Notare proces procesual - Point process notation

În probabilitate și statistică , notația procesului punctual cuprinde gama de notație matematică utilizată pentru a reprezenta simbolic obiecte aleatorii cunoscute sub numele de procese punctuale , care sunt utilizate în câmpuri conexe, cum ar fi geometria stocastică , statisticile spațiale și teoria percolării continue și servesc frecvent ca modele matematice ale procesului aleator. fenomene, reprezentabile ca puncte, în timp, spațiu sau ambele.

Notarea variază din cauza istoricelor anumitor câmpuri matematice și a diferitelor interpretări ale proceselor punctuale și împrumută notația din ariile matematice de studiu, cum ar fi teoria măsurătorilor și teoria mulțimilor .

Interpretarea proceselor punctuale

Notarea, precum și terminologia, a proceselor punctuale depinde de setarea și interpretarea lor ca obiecte matematice care, în anumite ipoteze, pot fi interpretate ca secvențe aleatorii de puncte, seturi de puncte aleatorii sau măsuri de numărare aleatorie .

Secvențe aleatorii de puncte

În unele cadre matematice, un proces punctual dat poate fi considerat ca o succesiune de puncte cu fiecare punct poziționat aleatoriu în spațiul euclidian d- dimensional R ^d , precum și în alte spații matematice mai abstracte . În general, dacă o secvență aleatorie este sau nu echivalentă cu celelalte interpretări ale unui proces punct depinde de spațiul matematic subiacent, dar acest lucru este valabil pentru setarea spațiului euclidian cu dimensiuni finite R ^d .

Set aleator de puncte

Un proces punctual se numește simplu dacă nu există două (sau mai multe puncte) care coincid în locație cu probabilitatea unu . Având în vedere că adesea procesele punctuale sunt simple și ordinea punctelor nu contează, o colecție de puncte aleatorii poate fi considerată ca un set aleator de puncte Teoria seturilor aleatorii a fost dezvoltată independent de David Kendall și Georges Matheron . În ceea ce privește considerarea ca un set aleatoriu, o secvență de puncte aleatorii este un set închis aleatoriu dacă secvența nu are puncte de acumulare cu probabilitatea unu

Un proces punctual este adesea notat printr-o singură literă, de exemplu , și dacă procesul punctual este considerat ca un set aleatoriu, atunci notația corespunzătoare: ${\ displaystyle {N}}$

{\ displaystyle x \ in {N},}

este folosit pentru a indica faptul că un punct aleatoriu este un element (sau aparține ) procesului punctului . Teoria seturilor aleatorii poate fi aplicată proceselor punctuale datorită acestei interpretări, care alături de interpretarea secvenței aleatorii a dus la un proces punctual scris ca: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {N}}$

{\ displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ dots \} = \ {x \} _ {i},}

care evidențiază interpretarea sa fie ca o secvență aleatorie, fie ca un set închis aleator de puncte. Mai mult, uneori o literă majusculă denotă procesul punctual, în timp ce o minusculă denotă un punct din proces, deci, de exemplu, punctul (sau ) aparține sau este un punct al procesului punctual , sau cu notație setată ,. ${\ displaystyle \ textstyle x}$ ${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle X}$ ${\ displaystyle \ textstyle x \ în X}$

Măsuri aleatorii

Pentru a indica numărul de puncte ale situate într-un anumit set Borel , este scris uneori ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle \ Phi (B) = \ # (B \ cap {N}),}

unde este o variabilă aleatorie și este o măsură de numărare , care dă numărul de puncte dintr-un anumit set. În această expresie matematică , procesul punctual este notat prin: ${\ displaystyle \ Phi (B)}$ ${\ displaystyle \ #}$

${\ displaystyle {N}}$ .

