Generaliserade styrkor - Generalized forces

Generaliserade krafter finner användning i Lagrangian mekanik , där de spelar en roll som är konjugerad till generaliserade koordinater . De erhålls från de applicerade krafterna, F _i , i = 1, ..., n, som verkar på ett system för att har sin konfiguration definieras i termer av generaliserade koordinater . I formuleringen av virtuellt arbete är varje generaliserad kraft koefficienten för variationen av en generaliserad koordinat.

Virtuellt arbete

Generaliserade krafter kan erhållas från beräkningen av det virtuella arbetet , 5W, för de applicerade krafterna.

Den virtuella arbete av de krafter, F _i , som verkar på partiklarna P _i , i = 1, ..., n, ges av

${\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i}}$

där δ r _jag är den virtuella förskjutningen av partikel P _i .

Allmänna koordinater

Låt positionsvektorerna för var och en av partiklarna, r _i , vara en funktion av de generaliserade koordinaterna, _qj , j = 1, ..., m. Sedan ges de virtuella förskjutningarna 5 r _i av

${\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {\ partiell \ mathbf {r} _ {i}} {\ partiell q_ {j} }} \ delta q_ {j}, \ quad i = 1, \ ldots, n,}$

där qq _j är den virtuella förskjutningen av den generaliserade koordinaten _qj .

Det virtuella arbetet för systemet med partiklar blir

${\ displaystyle \ delta W = \ mathbf {F} _ {1} \ cdot \ sum _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {\ partiell \ mathbf {r} _ {1}} {\ partiell q_ {j}}} \ delta q_ {j} + \ ldots + \ mathbf {F} _ {n} \ cdot \ sum _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {\ partiell \ mathbf {r} _ {n}} {\ partiell q_ {j}}} \ delta q_ {j}.}$

Samla koefficienterna för qq _j så att

${\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {r} _ {i}} {\ partiell q_ {1}}} \ delta q_ {1} + \ ldots + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {r} _ {i}} {\ partiell q_ {m}}} \ delta q_ {m}.}$

Generaliserade krafter

Det virtuella arbetet med ett system med partiklar kan skrivas i form

${\ displaystyle \ delta W = Q_ {1} \ delta q_ {1} + \ ldots + Q_ {m} \ delta q_ {m},}$

var

${\ displaystyle Q_ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {r} _ {i}} {\ partiell q_ {j}}}, \ quad j = 1, \ ldots, m,}$

kallas de generaliserade krafterna associerade med de generaliserade koordinaterna q _j , j = 1, ..., m.

Hastighetsformulering

Vid tillämpningen av principen om virtuellt arbete är det ofta bekvämt att erhålla virtuella förskjutningar från systemets hastigheter. För n partikelsystemet, låt hastigheten hos varje partikel P _jag vara V _i , då de virtuella förskjutnings δ r _jag kan också skrivas i form

${\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {\ partiell \ mathbf {V} _ {i}} {\ partiell {\ dot { q}} _ {j}}} \ delta q_ {j}, \ quad i = 1, \ ldots, n.}$

Detta innebär att den generaliserade kraften, _Qj , också kan bestämmas som

${\ displaystyle Q_ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {V} _ {i}} {\ partiell {\ dot {q}} _ {j}}}, \ quad j = 1, \ ldots, m.}$

D'Alemberts princip

D'Alembert formulerade dynamiken för en partikel som jämvikten mellan de applicerade krafterna med en tröghetskraft (till synes kraft ), kallad D'Alemberts princip . Tröghetskraften av en partikel, P _i , med massan m _i är

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {*} = - m_ {i} \ mathbf {A} _ {i}, \ quad i = 1, \ ldots, n,}$

där A _i är accelerationen av partikeln.

Om konfigurationen av partikelsystemet beror på de generaliserade koordinaterna _qj , j = 1, ..., m, ges den generaliserade tröghetskraften av

${\ displaystyle Q_ {j} ^ {*} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {*} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {V} _ {i}} {\ partiell {\ dot {q}} _ {j}}}, \ quad j = 1, \ ldots, m.}$

D'Alemberts form av principen om virtuellt arbete ger

${\ displaystyle \ delta W = (Q_ {1} + Q_ {1} ^ {*}) \ delta q_ {1} + \ ldots + (Q_ {m} + Q_ {m} ^ {*}) \ delta q_ {m}.}$

referenser

Se även

• Lagrangian mekanik
• Allmänna koordinater
• Grader av frihet (fysik och kemi)
• Virtuellt arbete