru și nu există o ecuație de constrângere.

Aceasta arată că parametrul θ este o coordonată generalizată care poate fi utilizată în același mod ca coordonatele carteziene x și y pentru a analiza pendulul.

Pendul dublu

Un pendul dublu

Beneficiile coordonatelor generalizate devin evidente odată cu analiza unui pendul dublu . Pentru cele două mase m _i , i = 1, 2, să r _i = (x _i , y _i ), i = 1, 2 să definească cele două traiectorii ale acestora. Acești vectori satisfac cele două ecuații de constrângere,

{\ displaystyle f_ {1} (x_ {1}, y_ {1}, x_ {2}, y_ {2}) = \ mathbf {r} _ {1} \ cdot \ mathbf {r} _ {1} - L_ {1} ^ {2} = 0}

și

{\ displaystyle f_ {2} (x_ {1}, y_ {1}, x_ {2}, y_ {2}) = (\ mathbf {r} _ {2} - \ mathbf {r} _ {1}) \ cdot (\ mathbf {r} _ {2} - \ mathbf {r} _ {1}) - L_ {2} ^ {2} = 0.}

Formularea ecuațiilor Lagrange pentru acest sistem produce șase ecuații în cele patru coordonate carteziene x _i , y _i i = 1, 2 și cei doi multiplicatori Lagrange λ _i , i = 1, 2 care apar din cele două ecuații de constrângere.

Acum introduceți coordonatele generalizate θ _i i = 1,2 care definesc poziția unghiulară a fiecărei mase a pendulului dublu din direcția verticală. În acest caz, avem

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = (L_ {1} \ sin \ theta _ {1}, - L_ {1} \ cos \ theta _ {1}), \ quad \ mathbf {r} _ {2} = (L_ {1} \ sin \ theta _ {1}, - L_ {1} \ cos \ theta _ {1}) + (L_ {2} \ sin \ theta _ {2}, - L_ { 2} \ cos \ theta _ {2}).}

Forța gravitațională care acționează asupra maselor este dată de,

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {1} = (0, -m_ {1} g), \ quad \ mathbf {F} _ {2} = (0, -m_ {2} g)}

unde g este accelerația gravitației. Prin urmare, lucrarea virtuală a gravitației pe cele două mase pe măsură ce urmează traiectoriile r _i , i = 1,2 este dată de

{\ displaystyle \ delta W = \ mathbf {F} _ {1} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ { 2}.}

Variațiile δ r _i i = 1, 2 pot fi calculate ca fiind

{\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {1} = (L_ {1} \ cos \ theta _ {1}, L_ {1} \ sin \ theta _ {1}) \ delta \ theta _ {1} , \ quad \ delta \ mathbf {r} _ {2} = (L_ {1} \ cos \ theta _ {1}, L_ {1} \ sin \ theta _ {1}) \ delta \ theta _ {1} + (L_ {2} \ cos \ theta _ {2}, L_ {2} \ sin \ theta _ {2}) \ delta \ theta _ {2}}

Astfel, lucrarea virtuală este dată de

{\ displaystyle \ delta W = - (m_ {1} + m_ {2}) gL_ {1} \ sin \ theta _ {1} \ delta \ theta _ {1} -m_ {2} gL_ {2} \ sin \ theta _ {2} \ delta \ theta _ {2},}

iar forțele generalizate sunt

{\ displaystyle F _ {\ theta _ {1}} = - (m_ {1} + m_ {2}) gL_ {1} \ sin \ theta _ {1}, \ quad F _ {\ theta _ {2}} = -m_ {2} gL_ {2} \ sin \ theta _ {2}.}

Calculați energia cinetică a acestui sistem

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {1} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} \ cdot \ mathbf {v} _ {2} = {\ frac {1} {2}} (m_ {1} + m_ {2}) L_ {1} ^ {2} {\ dot {\ theta}} _ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} L_ {2} ^ {2} {\ dot {\ theta} } _ {2} ^ {2} + m_ {2} L_ {1} L_ {2} \ cos (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) {\ dot {\ theta}} _ {1 } {\ dot {\ theta}} _ {2}.}