Pe de altă parte, simbolul:

${\ displaystyle \ Phi}$

reprezintă numărul de puncte de in . În contextul măsurilor aleatorii, se poate scrie: ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ Phi (B) = n}$

pentru a indica faptul că există mulțimea care conține puncte de . Cu alte cuvinte, un proces punct poate fi considerată ca o măsură aleatoare care atribuie unele non-negativ-evaluate întreg de măsură la seturi. Această interpretare a motivat un proces punctual fiind considerat doar un alt nume pentru o măsură de numărare aleatorie și tehnicile teoriei măsurării aleatorii oferind un alt mod de a studia procesele punctuale, care induce, de asemenea, utilizarea diferitelor notații utilizate în teoria integrării și măsurării. ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {N}}$

Notare duală

Diferitele interpretări ale proceselor punctuale ca seturi aleatorii și măsuri de numărare sunt surprinse cu notația adesea utilizată în care:

${\ displaystyle {N}}$ denotă un set de puncte aleatorii.
${\ displaystyle {N} (B)}$ denotă o variabilă aleatorie care dă numărul de puncte din in (deci este o măsură de numărare aleatorie). ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle B}$

Notând din nou măsura de numărare cu , această notație dublă implică: ${\ displaystyle \ #}$

{\ displaystyle {N} (B) = \ # (B \ cap {N}).}

Sume

Dacă este o funcție măsurabilă pe R ^d , atunci suma peste toate punctele din poate fi scrisă în mai multe moduri, cum ar fi: ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {N}}$

{\ displaystyle f (x_ {1}) + f (x_ {2}) + \ cdots}

care are aspectul secvenței aleatorii sau cu notație setată ca:

{\ displaystyle \ sum _ {x \ in {N}} f (x)}

sau, echivalent, cu notație de integrare ca:

{\ displaystyle \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} f (x) {N} (dx)}

unde pune accent pe interpretarea faptului că este o măsură de numărare aleatorie. O notare alternativă de integrare poate fi utilizată pentru a scrie această integrală ca: ${\ displaystyle {N}}$

{\ displaystyle \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} f \, d {N}}

Interpretarea dublă a proceselor punctuale este ilustrată la scrierea numărului de puncte dintr-un set ca: ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle {N} (B) = \ sum _ {x \ in {N}} 1_ {B} (x)}

în cazul în care funcția indicator, dacă punctul este în și zero în caz contrar, care în această setare este, de asemenea, cunoscut sub numele de măsură Dirac . În această expresie, interpretarea măsurării aleatorii este pe partea stângă, în timp ce se utilizează notația setată aleatoriu este pe partea dreaptă. ${\ displaystyle 1_ {B} (x) = 1}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle B}$

Așteptări

Valoarea medie sau așteptată a unei sume de funcții într-un proces punctual este scrisă ca:

{\ displaystyle E \ left [\ sum _ {x \ in {N}} f (x) \ right] \ qquad {\ text {or}} \ qquad \ int _ {\ textbf {N}} \ sum _ { x \ in {N}} f (x) P (d {N}),}

unde (în sensul măsurii aleatorii) este o măsură de probabilitate adecvată definită pe spațiul măsurilor de numărare . Valoarea așteptată a poate fi scrisă ca: ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle {\ textbf {N}}}$ ${\ displaystyle {N} (B)}$

{\ displaystyle E [{N} (B)] = E \ left (\ sum _ {x \ in {N}} 1_ {B} (x) \ right) \ qquad {\ text {or}} \ qquad \ int _ {\ textbf {N}} \ sum _ {x \ in {N}} 1_ {B} (x) P (d {N}).}

care este cunoscut ca prima masura momentul de . Așteptarea unei astfel de sume aleatorii, cunoscută sub numele de proces de zgomot împușcat în teoria proceselor punctuale, poate fi calculată cu teorema lui Campbell . ${\ displaystyle {N}}$

Utilizări în alte domenii

Procesele punctuale sunt utilizate în alte discipline matematice și statistice, prin urmare notația poate fi utilizată în domenii precum geometria stocastică , statisticile spațiale sau teoria percolării continuumului și zonele care utilizează metodele și teoria din aceste câmpuri.

