Комплексное векторное расслоение - Complex vector bundle

В математике комплексное векторное расслоение - это векторное расслоение , слои которого являются комплексными векторными пространствами .

Любое комплексное векторное расслоение можно рассматривать как реальное векторное расслоение через ограничение скаляров . И наоборот, любое реальное векторное расслоение E можно преобразовать в комплексное векторное расслоение, комплексификация

${\ Displaystyle E \ otimes \ mathbb {C};}$

слои которого Е _х ⊗ _R C .

Любое комплексное векторное расслоение над паракомпактным пространством допускает эрмитову метрику .

Базовым инвариантом комплексного векторного расслоения является класс Черна . Комплексное векторное расслоение канонически ориентировано ; в частности, можно взять его класс Эйлера .

Комплексное векторное расслоение называется голоморфным векторным расслоением, если X - комплексное многообразие и если локальные тривиализации биголоморфны.

Сложная структура

Сложное векторное расслоение можно рассматривать как реальное векторное расслоение с дополнительной структурой, сложной структурой . По определению, сложная структура - это карта расслоения между реальным векторным расслоением E и самим собой:

${\ displaystyle J: E \ to E}$

такой, что J действует как квадратный корень i из -1 на волокнах: если это отображение на уровне слоя, то как линейное отображение. Если E - комплексное векторное расслоение, то комплексная структура J может быть определена путем задания скалярного умножения на . И наоборот, если E - вещественное векторное расслоение со сложной структурой J , то E можно превратить в комплексное векторное расслоение, установив: для любых действительных чисел a , b и действительного вектора v в слое E _x , ${\ displaystyle J_ {x}: E_ {x} \ to E_ {x}}$${\ displaystyle J_ {x} ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle J_ {x}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle (a + ib) v = av + J (bv).}$

Пример : комплексную структуру на касательном расслоении вещественного многообразия M обычно называют почти комплексной структурой . Теорема Ньюлендера и Ниренбергом говорит , что почти комплексная структура J является «интегрируемой» в том смысле , что индуцируется структурой комплексного многообразия тогда и только тогда , когда некоторый тензор с участием J равна нулю.

Связка конъюгата

Если Е представляет собой комплексное векторное расслоение, то сопряженная пучок из Й получаются при наличии комплексных чисел , действующих через сложные конъюгат чисел. Таким образом, тождественное отображение лежащих в основе вещественных векторных расслоений: сопряженно-линейно, а E и его сопряженное E изоморфны как вещественные векторные расслоения. ${\ displaystyle {\ overline {E}}}$${\ displaystyle E _ {\ mathbb {R}} \ to {\ overline {E}} _ {\ mathbb {R}} = E _ {\ mathbb {R}}}$

В K -й класс Черна из дается ${\ displaystyle {\ overline {E}}}$

${\ displaystyle c_ {k} ({\ overline {E}}) = (- 1) ^ {k} c_ {k} (E)}$ .

В частности, E и E , вообще говоря, не изоморфны.

Если E имеет эрмитову метрику, то сопряженное расслоение E изоморфно двойственному расслоению через метрику, где мы писали для тривиального комплексного линейного расслоения. ${\ displaystyle E ^ {*} = \ operatorname {Hom} (E, {\ mathcal {O}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

Если E - реальное векторное расслоение, то лежащее в основе реальное векторное расслоение комплексификации E является прямой суммой двух копий E :

${\ displaystyle (E \ otimes \ mathbb {C}) _ {\ mathbb {R}} = E \ oplus E}$

(так как V ⊗ _R C = V ⊕ я V для любого вещественного векторного пространства V ) . Если комплексное векторное расслоение Е является комплексификацией вещественное векторное расслоение Е «то Е » называется вещественной формой в Е (там может быть более чем одной действительной формой), и говорят, что E определено над действительными числами. Если E имеет вещественную форму, то E изоморфен своему сопряженному (поскольку они оба являются суммой двух копий действительной формы), и, следовательно, нечетные классы Черна E имеют порядок 2.

Смотрите также

• Голоморфное векторное расслоение
• K-теория

Рекомендации

• Милнор, Джон Уиллард ; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характерные классы , Анналы математических исследований, 76 , Princeton University Press; Университет Токио Пресс, ISBN   978-0-691-08122-9