Monimutkainen vektoripaketti - Complex vector bundle

Matematiikassa monimutkainen vektoripaketti on vektoripaketti, jonka kuidut ovat monimutkaisia ​​vektoritiloja .

Mitä tahansa monimutkaista vektoripakettia voidaan pitää todellisena vektoripakettina skalaarien rajoittamisen kautta . Päinvastoin mikä tahansa todellinen vektori-nippu E voidaan ylittää kompleksiseksi vektori-nippuksi, kompleksiksi

${\ displaystyle E \ otimes \ mathbb {C};}$

joiden kuidut ovat E _x ⊗ _R C .

Mikä tahansa monimutkainen vektorikimppu parakompaktin tilan yli sallii hermitianmetriikan .

Monimutkaisen vektoripaketin perusvariantti on Chern-luokka . Monimutkainen vektoripaketti on kanonisesti suuntautunut ; erityisesti voi ottaa sen Euler-luokan .

Monimutkainen vektoripaketti on holomorfinen vektoripaketti, jos X on monimutkainen jakotukki ja jos paikalliset trivialisaatiot ovat biholomorfisia.

Monimutkainen rakenne

Monimutkainen vektoripaketti voidaan ajatella todellisena vektoripakettina, jolla on lisärakenne, kompleksirakenne . Määritelmän mukaan monimutkainen rakenne on nippukartta todellisen vektoripaketin E ja itsensä välillä:

${\ displaystyle J: E \ E}$

siten, että J toimii neliöjuuri i -1 kuituihin: jos on kartta kuitu-tasolla, niin kuin lineaarista karttaa. Jos E on monimutkainen vektoripaketti, kompleksirakenne J voidaan määritellä asettamalla se skalaariseksi kerrottavaksi . Vastaavasti, jos E on todellinen vektoripaketti, jolla on monimutkainen rakenne J , niin E voidaan muuttaa monimutkaiseksi vektoripaketiksi asettamalla: mille tahansa reaaliluvulle a , b ja todelliselle vektorille v kuidussa E _x , ${\ displaystyle J_ {x}: E_ {x} \ - E_ {x}}$${\ displaystyle J_ {x} ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle J_ {x}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle (a + ib) v = av + J (bv).}$

Esimerkki : Todellisen jakotukin M tangenttikimpun monimutkaista rakennetta kutsutaan yleensä melkein monimutkaiseksi rakenteeksi . Lause, Newlander ja Nirenberg sanoo, että lähes monimutkainen rakenne J on "integroituva" siinä mielessä, että se indusoituu rakenne monimutkainen jakoputken, jos ja vain jos tietty tensorin johon J katoaa.

Konjugaattipaketti

Jos E on monimutkainen vektorikimppu, sitten konjugaatti nippu on E on saatu, joilla on kompleksilukuja kautta toimiva kompleksikonjugaatit numerot. Siten taustalla olevien todellisten vektoripakettien identiteettikartta on konjugaattilineaarinen, ja E ja sen konjugaatti E ovat isomorfisia todellisina vektoripaketteina. ${\ displaystyle {\ overline {E}}}$${\ displaystyle E _ {\ mathbb {R}} \ - {\ overline {E}} _ {\ mathbb {R}} = E _ {\ mathbb {R}}}$

K : nteen Chern luokan of annetaan ${\ displaystyle {\ overline {E}}}$

${\ displaystyle c_ {k} ({\ overline {E}}) = (- 1) ^ {k} c_ {k} (E)}$ .

Erityisesti E ja E eivät yleensä ole isomorfisia.

Jos E: llä on hermiittimittari, konjugaattikimppu E on isomorfinen kaksoispakettiin metriikan läpi, jossa kirjoitimme triviaalista kompleksikokonaispaketista. ${\ displaystyle E ^ {*} = \ operaattorin nimi {Hom} (E, {\ mathcal {O}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

Jos E on todellinen vektoripaketti, niin E: n kompleksoinnin taustalla oleva todellinen vektoripaketti on E : n kahden kopion suora summa :

${\ displaystyle (E \ otimes \ mathbb {C}) _ {\ mathbb {R}} = E \ oplus E}$

(koska V ⊗ _R C = V ⊕ i V mitään todellista vektori tilaan V .) Jos monimutkainen vektorikimppu E on complexification todellisen vektorikimppu E 'niin E ' kutsutaan todellinen muoto ja E (ei voi olla useampi kuin yksi todellinen muoto) ja E: n sanotaan olevan määritelty reaalilukujen yli. Jos E: llä on todellinen muoto, niin E on isomorfinen sen konjugaatille (koska ne ovat molemmat todellisen muodon kahden kopion summa), ja näin ollen E: n parittomilla Chern-luokilla on järjestys 2.

Katso myös

• Holomorfinen vektoripaketti
• K-teoria

Viitteet

• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Luokat , Annals of Mathematics Studies, 76 , Princeton University Press; Tokyo University Press, ISBN   978-0-691-08122-9