Процесс соединения Пуассона является непрерывным временем (случайным образом ) случайный процесс с прыжками. Скачки прибывают случайно в соответствии с процессом Пуассона, и размер скачков также является случайным с заданным распределением вероятностей. Составной пуассоновский процесс, параметризованный распределением скорости и размера скачка G , представляет собой процесс, задаваемый формулой
λ
>
0
{\ displaystyle \ lambda> 0}
{
Y
(
т
)
:
т
≥
0
}
{\ Displaystyle \ {\, Y (т): т \ geq 0 \, \}}
Y
(
т
)
знак равно
∑
я
знак равно
1
N
(
т
)
D
я
{\ Displaystyle Y (т) = \ сумма _ {я = 1} ^ {N (т)} D_ {я}}
где, - подсчет пуассоновского процесса со скоростью , и являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения G , которые также не зависят от
{
N
(
т
)
:
т
≥
0
}
{\ Displaystyle \ {\, N (т): т \ geq 0 \, \}}
λ
{\ displaystyle \ lambda}
{
D
я
:
я
≥
1
}
{\ Displaystyle \ {\, D_ {я}: я \ geq 1 \, \}}
{
N
(
т
)
:
т
≥
0
}
.
{\ Displaystyle \ {\, N (т): т \ geq 0 \, \}. \,}
Когда являются неотрицательными целочисленными случайными величинами, этот составной пуассоновский процесс известен как заикающийся пуассоновский процесс, который имеет особенность, заключающуюся в том, что два или более события происходят за очень короткое время.
D
я
{\ displaystyle D_ {i}}
Свойства составного процесса Пуассона
Ожидаемое значение составного пуассоновского процесса может быть вычислено с использованием результата , известный как уравнение Вальда , как:
E
(
Y
(
т
)
)
знак равно
E
(
D
1
+
⋯
+
D
N
(
т
)
)
знак равно
E
(
N
(
т
)
)
E
(
D
1
)
знак равно
E
(
N
(
т
)
)
E
(
D
)
знак равно
λ
т
E
(
D
)
.
{\ Displaystyle \ OperatorName {E} (Y (t)) = \ Operatorname {E} (D_ {1} + \ cdots + D_ {N (t)}) = \ OperatorName {E} (N (t)) \ OperatorName {E} (D_ {1}) = \ operatorname {E} (N (t)) \ operatorname {E} (D) = \ lambda t \ operatorname {E} (D).}
Используя аналогичный закон общей дисперсии , дисперсию можно рассчитать как:
вар
(
Y
(
т
)
)
знак равно
E
(
вар
(
Y
(
т
)
∣
N
(
т
)
)
)
+
вар
(
E
(
Y
(
т
)
∣
N
(
т
)
)
)
знак равно
E
(
N
(
т
)
вар
(
D
)
)
+
вар
(
N
(
т
)
E
(
D
)
)
знак равно
вар
(
D
)
E
(
N
(
т
)
)
+
E
(
D
)
2
вар
(
N
(
т
)
)
знак равно
вар
(
D
)
λ
т
+
E
(
D
)
2
λ
т
знак равно
λ
т
(
вар
(
D
)
+
E
(
D
)
2
)
знак равно
λ
т
E
(
D
2
)
.
{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {var} (Y (t)) & = \ operatorname {E} (\ operatorname {var} (Y (t) \ mid N (t))) + \ operatorname { var} (\ operatorname {E} (Y (t) \ mid N (t))) \\ [5pt] & = \ operatorname {E} (N (t) \ operatorname {var} (D)) + \ operatorname {var} (N (t) \ operatorname {E} (D)) \\ [5pt] & = \ operatorname {var} (D) \ operatorname {E} (N (t)) + \ operatorname {E} ( D) ^ {2} \ operatorname {var} (N (t)) \\ [5pt] & = \ operatorname {var} (D) \ lambda t + \ operatorname {E} (D) ^ {2} \ lambda t \\ [5pt] & = \ lambda t (\ operatorname {var} (D) + \ operatorname {E} (D) ^ {2}) \\ [5pt] & = \ lambda t \ operatorname {E} (D ^ {2}). \ End {выравнивается}}}
Наконец, используя закон полной вероятности , производящую функцию момента можно задать следующим образом:
Pr
(
Y
(
т
)
знак равно
я
)
знак равно
∑
п
Pr
(
Y
(
т
)
знак равно
я
∣
N
(
т
)
знак равно
п
)
Pr
(
N
(
т
)
знак равно
п
)
{\ Displaystyle \ Pr (Y (T) = я) = \ сумма _ {п} \ Pr (Y (т) = я \ середина N (т) = п) \ Pr (N (т) = п)}
E
(
е
s
Y
)
знак равно
∑
я
е
s
я
Pr
(
Y
(
т
)
знак равно
я
)
знак равно
∑
я
е
s
я
∑
п
Pr
(
Y
(
т
)
знак равно
я
∣
N
(
т
)
знак равно
п
)
Pr
(
N
(
т
)
знак равно
п
)
знак равно
∑
п
Pr
(
N
(
т
)
знак равно
п
)
∑
я
е
s
я
Pr
(
Y
(
т
)
знак равно
я
∣
N
(
т
)
знак равно
п
)
знак равно
∑
п
Pr
(
N
(
т
)
знак равно
п
)
∑
я
е
s
я
Pr
(
D
1
+
D
2
+
⋯
+
D
п
знак равно
я
)
знак равно
∑
п
Pr
(
N
(
т
)
знак равно
п
)
M
D
(
s
)
п
знак равно
∑
п
Pr
(
N
(
т
)
знак равно
п
)
е
п
пер
(
M
D
(
s
)
)
знак равно
M
N
(
т
)
(
пер
(
M
D
(
s
)
)
)
знак равно
е
λ
т
(
M
D
(
s
)
-
1
)
.
