Procesul punctului Poisson - Poisson point process

În probabilitate , statistici și câmpuri conexe, un proces de punct Poisson este un tip de obiect matematic aleatoriu care constă din puncte situate aleator pe un spațiu matematic . Procesul punctului Poisson este adesea numit pur și simplu procesul Poisson , dar se mai numește și măsură aleatorie Poisson , câmp punct aleatoriu Poisson sau câmp punct Poisson . Acest proces punctual are proprietăți matematice convenabile, ceea ce a dus la definirea sa frecventă în spațiul euclidian și utilizat ca model matematic pentru procese aparent aleatorii în numeroase discipline precum astronomie , biologie , ecologie, geologie, seismologie , fizică , economie, procesarea imaginilor și telecomunicații.

Procesul poartă numele matematicianului francez Siméon Denis Poisson, deși Poisson nu a studiat niciodată procesul. Numele său derivă din faptul că dacă o colecție de puncte aleatorii într-un anumit spațiu formează un proces Poisson, atunci numărul de puncte dintr-o regiune de mărime finită este o variabilă aleatorie cu o distribuție Poisson . Procesul a fost descoperit independent și în mod repetat în mai multe setări, inclusiv experimente privind dezintegrarea radioactivă, sosirile de apeluri telefonice și matematica asigurărilor.

Procesul punctului Poisson este adesea definit pe linia reală , unde poate fi considerat un proces stochastic . În această setare, este folosit, de exemplu, în teoria cozilor pentru a modela evenimente aleatorii, cum ar fi sosirea clienților la un magazin, apeluri telefonice la un schimb sau apariția cutremurelor, distribuite în timp. În plan , procesul punctual, cunoscut și sub numele de proces spațial Poisson , poate reprezenta locațiile obiectelor împrăștiate, cum ar fi emițătoare într-o rețea fără fir , particule care se ciocnesc într-un detector sau copaci într-o pădure. În această setare, procesul este adesea utilizat în modele matematice și în câmpurile conexe ale proceselor punctelor spațiale, geometria stocastică , statisticile spațiale și teoria percolării continuumului . Procesul punctului Poisson poate fi definit pe spații mai abstracte . Dincolo de aplicații, procesul punctului Poisson este un obiect de studiu matematic în sine. În toate setările, procesul punctului Poisson are proprietatea că fiecare punct este independent stochastic față de toate celelalte puncte din proces, motiv pentru care este uneori numit un proces pur sau complet aleatoriu. În ciuda utilizării sale largi ca model stocastic de fenomene reprezentabile ca puncte, natura inerentă a procesului implică faptul că nu descrie în mod adecvat fenomenele în care există o interacțiune suficient de puternică între puncte. Acest lucru a inspirat propunerea altor procese punctuale, dintre care unele sunt construite cu procesul punctului Poisson, care urmăresc să surprindă o astfel de interacțiune.

Procesul punctual depinde de un singur obiect matematic, care, în funcție de context, poate fi o constantă , o funcție integrabilă local sau, în condiții mai generale, o măsură Radon . În primul caz, constanta, cunoscută sub numele de viteză sau intensitate , este densitatea medie a punctelor din procesul Poisson situate într-o anumită regiune a spațiului. Procesul punctului rezultat se numește proces punctual Poisson omogen sau staționar . În cel de-al doilea caz, procesul punctual se numește un proces neomogen sau neomogen al punctului Poisson , iar densitatea medie a punctelor depinde de locația spațiului subiacent al procesului punctului Poisson. Cuvântul punct este adesea omis, dar există și alte procese Poisson ale obiectelor, care, în loc de puncte, constau din obiecte matematice mai complicate, cum ar fi liniile și poligoanele , iar astfel de procese se pot baza pe procesul punctului Poisson. Ambele, procesul omogen al punctului Poisson și procesul neomogen al punctului Poisson sunt cazuri particulare ale procesului de reînnoire generalizat .

Prezentare generală a definițiilor

În funcție de setare, procesul are mai multe definiții echivalente, precum și definiții de generalitate diferită datorită numeroaselor sale aplicații și caracterizări. Procesul punctului Poisson poate fi definit, studiat și utilizat într-o singură dimensiune, de exemplu, pe linia reală, unde poate fi interpretat ca un proces de numărare sau ca parte a unui model de coadă; în dimensiuni superioare, cum ar fi planul în care joacă un rol în geometria stocastică și statisticile spațiale ; sau pe spații matematice mai generale. În consecință, notația, terminologia și nivelul de rigoare matematică utilizate pentru a defini și studia procesul punctului Poisson și procesele punctelor în general variază în funcție de context.

Cu toate acestea, procesul punctului Poisson are două proprietăți cheie - proprietatea Poisson și proprietatea independenței - care joacă un rol esențial în toate setările în care este utilizat procesul punctului Poisson. Cele două proprietăți nu sunt independente din punct de vedere logic; într-adevăr, independența implică distribuția Poisson a numărului de puncte, dar nu invers.

Distribuția Poisson a numărului de puncte

Un proces punctual Poisson este caracterizat prin distribuția Poisson . Distribuția Poisson este distribuția probabilității unei variabile aleatorii (numită variabilă aleatorie Poisson ) astfel încât probabilitatea egală este dată de: ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {N = n \} = {\ frac {\ Lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ Lambda}}$

unde denotă factorial și parametrul determină forma distribuției. (De fapt, este egal cu valoarea așteptată de .) ${\ displaystyle \ textstyle n!}$${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle N}$

Prin definiție, un proces de punct Poisson are proprietatea că numărul de puncte dintr-o regiune mărginită a spațiului subiacent al procesului este o variabilă aleatorie distribuită de Poisson.

Independență completă

Luați în considerare o colecție de subregiuni disjuncte și mărginite ale spațiului subiacent. Prin definiție, numărul de puncte ale unui proces de punct Poisson în fiecare subregiune delimitată va fi complet independent de toate celelalte.

Această proprietate este cunoscută sub mai multe denumiri , cum ar fi dezordine totală , independență totală sau imprastiere independentă și este comună pentru toate procesele punct de Poisson. Cu alte cuvinte, există o lipsă de interacțiune între diferite regiuni și puncte în general, ceea ce motivează că procesul Poisson este numit uneori un proces pur sau complet aleatoriu.

Procesul omogen al punctului Poisson

Dacă un proces punctual Poisson are un parametru al formei , unde este măsura Lebesgue (adică atribuie lungimi, suprafețe sau volum seturilor) și este o constantă, atunci procesul punctual se numește proces punctual Poisson omogen sau staționar. Parametrul, numit rata sau intensitatea , este legat de numărul așteptat (sau mediu) de puncte Poisson existente într-o anumită regiune delimitată, unde rata este de obicei utilizată atunci când spațiul subiacent are o dimensiune. Parametrul poate fi interpretat ca numărul mediu de puncte pe o anumită unitate de întindere, cum ar fi lungimea , aria, volumul sau timpul, în funcție de spațiul matematic subiacent și se mai numește densitatea medie sau rata medie ; vezi Terminologie . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda = \ nu \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ nu}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

Interpretat ca un proces de numărare

Omogeni proces punctul Poisson, atunci când se consideră pe pozitivă jumătate de linie, poate fi definită ca un proces de numărare , un tip de proces stocastic, care pot fi notate ca . Un proces de numărare reprezintă numărul total de apariții sau evenimente care s-au întâmplat până la timp, inclusiv . Un proces de numărare este un proces de numărare omogen Poisson cu rata dacă are următoarele trei proprietăți: ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle t}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

• ${\ textstyle N (0) = 0;}$
• are incremente independente ; și
• numărul de evenimente (sau puncte) din orice interval de lungime este o variabilă aleatorie Poisson cu parametru (sau medie) .${\ textstyle t}$${\ textstyle \ lambda t}$

Ultima proprietate implică:

${\ displaystyle \ mathbb {E} [N (t)] = \ lambda t.}$

Cu alte cuvinte, probabilitatea ca variabila aleatoare să fie egală cu este dată de: ${\ textstyle N (t)}$${\ textstyle n}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ {N (t) = n \} = {\ frac {(\ lambda t) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda t}.}$

Procesul de numărare Poisson poate fi definit și prin afirmarea faptului că diferențele de timp dintre evenimentele procesului de numărare sunt variabile exponențiale cu medie . Diferențele de timp dintre evenimentele sau sosirile sunt cunoscute ca interarrival sau interoccurence ori. ${\ displaystyle \ textstyle 1 / \ lambda}$

