Trinnfunksjon - Step function

I matematikk kalles en funksjon på de reelle tallene en trinnfunksjon (eller trappefunksjon ) hvis den kan skrives som en endelig lineær kombinasjon av indikatorfunksjoner av intervaller . Uformelt sett er en trinnfunksjon en stykkevis konstant funksjon som bare har endelig mange brikker.

Eksempel på en trinnfunksjon (den røde grafen). Denne spesielle trinnfunksjonen er kontinuerlig .

Definisjon og første konsekvenser

En funksjon kalles en trinnfunksjon hvis den kan skrives som ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (x) = \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ chi _ {A_ {i}} (x)}$, for alle reelle tall ${\ displaystyle x}$

hvor , er reelle tall, er intervaller, og er den indikator funksjon av : ${\ displaystyle n \ geq 0}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle \ chi _ {A}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ chi _ {A} (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x \ i A \\ 0 & {\ text {if}} x \ notin A \\\ end { saker}}}$

I denne definisjonen kan intervallene antas å ha følgende to egenskaper: ${\ displaystyle A_ {i}}$

1. Intervallene er parvise usammenhengende : for${\ displaystyle A_ {i} \ cap A_ {j} = \ emptyset}$${\ displaystyle i \ neq j}$
2. Den union av intervallene er hele sann linje:${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 0} ^ {n} A_ {i} = \ mathbb {R}.}$

Faktisk, hvis det ikke er tilfelle til å begynne med, kan et annet sett med intervaller velges som disse antakelsene holder. For eksempel trinnfunksjonen

${\ displaystyle f = 4 \ chi _ {[- 5,1)} + 3 \ chi _ {(0,6)}}$

kan skrives som

${\ displaystyle f = 0 \ chi _ {(- \ infty, -5)} + 4 \ chi _ {[- 5,0]} + 7 \ chi _ {(0,1)} + 3 \ chi _ { [1,6)} + 0 \ chi _ {[6, \ infty)}.}$

Variasjoner i definisjonen

Noen ganger kreves det at intervallene er høyreåpne eller tillatt å være singleton. Betingelsen om at samlingen av intervaller må være endelig blir ofte droppet, spesielt i skolematematikk, selv om den fremdeles må være lokal endelig, noe som resulterer i definisjonen av stykkevise konstante funksjoner.

Eksempler

Den Heaviside trinnfunksjon er en ofte brukt trinnfunksjonen.

• En konstant funksjon er et trivielt eksempel på en trinnfunksjon. Så er det bare ett intervall,${\ displaystyle A_ {0} = \ mathbb {R}.}$
• Den tegn funksjonen sgn ( X ) , som er -1 for negative tall og en for positive tall, og er den enkleste, ikke-konstant trinnfunksjonen.
• Den Unit-funksjon H ( x ) , som er 0 for negative tall og en for positive tall, er ekvivalent med funksjonen tegnet, opp til en skift og omfanget av område ( ). Det er den matematiske konseptet bak noen test- signaler , slik som de som brukes til å bestemme den trinnresponsen for et dynamisk system .${\ displaystyle H = (\ operatorname {sgn} +1) / 2}$

Den rektangulære funksjonen , den neste enkleste trinnfunksjonen.

• Den rektangulære funksjonen , den normaliserte kassevognfunksjonen , brukes til å modellere en enhetspuls.

Ikke-eksempler

• Den heltallsdelen funksjon er ikke en trinnfunksjon i henhold til definisjonen av denne artikkelen, siden det har et uendelig antall intervaller. Imidlertid definerer noen forfattere også trinnfunksjoner med et uendelig antall intervaller.

Eiendommer

• Summen og produktet av to trinns funksjoner er igjen en trinnfunksjon. Produktet av en trinnfunksjon med et tall er også en trinnfunksjon. Som sådan danner trinnfunksjonene en algebra over de reelle tallene.
• En trinnfunksjon tar bare et endelig antall verdier. Hvis intervallene for i definisjonen ovenfor av trinnfunksjonen ikke er sammenhengende, og deres forening er den virkelige linjen, så for alle${\ displaystyle A_ {i},}$${\ displaystyle i = 0,1, \ prikker, n}$${\ displaystyle f (x) = \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle x \ i A_ {i}.}$
• Den bestemte integralen til en trinnfunksjon er en stykkevis lineær funksjon .
• Den Lebesgue integral av en trinnfunksjon er der er lengden av intervallet , og det antas her at alle intervallene har begrenset lengde. Faktisk kan denne likheten (sett på som en definisjon) være det første trinnet i å konstruere Lebesgue-integralen.${\ displaystyle \ textstyle f = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ chi _ {A_ {i}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ int f \, dx = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ ell (A_ {i}),}$${\ displaystyle \ ell (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A_ {i}}$
• En diskret tilfeldig variabel blir noen ganger definert som en tilfeldig variabel hvis kumulative fordelingsfunksjon er stykkevis konstant. I dette tilfellet er det lokalt en trinnfunksjon (globalt kan det ha et uendelig antall trinn). Vanligvis kalles imidlertid en vilkårlig variabel med bare uttallige mange mulige verdier en diskret tilfeldig variabel, i dette tilfellet er deres kumulative fordelingsfunksjon ikke nødvendigvis lokalt en trinnfunksjon, da uendelig mange intervaller kan akkumuleres i et endelig område.

Se også

• Crenel funksjon
• Delvis definert funksjon
• Sigmoid funksjon
• Enkel funksjon
• Trinnregistrering
• Enhetstrinnsfunksjon

Referanser