Pacote de vetores complexos - Complex vector bundle

Em matemática, um pacote vetorial complexo é um pacote vetorial cujas fibras são espaços vetoriais complexos .

Qualquer pacote vetorial complexo pode ser visto como um pacote vetorial real por meio da restrição de escalares . Por outro lado, qualquer pacote vetorial real E pode ser promovido a um pacote vetorial complexo, a complexificação

${\ displaystyle E \ otimes \ mathbb {C};}$

cujas fibras são de E _x ⊗ _R C .

Qualquer pacote vetorial complexo sobre um espaço paracompacto admite uma métrica hermitiana .

O invariante básico de um pacote vetorial complexo é uma classe Chern . Um pacote vetorial complexo é canonicamente orientado ; em particular, pode-se fazer sua classe de Euler .

Um pacote vetorial complexo é um pacote vetorial holomórfico se X for uma variedade complexa e se as trivializações locais forem biolomórficas.

Estrutura complexa

Um pacote vetorial complexo pode ser considerado um pacote vetorial real com uma estrutura adicional, a estrutura complexa . Por definição, uma estrutura complexa é um mapa de pacote entre um pacote vetorial real E e ele mesmo:

${\ displaystyle J: E \ a E}$

tal que J atua como a raiz quadrada i de -1 nas fibras: se é o mapa no nível da fibra, então como um mapa linear. Se E é um pacote vetorial complexo, então a estrutura complexa J pode ser definida configurando -se para ser a multiplicação escalar por . Por outro lado, se E é um pacote vetorial real com uma estrutura complexa J , então E pode ser transformado em um pacote vetorial complexo definindo: para quaisquer números reais a , b e um vetor real v em uma fibra E _x , ${\ displaystyle J_ {x}: E_ {x} \ a E_ {x}}$${\ displaystyle J_ {x} ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle J_ {x}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle (a + ib) v = av + J (bv).}$

Exemplo : Uma estrutura complexa no feixe tangente de uma variedade real M é geralmente chamada de estrutura quase complexa . Um teorema de Newlander e Nirenberg diz que uma estrutura quase complexa J é "integrável" no sentido em que é induzida por uma estrutura de uma variedade complexa se e somente se um certo tensor envolvendo J desaparecer.

Pacote Conjugado

Se E é um feixe vetorial complexo, então o feixe conjugado de E é obtido por ter números complexos agindo através dos conjugados complexos dos números. Assim, o mapa de identidade dos pacotes vetoriais reais subjacentes: é conjugado-linear, e E e seu conjugado E são isomórficos como pacotes vetoriais reais. ${\ displaystyle {\ overline {E}}}$${\ displaystyle E _ {\ mathbb {R}} \ to {\ overline {E}} _ {\ mathbb {R}} = E _ {\ mathbb {R}}}$

A classe k- th Chern de é dada por ${\ displaystyle {\ overline {E}}}$

${\ displaystyle c_ {k} ({\ overline {E}}) = (- 1) ^ {k} c_ {k} (E)}$ .

Em particular, E e E não são isomórficos em geral.

Se E tem uma métrica hermitiana, então o feixe conjugado E é isomórfico ao feixe dual através da métrica, onde escrevemos para o feixe de linhas complexas triviais. ${\ displaystyle E ^ {*} = \ operatorname {Hom} (E, {\ mathcal {O}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

Se E é um pacote vetorial real, então o pacote vetorial real subjacente da complexificação de E é uma soma direta de duas cópias de E :

${\ displaystyle (E \ otimes \ mathbb {C}) _ {\ mathbb {R}} = E \ oplus E}$

(uma vez que V ⊗ _R C = V ⊕ i V para qualquer espaço vectorial real V .) Se um vector complexo feixe E é o complexificação de um vector verdadeiro feixe de E 'então E ' é chamado uma forma real de E (pode haver ser mais de uma forma real) e diz-se que E está definido sobre os números reais. Se E tem uma forma real, então E é isomórfico ao seu conjugado (uma vez que ambos são soma de duas cópias de uma forma real) e, conseqüentemente, as classes Chern ímpares de E têm ordem 2.

Veja também

• Pacote de vetores holomórficos
• Teoria K

Referências

• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Characteristic classes , Annals of Mathematics Studies, 76 , Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN   978-0-691-08122-9