Ecuația Euler – Lagrange produce două ecuații în coordonatele generalizate necunoscute θ _i i = 1, 2, date de

{\ displaystyle (m_ {1} + m_ {2}) L_ {1} ^ {2} {\ ddot {\ theta}} _ {1} + m_ {2} L_ {1} L_ {2} {\ ddot {\ theta}} _ {2} \ cos (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) + m_ {2} L_ {1} L_ {2} {\ ddot {\ theta _ {2}} } ^ {2} \ sin (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) = - (m_ {1} + m_ {2}) gL_ {1} \ sin \ theta _ {1},}

și

{\ displaystyle m_ {2} L_ {2} ^ {2} {\ ddot {\ theta}} _ {2} + m_ {2} L_ {1} L_ {2} {\ ddot {\ theta}} _ { 1} \ cos (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) + m_ {2} L_ {1} L_ {2} {\ ddot {\ theta _ {1}}} ^ {2} \ sin (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) = - m_ {2} gL_ {2} \ sin \ theta _ {2}.}

Utilizarea coordonatelor generalizate θ _i i = 1, 2 oferă o alternativă la formularea carteziană a dinamicii pendulului dublu.

Pendul sferic

Pendul sferic: unghiuri și viteze.

Pentru un exemplu 3d, un pendul sferic cu lungime constantă l liber să se balanseze în orice direcție unghiulară supusă gravitației, constrângerea pe bobul pendulului poate fi menționată în forma

{\ displaystyle f (\ mathbf {r}) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -l ^ {2} = 0 \ ,,}

unde se poate scrie poziția bobului pendulului

{\ displaystyle \ mathbf {r} = (x (\ theta, \ phi), y (\ theta, \ phi), z (\ theta, \ phi)) \ ,,}

în care ( θ , φ ) sunt unghiurile polare sferice deoarece bobul se mișcă în suprafața unei sfere. Poziția r este măsurată de-a lungul punctului de suspensie până la bob, tratată aici ca o particulă punctuală . O alegere logică a coordonatelor generalizate pentru a descrie mișcarea sunt unghiurile ( θ , φ ). Sunt necesare doar două coordonate în loc de trei, deoarece poziția bobului poate fi parametrizată cu două numere, iar ecuația de constrângere conectează cele trei coordonate x , y , z , astfel încât oricare dintre ele este determinată din celelalte două.

Coordonate generalizate și lucru virtual

Principiul muncii virtuale prevede că în cazul în care un sistem este în echilibru static, activitatea virtuală a forțelor aplicate este zero pentru toate deplasările virtuale ale sistemului de la această stare, adică, W = 0 pentru orice variație r . Atunci când este formulat în termeni de coordonate generalizate, acest lucru este echivalent cu cerința ca forțele generalizate pentru orice deplasare virtuală să fie zero, adică F _i = 0. ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ delta}$

Fie că forțele de pe sistem să fie F _j , j = 1, ..., m să se aplice punctelor cu coordonate carteziene r _j , j = 1, ..., m, apoi lucrarea virtuală generată de o deplasare virtuală de la poziția de echilibru este dată de

{\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {j}.}

unde δ r _j , j = 1, ..., m denotă deplasările virtuale ale fiecărui punct din corp.

Acum presupunem că fiecare δ r _j depinde de coordonatele generalizate q _i , i = 1, ..., n , atunci

{\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {j} = {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {j}} {\ partial q_ {1}}} \ delta {q} _ {1} + \ ldots + {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {j}} {\ partial q_ {n}}} \ delta {q} _ {n},}

și

{\ displaystyle \ delta W = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {j}} { \ partial q_ {1}}} \ right) \ delta {q} _ {1} + \ ldots + \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {j}} {\ partial q_ {n}}} \ right) \ delta {q} _ {n}.}

Cele n termeni

{\ displaystyle F_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {j}} {\ partial q_ {i}}}, \ quad i = 1, \ ldots, n,}

sunt forțele generalizate care acționează asupra sistemului. Kane arată că aceste forțe generalizate pot fi formulate și în raport cu raportul dintre derivatele în timp,

{\ displaystyle F_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mathbf {F} _ {j} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {v} _ {j}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}, \ quad i = 1, \ ldots, n,}

unde v _j este viteza punctului de aplicare a forței F _j .