Interpretat ca un proces punctual pe linia reală

Interpretat ca un proces punctual , un proces punctual Poisson poate fi definit pe linia reală luând în considerare numărul de puncte ale procesului în interval . Pentru procesul omogen al punctului Poisson pe linia reală cu parametru , probabilitatea acestui număr aleatoriu de puncte, scris aici ca fiind egal cu un număr de numărare este dată de: ${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$ ${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {N (a, b] = n \} = {\ frac {[\ lambda (ba)] ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda (ba)},}$

Pentru un număr întreg pozitiv , procesul omogen al punctului Poisson are distribuția finit-dimensională dată de: ${\ displaystyle \ textstyle k}$

${\ displaystyle P \ {N (a_ {i}, b_ {i}] = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {[\ lambda (b_ {i} -a_ {i})] ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} e ^ {- \ lambda (b_ {i} -a_ {i})} ,}$

unde numerele reale . ${\ displaystyle \ textstyle a_ {i} <b_ {i} \ leq a_ {i + 1}}$

Cu alte cuvinte, este o variabilă aleatorie Poisson cu medie , unde . Mai mult, numărul de puncte din oricare două intervale disjuncte, să spunem, și sunt independente unul de celălalt, iar acest lucru se extinde la orice număr finit de intervale disjuncte. În contextul teoriei cozilor, se poate considera un punct existent (într-un interval) ca un eveniment , dar acest lucru este diferit de cuvântul eveniment în sensul teoriei probabilității. Rezultă că este numărul așteptat de sosiri care au loc pe unitate de timp. ${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (ba)}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {1}, b_ {1}]}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {2}, b_ {2}]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

Proprietăți cheie

Definiția anterioară are două caracteristici importante partajate de procesele punctului Poisson în general:

• numărul de sosiri în fiecare interval finit are o distribuție Poisson;
• numărul sosirilor în intervale disjuncte sunt variabile aleatorii independente.

Mai mult, are o a treia caracteristică legată doar de procesul omogen al punctului Poisson:

• distribuția Poisson a numărului de sosiri în fiecare interval depinde doar de lungimea intervalului .${\ displaystyle \ textstyle (a + t, b + t]}$${\ displaystyle \ textstyle ba}$

Cu alte cuvinte, pentru orice finit , variabila aleatorie este independentă de , deci este numită și un proces Poisson staționar. ${\ displaystyle \ textstyle t> 0}$${\ displaystyle \ textstyle N (a + t, b + t]}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

Legea numărului mare

Cantitatea poate fi interpretată ca numărul mediu așteptat sau mediu de puncte care apar în interval , și anume: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (b_ {i} -a_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {i}, b_ {i}]}$

${\ displaystyle E \ {N (a_ {i}, b_ {i}] \} = \ lambda (b_ {i} -a_ {i}),}$

unde denotă operatorul de așteptare . Cu alte cuvinte, parametrul procesului Poisson coincide cu densitatea punctelor. Mai mult, procesul omogen al punctului Poisson aderă la propria sa formă a legii (puternice) a numărului mare. Mai precis, cu probabilitatea unu: ${\ displaystyle \ textstyle E}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {N (t)} {t}} = \ lambda,}$

unde denotă limita unei funcții și se așteaptă numărul de sosiri pe unitate de timp. ${\ displaystyle \ textstyle \ lim}$${\ displaystyle \ lambda}$

Proprietate fără memorie

Distanța dintre două puncte consecutive ale unui proces punctual pe linia reală va fi o variabilă aleatorie exponențială cu parametru (sau echivalent, medie ). Aceasta implică faptul că punctele au proprietatea fără memorie : existența unui punct existent într-un interval finit nu afectează probabilitatea (distribuția) altor puncte existente, dar această proprietate nu are echivalență naturală atunci când procesul Poisson este definit pe un spațiu cu dimensiuni superioare. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle 1 / \ lambda}$

Ordinea și simplitatea

Un proces punctual cu creșteri staționare se spune uneori că este ordonat sau regulat dacă:

${\ displaystyle P \ {N (t, t + \ delta]> 1 \} = o (\ delta),}$

unde se folosește notația little-o . Un proces punctual se numește proces simplu punct atunci când probabilitatea ca oricare dintre cele două puncte ale sale să coincidă în aceeași poziție, pe spațiul subiacent, este zero. Pentru procesele punctuale, în general, pe linia reală, proprietatea ordinii implică faptul că procesul este simplu, ceea ce este cazul procesului punctiform omogen Poisson.

Caracterizarea martingalei

Pe linia reală, procesul omogen al punctului Poisson are o legătură cu teoria martingalelor prin următoarea caracterizare: un proces punctual este procesul omogen al punctului Poisson dacă și numai dacă

${\ displaystyle N (- \ infty, t] -t,}$

este o martingală.

Relația cu alte procese

Pe linia reală, procesul Poisson este un tip de proces Markov în timp continuu cunoscut sub numele de proces de naștere , un caz special al procesului de naștere-moarte (cu doar nașteri și zero decese). Au fost definite procese mai complicate cu proprietatea Markov , cum ar fi procesele de sosire Markov , unde procesul Poisson este un caz special.

Limitat la jumătatea liniei

Dacă procesul Poisson omogen este considerat doar pe jumătate de linie , ceea ce poate fi cazul atunci când reprezintă timpul, atunci procesul rezultat nu este cu adevărat invariant sub traducere. În acest caz, procesul Poisson nu mai este staționar, conform unor definiții ale staționarității. ${\ displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

Aplicații

Au existat multe aplicații ale procesului Poisson omogen pe linia reală, în încercarea de a modela evenimente aparent aleatorii și independente care au loc. Are un rol fundamental în teoria cozilor , care este câmpul de probabilitate de a dezvolta modele stocastice adecvate pentru a reprezenta sosirea și plecarea aleatorie a anumitor fenomene. De exemplu, clienții care sosesc și sunt deserviți sau apelurile telefonice care ajung la o centrală telefonică pot fi studiate atât cu tehnici din teoria cozilor.

Generalizări

Procesul Poisson omogen pe linia reală este considerat unul dintre cele mai simple procese stochastice pentru numărarea numărului aleator de puncte. Acest proces poate fi generalizat în mai multe moduri. O posibilă generalizare este extinderea distribuției timpilor interarrivali de la distribuția exponențială la alte distribuții, ceea ce introduce procesul stocastic cunoscut sub numele de proces de reînnoire . O altă generalizare este definirea procesului punctului Poisson pe spații cu dimensiuni superioare, cum ar fi planul.

Procesul punctului Poisson spațial

Un proces Poisson spațial este un proces punctual Poisson definit în plan . Pentru definiția sa matematică, se consideră mai întâi o regiune mărginită, deschisă sau închisă (sau mai precis, măsurabilă Borel ) a planului. Numărul de puncte ale unui proces punctual existent în această regiune este o variabilă aleatorie, notată cu . Dacă punctele aparțin unui proces Poisson omogen cu parametru , atunci probabilitatea punctelor existente în este dată de: ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {2}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B \ subset {\ textbf {R}} ^ {2}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B)}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle P \ {N (B) = n \} = {\ frac {(\ lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda | B |}}$

unde denotă zona de . ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

Pentru un număr întreg finit , putem da distribuția finit-dimensională a procesului omogen al punctului Poisson luând în considerare mai întâi o colecție de seturi disjuncte, mărginite de Borel (măsurabile) . Numărul de puncte ale procesului de la punctul existent poate fi scris ca . Apoi procesul omogen al punctului Poisson cu parametru are distribuția finit-dimensională: ${\ displaystyle \ textstyle k \ geq 1}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ dots, B_ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {(\ lambda | B_ {i} |) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- \ lambda | B_ {i} |}.}$

Aplicații

Procesul punctului Poisson spațial apare în mod evident în statistica spațială , geometria stocastică și teoria percolării continuumului . Acest proces punctual este aplicat în diferite științe fizice, cum ar fi un model dezvoltat pentru detectarea particulelor alfa. În ultimii ani, a fost folosit frecvent pentru a modela configurații spațiale aparent dezordonate ale anumitor rețele de comunicații fără fir. De exemplu, s-au dezvoltat modele pentru rețelele de telefonie mobilă sau mobilă unde se presupune că emițătoarele de rețea telefonică, cunoscute sub numele de stații de bază, sunt poziționate în conformitate cu un proces omogen al punctului Poisson.