{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} (e ^ {sY}) & = \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i) \\ [5pt] & = \ sum _ {i} e ^ {si} \ sum _ {n} \ Pr (Y (t) = i \ mid N (t) = n) \ Pr (N (t) = n) \\ [5pt ] & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i \ mid N (t) = n) \\ [5pt] & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (D_ {1} + D_ {2} + \ cdots + D_ { n} = i) \\ [5pt] & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) M_ {D} (s) ^ {n} \\ [5pt] & = \ sum _ { n} \ Pr (N (t) = n) e ^ {n \ ln (M_ {D} (s))} \\ [5pt] & = M_ {N (t)} (\ ln (M_ {D}) (s))) \\ [5pt] & = e ^ {\ lambda t \ left (M_ {D} (s) -1 \ right)}. \ end {align}}}
Возведение в степень меры
Пусть N , Y и D такие же , как указано выше. Пусть μ - вероятностная мера, согласно которой D распределяется, т. Е.
μ
(
А
)
знак равно
Pr
(
D
∈
А
)
.
{\ Displaystyle \ му (А) = \ Pr (D \ в А). \,}
Пусть δ 0 - тривиальное распределение вероятностей, при котором вся масса равна нулю. Тогда распределение вероятностей по Y ( т ) является мерой
exp
(
λ
т
(
μ
-
δ
0
)
)
{\ Displaystyle \ ехр (\ лямбда т (\ му - \ дельта _ {0})) \,}
где экспоненциальный ехр ( ν ) конечной меры v , на борелевских подмножеств в вещественной прямой определяется
exp
(
ν
)
знак равно
∑
п
знак равно
0
∞
ν
*
п
п
!
{\ Displaystyle \ ехр (\ ню) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} {\ ню ^ {* п} \ над п!}}
и
ν
*
п
знак равно
ν
*
⋯
*
ν
⏟
п
факторы
{\ displaystyle \ nu ^ {* n} = \ underbrace {\ nu * \ cdots * \ nu} _ {n {\ text {факторы}}}}
является сверткой мер, и ряд сходится слабо .
Смотрите также
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {var} (Y (t)) & = \ operatorname {E} (\ operatorname {var} (Y (t) \ mid N (t))) + \ operatorname { var} (\ operatorname {E} (Y (t) \ mid N (t))) \\ [5pt] & = \ operatorname {E} (N (t) \ operatorname {var} (D)) + \ operatorname {var} (N (t) \ operatorname {E} (D)) \\ [5pt] & = \ operatorname {var} (D) \ operatorname {E} (N (t)) + \ operatorname {E} ( D) ^ {2} \ operatorname {var} (N (t)) \\ [5pt] & = \ operatorname {var} (D) \ lambda t + \ operatorname {E} (D) ^ {2} \ lambda t \\ [5pt] & = \ lambda t (\ operatorname {var} (D) + \ operatorname {E} (D) ^ {2}) \\ [5pt] & = \ lambda t \ operatorname {E} (D ^ {2}). \ End {выравнивается}}}](/criselda-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a818cc242b7003a3d5f043f431fdf57801e9734)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} (e ^ {sY}) & = \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i) \\ [5pt] & = \ sum _ {i} e ^ {si} \ sum _ {n} \ Pr (Y (t) = i \ mid N (t) = n) \ Pr (N (t) = n) \\ [5pt ] & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i \ mid N (t) = n) \\ [5pt] & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (D_ {1} + D_ {2} + \ cdots + D_ { n} = i) \\ [5pt] & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) M_ {D} (s) ^ {n} \\ [5pt] & = \ sum _ { n} \ Pr (N (t) = n) e ^ {n \ ln (M_ {D} (s))} \\ [5pt] & = M_ {N (t)} (\ ln (M_ {D}) (s))) \\ [5pt] & = e ^ {\ lambda t \ left (M_ {D} (s) -1 \ right)}. \ end {align}}}](/criselda-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8480ad2cecd8cd45d38ad108824ed88fda17cc)