Pentru ca lucrarea virtuală să fie zero pentru o deplasare virtuală arbitrară, fiecare dintre forțele generalizate trebuie să fie zero, adică

{\ displaystyle \ delta W = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad F_ {i} = 0, i = 1, \ ldots, n.}

Vezi si

Note

Referințe

^ Ginsberg 2008 , p. 397, §7.2.1 Selectarea coordonatelor generalizate
^ Farid ML Amirouche (2006). "§2.4: coordonate generalizate" . Bazele dinamicii multicorpilor: teorie și aplicații . Springer. p. 46. ISBN 0-8176-4236-6.
^ Florian Scheck (2010). "§5.1 Manifolduri de coordonate generalizate" . Mecanică: de la legile lui Newton la haosul determinist (ed. A V-a). Springer. p. 286. ISBN 978-3-642-05369-6.
^ Goldstein 1980 , p. 12
^ ^a ^b Kibble & Berkshire 2004 , p. 232
^ Torby 1984 , p. 260
^ Goldstein 1980 , p. 13
^ Hand & Finch 2008 , p. 15
^ Torby 1984 , p. 269
^ Goldstein 1980 , p. 25
^ Landau și Lifshitz 1976 , p. 8
^ Greenwood, Donald T. (1987). Principiile dinamicii (ediția a II-a). Prentice Hall. ISBN 0-13-709981-9.
^ Richard Fitzpatrick, Newtonian Dynamics, http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton/Newtonhtml.html .
^ Eric W. Weisstein, Double Pendulum , scienceworld.wolfram.com. 2007
^ Torby, Bruce (1984). „Metode energetice”. Dinamica avansată pentru ingineri . Seria HRW în inginerie mecanică. Statele Unite ale Americii: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
^ TR Kane și DA Levinson, Dynamics: theory and applications, McGraw-Hill, New York, 1985

Bibliografia referințelor citate

Ginsberg, Jerry H. (2008). Dinamica inginerească (ed. A III-a). Cambridge UK: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88303-0.
Kibble, TWB ; Berkshire, FH (2004). Mecanică clasică (ed. A V-a). River Edge NJ: Imperial College Press . ISBN 1860944248.

[Ginsberg-1] Ginsberg 2008 , p. 397, §7.2.1 Selectarea coordonatelor generalizate

[Amirouche-2] Farid ML Amirouche (2006). "§2.4: coordonate generalizate" . Bazele dinamicii multicorpilor: teorie și aplicații . Springer. p. 46. ISBN 0-8176-4236-6.

[Scheck-3] Florian Scheck (2010). "§5.1 Manifolduri de coordonate generalizate" . Mecanică: de la legile lui Newton la haosul determinist (ed. A V-a). Springer. p. 286. ISBN 978-3-642-05369-6.

[4] Goldstein 1980 , p. 12

[Kibble_2004_page=232-6] Kibble & Berkshire 2004 , p. 232

[7] Torby 1984 , p. 260

[8] Goldstein 1980 , p. 13

[Hand_2008_page=15-9] Hand & Finch 2008 , p. 15

[Torby_1984_page=269-11] Torby 1984 , p. 269

[12] Goldstein 1980 , p. 25

[13] Landau și Lifshitz 1976 , p. 8

[14] Greenwood, Donald T. (1987). Principiile dinamicii (ediția a II-a). Prentice Hall. ISBN 0-13-709981-9.

[15] Richard Fitzpatrick, Newtonian Dynamics, http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton/Newtonhtml.html .

[16] Eric W. Weisstein, Double Pendulum , scienceworld.wolfram.com. 2007

[Torby1984-17] Torby, Bruce (1984). „Metode energetice”. Dinamica avansată pentru ingineri . Seria HRW în inginerie mecanică. Statele Unite ale Americii: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.

[18] TR Kane și DA Levinson, Dynamics: theory and applications, McGraw-Hill, New York, 1985

Languages

In other projects