Definit în dimensiuni superioare

Procesul omogen anterior al punctului Poisson se extinde imediat la dimensiuni superioare prin înlocuirea noțiunii de zonă cu volum (dimensional ridicat). Pentru unele regiuni delimitate ale spațiului euclidian , dacă punctele formează un proces Poisson omogen cu parametru , atunci probabilitatea punctelor existente în este dată de: ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle B \ subset {\ textbf {R}} ^ {d}}$

${\ displaystyle P \ {N (B) = n \} = {\ frac {(\ lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda | B |}}$

unde denotă acum volumul -dimensional al . În plus, pentru o colecție de seturi Borel delimitate, delimitate , să denotăm numărul de puncte existente în . Apoi procesul de punct Poisson omogen corespunzător cu parametru are distribuția finit-dimensională: ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ dots, B_ {k} \ subset {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {(\ lambda | B_ {i} |) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- \ lambda | B_ {i} |}.}$

Procesele omogene ale punctului Poisson nu depind de poziția spațiului subiacent prin parametrul său , ceea ce implică faptul că este atât un proces staționar (invariant la traducere), cât și un proces izotrop (invariant la rotație) stocastic. În mod similar cu cazul unidimensional, procesul punctului omogen este limitat la un anumit subset delimitat de , apoi, în funcție de unele definiții ale staționarității, procesul nu mai este staționar. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$

Punctele sunt distribuite uniform

Dacă procesul punctului omogen este definit pe linia reală ca model matematic pentru aparițiile unui fenomen, atunci are caracteristica că pozițiile acestor apariții sau evenimente pe linia reală (deseori interpretate ca timp) vor fi distribuite uniform. Mai exact, dacă un eveniment apare (conform acestui proces) într-un interval în care , atunci locația sa va fi o variabilă aleatorie uniformă definită pe acel interval. Mai mult, procesul punctiform omogen este uneori numit procesul uniform al punctului Poisson (vezi Terminologie ). Această proprietate de uniformitate se extinde la dimensiuni mai mari în coordonatele carteziene, dar nu și, de exemplu, în coordonatele polare. ${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$

Proces neomogen al punctului Poisson

Neomogenă sau neomogena proces punctul Poisson (vezi Terminologia ) este un proces punct Poisson cu un set de parametri Poisson ca unele funcții dependente de locație în spațiul suport pe care este definit procesul Poisson. Pentru spațiul euclidian , acest lucru se realizează prin introducerea unei funcții pozitive integrabile la nivel local , astfel încât pentru orice regiune mărginită, integrala de volum ( -dimensională) a supra-regiunii este finită. Cu alte cuvinte, dacă această integrală, notată cu , este: ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ lambda \ colon \ mathbb {R} ^ {d} \ to [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x <\ infty,}$

unde este un element de volum ( -dimensional), atunci pentru orice colecție de seturi măsurabile Borel delimitate în mod disjunct , un proces Poisson neomogen cu funcție (intensitate) are distribuția finit-dimensională: ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathrm {d} x}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ dots, B_ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {(\ Lambda ( B_ {i})) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- \ Lambda (B_ {i})}.}$

Mai mult, are interpretarea de a fi numărul așteptat de puncte ale procesului Poisson situate în regiunea mărginită , și anume ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = E [N (B)].}$

Definit pe linia reală

Pe linia reală, procesul punctului Poisson neomogen sau neomogen are o măsură medie dată de o integrală unidimensională. Pentru două numere reale și , unde , denotați prin numărul de puncte ale unui proces Poisson neomogen cu funcție de intensitate care apare în interval . Probabilitatea existenței punctelor în intervalul de mai sus este dată de: ${\ displaystyle \ textstyle a}$${\ displaystyle \ textstyle b}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (t)}$${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$

${\ displaystyle P \ {N (a, b] = n \} = {\ frac {[\ Lambda (a, b)] ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ Lambda (a, b )}.}$

unde media sau intensitatea este:

${\ displaystyle \ Lambda (a, b) = \ int _ {a} ^ {b} \ lambda (t) \, \ mathrm {d} t,}$

ceea ce înseamnă că variabila aleatorie este o variabilă aleatorie Poisson cu medie . ${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle E \ {N (a, b] \} = \ Lambda (a, b)}$

O caracteristică a setării cu o singură dimensiune este că un proces Poisson neomogen poate fi transformat într-un omogen printr-o transformare sau cartografiere monotonă , care se realizează cu inversul lui . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Interpretarea procesului de numărare

Procesul neomogen al punctului Poisson, atunci când este considerat pe jumătatea pozitivă, este, de asemenea, uneori definit ca un proces de numărare. Cu această interpretare, procesul, care este uneori scris ca , reprezintă numărul total de apariții sau evenimente care s-au petrecut până la timp inclusiv . Se spune că un proces de numărare este un proces neomogen de numărare Poisson dacă are cele patru proprietăți: ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

• ${\ displaystyle \ textstyle N (0) = 0;}$
• are incremente independente ;
• ${\ displaystyle \ textstyle P \ {N (t + h) -N (t) = 1 \} = \ lambda (t) h + o (h);}$ și
• ${\ displaystyle \ textstyle P \ {N (t + h) -N (t) \ geq 2 \} = o (h),}$

în cazul în care este asimptotică sau puțin o notație pentru ca . În cazul proceselor cu punctul refractari ( de exemplu, trenurile de vârf neuronale) o versiune mai puternică a proprietății 4 se aplică: . ${\ displaystyle \ textstyle o (h)}$${\ displaystyle \ textstyle o (h) / h \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ textstyle h \ rightarrow 0}$${\ displaystyle P (N (t + h) -N (t) \ geq 2) = o (h ^ {2})}$

Proprietățile de mai sus implică faptul că este o variabilă aleatorie Poisson cu parametrul (sau media) ${\ displaystyle \ textstyle N (t + h) -N (t)}$

${\ displaystyle E [N (t + h) -N (t)] = \ int _ {t} ^ {t + h} \ lambda (s) \, ds,}$

Ceea ce implică

${\ displaystyle E [N (h)] = \ int _ {0} ^ {h} \ lambda (s) \, ds.}$

Procesul Poisson spațial

Un proces Poisson neomogen definit în plan se numește proces Poisson spațial. Este definit cu funcția de intensitate și măsurarea intensității sale este obținută realizând o suprafață integrală a funcției sale de intensitate pe o anumită regiune. De exemplu, funcția sa de intensitate (ca funcție a coordonatelor carteziene și ) poate fi ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {2}}$${\ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle y}$

${\ displaystyle \ lambda (x, y) = e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})},}$

deci măsura de intensitate corespunzătoare este dată de integralul de suprafață

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y, }$

unde este o regiune mărginită în plan . ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

În dimensiuni superioare

În plan, corespunde unei integrale de suprafață în timp ce în integrală devine o integrală de volum ( -dimensională). ${\ textstyle \ Lambda (B)}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ textstyle d}$

Aplicații

Când linia reală este interpretată ca timp, procesul neomogen este utilizat în câmpurile proceselor de numărare și în teoria cozilor. Exemple de fenomene care au fost reprezentate de sau apar ca un proces neomogen al punctului Poisson includ:

• Golurile fiind marcate într-un joc de fotbal.
• Defecte ale unei circuite

În plan, procesul punctului Poisson este important în disciplinele conexe de geometrie stocastică și statistici spațiale. Măsurarea intensității acestui proces punctual depinde de locația spațiului subiacent, ceea ce înseamnă că poate fi utilizată pentru modelarea fenomenelor cu o densitate care variază în anumite regiuni. Cu alte cuvinte, fenomenele pot fi reprezentate ca puncte care au o densitate dependentă de locație. Acest proces a fost utilizat în diverse discipline și utilizările includ studiul somonului și păduchilor de mare din oceane, silvicultură și probleme de căutare.

Interpretarea funcției de intensitate

Funcția de intensitate Poisson are o interpretare, considerată intuitivă, cu elementul de volum în sens infinitesimal: este probabilitatea infinitesimală a unui punct al unui proces de punct Poisson existent într-o regiune a spațiului cu volum situat la . ${\ textstyle \ lambda (x)}$${\ textstyle \ mathrm {d} x}$${\ textstyle \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x}$${\ textstyle \ mathrm {d} x}$${\ textstyle x}$

De exemplu, având în vedere un proces omogen al punctului Poisson pe linia reală, probabilitatea de a găsi un singur punct al procesului într-un interval mic de lățime este de aproximativ . De fapt, o astfel de intuiție este modul în care este introdus uneori procesul punctului Poisson și derivarea distribuției sale. ${\ textstyle \ delta}$${\ textstyle \ lambda \ delta}$

Proces punctual simplu

Dacă un proces punctual Poisson are o măsură a intensității care este un finit local și difuz (sau non-atomic), atunci este un proces punctual simplu . Pentru un proces punctual simplu, probabilitatea ca un punct să existe într-un singur punct sau locație în spațiul subiacent (stare) este fie zero, fie unul. Aceasta implică faptul că, cu probabilitatea unu, nu există două (sau mai multe) puncte ale unui proces de punct Poisson care coincid în locație în spațiul subiacent.

