Komplex vektorpaket - Complex vector bundle

I matematik är ett komplext vektorpaket ett vektorpaket vars fibrer är komplexa vektorutrymmen .

Varje komplex vektorbunt kan ses som ett verkligt vektorpaket genom begränsning av skalar . Omvänt kan vilket som helst verkligt vektorpaket E befordras till ett komplext vektorpaket, komplexiseringen

${\ displaystyle E \ otimes \ mathbb {C};}$

vars fibrer är E _x ⊗ _R C .

Varje komplex vektorpaket över ett parakompakt utrymme medger en hermitisk mått .

Den grundläggande invarianten i ett komplext vektorpaket är en Chern-klass . Ett komplext vektorpaket är kanoniskt orienterat ; i synnerhet kan man ta sin Euler-klass .

Ett komplext vektorpaket är ett holomorft vektorpaket om X är ett komplext grenrör och om de lokala trivialiseringarna är biholomorfa.

Komplex struktur

Ett komplext vektorpaket kan betraktas som ett verkligt vektorpaket med en ytterligare struktur, den komplexa strukturen . Per definition är en komplex struktur en buntkarta mellan ett verkligt vektorpaket E och sig själv:

${\ displaystyle J: E \ till E}$

så att J fungerar som kvadratroten i -1 på fibrer: om är kartan på fibernivå, då som en linjär karta. Om E är ett komplext vektorpaket kan den komplexa strukturen J definieras genom att ställa in den skalära multiplikationen med . Omvänt, om E är ett verkligt vektorpaket med en komplex struktur J , kan E förvandlas till ett komplext vektorpaket genom att ställa in: för alla reella tal a , b och en verklig vektor v i en fiber E _x , ${\ displaystyle J_ {x}: E_ {x} \ till E_ {x}}$${\ displaystyle J_ {x} ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle J_ {x}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle (a + ib) v = av + J (bv).}$

Exempel : En komplex struktur på tangentbunten i ett verkligt grenrör M kallas vanligtvis en nästan komplex struktur . En sats om Newlander och Nirenberg säger att en nästan komplex struktur J är "integrerbar" i den meningen att den induceras av en struktur av en komplex grenrör om och bara om en viss tensor som involverar J försvinner.

Konjugatpaket

Om E är ett komplext vektorpaket, erhålls konjugatbunten av E genom att ha komplexa tal som verkar genom de komplexa konjugaten av siffrorna. Således är identitetskartan för de underliggande verkliga vektorknippen: konjugat-linjär, och E och dess konjugat E är isomorfa som verkliga vektorknippen. ${\ displaystyle {\ overline {E}}}$${\ displaystyle E _ {\ mathbb {R}} \ till {\ overline {E}} _ {\ mathbb {R}} = E _ {\ mathbb {R}}}$

Den k- th Chern klassen av ges av ${\ displaystyle {\ overline {E}}}$

${\ displaystyle c_ {k} ({\ overline {E}}) = (- 1) ^ {k} c_ {k} (E)}$ .

I synnerhet är E och E inte isomorfa i allmänhet.

Om E har ett hermitiskt mått är konjugatbunten E isomorf till det dubbla buntet genom mätvärdet, där vi skrev för den triviala komplexa radbunten. ${\ displaystyle E ^ {*} = \ operatorname {Hom} (E, {\ mathcal {O}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

Om E är ett verkligt vektorpaket, är det underliggande verkliga vektorpaketet av komplexiseringen av E en direkt summa av två kopior av E :

${\ displaystyle (E \ otimes \ mathbb {C}) _ {\ mathbb {R}} = E \ oplus E}$

(eftersom V ⊗ _R C = V ⊕ i V för någon verklig vektorrummet V .) Om en komplex vektorknippe E är complexification av en reell vektorknippe E 'därefter E ' kallas en verklig formen av E (det kan vara mer än en verklig form) och E sägs definieras över de verkliga siffrorna. Om E har en verklig form är E isomorf till sitt konjugat (eftersom de båda är summan av två kopior av en riktig form), och följaktligen har de udda Chern-klasserna av E ordning 2.

Se även

• Holomorf vektor bunt
• K-teori

Referenser

• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Karakteristiska klasser , matematikstudier, 76 , Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN   978-0-691-08122-9