Vezi si

Note

Referințe

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke și L. Ruschendorf. Geometria stochastică și aplicațiile sale , Ediția a doua, secțiunea 4.1, Wiley Chichester, 1995.
^ ^a ^b Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). O introducere în teoria proceselor punctuale . Probabilitatea și aplicațiile sale. doi : 10.1007 / b97277 . ISBN 978-0-387-95541-4 .
^ ^a ^b ^c ^d M. Haenggi. Geometrie stocastică pentru rețelele fără fir . Capitolul 2. Cambridge University Press, 2012.
^ Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2008). O introducere în teoria proceselor punctuale . Probabilitatea și aplicațiile sale. doi : 10.1007 / 978-0-387-49835-5 . ISBN 978-0-387-21337-8 .
^ Baddeley, A .; Barany, I .; Schneider, R .; Weil, W. (2007). "Procesele punctelor spațiale și aplicațiile lor". Geometrie stochastică . Note de curs în matematică. 1892 . p. 1. doi : 10.1007 / 978-3-540-38175-4_1 . ISBN 978-3-540-38174-7 .
^ Schneider, R .; Weil, W. (2008). Geometrie stochastică și integrală . Probabilitatea și aplicațiile sale. doi : 10.1007 / 978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4 .
^ ^a ^b J. FC Kingman . Procesele Poisson , volumul 3. Presa universitară Oxford, 1992.
^ ^a ^b ^c Moller, J .; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Inferință statistică și simulare pentru procesele punctului spațial . Monografii C & H / CRC privind statistica și probabilitatea aplicată. 100 . CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi : 10.1201 / 9780203496930 . ISBN 978-1-58488-265-7 .
^ Molchanov, Ilya (2005). Teoria seturilor aleatorii . Probabilitatea și aplicațiile sale. doi : 10.1007 / 1-84628-150-4 . ISBN 978-1-85233-892-3 .
^ Grandell, Jan (1977). "Procese punctuale și măsuri aleatorii". Progrese în probabilitatea aplicată . 9 (3): 502-526. doi : 10.2307 / 1426111 . JSTOR 1426111 .
^ ^a ^b Baccelli, FO (2009). „Geometrie stochastică și rețele fără fir: teoria volumului I” (PDF) . Fundamente și tendințe în rețea . 3 (3-4): 249-449. doi : 10.1561 / 1300000006 .

[stoyan1995stochastic-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke și L. Ruschendorf. Geometria stochastică și aplicațiile sale , Ediția a doua, secțiunea 4.1, Wiley Chichester, 1995.

[daleyPPI2003-2] Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). O introducere în teoria proceselor punctuale . Probabilitatea și aplicațiile sale. doi : 10.1007 / b97277 . ISBN 978-0-387-95541-4 .

[haenggi2012stochastic-3] M. Haenggi. Geometrie stocastică pentru rețelele fără fir . Capitolul 2. Cambridge University Press, 2012.

[daleyPPII2008-4] Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2008). O introducere în teoria proceselor punctuale . Probabilitatea și aplicațiile sale. doi : 10.1007 / 978-0-387-49835-5 . ISBN 978-0-387-21337-8 .

[baddeley2007spatial-5] Baddeley, A .; Barany, I .; Schneider, R .; Weil, W. (2007). "Procesele punctelor spațiale și aplicațiile lor". Geometrie stochastică . Note de curs în matematică. 1892 . p. 1. doi : 10.1007 / 978-3-540-38175-4_1 . ISBN 978-3-540-38174-7 .

[schneider2008stochastic-6] Schneider, R .; Weil, W. (2008). Geometrie stochastică și integrală . Probabilitatea și aplicațiile sale. doi : 10.1007 / 978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4 .

[kingman1992poisson-7] J. FC Kingman . Procesele Poisson , volumul 3. Presa universitară Oxford, 1992.

[moller2003statistical-8] Moller, J .; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Inferință statistică și simulare pentru procesele punctului spațial . Monografii C & H / CRC privind statistica și probabilitatea aplicată. 100 . CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi : 10.1201 / 9780203496930 . ISBN 978-1-58488-265-7 .

[molvcanov2005theory-9] Molchanov, Ilya (2005). Teoria seturilor aleatorii . Probabilitatea și aplicațiile sale. doi : 10.1007 / 1-84628-150-4 . ISBN 978-1-85233-892-3 .

[grandell1977point-10] Grandell, Jan (1977). "Procese punctuale și măsuri aleatorii". Progrese în probabilitatea aplicată . 9 (3): 502-526. doi : 10.2307 / 1426111 . JSTOR 1426111 .

[BB1-12] Baccelli, FO (2009). „Geometrie stochastică și rețele fără fir: teoria volumului I” (PDF) . Fundamente și tendințe în rețea . 3 (3-4): 249-449. doi : 10.1561 / 1300000006 .

Languages

In other projects