Simulare

Simularea unui proces de punct Poisson pe un computer se face de obicei într-o regiune delimitată a spațiului, cunoscută sub numele de fereastră de simulare , și necesită doi pași: crearea adecvată a unui număr aleatoriu de puncte și apoi plasarea adecvată a punctelor într-o manieră aleatorie. Ambii doi pași depind de procesul punctului Poisson specific care este simulat.

Pasul 1: Număr de puncte

Numărul de puncte din fereastră, notat aici cu , trebuie să fie simulat, ceea ce se face utilizând o (pseudo) - funcție de generare a numărului aleatoriu capabilă să simuleze variabile aleatorii Poisson. ${\ textstyle N}$${\ textstyle W}$

Caz omogen

Pentru cazul omogen cu constantă , media variabilei aleatorii Poisson este setată la unde este lungimea, aria sau volumul ( -dimensional) al . ${\ textstyle \ lambda}$${\ textstyle N}$${\ textstyle \ lambda | W |}$${\ textstyle | W |}$${\ textstyle d}$${\ textstyle W}$

Caz neomogen

Pentru cazul neomogen, se înlocuiește cu integrala de volum ( -dimensională) ${\ textstyle \ lambda | W |}$${\ textstyle d}$

${\ displaystyle \ Lambda (W) = \ int _ {W} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x}$

Pasul 2: Poziționarea punctelor

A doua etapă necesită plasarea aleatorie a punctelor în fereastră . ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle W}$

Caz omogen

Pentru cazul omogen într-o singură dimensiune, toate punctele sunt plasate uniform și independent în fereastră sau interval . Pentru dimensiuni mai mari într-un sistem de coordonate cartezian, fiecare coordonată este plasată în mod uniform și independent în fereastră . Dacă fereastra nu este un sub-spațiu al spațiului cartezian (de exemplu, în interiorul unei sfere unitare sau pe suprafața unei sfere unitare), atunci punctele nu vor fi plasate uniform și este necesară schimbarea adecvată a coordonatelor (din carteziană). ${\ displaystyle \ textstyle W}$${\ displaystyle \ textstyle W}$${\ displaystyle \ textstyle W}$

Caz neomogen

Pentru cazul neomogen, pot fi utilizate câteva metode diferite în funcție de natura funcției de intensitate . Dacă funcția de intensitate este suficient de simplă, atunci pot fi generate coordonate independente și aleatorii neuniforme (carteziene sau altele) ale punctelor. De exemplu, simularea unui proces de punct Poisson pe o fereastră circulară se poate face pentru o funcție de intensitate izotropă (în coordonate polare și ), ceea ce implică faptul că este variantă de rotație sau independentă de, dar dependentă de , printr-o schimbare a variabilei în cazul în care funcția de intensitate este suficient de simplu. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle r}$

Pentru funcții de intensitate mai complicate, se poate utiliza o metodă de acceptare-respingere , care constă în utilizarea (sau „acceptarea”) numai a anumitor puncte aleatorii și neutilizarea (sau „respingerea”) celorlalte puncte, pe baza raportului:

${\ displaystyle {\ frac {\ lambda (x_ {i})} {\ Lambda (W)}} = {\ frac {\ lambda (x_ {i})} {\ int _ {W} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x.}}}$

unde este punctul luat în considerare pentru acceptare sau respingere. ${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$

Procesul general al punctului Poisson

Procesul punctului Poisson poate fi generalizat în continuare la ceea ce este uneori cunoscut sub numele de procesul general al punctului Poisson sau procesul general Poisson utilizând o măsură Radon , care este o măsură local-finită. În general, această măsură de radon poate fi atomică, ceea ce înseamnă că mai multe puncte ale procesului punctului Poisson pot exista în aceeași locație a spațiului subiacent. În această situație, numărul de puncte la este o variabilă aleatorie Poisson cu medie . Dar, uneori, se presupune invers, astfel încât măsura Radon este difuză sau non-atomică. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda ({x})}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Un proces punctual este un proces general punctual Poisson cu intensitate dacă are următoarele două proprietăți: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

• numărul de puncte dintr-un set Borel delimitat este o variabilă aleatorie Poisson cu medie . Cu alte cuvinte, indicați numărul total de puncte localizate în by , atunci probabilitatea ca variabila aleatoare să fie egală cu este dată de:${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {{N} (B) = n \} = {\ frac {(\ Lambda (B)) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ Lambda (B)}}$

• numărul de puncte din seturile Borel disjuncte formează variabile aleatoare independente.${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

Măsura Radon își păstrează interpretarea anterioară a numărului preconizat de puncte situate în regiunea mărginită , și anume ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = E [{N} (B)].}$

Mai mult, dacă este absolut continuu astfel încât să aibă o densitate (care este densitatea Radon-Nikodym sau derivată) în raport cu măsura Lebesgue, atunci pentru toate seturile Borel se poate scrie ca: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x,}$

unde densitatea este cunoscută, printre alți termeni, ca funcție de intensitate. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$

Istorie

Distribuția Poisson

În ciuda numelui său, procesul punctului Poisson nu a fost nici descoperit, nici studiat de matematicianul francez Siméon Denis Poisson ; numele este citat ca exemplu al legii lui Stigler . Numele provine din relația sa inerentă cu distribuția Poisson , derivată de Poisson ca un caz limitativ al distribuției binomiale . Aceasta descrie probabilitatea sumei probelor Bernoulli cu probabilitatea , adesea asemănată cu numărul de capete (sau cozi) după răsturnarea părtinitoare a unei monede, cu probabilitatea ca un cap (sau coadă) să apară . Pentru unele constante pozitive , pe măsură ce crește spre infinit și scade spre zero astfel încât produsul să fie fix, distribuția Poisson se apropie mai mult de cea a binomului. ${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle np = \ Lambda}$

Poisson derivat distribuția Poisson, publicată în 1841, prin examinarea distribuția binomială în limita a (la zero) și (la infinit). Apare o singură dată în toată opera lui Poisson, iar rezultatul nu a fost bine cunoscut în timpul său. În anii următori, o serie de oameni au folosit distribuția fără a cita Poisson, inclusiv Philipp Ludwig von Seidel și Ernst Abbe . La sfârșitul secolului al XIX-lea, Ladislaus Bortkiewicz avea să studieze din nou distribuția într-un cadru diferit (citând Poisson), folosind distribuția cu date reale pentru a studia numărul de decese din loviturile de cal în armata prusiană . ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

Descoperire

Există o serie de revendicări pentru utilizări timpurii sau descoperiri ale procesului punctului Poisson. De exemplu, John Michell în 1767, cu un deceniu înainte de nașterea lui Poisson, a fost interesat de probabilitatea ca o stea să se afle într-o anumită regiune a unei alte stele în ipoteza că stelele erau „împrăștiate prin simpla întâmplare” și a studiat un exemplu constând din: cele șase stele cele mai strălucitoare din Pleiade , fără a obține distribuția Poisson. Această lucrare l-a inspirat pe Simon Newcomb să studieze problema și să calculeze distribuția Poisson ca o aproximare pentru distribuția binomială din 1860.

La începutul secolului al XX-lea, procesul Poisson (într-o dimensiune) ar apărea independent în diferite situații. În Suedia, 1903, Filip Lundberg a publicat o teză care conține lucrări, considerate acum fundamentale și de pionierat, în care a propus modelarea daunelor de asigurare cu un proces Poisson omogen.

În Danemarca, în 1909, a avut loc o altă descoperire când AK Erlang a derivat distribuția Poisson atunci când a dezvoltat un model matematic pentru numărul de apeluri telefonice primite într-un interval de timp finit. Erlang nu a fost la momentul respectiv conștient de lucrările anterioare ale lui Poisson și a presupus că numărul de apeluri telefonice care soseau în fiecare interval de timp erau independente unul de celălalt. Apoi a găsit cazul limitativ, care reformează efectiv distribuția Poisson ca o limită a distribuției binomiale.

