Aléatoire spatial complet - Complete spatial randomness

Le caractère aléatoire spatial complet ( CSR ) décrit un processus ponctuel par lequel des événements ponctuels se produisent dans une zone d'étude donnée de manière complètement aléatoire. Il est synonyme d'un processus de Poisson spatial homogène . Un tel processus est modélisé à l'aide d'un seul paramètre , à savoir la densité de points dans la zone définie. Le terme aléatoire spatial complet est couramment utilisé en statistique appliquée dans le contexte de l'examen de certains modèles de points, alors que dans la plupart des autres contextes statistiques, il fait référence au concept de processus de Poisson spatial. ${\style d'affichage \rho }$

Modèle

Les données sous la forme d'un ensemble de points, irrégulièrement distribués dans une région de l'espace, surviennent dans de nombreux contextes différents ; les exemples incluent les emplacements d'arbres dans une forêt, de nids d'oiseaux, de noyaux dans des tissus, de personnes malades dans une population à risque. Nous appelons un tel ensemble de données un modèle de points spatiaux et appelons les emplacements des événements, pour les distinguer des points arbitraires de la région en question. L'hypothèse de l'aléatoire spatial complet pour un modèle de points spatial affirme que le nombre d'événements dans n'importe quelle région suit une distribution de Poisson avec un nombre moyen donné par subdivision uniforme. Les événements d'un motif sont répartis indépendamment et uniformément dans l'espace ; en d'autres termes, les événements sont également susceptibles de se produire n'importe où et n'interagissent pas les uns avec les autres.

« Uniforme » est utilisé dans le sens de suivre une distribution de probabilité uniforme dans la région d'étude, et non dans le sens de « également » dispersée dans la région d'étude. Il n'y a pas d'interactions entre les événements, car l'intensité des événements ne varie pas sur le plan. Par exemple, l'hypothèse d'indépendance serait violée si l'existence d'un événement encourageait ou inhibait l'occurrence d'autres événements dans le voisinage.

Distribution

La probabilité de trouver exactement des points dans la zone avec une densité d'événements est donc : ${\style d'affichage k}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage \rho }$

${\displaystyle P(k,\rho ,V)={\frac {(V\rho )^{k}e^{-(V\rho )}}{k!}}.\,\!}$

Le premier moment dont, le nombre moyen de points dans la zone, est simplement . Cette valeur est intuitive car il s'agit du paramètre du taux de Poisson. ${\style d'affichage \rho V}$

La probabilité de localiser le voisin d'un point donné, à une certaine distance radiale est : ${\displaystyle N^{\mathrm {th} }}$${\style d'affichage r}$

${\displaystyle P_{N}(r)={\frac {D}{(N-1)!}}{\lambda }^{N}r^{DN-1}e^{-\lambda r^{ RÉ}},}$

où est le nombre de dimensions, est un paramètre dépendant de la densité donné par et est la fonction gamma , qui, lorsque son argument est entier, est simplement la fonction factorielle . ${\style d'affichage D}$${\style d'affichage \lambda }$${\displaystyle \lambda ={\frac {\rho \pi ^{\frac {D}{2}}}{\Gamma ({\frac {D}{2}}+1)}}}$${\style d'affichage \Gamma }$

La valeur attendue de peut être dérivée via l'utilisation de la fonction gamma en utilisant des moments statistiques. Le premier moment est la distance moyenne entre les particules distribuées aléatoirement dans les dimensions. ${\style d'affichage P_{N}(r)}$${\style d'affichage D}$

Applications

L'étude de la RSE est essentielle pour la comparaison de données ponctuelles mesurées à partir de sources expérimentales. En tant que méthode de test statistique, le test de RSE a de nombreuses applications dans les sciences sociales et dans les examens astronomiques. La RSE est souvent la norme par rapport à laquelle les ensembles de données sont testés. Une approche grossièrement décrite pour tester l'hypothèse de la RSE est la suivante :

1. Utilisez des statistiques qui sont fonction de la distance entre chaque événement et le prochain événement le plus proche.
2. Tout d'abord, concentrez-vous sur un événement spécifique et formulez une méthode pour tester si l'événement et le prochain événement le plus proche sont significativement proches (ou éloignés).
3. Considérez ensuite tous les événements et formulez une méthode pour tester si la distance moyenne entre chaque événement et le prochain événement le plus proche est significativement courte (ou longue).

Dans les cas où le calcul analytique des statistiques de test est difficile, des méthodes numériques, telles que la simulation de la méthode Monte Carlo, sont utilisées, en simulant un processus stochastique un grand nombre de fois.

Les références

Lectures complémentaires

• Diggle, PJ (2003). Analyse statistique des modèles de points spatiaux (2e éd.). New York : Presse académique. ISBN 0340740701.

Liens externes

• Amélioration des tests de distance inter-événement d'aléatoire dans les processus spatiaux ponctuels