Složený Poissonův proces - Compound Poisson process

Sloučenina Poissonův proces je kontinuální čase (random) stochastický proces se skoky. Skoky dorazí náhodně podle Poissonova procesu a velikost skoků je také náhodná se specifikovaným rozdělením pravděpodobnosti. Složený Poissonův proces, parametrizovaný distribucí rychlosti a velikosti skoku G , je proces daný ${\ displaystyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ {\, Y (t): t \ geq 0 \, \}}$

${\ displaystyle Y (t) = \ součet _ {i = 1} ^ {N (t)} D_ {i}}$

kde, je Poissonův proces s rychlostí , a jsou nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné, s distribuční funkcí G , které jsou také nezávislé na${\ displaystyle \ {\, N (t): t \ geq 0 \, \}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ {\, D_ {i}: i \ geq 1 \, \}}$${\ displaystyle \ {\, N (t): t \ geq 0 \, \}. \,}$

Když jsou nezáporné celočíselné náhodné proměnné, pak je tento složený Poissonův proces známý jako koktavý Poissonův proces, který má tu vlastnost, že ve velmi krátké době nastanou dvě nebo více událostí. ${\ displaystyle D_ {i}}$

Vlastnosti složeného Poissonova procesu

Očekávaná hodnota složeného Poissonova procesu může být vypočtena s použitím výsledku známý jako Wald rovnice jako:

${\ displaystyle \, E (Y (t)) = E (D_ {1} + ... + D_ {N (t)}) = E (N (t)) E (D_ {1}) = E ( N (t)) E (D) = \ lambda tE (D).}$

Při podobném použití zákona o celkové odchylce lze odchylku vypočítat jako:

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ operatorname {var} (Y (t)) & = E (\ operatorname {var} (Y (t) | N (t))) + \ operatorname {var} (E ( Y (t) | N (t))) \\ & = E (N (t) \ operatorname {var} (D)) + \ operatorname {var} (N (t) E (D)) \\ & = \ operatorname {var} (D) E (N (t)) + E (D) ^ {2} \ operatorname {var} (N (t)) \\ & = \ operatorname {var} (D) \ lambda t + E (D) ^ {2} \ lambda t \\ & = \ lambda t (\ operatorname {var} (D) + E (D) ^ {2}) \\ & = \ lambda tE (D ^ {2 }). \ end {zarovnáno}}}$

A konečně, s použitím právo úplné pravděpodobnosti je funkce generující moment může být podáván následujícím způsobem:

${\ displaystyle \, \ Pr (Y (t) = i) = \ součet _ {n} \ Pr (Y (t) = i | N (t) = n) \ Pr (N (t) = n)}$

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} E (e ^ {sY}) & = \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i) \\ & = \ sum _ {i} e ^ {si} \ sum _ {n} \ Pr (Y (t) = i | N (t) = n) \ Pr (N (t) = n) \\ & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (Y (t) = i | N (t) = n) \\ & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) \ sum _ {i} e ^ {si} \ Pr (D_ {1} + D_ {2} + \ cdots + D_ {n} = i) \\ & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) M_ {D} (s) ^ {n} \\ & = \ sum _ {n} \ Pr (N (t) = n) e ^ {n \ ln (M_ { D} (s))} \\ & = M_ {N (t)} (\ ln (M_ {D} (s))) \\ & = e ^ {\ lambda t \ left (M_ {D} (s ) -1 \ right)}. \ End {zarovnáno}}}$

Vysvětlení opatření

Nechť N , Y a D jsou výše. Nechť μ je míra pravděpodobnosti, podle které je D distribuováno, tj

${\ displaystyle \ mu (A) = \ Pr (D \ v A). \,}$

Nechť δ ₀ je triviální rozdělení pravděpodobnosti, které vynuluje veškerou hmotnost. Potom rozdělení pravděpodobnosti z Y ( t ) je míra

${\ displaystyle \ exp (\ lambda t (\ mu - \ delta _ {0})) \,}$

kde exponenciální exp ( ν ) z konečného opatření vmax na Borel podmnožin v reálné osy je definována

${\ displaystyle \ exp (\ nu) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ nu ^ {* n} \ nad n!}}$

a

${\ displaystyle \ nu ^ {* n} = \ podprsenka {\ nu * \ cdots * \ nu} _ {n {\ text {faktory}}}}$

je konvoluce opatření a řada slabě konverguje .

Viz také

• Poissonův proces
• Poissonovo rozdělení
• Složené Poissonovo rozdělení
• Nehomogenní Poissonův proces
• Frakční Poissonův proces
• Campbellův vzorec pro funkci generování momentů složeného Poissonova procesu