În 1910 Ernest Rutherford și Hans Geiger au publicat rezultate experimentale privind numărarea particulelor alfa. Munca lor experimentală a avut contribuții matematice de la Harry Bateman , care a derivat probabilitățile lui Poisson ca soluție la o familie de ecuații diferențiale, deși soluția a fost derivată mai devreme, rezultând în descoperirea independentă a procesului Poisson. După acest timp, au existat multe studii și aplicații ale procesului Poisson, dar istoria sa timpurie este complicată, ceea ce a fost explicat prin diferitele aplicații ale procesului în numeroase domenii de către biologi, ecologi, ingineri și diverși oameni de știință fizici.

Cereri timpurii

Anii de după 1909 au condus la o serie de studii și aplicații ale procesului punctului Poisson, cu toate acestea, istoria sa timpurie este complexă, ceea ce a fost explicat prin diferitele aplicații ale procesului în numeroase domenii de către biologi , ecologi, ingineri și alții care lucrează în în științele fizice . Rezultatele timpurii au fost publicate în diferite limbi și în diferite setări, fără terminologia și notația standard utilizate. De exemplu, în 1922 chimistul suedez și laureat al premiului Nobel Theodor Svedberg a propus un model în care un proces punctual spațial Poisson este procesul de bază pentru a studia modul în care plantele sunt distribuite în comunitățile de plante. O serie de matematicieni au început să studieze procesul la începutul anilor 1930, iar contribuții importante au fost aduse de Andrey Kolmogorov , William Feller și Aleksandr Khinchin , printre alții. În domeniul ingineriei teletraficului , matematicienii și statisticienii au studiat și folosit Poisson și alte procese punctuale.

Istoria termenilor

Suedezul Conny Palm din disertația sa din 1943 a studiat procesele Poisson și alte procese punctuale în cadrul unidimensional , examinându-le în funcție de dependența statistică sau stocastică între punctele în timp. În lucrarea sa există prima utilizare înregistrată cunoscută a termenului procese punct ca Punktprozesse în germană.

Se crede că William Feller a fost primul tipărit care a făcut referire la acesta ca proces Poisson într-o lucrare din 1940. Deși suedezul Ove Lundberg a folosit termenul proces Poisson în disertația sa de doctorat din 1940, în care Feller a fost recunoscut ca o influență, s-a susținut că Feller a inventat termenul înainte de 1940. S-a remarcat că atât Feller, cât și Lundberg au folosit termenul ca deși era bine cunoscut, ceea ce înseamnă că era deja în uz vorbit până atunci. Feller a lucrat din 1936 până în 1939 alături de Harald Cramér la Universitatea din Stockholm , unde Lundberg a fost doctorand sub Cramér, care nu a folosit termenul de proces Poisson într-o carte a lui, terminată în 1936, dar a făcut-o în edițiile ulterioare, pe care a condus-o la speculația că termenul proces Poisson a fost inventat cândva între 1936 și 1939 la Universitatea din Stockholm.

Terminologie

Terminologia teoriei proceselor punctuale în general a fost criticată pentru că este prea variată. Pe lângă faptul că cuvântul punct este adesea omis, procesul omogen Poisson (punct) se mai numește și proces staționar Poisson (punct), precum și proces Poisson (punct) uniform . Procesul neomogen al punctului Poisson, pe lângă faptul că este numit neomogen , este, de asemenea, denumit procesul Poisson ne-staționar .

Termenul proces punct a fost criticat, deoarece termenul proces poate sugera în timp și spațiu, deci câmp punct aleatoriu , rezultând ca termenii câmp punct aleatoriu Poisson sau câmpul punct Poisson să fie de asemenea utilizați. Un proces punctual este considerat, și uneori numit, o măsură de numărare aleatorie, prin urmare, procesul punctului Poisson este denumit și o măsură aleatorie Poisson , un termen utilizat în studiul proceselor Lévy, dar unii aleg să folosească cei doi termeni pentru Poisson procesele punctelor definite pe două spații subiacente diferite.

Spațiul matematic care stă la baza procesului punctului Poisson se numește spațiu purtător sau spațiu de stare , deși ultimul termen are un sens diferit în contextul proceselor stochastice. În contextul proceselor punctuale, termenul „spațiu de stare” poate însemna spațiul pe care este definit procesul punctual, cum ar fi linia reală, care corespunde setului de indici sau setului de parametri în terminologia procesului stochastic.

Măsura se numește măsură de intensitate , măsură medie sau parametru , deoarece nu există termeni standard. Dacă are o derivată sau densitate, notată cu , se numește funcția de intensitate a procesului punctului Poisson. Pentru procesul omogen al punctului Poisson, derivata măsurării intensității este pur și simplu o constantă , care poate fi denumită viteză , de obicei atunci când spațiul subiacent este linia reală sau intensitatea . Este , de asemenea , numit rata medie sau densitatea medie sau rata . Deoarece , procesul corespunzător este uneori denumit procesul standard Poisson (punct). ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda = 1}$

Extinderea procesului punctului Poisson se numește uneori expunere .

Notaţie

Notarea procesului punctului Poisson depinde de setarea acestuia și de câmpul în care se aplică. De exemplu, pe linia reală, procesul Poisson, atât omogen, cât și neomogen, este uneori interpretat ca un proces de numărare, iar notația este utilizată pentru a reprezenta procesul Poisson. ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$

Un alt motiv pentru variația notării se datorează teoriei proceselor punctuale, care are câteva interpretări matematice. De exemplu, un proces simplu al punctului Poisson poate fi considerat ca un set aleatoriu, ceea ce sugerează notația , ceea ce înseamnă că este un punct aleatoriu care aparține sau este un element al procesului punctului Poisson . O altă interpretare, mai generală, este de a considera un proces Poisson sau orice alt proces punctual ca o măsură de numărare aleatorie, astfel încât să puteți scrie numărul de puncte ale unui proces Poisson punct care este găsit sau localizat într-o anumită regiune (măsurabilă Borel) ca , care este o variabilă aleatorie. Aceste interpretări diferite au ca rezultat utilizarea notării din câmpuri matematice precum teoria măsurătorilor și teoria mulțimilor. ${\ displaystyle \ textstyle x \ in {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$

Pentru procesele punctuale generale, uneori este inclus un indiciu pe simbolul punctului, de exemplu , astfel încât să scrieți (cu notație setată) în loc de și să puteți folosi variabila fictivă în expresii integrale, cum ar fi teorema lui Campbell, în loc de a denota puncte aleatorii . Uneori, o literă majusculă denotă procesul punctual, în timp ce o literă minusculă denotă un punct din proces, deci, de exemplu, punctul sau aparține sau este un punct al procesului punctual și să fie scris cu notare setată ca sau . ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ in {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x \ in {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle X}$${\ displaystyle \ textstyle x \ în X}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ în X}$

În plus, teoria mulțimilor și notația integrală sau a teoriei măsurătorilor pot fi utilizate în mod interschimbabil. De exemplu, pentru un proces punctual definit pe spațiul de stare euclidian și o funcție (măsurabilă) activată , expresia ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle {{\ textbf {R}} ^ {d}}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$

${\ displaystyle \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} f (x) \, \ mathrm {d} N (x) = \ sum \ limits _ {x_ {i} \ in N} f (x_ {i}),}$

demonstrează două moduri diferite de a scrie o însumare pe un proces punctual (vezi și teorema lui Campbell (probabilitate) ). Mai precis, notația integrală din partea stângă interpretează procesul punctual ca o măsură de numărare aleatorie, în timp ce suma din partea dreaptă sugerează o interpretare set aleatorie.

Funcționalități și măsuri de moment

În teoria probabilității, operațiile sunt aplicate variabilelor aleatorii în scopuri diferite. Uneori, aceste operații sunt așteptări regulate care produc media sau varianța unei variabile aleatorii. Altele, cum ar fi funcțiile caracteristice (sau transformatele Laplace) ale unei variabile aleatoare pot fi utilizate pentru a identifica sau caracteriza în mod unic variabilele aleatoare și pentru a dovedi rezultate precum teorema limitei centrale. În teoria proceselor punctuale există instrumente matematice analoge care există de obicei sub forme de măsuri și funcționale în loc de momente și respectiv funcții.

