Полная пространственная случайность - Complete spatial randomness

Полная пространственная случайность ( CSR ) описывает точечный процесс, при котором точечные события происходят в пределах данной области исследования совершенно случайным образом. Это синоним однородного пространственного пуассоновского процесса . Такой процесс моделируется с использованием только одного параметра - плотности точек в заданной области. Термин полная пространственная случайность обычно используется в прикладной статистике в контексте исследования определенных точечных паттернов, тогда как в большинстве других статистических контекстов он относится к концепции пространственного пуассоновского процесса. ${\ displaystyle \ rho}$

Модель

Данные в виде набора точек, неравномерно распределенных в пределах области пространства, возникают во многих различных контекстах; Примеры включают расположение деревьев в лесу, птичьих гнезд, ядер в тканях, больных людей из группы риска. Мы называем любой такой набор данных пространственным точечным шаблоном и называем местоположения событиями, чтобы отличить их от произвольных точек рассматриваемого региона. Гипотеза полной пространственной случайности для пространственного точечного паттерна утверждает, что количество событий в любом регионе следует распределению Пуассона с заданным средним числом на однородное подразделение. События паттерна независимо и равномерно распределены в пространстве; Другими словами, события с одинаковой вероятностью произойдут где угодно и не будут взаимодействовать друг с другом.

«Равномерное» используется в смысле следования за равномерным распределением вероятностей по изучаемому региону, а не в смысле «равномерно» распределенных по изучаемому региону. Между событиями нет взаимодействий, так как интенсивность событий не меняется по плоскости. Например, предположение о независимости будет нарушено, если наличие одного события либо стимулировало, либо препятствовало возникновению других событий в окрестностях.

Распределение

Таким образом, вероятность найти именно точки в пределах области с плотностью событий составляет : ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle P (к, \ rho, V) = {\ frac {(V \ rho) ^ {k} e ^ {- (V \ rho)}} {k!}}. \, \!}$

Первый момент, среднее количество точек в районе, просто . Это значение интуитивно понятно, так как это параметр скорости Пуассона. ${\ displaystyle \ rho V}$

Вероятность обнаружения соседа любой заданной точки на некотором радиальном расстоянии равна: ${\ Displaystyle N ^ {\ mathrm {th}}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle P_ {N} (r) = {\ frac {D} {(N-1)!}} {\ lambda} ^ {N} r ^ {DN-1} e ^ {- \ lambda r ^ { D}},}$

где - количество измерений, - параметр, зависящий от плотности, который задается, и - это гамма-функция , которая, когда ее аргумент является целым числом, является просто факториальной функцией. ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ rho \ pi ^ {\ frac {D} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {D} {2}} + 1)}}}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Ожидаемое значение может быть получено с помощью гамма-функции с использованием статистических моментов. Первый момент - это среднее расстояние между случайно распределенными частицами по размерам. ${\ displaystyle P_ {N} (r)}$${\ displaystyle D}$

Приложения

Изучение CSR важно для сравнения измеренных точечных данных из экспериментальных источников. Как метод статистического тестирования, тест CSR имеет множество применений в социальных науках и в астрономических исследованиях. КСО часто является стандартом, по которому тестируются наборы данных. В общих чертах описан один из подходов к проверке гипотезы КСО:

1. Используйте статистику, которая является функцией расстояния от каждого события до следующего ближайшего события.
2. Сначала сосредоточьтесь на конкретном событии и сформулируйте метод проверки того, являются ли событие и следующее ближайшее событие значительно близкими (или далекими).
3. Затем рассмотрите все события и сформулируйте метод проверки того, является ли среднее расстояние от каждого события до следующего ближайшего события значительно коротким (или длинным).

В случаях, когда аналитическое вычисление тестовой статистики затруднено, используются численные методы, такие как моделирование методом Монте-Карло , путем моделирования случайного процесса большое количество раз.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Диггл, П.Дж. (2003). Статистический анализ пространственных паттернов точек (2-е изд.). Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 0340740701.

Внешние ссылки

• Улучшение межсобытийных дистанционных тестов случайности в процессах пространственных точек