Processus de Poisson composé - Compound Poisson process

Un processus de Poisson composé est un processus stochastique en temps continu (aléatoire) avec sauts. Les sauts arrivent au hasard selon un processus de Poisson et la taille des sauts est également aléatoire, avec une distribution de probabilité spécifiée. Un processus de Poisson composé, paramétré par une distribution de vitesse et de taille de saut G , est un processus donné par ${\ displaystyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ {\, Y (t): t \ geq 0 \, \}}$

${\ Displaystyle Y (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {N (t)} D_ {i}}$

où, est un comptage d'un processus de Poisson avec taux , et sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, avec la fonction de distribution G , qui sont également indépendantes de${\ displaystyle \ {\, N (t): t \ geq 0 \, \}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ {\, D_ {i}: i \ geq 1 \, \}}$${\ displaystyle \ {\, N (t): t \ geq 0 \, \}. \,}$

Lorsqu'il existe des variables aléatoires à valeurs entières non négatives, alors ce processus de Poisson composé est connu sous le nom de processus de Poisson bégayant qui a la particularité que deux événements ou plus se produisent en très peu de temps. ${\ displaystyle D_ {i}}$

Propriétés du processus de Poisson composé

La valeur attendue d'un processus de Poisson composé peut être calculée à l'aide d'un résultat connu sous le nom d'équation de Wald comme:

${\ displaystyle \ operatorname {E} (Y (t)) = \ operatorname {E} (D_ {1} + \ cdots + D_ {N (t)}) = \ operatorname {E} (N (t)) \ operatorname {E} (D_ {1}) = \ operatorname {E} (N (t)) \ operatorname {E} (D) = \ lambda t \ operatorname {E} (D).}$

En utilisant de manière similaire la loi de la variance totale , la variance peut être calculée comme suit:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ operatorname {var} (Y (t)) & = \ operatorname {E} (\ operatorname {var} (Y (t) \ mid N (t))) + \ operatorname { var} (\ operatorname {E} (Y (t) \ mid N (t))) \\ [5pt] & = \ operatorname {E} (N (t) \ operatorname {var} (D)) + \ operatorname {var} (N (t) \ operatorname {E} (D)) \\ [5pt] & = \ operatorname {var} (D) \ operatorname {E} (N (t)) + \ operatorname {E} ( D) ^ {2} \ operatorname {var} (N (t)) \\ [5pt] & = \ operatorname {var} (D) \ lambda t + \ operatorname {E} (D) ^ {2} \ lambda t \\ [5pt] & = \ lambda t (\ operatorname {var} (D) + \ operatorname {E} (D) ^ {2}) \\ [5pt] & = \ lambda t \ operatorname {E} (D ^ {2}). \ End {aligné}}}$

Enfin, en utilisant la loi de probabilité totale , la fonction génératrice de moment peut être donnée comme suit:

${\ Displaystyle \ Pr (Y (t) = i) = \ sum _ {n} \ Pr (Y (t) = i \ mid N (t) = n) \ Pr (N (t) = n)}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ operatorname {E} (e ^ {sY}) & = \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i) \\ [5pt] & = \ somme _ {i} e ^ {si} \ somme _ {n} \ Pr (Y (t) = i \ mid N (t) = n) \ Pr (N (t) = n) \\ [5pt ] & = \ somme _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ somme _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i \ mid N (t) = n) \\ [5pt] & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (D_ {1} + D_ {2} + \ cdots + D_ { n} = i) \\ [5pt] & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) M_ {D} (s) ^ {n} \\ [5pt] & = \ sum _ { n} \ Pr (N (t) = n) e ^ {n \ ln (M_ {D} (s))} \\ [5pt] & = M_ {N (t)} (\ ln (M_ {D} (s))) \\ [5pt] & = e ^ {\ lambda t \ left (M_ {D} (s) -1 \ right)}. \ end {aligné}}}$

Exponentiation des mesures

Soit N , Y et D comme ci-dessus. Soit μ la mesure de probabilité selon laquelle D est distribué, soit

${\ displaystyle \ mu (A) = \ Pr (D \ dans A). \,}$

Soit δ ₀ la distribution de probabilité triviale mettant toute la masse à zéro. Alors la distribution de probabilité de Y ( t ) est la mesure

${\ displaystyle \ exp (\ lambda t (\ mu - \ delta _ {0})) \,}$

où l'exp exponentielle ( ν ) d'une mesure finie ν sur des sous - ensembles de Borel de la droite réelle est définie par

${\ displaystyle \ exp (\ nu) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ nu ^ {* n} \ over n!}}$

et

${\ displaystyle \ nu ^ {* n} = \ underbrace {\ nu * \ cdots * \ nu} _ {n {\ text {facteurs}}}}$

est une convolution de mesures, et la série converge faiblement .

Voir également

• Processus de Poisson
• Distribution de Poisson
• Distribution de Poisson composée
• Processus de Poisson non homogène
• Processus de Poisson fractionnaire
• Formule de Campbell pour la fonction génératrice de moment d'un processus de Poisson composé