Funcționale Laplace

Pentru un proces de punct Poisson cu măsură de intensitate , funcționalitatea Laplace este dată de: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle L_ {N} (f) = e ^ {- \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} (1-e ^ {- f (x)}) \ Lambda (\ mathrm { d} x)},}$

${\ displaystyle L_ {N} (f) = e ^ {- \ lambda \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} (1-e ^ {- f (x)}) \, \ mathrm {d} x}.}$

O versiune a teoremei lui Campbell implică funcționalitatea Laplace a procesului punctului Poisson.

Funcționalități care generează probabilități

Funcția generatoare de probabilitate a variabilei aleatoare conduce non-negativ cu valori întregi probabilității generatoare fiind funcționale definite în mod analog cu privire la orice funcție mărginit nonnegativ la astfel încât . Pentru un proces punctual, funcționalitatea generatoare de probabilitate este definită ca: ${\ displaystyle \ textstyle v}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle 0 \ leq v (x) \ leq 1}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

${\ displaystyle G (v) = E \ left [\ prod _ {x \ in N} v (x) \ right]}$

unde produsul este efectuat pentru toate punctele din . Dacă măsurarea intensității lui este local finită, atunci este bine definită pentru orice funcție măsurabilă activată . Pentru un proces de punct Poisson cu măsură de intensitate , funcționalitatea generatoare este dată de: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle G}$${\ displaystyle \ textstyle u}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle G (v) = e ^ {- \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} [1-v (x)] \, \ Lambda (\ mathrm {d} x)}, }$

care în cazul omogen se reduce la

${\ displaystyle G (v) = e ^ {- \ lambda \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} [1-v (x)] \, \ mathrm {d} x}.}$

Măsura momentului

Pentru un proces general al punctului Poisson cu măsură de intensitate , prima măsură de moment este măsura intensității sale: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle M ^ {1} (B) = \ Lambda (B),}$

ceea ce pentru un proces omogen al punctului Poisson cu intensitate constantă înseamnă: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

${\ displaystyle M ^ {1} (B) = \ lambda | B |,}$

unde este lungimea, aria sau volumul (sau mai general, măsura Lebesgue ) a . ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

Ecuația Mecke

Ecuația Mecke caracterizează procesul punctului Poisson. Fie spațiul tuturor măsurilor -finite pe un spațiu general . Un proces punct cu intensitate activată este un proces punctual Poisson dacă și numai dacă pentru toate funcțiile măsurabile se menține următoarele ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle f: {\ mathcal {Q}} \ times \ mathbb {N} _ {\ sigma} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [\ int f (x, \ eta) \ eta (\ mathrm {d} x) \ right] = \ int \ operatorname {E} \ left [f (x, \ eta + \ delta _ {x}) \ right] \ lambda (\ mathrm {d} x)}$

Pentru mai multe detalii vezi.

Măsura momentului factorial

Pentru un proces general punct Poisson cu masura intensitatea -lea masura momentul factorial este dată de expresia: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle M ^ {(n)} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [\ Lambda (B_ {i})], }$

unde este măsura intensității sau prima măsură a momentului , care pentru unii mulți Borel este dată de ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = M ^ {1} (B) = E [N (B)].}$

Pentru un proces omogen al punctului Poisson, măsurarea momentului factorial este pur și simplu: ${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle M ^ {(n)} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ lambda ^ {n} \ prod _ {i = 1} ^ {n} | B_ {i} |,}$

unde este lungimea, aria sau volumul (sau mai general măsura Lebesgue ) a . Mai mult, densitatea momentului factorial este: ${\ displaystyle \ textstyle | B_ {i} |}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle \ mu ^ {(n)} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lambda ^ {n}.}$

Funcția de evitare

Funcția de evitare sau probabilitatea de anulare a unui proces punctual este definită în raport cu un set , care este un subset al spațiului subiacent , ca probabilitatea de a nu exista puncte în . Mai precis, pentru un set de teste , funcția de evitare este dată de: ${\ displaystyle \ textstyle v}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle v (B) = P ({N} (B) = 0).}$

Pentru un proces general al punctului Poisson cu măsurare a intensității , funcția sa de evitare este dată de: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle v (B) = e ^ {- \ Lambda (B)}}$

Teorema lui Rényi

Procesele punctuale simple sunt complet caracterizate de probabilitățile lor de nulitate. Cu alte cuvinte, informațiile complete despre un proces punctual simplu sunt capturate în întregime în probabilitățile sale de gol, iar două procese punctuale simple au aceleași probabilități de gol dacă și dacă numai dacă sunt aceleași procese punctuale. Cazul procesului Poisson este uneori cunoscut sub numele de teorema lui Rényi , care este numită după Alfréd Rényi care a descoperit rezultatul pentru cazul unui proces punct omogen într-o singură dimensiune.

Într-o formă, teorema lui Rényi spune pentru o măsură difuză (sau non-atomică) de radon pe și o mulțime este o uniune finită de dreptunghiuri (deci nu Borel) că, dacă este un subgrup numeros de astfel încât: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle A}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$

${\ displaystyle P ({N} (A) = 0) = v (A) = e ^ {- \ Lambda (A)}}$

atunci este un proces de punct Poisson cu măsură de intensitate . ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Operațiuni de proces punct

Operațiile matematice pot fi efectuate pe procese punctuale pentru a obține noi procese punctuale și pentru a dezvolta noi modele matematice pentru locațiile anumitor obiecte. Un exemplu de operație este cunoscut sub numele de subțierea care presupune ștergerea sau eliminarea punctelor unui proces punctual conform unei reguli, creând un proces nou cu punctele rămase (punctele șterse formează, de asemenea, un proces punctual).

Subțierea

Pentru procesul Poisson, operațiunile de subțiere independentă duc la un alt proces punct Poisson. Mai precis, o operație de subțiere aplicată unui proces de punct Poisson cu măsură de intensitate dă un proces punct de puncte îndepărtate, care este, de asemenea, proces de punct Poisson cu măsură de intensitate , care pentru un set Borel delimitat este dat de: ${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {p}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {p}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} p (x) \, \ Lambda (\ mathrm {d} x)}$

Acest rezultat subțire al procesului punctului Poisson este uneori cunoscut sub numele de teorema lui Prekopa . Mai mult, după subțierea aleatorie a unui proces de punct Poisson, punctele păstrate sau rămase formează, de asemenea, un proces de punct Poisson, care are măsurarea intensității

${\ displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} (1-p (x)) \, \ Lambda (\ mathrm {d} x).}$

Cele două procese separate ale punctelor Poisson formate respectiv din punctele îndepărtate și păstrate sunt stocastic independente una de cealaltă. Cu alte cuvinte, dacă se știe că o regiune conține puncte păstrate (din procesul inițial al punctului Poisson), atunci aceasta nu va avea nicio influență asupra numărului aleator de puncte eliminate din aceeași regiune. Această abilitate de a crea aleatoriu două procese independente ale punctului Poisson dintr-unul este uneori cunoscută sub numele de divizarea procesului punctului Poisson. ${\ displaystyle \ textstyle n}$

Suprapunere

Dacă există o colecție numărabilă de procese punctuale , atunci suprapunerea lor sau, în limbajul teoriei mulțimilor, unirea lor, care este ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$

${\ displaystyle {N} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} {N} _ {i},}$

formează, de asemenea, un proces punctual. Cu alte cuvinte, orice punct situat în oricare dintre procesele punctuale va fi, de asemenea, situat în suprapunerea acestor procese punctuale . ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

Teorema suprapunerii

Teorema superpoziție a procesului punctul Poisson spune că suprapunerea unor procese independente de puncte Poisson cu măsuri medii vor fi , de asemenea , un proces punct de Poisson cu măsură medie ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2}, \ dots}$

${\ displaystyle \ Lambda = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ Lambda _ {i}.}$

Cu alte cuvinte, unirea a două (sau mai mult) procese Poisson este un alt proces Poisson. Dacă un punct este eșantionat dintr-o uniune numărabilă a proceselor Poisson, atunci probabilitatea ca punctul să aparțină procesului Poisson este dată de: ${\ textstyle x}$${\ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ textstyle j}$${\ textstyle N_ {j}}$

${\ displaystyle P (x \ in N_ {j}) = {\ frac {\ Lambda _ {j}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ Lambda _ {i}}}.}$

Pentru două procese Poisson omogene cu intensități , cele două expresii anterioare se reduc la ${\ textstyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ dots}$

${\ displaystyle \ lambda = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ lambda _ {i},}$

și

${\ displaystyle P (x \ in {N} _ {j}) = {\ frac {\ lambda _ {j}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i}}}. }$

Clustering

Clusterul operațional se realizează atunci când fiecare punct al unui proces punctual este înlocuit cu un alt proces punct (posibil diferit). Dacă procesul original este un proces de punct Poisson, atunci procesul rezultat se numește proces de punct de cluster Poisson. ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {c}}$

Deplasare aleatorie

Un model matematic poate necesita puncte de mișcare aleatorii ale unui proces punctual către alte locații din spațiul matematic subiacent, ceea ce dă naștere la o operație de proces punctual cunoscută sub numele de deplasare sau translație. Procesul punctului Poisson a fost folosit pentru a modela, de exemplu, mișcarea plantelor între generații, datorită teoremei deplasării, care spune vag că deplasarea independentă aleatorie a punctelor unui proces punct Poisson (pe același spațiu subiacent) formează o altă Procesul punctului Poisson.

