Procesul compus Poisson - Compound Poisson process

Un procedeu Poisson compus este un proces stocastic de timp continuu (aleatoriu) cu salturi. Salturile ajung la întâmplare în conformitate cu un proces Poisson, iar dimensiunea salturilor este, de asemenea, aleatorie, cu o distribuție de probabilitate specificată. Un proces Poisson compus, parametrizat printr-o distribuție de mărime a vitezei și a saltului G , este un proces dat de ${\ displaystyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ {\, Y (t): t \ geq 0 \, \}}$

${\ displaystyle Y (t) = \ sumă _ {i = 1} ^ {N (t)} D_ {i}}$

unde, este un proces Poisson cu rata și sunt variabile aleatoare independente și distribuite identic, cu funcția de distribuție G , care sunt, de asemenea, independente de${\ displaystyle \ {\, N (t): t \ geq 0 \, \}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ {\, D_ {i}: i \ geq 1 \, \}}$${\ displaystyle \ {\, N (t): t \ geq 0 \, \}. \,}$

Când sunt variabile aleatorii non-negative ale valorilor întregi, atunci acest proces Poisson compus este cunoscut ca un proces Poisson stuttering, care are caracteristica că două sau mai multe evenimente au loc într-un timp foarte scurt. ${\ displaystyle D_ {i}}$

Proprietățile procesului compus Poisson

Valoarea așteptată a unui procedeu Poisson compus poate fi calculată folosind un rezultat cunoscut ca ecuația lui Wald ca:

${\ displaystyle \, E (Y (t)) = E (D_ {1} + ... + D_ {N (t)}) = E (N (t)) E (D_ {1}) = E ( N (t)) E (D) = \ lambda tE (D).}$

Utilizând în mod similar legea varianței totale , variația poate fi calculată astfel:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {var} (Y (t)) & = E (\ operatorname {var} (Y (t) | N (t))) + \ operatorname {var} (E ( Y (t) | N (t))) \\ & = E (N (t) \ operatorname {var} (D)) + \ operatorname {var} (N (t) E (D)) \\ & = \ operatorname {var} (D) E (N (t)) + E (D) ^ {2} \ operatorname {var} (N (t)) \\ & = \ operatorname {var} (D) \ lambda t + E (D) ^ {2} \ lambda t \\ & = \ lambda t (\ operatorname {var} (D) + E (D) ^ {2}) \\ & = \ lambda tE (D ^ {2 }). \ end {aliniat}}}$

În sfârșit, folosind legea probabilității totale , funcția generatoare de moment poate fi dată după cum urmează:

${\ displaystyle \, \ Pr (Y (t) = i) = \ sumă _ {n} \ Pr (Y (t) = i | N (t) = n) \ Pr (N (t) = n)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} E (e ^ {sY}) & = \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i) \\ & = \ sum _ {i} e ^ {si} \ sum _ {n} \ Pr (Y (t) = i | N (t) = n) \ Pr (N (t) = n) \\ & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i | N (t) = n) \\ & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (D_ {1} + D_ {2} + \ cdots + D_ {n} = i) \\ & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) M_ {D} (s) ^ {n} \\ & = \ sumă {{n} \ Pr (N (t) = n) e ^ {n \ ln (M_ { D} (s))} \\ & = M_ {N (t)} (\ ln (M_ {D} (s))) \\ & = e ^ {\ lambda t \ stânga (M_ {D} (s ) -1 \ dreapta)}. \ end {aliniat}}}$

Expunerea măsurilor

Fie N , Y și D să fie ca mai sus. Fie μ măsura probabilității conform căreia D este distribuită, adică

${\ displaystyle \ mu (A) = \ Pr (D \ in A). \,}$

Fie δ ₀ distribuția banală a probabilității, punând toată masa la zero. Atunci distribuția probabilității lui Y ( t ) este măsura

${\ displaystyle \ exp (\ lambda t (\ mu - \ delta _ {0})) \,}$

unde exp exponențială ( ν ) unei măsuri finite ν pe subseturi Borel ale liniei reale este definită de

${\ displaystyle \ exp (\ nu) = \ sumă {{n = 0} ^ {\ infty} {\ nu ^ {* n} \ over n!}}$

și

${\ displaystyle \ nu ^ {* n} = \ underbrace {\ nu * \ cdots * \ nu} _ {n {\ text {factors}}}}$

este o convoluție de măsuri, iar seria converg slab .

Vezi si

• Procesul Poisson
• Distribuție Poisson
• Distribuție Poisson compusă
• Proces Poisson neomogen
• Procesul Poisson fracțional
• Formula lui Campbell pentru generarea momentului a funcției unui proces Poisson compus