processo de Poisson composto - Compound Poisson process

Um processo de Poisson composto é um de tempo contínuo (aleatório) processo estocástico com saltos. Os saltos chegam aleatoriamente de acordo com um processo de Poisson e o tamanho dos saltos também é aleatória, com uma distribuição de probabilidade especificada. Um processo de Poisson composto, parametrizada por uma taxa e distribuição de tamanho de salto L , é um processo dada pela ${\ Displaystyle \ lambda> 0}$ ${\ Displaystyle \ {\, Y (t): t \ GEQ 0 \, \}}$

{\ Displaystyle Y (t) = \ soma _ {i = 1} ^ {N (t)} D_ {i}}

onde, é um processo de Poisson , com taxa de , e são independentes e identicamente distribuído variáveis aleatórias, com a função de distribuição de L , que também são independentes de ${\ Displaystyle \ {\, N (t): t \ GEQ 0 \, \}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ {\, D_ {i}: i \ geq 1 \, \}}$ ${\ Displaystyle \ {\, N (t):. T \ GEQ 0 \, \} \,}$

Quando são variáveis aleatórias com valor de número inteiro não negativo, então o processo de Poisson, este composto é conhecido como um processo de Poisson gaguez que tem a característica de que dois ou mais acontecimentos ocorrem num tempo muito curto. ${\ Displaystyle D_ {i}}$

Propriedades do processo de Poisson composto

O valor esperado de um processo de Poisson composto pode ser calculada utilizando um resultado conhecida como a equação de Wald como:

{\ Displaystyle \, E (Y (t)) = E (D_ {1} + ... + D_ {N (t)}) = E (N (t)) E (D_ {1}) = E ( N (t)) E (D) = \ lambda tE (D).}

Fazendo uso similar da lei da variância total , a variância pode ser calculada como:

{\ Displaystyle {\ begin {alinhados} \ operatorname {var} (Y (t)) & = E (\ operatorname {var} (Y (t) | N (t))) + \ operatorname {var} (E ( Y (t) | N (t))) \\ & = e (N (t) \ operatorname {var} (D)) + \ operatorname {var} (N (t) e (D)) & = \\ \ operatorname {var} (D) e (N (t)) + e (D) ^ {2} \ operatorname {var} (N (t)) = & \\ \ operatorname {var} (D) \ lambda t + e (D) ^ {2} \ lambda t \\ & = \ lambda t (\ operatorname {var} (D) + e (D) ^ {2}) \\ & = \ lambda tE (D ^ {2 }). \ final {alinhados}}}

Por último, usando a lei da probabilidade total , a função geradora de momentos pode ser dado como segue:

{\ Displaystyle \, \ Pr (Y (t) = I) = \ soma _ {n} \ Pr (Y (t) = I | N (t) = N) \ Pr (N (t) = n)}

{\ Displaystyle {\ {começar alinhados} E (E ^ {sY}) & = \ soma _ {i} e {^} Si \ Pr (Y (t) = i) & = \\ \ soma _ {i} e ^ {Si} \ soma _ {n} \ Pr (Y (t) = I | N (t) = N) \ Pr (N (t) = N) \\ & = \ soma _ {n} \ Pr (N (t) = N) \ soma _ {i} e {^} Si \ Pr (Y (t) = I | N (t) = N) \\ & = \ soma _ {n} \ Pr (N (t) = N) \ soma _ {i} e {^} Si \ Pr (D_ {1} + D_ {2} + \ + cdots D_ {n} = i) & = \\ \ soma _ {n} \ Pr (N (t) = N) M_ {D} (s) ^ {n} \\ & = \ soma _ {n} \ Pr (N (t) = n) e ^ n {\ ln (M_ { D} (s))} \\ & = M_ {N (t)} (\ ln (M_ {D} (s))) \\ & = e ^ {\ lambda t \ esquerda (M_ {D} (s ) -1 \ direita)}. \ final {alinhados}}}

Exponenciação de medidas

Deixe- N , Y , e D é como acima. Deixe μ ser a medida de probabilidade de acordo com a qual D é distribuído, ou seja

{\ Displaystyle \ mu (A) = \ Pr (D \ em A). \,}

Vamos δ ₀ ser a distribuição de probabilidade trivial colocando toda a massa em zero. Em seguida, a distribuição de probabilidade de Y ( t ), é a medida