Teorema deplasării

O versiune a teoremei deplasării implică un proces de punct Poisson activat cu funcție de intensitate . Se presupune că punctele lui sunt deplasate aleatoriu în altă parte, astfel încât deplasarea fiecărui punct este independentă și că deplasarea unui punct anterior la este un vector aleator cu o densitate de probabilitate . Apoi, noul proces punct este, de asemenea, un proces punct Poisson cu funcție de intensitate ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle \ rho (x, \ cdot)}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {D}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} \ lambda (x) \ rho (x, y) \, \ mathrm {d} x. }$

Dacă procesul Poisson este omogen cu și dacă este o funcție a , atunci ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x) = \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ rho (x, y)}$${\ displaystyle yx}$

${\ displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ lambda.}$

Cu alte cuvinte, după fiecare deplasare aleatorie și independentă a punctelor, procesul original al punctului Poisson există încă.

Teorema deplasării poate fi extinsă astfel încât punctele Poisson să fie deplasate aleatoriu dintr-un spațiu euclidian în alt spațiu euclidian , unde nu este neapărat egal cu . ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d '}}$${\ displaystyle \ textstyle d '\ geq 1}$${\ displaystyle \ textstyle d}$

Cartografiere

O altă proprietate care este considerată utilă este capacitatea de a mapa un proces de punct Poisson de la un spațiu subiacent la alt spațiu.

Teorema cartografierii

Dacă maparea (sau transformarea) aderă la anumite condiții, atunci colecția de puncte rezultată mapată (sau transformată) formează, de asemenea, un proces de punct Poisson, iar acest rezultat este uneori denumit teorema mapării . Teorema implică un proces de punct Poisson cu măsură medie pe un spațiu subiacent. Dacă locațiile punctelor sunt mapate (adică procesul punctului este transformat) în funcție de o anumită funcție într-un alt spațiu subiacent, atunci procesul punctului rezultat este, de asemenea, un proces punctual Poisson, dar cu o măsură medie diferită . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$

Mai specific, se poate lua în considerare o funcție (măsurabilă Borel) care mapează un proces punctual cu măsurarea intensității dintr-un spațiu într-un alt spațiu astfel încât noul proces punctual să aibă măsura intensității: ${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle S}$${\ displaystyle \ textstyle T}$${\ displaystyle \ textstyle {N} '}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) '= \ Lambda (f ^ {- 1} (B))}$

fără atomi, unde este un set Borel și denotă inversul funcției . Dacă este un proces de punct Poisson, atunci noul proces este, de asemenea, un proces de punct Poisson cu măsurarea intensității . ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N} '}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$

Aproximări cu procesele punctului Poisson

Tractabilitatea procesului Poisson înseamnă că uneori este convenabil să se aproximeze un proces non-punct Poisson cu unul Poisson. Scopul general este de a aproxima atât numărul de puncte ale unui proces punctual, cât și locația fiecărui punct printr-un proces punct Poisson. Există o serie de metode care pot fi folosite pentru a justifica, informal sau riguros, aproximarea apariției evenimentelor sau fenomenelor aleatorii cu procese de punct Poisson adecvate. Metodele mai riguroase implică derivarea limitelor superioare ale metricelor de probabilitate între procesele punctului Poisson și non-Poisson, în timp ce alte metode pot fi justificate prin euristici mai puțin formale.

Euristic aglomerat

O metodă de aproximare a evenimentelor sau fenomenelor aleatorii cu procesele Poisson se numește euristică de aglomerare . Euristica generală sau principiul implică utilizarea procesului punctului Poisson (sau distribuției Poisson) pentru a aproxima evenimente, care sunt considerate rare sau puțin probabil, ale unui proces stocastic. În unele cazuri, aceste evenimente rare sunt aproape de a fi independente, prin urmare poate fi utilizat un proces de punct Poisson. Atunci când evenimentele nu sunt independente, dar tind să apară în grupuri sau smocuri , apoi în cazul în care aceste smocuri sunt definite în mod corespunzător , astfel încât acestea sunt aproximativ independente una de cealaltă, atunci numărul de smocuri care apar vor fi aproape de o variabilă aleatoare Poisson și locațiile dintre aglomerări vor fi aproape de un proces Poisson.

Metoda lui Stein

Metoda lui Stein este o tehnică matematică dezvoltată inițial pentru aproximarea variabilelor aleatorii precum variabilele Gaussian și Poisson, care a fost aplicată și proceselor punctuale. Metoda lui Stein poate fi utilizată pentru a obține limite superioare pe metricele de probabilitate , care dau loc pentru a cuantifica modul în care diferite obiecte matematice aleatoare variază stocastic. Au fost derivate limitele superioare ale valorilor de probabilitate, cum ar fi variația totală și distanța Wasserstein .

Cercetătorii au aplicat metoda lui Stein la procesele punctului Poisson în mai multe moduri, cum ar fi utilizarea calculului Palm . Tehnicile bazate pe metoda lui Stein au fost dezvoltate pentru a lua în considerare limitele superioare efectele anumitor operațiuni de proces punct, cum ar fi subțierea și suprapunerea. Metoda lui Stein a fost, de asemenea, utilizată pentru a obține limite superioare pe metricile lui Poisson și alte procese, cum ar fi procesul punctului Cox , care este un proces Poisson cu o măsură a intensității aleatorii.

Convergența într-un proces de punct Poisson

În general, atunci când o operațiune este aplicată unui proces punctual general, procesul rezultat nu este de obicei un proces punctual Poisson. De exemplu, dacă un proces punctual, altul decât un Poisson, are punctele sale deplasate în mod aleatoriu și independent, atunci procesul nu ar fi neapărat un proces punctual Poisson. Cu toate acestea, în anumite condiții matematice atât pentru procesul punctului original, cât și pentru deplasarea aleatorie, s-a arătat prin intermediul teoremelor limită că, dacă punctele unui proces punct sunt deplasate în mod repetat într-o manieră aleatorie și independentă, atunci distribuția finită a punctului procesul va converge (slab) la cel al unui proces de punct Poisson.

Rezultate similare de convergență au fost dezvoltate pentru operații de subțiere și suprapunere care arată că astfel de operații repetate pe procese punctiforme pot, în anumite condiții, să ducă la convergerea procesului în procese punct Poisson, cu condiția unei redimensionări adecvate a măsurii intensității (altfel valorile măsurarea intensității proceselor punctului rezultat s-ar apropia de zero sau infinit). O astfel de lucrare de convergență este direct legată de rezultatele cunoscute sub numele de ecuații Palm-Khinchin, care își are originea în opera lui Conny Palm și Aleksandr Khinchin , și ajută la explicarea de ce procesul Poisson poate fi adesea folosit ca model matematic al diferitelor fenomene aleatorii. .

Generalizări ale proceselor punctului Poisson

Procesul punctului Poisson poate fi generalizat prin, de exemplu, modificarea măsurării intensității sale sau definirea unor spații matematice mai generale. Aceste generalizări pot fi studiate matematic, precum și utilizate pentru a modela sau reprezenta matematic fenomene fizice.

Măsuri aleatorii de tip Poisson

Cele Măsurile aleatoare de tip Poisson (PT) sunt o familie de trei măsuri de numărare aleatoare care sunt închise în conformitate cu restricție de la un subspațiu, adică închis în conformitate cu punctul de funcționare proces # rărire . Aceste măsuri aleatoare sunt exemple ale procesului binomial mixt și împărtășesc proprietatea distribuțională de auto-similitudine a măsurii aleatorii Poisson . Aceștia sunt singurii membri ai familiei de distribuții a seriei de putere non-negative canonice care posedă această proprietate și includ distribuția Poisson , distribuția binomială negativă și distribuția binomială . Măsura aleatorie Poisson este independentă pe sub spații disjuncte, în timp ce celelalte măsuri aleatorii PT (binom negativ și binom) au covarianțe pozitive și negative. Măsurile aleatorii PT sunt discutate și includ măsura aleatorie Poisson , măsura aleatoare binomială negativă și măsura aleatoare binomială.

Procesele punctului Poisson pe spații mai generale

Pentru modelele matematice, procesul punctului Poisson este adesea definit în spațiul euclidian, dar a fost generalizat în spații mai abstracte și joacă un rol fundamental în studiul măsurilor aleatorii, care necesită o înțelegere a câmpurilor matematice, cum ar fi teoria probabilităților, teoria măsurilor și topologia. .

În general, conceptul de distanță are un interes practic pentru aplicații, în timp ce structura topologică este necesară pentru distribuțiile Palm, ceea ce înseamnă că procesele punctuale sunt de obicei definite pe spații matematice cu metrică. Mai mult, realizarea unui proces punctual poate fi considerată o măsură de numărare, deci procesele punctelor sunt tipuri de măsuri aleatoare cunoscute sub numele de măsuri de numărare aleatorie. În acest context, procesele Poisson și alte procese punctuale au fost studiate pe un al doilea spațiu Hausdorff, care poate fi numărat, compact local.

Procesul punctului Cox

Un proces punct Cox , proces Cox sau proces Poisson dublu stocastic este o generalizare a procesului punct Poisson, lăsând măsurarea intensității sale să fie, de asemenea, aleatorie și independentă de procesul Poisson subiacent. Procesul poartă numele lui David Cox, care l-a introdus în 1955, deși alte procese Poisson cu intensități aleatorii au fost introduse independent anterior de Lucien Le Cam și Maurice Quenouille. Măsurarea intensității poate fi o realizare a variabilei aleatorii sau a unui câmp aleatoriu. De exemplu, dacă logaritmul măsurării intensității este un câmp aleatoriu Gaussian , atunci procesul rezultat este cunoscut sub numele de proces Gaoxian Cox log . Mai general, măsurile de intensitate reprezintă o realizare a unei măsuri aleatorii finite local non-negative. Procesele punctului Cox prezintă un grup de puncte, care poate fi demonstrat matematic ca fiind mai mare decât cele ale proceselor punctului Poisson. Generalitatea și tractabilitatea proceselor Cox au dus la utilizarea acestora ca modele în domenii precum statisticile spațiale și rețelele fără fir. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Procesul punctului Poisson marcat

Pentru un proces punctual dat, fiecare punct aleatoriu al unui proces punctual poate avea un obiect matematic aleatoriu, cunoscut sub numele de semn , atribuit aleatoriu acestuia. Aceste semne pot fi la fel de diverse ca numerele întregi, numere reale, linii, obiecte geometrice sau alte procese punctuale. Perechea care constă dintr-un punct al procesului punctului și semnul său corespunzător se numește punct marcat, iar toate punctele marcate formează un proces punctat marcat . Se presupune adesea că semnele aleatoare sunt independente una de cealaltă și distribuite identic, totuși marca unui punct poate depinde în continuare de locația punctului său corespunzător în spațiul subiacent (stare). Dacă procesul punctului subiacent este un proces punct Poisson, atunci procesul punctului rezultat este un proces punct Poisson marcat .

Teorema marcării

Dacă un proces punctual general este definit pe un spațiu matematic și marcajele aleatorii sunt definite pe un alt spațiu matematic, atunci procesul punctat marcat este definit pe produsul cartezian al acestor două spații. Pentru un proces punct Poisson marcat cu semne independente și distribuite identic, teorema marcării afirmă că acest proces punct marcat este, de asemenea, un proces punct Poisson (nemarcat) definit pe produsul cartezian menționat mai sus din cele două spații matematice, ceea ce nu este adevărat pentru procese punctuale generale.

Procesul punctului Poisson compus

Proces punct compus Poisson sau compus proces Poisson este format prin adăugarea de valori aleatoare sau greutăți la fiecare punct al procesului punct Poisson definit pe un spațiu suport, astfel încât procesul este construit dintr - un proces marcat punctul Poisson, unde marcajele formează o colecție de independent și variabile aleatorii non-negative distribuite identic . Cu alte cuvinte, pentru fiecare punct al procesului Poisson original, există o variabilă aleatorie non-negativă independentă și distribuită identic, iar apoi procesul Poisson compus este format din suma tuturor variabilelor aleatorii corespunzătoare punctelor procesului Poisson localizate în unele regiuni ale spațiului matematic subiacent.

Dacă există un proces punct Poisson marcat format dintr-un proces punct Poisson (definit, de exemplu, ) și o colecție de semne non-negative independente și distribuite în mod identic, astfel încât pentru fiecare punct al procesului Poisson există o întâmplare non-negativă variabilă , procesul Poisson compus rezultat este apoi: ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ {M_ {i} \}}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle M_ {i}}$

${\ displaystyle C (B) = \ sum _ {i = 1} ^ {N (B)} M_ {i},}$

unde este un set măsurabil Borel. ${\ displaystyle \ textstyle B \ subset {\ textbf {R}} ^ {d}}$

Dacă variabilele aleatoare generale iau valori, de exemplu, în spațiul euclidian dimensional , procesul Poisson compus rezultat este un exemplu de proces Lévy cu condiția să fie format dintr-un proces punct omogen definit pe numerele non-negative . ${\ displaystyle \ textstyle \ {M_ {i} \}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$

Proces de eșec cu netezirea exponențială a funcțiilor de intensitate

Procesul de eșec cu netezirea exponențială a funcțiilor de intensitate (FP-ESI) este o extensie a procesului Poisson neomogen. Funcția de intensitate a unui FP-ESI este o funcție de netezire exponențială a funcțiilor de intensitate la ultimele momente de apariție a evenimentelor și depășește alte nouă procese stochastice pe 8 seturi de date de eșec din lumea reală atunci când modelele sunt utilizate pentru a se potrivi seturilor de date, unde performanța modelului este măsurată în termeni de AIC ( criteriul informației Akaike ) și BIC ( criteriul informației bayesiene ).

Vezi si

• Model boolean (teoria probabilității)
• Teoria percolării continue
• Proces Poisson compus
• Procesul Cox
• Proces punctual
• Geometrie stochastică
• Modele de geometrie stocastică a rețelelor fără fir
• Procese de sosire markoviene

Note

Referințe

Specific

General

Cărți

• A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26 octombrie 2006). Geometrie stochastică: prelegeri susținute la școala de vară CIME desfășurată în Martina Franca, Italia, 13–18 septembrie 2004 . Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
• Cox, DR ; Isham, Valerie (1980). Procese punctuale . Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-21910-8.
• Daley, Daryl J .; Vere-Jones, David (2003). O introducere în teoria proceselor punctuale: volumul I: teoria și metodele elementare . Springer. ISBN 978-1475781090.
• Daley, Daryl J .; Vere-Jones, David (2007). O introducere în teoria proceselor punctuale: volumul II: teorie generală și structură . Springer. ISBN 978-0387213378.
• Kingman, John Frank (1992). Procese Poisson . Claredon Press. ISBN 978-0198536932.
• Moller, Jesper; Waagepetersen, Rasmus P. (2003). Inferință statistică și simulare pentru procesele punctului spațial . CRC Press. ISBN 978-1584882657.
• Ross, SM (1996). Procese stochastice . Wiley. ISBN 978-0-471-12062-9.
• Snyder, DL; Miller, MI (1991). Procese cu puncte aleatorii în timp și spațiu . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97577-1.
• Stoyan, Dietrich; Kendall, Wilfred S .; Mecke, Joseph (1995). Geometria stocastică și aplicațiile sale . Wiley. ISBN 978-0471950998.
• Streit, Streit (2010). Procese Poisson Point: Imagistica, urmărirea și detectarea . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1441969224.
• HC Tijms (18 aprilie 2003). Un prim curs în modele stochastice . John Wiley & Sons. pp. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.

Articole

• Stirzaker, David (2000). „Sfaturile ariciilor sau constantelor pot varia”. Gazeta matematică .
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). „Ce s-a întâmplat cu haosul discret, procesul Quenouille și proprietatea ascuțită a lui Markov? O istorie a proceselor punctului stochastic”. Revista Statistică Internațională .